初中数学：九年级下册简介

初中数学新课程标准教材

数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 )

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数学教案 / 初中数学 / 九年级数学教案

编订：XX文讯教育机构

九年级下册简介

教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中九年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。

课程教材研究所田载今人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级下册，是本套教科书中的最后一册。这册书包括4章，约需48课时，供九年级下学期使用。具体内容如下：

第26章二次函数（约12课时）

第27章相似（约13课时）

第28章锐角三角函数（约12课时）

第29章投影与视图（约11课时）

本册书的4章内容涉及《数学课程标准》中“数与代数”“空间与图形”和“实践与综合应用”三个领域的内容，其中第26章“二次函数”和第28章“锐角三角函数”的内容，都是基本初等函数的基础知识，属于“数与代数”领域。然而，它们又分别与抛物线和直角三角形有密切关系，即这两章内容既涉及数量关系问题，又涉及图形问题，能够很好地反映数形结合的数学思想和方法。第27章“相似”的内容属于“空间与图形”领域，其内容以相

似三角形为核心，此外还包括了“位似”变换。在这一章的最后部分，安排了对初中阶段学习过的四种图形变换（平移、轴对称、旋转和位似）进行归纳以及综合运用的问题。第29章“投影与视图”也属于“空间与图形”领域，这一章是应用性较强的内容，它从“由物画图”和“由图想物”两个方面，反映平面图形与立体图形的相互转化，对于培养空间想象力能够发挥重要作用。对于“实践与综合应用”领域的内容，本套教科书除在各章的正文和习题部分注意安排适当内容之外，还采用了“课题学习”“数学活动”等编排方式加强对数学应用的体现。本册书的第29章安排了一个课题学习“制作立体模型”，并在每一章的最后安排了2～3个数学活动，通过这些课题学习和数学活动来落实与本册内容关系密切的“实践与综合应用”方面的要求。

一、内容分析

第26章二次函数

本章主要研究二次函数的概念、图象和基本性质，用二次函数观点看一元二次方程，用二次函数分析和解决简单的实际问题等。这些内容分为三节安排。

第26.1节“二次函数”首先从简单的实际问题出发，从中引发和归纳出二次函数的概念；然后由函数开始，逐步深入地、由特殊到一般地、数形结合地讨论图象和基本性质，最后安排了运用二次函数基本性质探究最大（小）值的问题。这些内容都是二次函数的基础知识，

它们为后面两节的学习打下理论基础。

第26．2节“用函数观点看一元二次方程”从一个斜抛物体（例如高尔夫球）的飞行高度问题入手，以给出二次函数的函数值反过来求自变量的值的形式，用函数观点讨论一元二次方程的根的几种不同情况，最后结合二次函数的图象（抛物线）归纳出一般性结论，并介绍了利用图象解一元二次方程的方法。这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。

第26．3节“实际问题与二次函数”安排了三个探究性问题，以商品价格、磁盘存储量和拱桥桥洞的有关问题为背景，运用二次函数分析和解决实际问题。教科书从实际问题出发，引导学生分析问题中的数量关系，建立相应的数学模型即列出函数关系式，进而利用二次函数的性质和图象研究问题的解法。通过这一节的学习可以使学生对解决实际问题的数学模型的认识再提高一步，从而提高运用数学分析问题和解决问题的能力。

本章教学结束之后，学生在已经学习了一次函数（包括正比例函数）、反比例函数和二次函数，这些都是代数函数，即解析式中只涉及代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）的函数。至此，学生对函数的认识已告一段落。本册书后面的第28章“锐角三角函数”讨论的则属于超越函数，等已超出代数运算的范围。

第27章相似

本章的主要内容包括相似图形的概念和性质，相似三角形的判定，相似三角形的应用举例和位似变换等。此前学习的全等是图形之间的一种特殊关系，而本章学习的相似是比全等更具一般性的图形之间的关系。全等可以被认为是特殊的相似（相似比为1），对于全等的认识是学习相似的重要基础。

