MATLAB在化工中的应用

硕士研究生课程论文

课程名称：MATLAB及其应用

题目：MATLAB在热物理学中的应用题目类型：课程论文

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提交时间：2013 年 11 月 21 日

MATLAB在热物理学中的应用

摘要：本文阐述了基于MATLAB的数值计算、可视化图形处理、开放式以及可扩充体系结构的特点,并介绍了高性能语言 MATLAB 在大学物理热物理学中的一些应用，包括在麦克斯韦速率分布和化工热力学中的应用。MATLAB在化工中的应用给了我们很大的方便，特别是在计算和绘制图形方面，让我们对数据有更加直观的印象，更有利于我们对数据的处理。

关键词：MATLAB；麦克斯韦速率分布；热力学

Application of MATLAB in thermal physics Abstract:Based on MATLAB’s features of numeric al calculation, visualization of graphics processing,opening and scalable architecture,introduced the applications of language of Matlab with high-performance in thermal physics of university physics,include in the Maxwell speed distributionand the chemical industry thermodynamics.MATLAB application in chemical industry gave us great convenience, especially in terms of calculation and drawing graphics, let's have a more intuitive impression on the data, is more advantageous to us for data processing.

Key Words: MATLAB; Maxwell speed distribution; thermodynamic

引言

热物理学是化工研究的一个方向, 由于热物理学处理比较复杂,恰当地使用可视化以展现数学公式的物理图像, 使其变得直观、形象。MATLAB 是一套高性能的数值计算和可视化软件,下面我们从一些典型的实例出发, 介绍 MATLAB 在热物理学方面的具体应用。

1 MATLAB-PDEtool 介绍

MATLAB-PDEtool 提供了一个功能强大使用灵活的二维有限元偏微分方程求解环境，其图形用户界面更是使用十分方便、直观一般来说，MATLAB-PDEtoo l 包括3个步骤：

（1） 定义一个PDE 问题，它包括确定二维求解区域、边界条件和PDE 系数。MATLAB-PDEtool 能够求解的PDE 型式有：椭圆型、抛物线型、双曲线型、特征值型。当使用GUI 时，可以在画图模式下确定求解区域；在边界模式下选择方程形式和设置方程系数。

（2） 数值求解，它包括剖分、离散方程和得到一个数值解。在GUI 中，在剖分模式下形成满意的网格；在求解模式下通过选择数值计算方法求解。

（3） 图形化显示结果。通常用于表现有限元计算结果的图形有：变形网格图、云图、等值线图、矢量图、网格图、表面图、流线图等。

2 MATLAB 在麦克斯韦速率分布中的应用

气体动力学理论中麦克斯韦速率分布律是大学物理讲授与学习中的一个难点和重点。这是因为公式比较复杂抽象，数学推导证明比较繁琐。如果借助 Matlab 就可以比较方便地解决这些问题。首先, 推导三种速率和归一化条件。已知分布函数表达式为：

KT

mV v e v kT

m f

222

3)

()2(

4-=ππ （1） 最大概然速率分布可由下式求出： 0)(=dv

df v （2）

平均速率的定义是：

dv vf v o

v ?

∞

=)(

（3）

方均根速率为： 21)

(0

2)(2

dv f v v rms

v v

?∞==

（4） 归一化条件是：

dv vf v ?

∞

)( （5）

后三项求解比较复杂,其中用到Gamma 函数,传统方法是查数学用表得到结

果。如果应用 Matlab 的符号计算功能, 只需要简单几行语句就可以解决这些问题。用到相关函数有：符号变量创建函数 syms ，求微分函数diff ， 求积分函数 int ，符号化简函数 simple ，字符串转化函数 eval 。

具体 Matlab 语句如下： Syms mktvanp

g=exp(- (m*v^2)/(2*k*t))*v^2；

a=m/(2*k*t);f=int(exp(- a*v^2)*v^n,v,0,inf)； b=f*4*pi*(a/pi)^(3/2)；

pretty(solve(diff(g,v)))； %求解最概然速率 n=2;eval(simple(eval(b)))，%证明归一化条件 n=3;pretty(simple(eval(b)))，%求解平均速率

n=4;pretty(eval(simple(eval(b^0.5))))， %求解方均根速率 程序中第五行语句给出最大概然速率：

m

kT

v

p

2=

（6） 其物理意义是：“若把整个速率范围分成许多相等的小区间，则 vp 所在的区间的分子数占分子总数的百分比最大”。所以可知在( 0，+∞) 速率区间的分子数占分子总数的百分比(对应着曲线与X 轴所围的面积) 恒等于1，即满足归一化条件，第六行语句证明了这个结论。

第七行语句给出平均速率：

m

kT

v 8=

（7） 第八行语句给出方均根速率：

m

kT

v

rms

3=

（8） 其次,运用 Matlab 强大的画图功能，可以画出同一种气体分子( 氮气) 在不同温度下的分布曲线( 图 1)和不同气体分子( 二氧化碳、氧气、甲烷) 在同一温度下的曲线( 图 2)。程序中用到画图函数 ezplot 。

图1、图2中实线为麦克斯韦速率分布曲线，虚线的 X 轴坐标为最大概然速率 p v 的值。从图中曲线变化情况可以验证p v 是气体分子质量 m 的减函数， 是温度 T 的增函数。由此可以说明在满足归一化条件下，温度升高时曲线变得平坦些，并向高速区域扩展。即温度越高，速率大的分子越多，这就是通常所说的温度越高，分子运动越剧烈的真正含义。

3德拜模型

1917年,德拜完成了他的固体热容量理论，他把固体看成连续介质，认为原子的振动形成各种简正频率的弹性驻波，而把整个固体原子的微振动看作这些弹性驻波的叠加，每一个简正频率的弹性波的能量与同一频率简谐振子的能量是一样的。而弹性波又可分为纵波和横波，并且纵波和横波的波速均为一常数。根据这一思想，德拜从固体中原子振动的频率着手，得出固体的内能和定容热容量分别为

3/3

d 9(

)

e 1

D T

x D

T

x x

U NkT θθ=-?

