3.5岩石强度准则

3.5.岩石的强度准则

3.5.1概述

岩石中任一点的应力、应变增长到某一极限时，该点就要发生破坏。用以表征岩石破坏条件的应力状态与岩石强度参数间的函数关系，称为岩石的强度准则（又称强度条件、破坏判据、强度判据）。由于岩石的成因不同和矿物成分的不同，使岩石的破坏特性会存在着许多差别。此外，不同的受力状态也将影响其强度特性。人们根据岩石的不同破坏机理，在大量的试验基础上，加以归纳、分析描述，建立了多种强度准则。本节将着重介绍在岩石力学中最常用的强度准则。

3.5.2库仑准则

3.5.2.1基本思想

库仑准则是一个最简单、最重要的准则，属于压剪准则。库仑（C.A.Couloumb ）于1773年提出最大剪应力强度理论，纳维尔（）在库仑理论的基础上，对包括岩石在内的脆性材料进行了大量的试验研究后，于1883年完善了该准则，所以又被称为库仑—纳维尔准则。该准则认为，固体内任一点发生剪切破坏时，破坏面上的剪应力(τ)等于或大于材料本身的抗切强度(C)和作用于该面上由法向应力引起的摩擦阻力(?σtan )之和，即：

tan C f C τσσ?=+=+ （3.29）

这就是库仑准则的基本表达式。

3.4.2.2库仑准则参数的几何与物理意义

在στ-平面上式（3.29）的几何图，如图3.36所示，库仑准则是一条直线。由图可见：

图3.36库仑准则的几何图

（1）当0σ=时，C τ=，C 为纵轴（σ轴）截距；物理意义为：岩石试件无正压力时的抗剪强度，通常称为岩石的内粘聚力。（2）当0C =时，?σσtan =，通常称?为岩石的内摩擦角，?tan 为岩石的内摩擦系数。C ，?是表征岩石抗剪强度的两个重要参数。

3.5.2.3库仑准则的确定方法

岩石强度准则反映岩石固有的属性，因此一定要求来源于试验。常用于确定库仑准则的试验有两种，角模压剪试验和三轴压缩试验。

（1）角模压剪试验 如图3.10所示，作一系列不同倾角α的压剪试验，并由式（3.7）计算出不同倾角的破坏面上的正应力σ和剪应力τ；再在στ-平面描点作出强度准则曲

线，或用数理统计方法确定其方程。通常由抗剪试验得出的强度曲线是一条弧形曲线，一般把它简化为直线（图3.37），即得到式（3.29）所示的强度准则。

a)描点作图 b)简化为直线

图3.37 岩石的压剪试验强度曲线

（2）三轴压缩试验 作一系列三轴破坏试验，并做出各种不同应力状态下破坏时的莫尔圆和这组莫尔圆的包络线（图3.38）。该包络线就是岩石的强度曲线，它通常是一条弧形曲线，一般把它简化为直线，其方程就是库仑准则。由于它来自莫尔圆的包络线，所以又称为库仑－莫尔准则。

1、极限莫尔圆

2、包络线（岩石的强度曲线）

图3.38 极限莫尔圆包络

3.5.2.3库仑准则的主应力表示

主应力是一点应力状态的不变量，在岩体工程稳定性分析中，常常采用主应力表示的强度准则。在στ-平面作一个三轴压缩极限应力圆，该圆必与库仑准则直线相切。其中的切点坐标值就是破坏面上的正应力和剪应力，图3.39所示，由图上的直角三角形看出

13

13

2sin cot 2C σσ?σσ?-=++

改写为 132cos 1sin 1sin 1sin C ??σσ??

+=

+-- （3.30） 这就是库仑准则的主应力表示式。 当单轴压缩破坏时，将03=σ，c R =1σ代入上式得：

2cos 1sin c C R ??

=

- （3.31） 式中，c R 为岩石的单轴抗压强度。

图3.39 三轴压缩极限应力圆与库仑准则直线相切

令?

?ξsin 1sin 1-+=，由三角恒等关系得： 2221sin cot (45)tan (45)tan 1sin 22???ξα?+=

=-=+=- （3.32） 将式（3.14）和（3.15）代入式（3.13）得：

13c R σξσ=+ （3.33）

σ3

图3.40 库仑准则在13σσ-平面的图示

由式（3.33）作图3.40，库仑准则的主应力几何表示。由图可见，式（3.33）中的ξ和c R 分别表示库仑准则直线的斜率和1σ轴上的截距。

另外，由图3.39还可以求得破裂面与最大主平面的夹角α，即：

290α?=+， 452?