本套教科书从第八章“全等三角形”开始，在学习要求上已进入推理证明阶段。本章的学习应在前面已有基础上一以贯之，即继续进行必要的推理证明，但要把握问题的难度，不宜证明难度较大的题目，而把证明的重点放在帮助学生理解基本定理的合理性之上。

第27.1节“图形的相似”从学生熟悉的一些实际问题说起，引出相似图形的概念，以及相似多边形的概念、性质等，使学生对相似先有一个一般性的认识。

第27.2节“相似三角形”的内容是讨论最基本的多边形──三角形的相似关系，这是认识相似关系的基础，也是本章的重点内容。教科书首先安排了证明了“过三角形一边中点且平行于另一边的直线，截出的三角形与原三角形相似”，然后将其推广到更一般的结论“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”。在此基础上，教科书安排了三个探究问题，引导学生得出相似三角形的三种主要判定方法。教科书对于其中第一个问题进行了推导证明，另两个问题的推导证明安排学生自己完成。接着，教科书通过三个例题讨论在测量中如何利用相似三角形的知识，这些例题代表了测量中的常见典型问

题。本节最后安排了相似三角形的周长和面积问题。

第27．3节“位似”讨论一种图形变换──位似变换。位似是一种特殊的相似，它的特殊性表现在“两个相似图形的对应点的连线都交于一点（位似中心）”。教科书安排了利用坐标描述位似变换的内容，这是数形结合方法的体现。本套教科书中先后共出现了四种图形变换：平移、轴对称、旋转和位似，本节最后安排了一幅包含这四种变换的图案，学生通过思考图案中的问题，可以对四种变换进行综合回顾。

第28章锐角三角函数

本章主要内容包括：锐角三角函数（正弦、余弦和正切），解直角三角形。锐角三角函数是自变量为锐角时的三角函数，即缩小了定义域的后的三角函数。解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具。相似三角形的知识是学习锐角三角函数的直接基础，勾股定理等内容也是解直角三角形时经常使用的数学结论，因此本章与第18章“勾股定理”和第27章“相似”有密切关系。

锐角三角函数是本套教科书中唯一出现过的初等超越函数，出现过的其他函数（一次函数、二次函数等）都是代数函数。锐角三角函数的一个突出特点是概念的产生和应用都与图形分不开。锐角三角函数具有鲜明的几何意义，其自变量是角，函数值是直角三角形中边长的比值。学习本章不仅可以使学生对函数概念的认识更全面，而且可以对用变化和对应的观

点讨论几何图形问题的方法认识得更深入。

第28.1节“锐角三角函数”中，教科书从沿山坡铺设水管的问题谈起，通过讨论直角三角形中直角边与斜边的比，使学生感受到锐角的大小确定后相应边的比也随之确定，而且不同的角度对应不同的比值，这种对应正是函数关系。教科书设置了“探究”栏目，让学生通过自主探究，利用相似三角形得出结论，由此引出正弦函数的概念。在此基础上，引导学生类比对正弦函数的讨论，得出余弦函数和正切函数的定义。接着教科书讨论了“已知角的大小求它的三角函数值”和“已知角的三角函数值求角”这两种问题，这样就从两个相反方向再次强调了锐角与其三角函数值之间的一一对应关系。现在计算器已经成为学习和运用三角函数的有力工具，教科书在本节最后介绍了如何使用计算器求三角函数值以及如何由三角函数值求对应的角。

第28.2节“解直角三角形”中，教科书借助实际问题背景，要求学生探讨在直角三角形中，根据两个已知条件（其中至少有一个是边）求解直角三角形，并归纳出解直角三角形常用的知识和方法。接着教科书又结合四个实际问题介绍了解直角三角形在实际中的应用，这些问题的已知条件分别属于几种不同类型，解决方法具有典型性，体现了正弦、余弦和正切这几个锐角三角函数在解决实际问题中的作用。本节最后通过对比测量大坝的高度与测量山的高度，直观形象地介绍了“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的数学基本思