（9） 4/3

2

e d 9(

)

(e 1)

D x T

V x D

T

x x

C Nk θθ=-?

（10)

其中，D

x kT T

θω=

= , D θ称为德拜频率。德拜的理论在低温区与实验符合得相当好，与实验发现的低温下热容量与T 3成正比的规律相一致，因此被称为德拜T 3

律。 问题：绘制杜隆－珀替定律、爱因斯坦模型和德拜模型的固体热容量随温度变化曲线，并讨论其在高、低温两端的性质。

1.解题分析

① 杜隆-玻替定律 113V C

y Nk

== （11）

② 爱因斯坦模型 令 E

x kT T

θω== ，可将爱因斯坦固体热容量表达式改写为 ()2

2222e e 3e 1e 1E

E

x T

V E x T

C y x Nk T θθθ??=== ?????-- ???

（12） ③ 德拜模型

令 D

x kT T

θω== ，将德拜理论中热容量的表达式 3

4/2

e d 9(e 1)D x T

V x D T x x

C Nk θθ??

= ?

-???

（13）

改写为 3

3

44/322

e d 1e d 333(e 1)(e 1)

D y y T

x

V y y D C

T y y y y

y Nk x θθ????

=== ?

?

--??

??

?

?

（14） 下面，采用数值方法计算上述积分，

2.Matlab 程序 clf %清图形窗口

x=0:0.01:1.3; %定义一个步长为0.01，x 从0到1.3 y1=1; %杜隆－珀替定律

y2=(1./x).^2.*exp(1./x)./(exp(1./x)-1).^2; %爱因斯坦模型的热容量 i=0; %以下采用循环语句计算德拜模型的数值积分 for x1=0.7692:0.5:100 %用for 语句定义一个步长为0.5，初值为0.7692，终值为100的变量 i=i+1;

a(i)=quadl('exp(y).*y.^4./(exp(y)-1).^2',0.001,x1); %德拜模型的热容量

y3(i)=a(i).*3./x1.^3; %给出y3的表达式 end %for 循环结束

x1=0.7692:0.5:100; %定义变量x1的步长为0.5，从0到100

plot(x,y1,x,y2,1./x1,y3) %用plot 函数分别作出x,y1;x,y2;x,y3坐标上的曲线

axis([0,1.3,0,1.1]), %设置坐标轴

xlabel('T/\theta'), %加x轴说明

ylabel('Cv/3Nk') %加y轴说明

从图可知，在高温端，爱因斯坦模型和德拜模型的曲线都趋近于杜隆-玻替定律，说明经典理论是量子理论的高温（或低频）近似。运行结果表明，在低温端，爱因斯坦的热容量曲线比实验曲线要平缓一些,而德拜模型的热容量在低温端随温度的变化要比爱因斯坦模型来的快，与温度的三次方成比例,因此比爱因斯坦模型更符合实验结果。

4 总结

由以上论述可以看出MATLAB计算值与实验值的误差能够满足实验的要求，达到了计算的目的，说明matlab的计算程序是有效可行的。本文得到的计算值与文献的计算值相比误差更小，并且编程简单，体现了matlab进行科学计算的优越性。由以上论述可以看出MATLAB在热物理学方面有很大的用处，方便快捷清晰形象的解决了热物理学中一些复杂的问题。在实际应用中，更多的复杂问题都可以用MATLAB方便快捷的解决，应该根据具体情况，灵活运用MATLAB工具。

目前，Matlab已经成为线性代数，自动控制理论，数字信号处理，时间序列分析，动态系统仿真，图像处理等许多课程的基本教学工具。而且利用Matlab 绘图十分方便，它既可以绘制各种图形，包括二维图形和三维图形，还可以对图形进行修饰和控制，以增强图形的表现效果。利用图形句柄操作，用户可以更可以更灵活地对其问题进行各种操作，可见Maylab将在生活的各个方面得到广泛应用，也必将发挥越来越大的作用！

5参考文献

1.石玉芳，陈静，刘跃进.MATLAB在化工模拟计算中的应用.[J] 计算机与应

用化学2005,22（9）.

2.李梦龙，王智猛，姜林，刘丽霞.化学软件及其应用. [M]化学工业出版社

2004.10.

3.钱蕙，王锡森. MATLAB在物理化学实验数据处理中的应用. [J] Journal of SuZhou Railway Teachers College 2002,19（1）.

4.李克娥，苏铁军 .MATLAB在处理化工热力学数据中的应用.重庆科技学院学报（自然科学版）.2005,7（3）.

5.李本详，董新荣，曾盔.MATLAB在化工数据及模拟参数拟合中的应用.计算机与应用化学.2007,24（9）.

6.沈春银.MATLAB在化工实验研究中的应用》.南通工学院学报（自然科学版）.2002,1（1）.