α=+ （3.34）

由于对称性，破裂面是一对或共轭出现的。地质力学通常提到X 状节理，即是一对共轭破裂面，如图3.41所示。

图3.41 破坏面与主平面的关系

3.5.2.4库仑准则的特点

（１）同时考虑了拉剪和压剪应力状态；可判断破坏面的方向；

（２）强度曲线向压区开放，说明t c σσ>与岩石力学性质符合；

（３）强度曲线化是斜向上说明抗剪强度与正应力有关；

（４）受拉区闭合，说明三向受拉时岩石破坏；受压区开放，说明三向等压不破坏；

（5）忽略了中间主应力的影响；

（6）库仑准则只宜用于受压区，不宜用于受拉区。

3.5.3莫尔准则

3.5.3.1基本思想

莫尔(Mohr ，1900 )通过对脆性材料进行大量的压剪破坏试验和分析之后，提出了莫尔强度理论。该强度理论认为：岩石不是在简单的应力状态下发生破坏，而是在不同的正应力和剪应力组合作用下，当岩石某个特定的面上作用的正应力与剪应力达到一定的数值时，随即发生破坏。莫尔没有给出作用在破坏面上的正应力σ和剪应力τ之间的具体表达式，仅给出了其隐函数形式：()f

τσ=。

3.5.3.2莫尔准则确定方法

根据莫尔强度理论的基本思想，莫尔准则可以用σ－τ直角坐标系下的一组极限应力圆的包络线来描述。因此，莫尔准则曲线的试验确定方法为：（1）在σ－τ平面上，作一组不同应力状态下（其中，包括单轴抗拉和单向抗压）的极限应力圆；（２）找出各应力圆上的破坏点；（３）用光滑曲线连接各破坏点，这条光滑曲线就是极限莫尔应力圆的包络线，也就是莫尔准则曲线，如图3.26所示。

由于种类岩石之间的力学性质存在着很大的差异，无法用一个显式正确地表征岩石的莫尔强度包络线。俄罗斯学者，曾经根据不同岩石试验包络线的特征，将莫尔准则（表达式），具体化为斜直线、双曲线、抛物线、摆线、摆线加斜直线，以及双斜直线等各种曲线形式。在岩土工程中常用的是斜直线型的准则，其方程式与库仑准则相同。少量的研究报告中还有

用到双斜直线型的强度准则，同样也将其等同双线性库仑准则应用。其它型式的强度准则在岩土工程基本没有见到应用，因此不作进一步讨论。

3.5.4格里菲思准则

3.5.

4.1基本思想

格里菲思（A .A .Griffith ，1921 ）认为，在脆性材料(玻璃)内部存在着许多随机分布的，相互独立的微裂纹。在外力的作用下，当微裂纹尖端处的形变能达到某极值时，裂纹产生扩展、连接、贯通等现象，最终导致了材料的破坏。大约在20世纪70年代末80年代初，格里菲斯强度理论引进了岩石力学研究领域，从而，从理论上解释了岩石内部的裂纹扩展等现象，并能较正确地说明岩石的破坏机理。

3.5.

4.2基本假设与基本准则方程

格里菲思在建立准则方程时作了如下假设:

（1）在脆性材料内随机分布的微裂纹均为扁平椭圆形；

（2）裂纹都呈张开、前后贯通状态，且互不相关；

（3）材料和裂纹都是各向同性；

（4）按平面应变问题处理，不计中间主应力影响。

根据以上基本思想和基本假设，由能量原理推导出，裂纹开始扩展的条件为：

c

E U t )1(221νπσ-= (3.35) 式中 t σ——使裂纹开始扩展时，裂纹尖端附近的拉应力；

1U ——裂纹扩展时的表面比能；

E ν、——弹模与泊松比；

c ——裂纹长度之半。

这就是格里菲思强度理论的早期准则方程。由于其中的参数1U 、c 较难确定，故该准则较难以应用。

3.5.

4.3 格里菲思准则的主应力表示

为了便于工程应用，有人利用弹性力学中有关椭圆孔口的应力解，推导了用主应力表示的格里菲准则。基本步骤为：

（1）将裂纹视为贯穿扁平椭圆，建立如图3.42所示的应力边界条件；

（2）由各线弹性平面应变理论，求出孔口周边最易破裂点的应力；

（3）再求出最有利于破裂的裂纹长轴的方向角ψ（见图3.42）:

))

(2arccos(3131σσσσψ+-= （3.36） （4）通过整理求出用主应力表示的格里菲准则：

当1330σσ+>时 t σσσσσ=+-)

(8)(312

31 当1330σσ+<时 t σσ-=3

式中：t σ――岩石的单轴抗拉强度。

图3.42 椭圆孔口受力状态图

由式（3.37）可见，格里菲思准则是一个分段函数，在不同段，表示了不同的应力状态。这正是格里菲思理论的基本思想的体现，不论何种应力状态，材料都是因裂纹尖端附近达到极限拉应力而断裂。所以格里菲思准则属于“拉应力准则”。

由式（3.37）在31σσ-平面内作图，如图3.43所示，当1330σσ+<时，格里菲思准则为平行于1σ轴的直线（EF ）；当1330σσ+>时，格里菲思准则为抛物线（FGH ）,并在点),3(t t F σσ-与直线EF 相切。

图3.43 格里菲思准则的几何表示

3.5.

4.4 格里菲思准则在τσ-平面内的表达式

（1）当1330σσ+>时

设2/)(31σσσ+=m ，2/)(31σστ-=m ，代入式（3.20）第一式，得：

t m σστ42= （a ）

又知应力莫尔圆方程为：

222)(m m ττσσ=+- （b ）

将式（a ）代入式（b ）得：

t m m σστσσ4)(22=+- （c ）

由式（c ）对m σ求导：t m σσσ2+=，并代入式（c ）得：

)(42t t σσστ+= （3.38）

这就是当1330σσ+>时，格里菲思准则在τσ-平面内的表达式，由推导过程可知，该式也是极限莫尔应力圆的包络线方程。所以，该段曲线可近似看成为，莫尔准则中的抛物线型曲线。

（2）当1330σσ+<时

由式（3.37）第二式知道，无论什么应力状态，只要作用在岩石上的3σ与岩石的单轴抗拉强度相等，则开始破裂。这段曲线也可用单轴极限莫尔应力圆的包络线来近似表示，其应力圆应与包络线相切点在σ轴上（即：t σστ-==,0），如图3.43所示。

通过上述分析可知，格里菲斯准则虽然是2个分段函数，但是在στ-平面内，其曲线形态与抛物线型莫尔强度包络线相似。而前者的强度值要比后者来得小，这是因为格里菲斯强度理论忽略了裂缝在足够高的压应力下可能闭合而产生较大的摩擦力所致。

3.5.

4.5 格里菲思准则的三维推广

Murrel(1963)将格里菲思平面准则推广到三维。推广过程中的基本要点：

（1）建立以321,,σσσ为轴的空间坐标系；

（2）将式（3.37）第一式表示的抛物线（图3.31FGH ）变成在三维坐标系中绕轴321σσσ==旋转的抛物面；

（3）将式（3.20）第二式表示的直线，变成以t t t σσσσσσ-=-=-=321,,为棱的锥体，并要求锥面与（2）中的抛物面相切；

（4）整理出空间问题格里菲思准则表达式（3.22）及其几何表示（图3.44）

)(24)()()(321213232221σσσσσσσσσσ++=-+-+-t （3.39）

图3.44 空间问题格里菲思准则几何表示

3.5.

4.6 格里菲思准则的特点

（1）格里菲斯准则是由2个分段函数表示的岩石类脆性材料的张拉破坏准则。它适用于单轴、多轴和拉、压组合等各种应力状态的破坏判断；

（2）本强度理论以岩石内部的裂纹扩展条件为研究基础，能较正确地说明岩石的破坏

机理。例如，由理论分析得知，裂纹将沿着与最大拉应力成直角的方向扩展。当在单轴压缩

的情况下，裂纹尖端附近处(见图3.45中的p p '与裂纹交点)为最大拉应力。此时，裂纹将

沿与p p '垂直的方向扩展，最后逐渐向最大主应力方向过渡。这一结论，被岩石在单轴压缩应力下产生劈裂破坏的实验结果证实。

图3.45 在压应力作用下裂隙扩展方向

（3）格里菲思准则能反映岩石类脆性材料抗压强度大于抗拉强度多倍，这一本质特征。将0,321===σσσσc 代入式（3.37），推算出的极限值为单轴抗压强度t c σσ8=；又将0,321===σσσσc 代入式（3.49）得：t c σσ12=。可见由平面格里菲思准则推出的岩石单轴抗压强度是抗拉强度的8倍，而由空间格里菲思准则推出的则是12倍。实验表明，8倍偏低，12倍较符合中等坚硬且完整性好的岩石。

（4）在平面格里菲思准则中忽略了中间主应力的影响，而在空间准则中得到了考虑。

3.5.5 德鲁克—普拉格准则Druckr-Prager 准则(D-P 准则，1925)

3.5.5.1基本思想与特点

德鲁克—普拉格准则（Druckr-Prager ，1925）是著名的米赛斯（Mises ）准则的发展和推广。该类准则认为，当正八面体上的剪应力达到某临界值时，材料就会产生破坏。这里所谓的正八面体，是在以3个主应力（123,,σσσ）为轴的空间坐标系中，作正八面体，其中八个等斜面的外法线与3个主应力（123,,σσσ）轴有相等的夹角。

该准则计入了中间主应力的影响，又考虑了静水压力的作用，克服了库仑－莫尔准则的主要弱点。在岩土力学与工程的数值计算分析中获得广泛的应用。

3.5.5.2德鲁克—普拉格准则的表达式

10I K α= （3.40）

式中： 1123x y z I σσσσσσ=++=++， 为应力第一不变量

()()()22

221223311[]6

J σσσσσσ=+++++ ＝()()()()22

2

2221[6]6x y y z z x xy yz zx σσσσσστττ-+-+-+++，为应力偏量第二不变量；K α、为仅与岩石内摩擦角?和粘聚力系数C 有关的实验常数：

α=

K =

习 题

1、试简述岩石在单轴压缩条件下的变形、破坏特征并说明其原因。

2、试分析圆柱形岩石试件进行单向抗压强度实验时，出现圆锥形破坏的主要原因并指出消除这种破坏形式的基本措施。

3、试说明岩石劈裂法试验的基本原理和操作方法。绘制试件破坏面上的应力分布图。

4、试分析影响岩块单轴抗压强度的影响因素。

5、试分析不同围压下，三向压缩实验时，典型试件的破坏类型和特征。

6、分别说明线弹性体、非线性弹性体、滞弹性体、理想塑性体的应力—应变曲线特点。

7、试论述库仑准则的基本思想并由库仑准则的一般表达式推导出主应力表达式。

8、什么是刚性试验机？试说明刚性试验机的工作原理？

9、试分段说明岩石全应力—应变曲线的特征及其力学性质。

10、试分析普通材料试验机不能做出岩石的全应力—应变曲线的原因。

11、何谓岩石的初始模量、切线模量、割线模量？如何确定？

12、试分析岩石在反复加载、卸载条件下的典型变特性。

13、试分段说明典型岩石蠕变曲线的加载、卸载特性。

14、试分析岩石流变性质的主要因素。

15、试求简尼流变模型的本构方程并分析其蠕变、松弛、弹后与粘流。

16、试根据格理菲斯强度理论分析脆性岩体破坏机理并写格理菲斯强度准则的主应力表达式。

17、试说明获取岩石的库仑强度指标的试验方法与基本步骤。

18、有3块3555cm ??的立方体岩石试件，破坏时施加最大受压载荷分别为P 1=400kN ，P 2=370kN ，P 3=350kN ，另外3块试件，由于加工不准，几何尺寸变为31077cm ??，破坏时施加最大受压载荷分别为P 1=700kN ，P 2=670kN ，P 3=580kN ，试求该岩块单向抗压强度?

19、用圆盘劈裂法进行砂岩单向抗拉强度试验，试件直径为5cm ，厚度为4cm ，劈裂(拉断)时所施加的最大载荷为14.6kN 。试求其单向抗拉强度？

20、大理岩的抗剪强度试验，当Mpa n 61=σ，Mpa n 102=σ时，Mpa n 2.191=τ，Mpa n 222=τ。该岩石作三轴抗压强度试验时，当侧向应力03=σ时，该岩石的抗压强度为Mpa c 100=σ。当侧压应力Mpa 63=σ时，试求其三轴抗压强度?

21、三块3

555cm ??立方体试件，分别作倾角为480，550，640的抗剪强度试样，其施加的最大荷载分别为45KN ，28KN 和2KN ，试求岩石的?,C 值，并绘出抗剪强度的曲线图。