想。

第29章投影与视图

本章的主要内容包括投影和视图的基础知识，一些基本几何体的三视图，简单立体图形与它的三视图的相互转化，根据三视图制作立体模型的实践活动。全章分为三节。

第29.1 节“投影”中，首先从物体在日光或灯光下的影子说起，引出投影、平行投影、中心投影、正投影等概念；然后以铁丝和正方形纸板的影子为例，讨论当直线和平面多边形与投影面成三种不同的位置关系时的正投影，归纳出其中蕴涵的正投影的一般规律；最后以正方体为例，讨论立体图形与投影面成不同位置关系时的正投影。整个讨论过程是按照一维、二维和三维的顺序发展的。

第29.2节“三视图”讨论的重点是三视图，其中包括三视图的成像原理、三视图的位置和度量规定、一些基本几何体的三视图等，最后通过6道例题讨论简单立体图形（包括相应的表面展开图）与它的三视图的相互转化。这一节是全章的重点内容，它不仅包括了有关三视图的基本概念和规律，而且包括了反映立体图形和平面图形的联系与转化的内容，与培养空间想象能力有直接的关系。

第29．3节“课题学习制作立体模型”中，安排了观察、想象、制作相结合的实践活动，这是动脑与动手并重的学习内容。进行这个课题学习既可以采用独立完成的形式，也可以采

用合作式学习的方式。应该把这个课题学习看作对前面学习的内容是否切实理解掌握以及能否灵活运用的一次联系实际的检验。

与本套教科书其他章相比较，本章内容有两个特点：第一，它与直观图形的关系密切，需要在图形形状方面进行想象和判断，要完成的题目多是识图、画图、制作模型等类型的问题，而很少涉及定量的计算。第二，它将平面图形与立体图形紧密地联系起来，从“由物画图”和“由图想物”两个角度讨论平面图形与立体图形之间的相互转化，对于培养空间想象能力具有特殊作用。

二、本书编写特点

1．加强与实际的联系，反映知识的形成背景和实践应用

数学与实际关系密切，许多数学内容都具有丰富的实际背景，数学知识被广泛地应用于实践之中。本套教科书非常注重相关数学内容与客观实际的联系，力求能够体现数学内容的来龙去脉，即反映出它们的形成背景和实践应用。这个编写特点在本册书中得到较好的落实。

编写本册书各章内容时，对于概念的引入，知识的形成过程等环节，都注意了联系实际背景，体现数学来源于实际；同时又注意了反映这些数学知识运用于实际的事例，通过解决实际问题，体现数学服务于实际。例如，第26章“二次函数”中，教科书安排了几个实际问题，通过分析实际问题中的数量关系，列出变量之间的关系式，从而引出二次函数的概念，

体现这个概念是由于客观实际的需求而产生的；这章还专门安排了第26.3节“实际问题与二次函数”，通过探究几个具有代表性的实际问题（商品价格调整、磁盘存储容量、桥洞水面宽度），突出了二次函数是分析和解决实际问题的一种数学模型。又如，第27章“相似”中，专门安排了“27.2.2 相似三角形应用举例”，以测量问题为例，体现相似形的知识在实际生活中的作用。第28章“锐角三角函数”中，从章前图到正弦函数概念的引入，教科书都设计了相关实际问题（比萨斜塔的倾斜度、铺设管线）作为知识背景。对于解直角三角形的内容，教科书安排了有载人航天飞船、热气球飞行、航海等实际背景的问题，反映了解直角三角形应用的广泛性。第29章“投影与视图”中，重视结合实际例子讨论问题，在直观认识的基础上归纳基本规律。在引出投影、平行投影、中心投影、正投影等概念时，教科书利用了在日光或灯光下物体的影子，举出皮影戏、日晷、探照灯、普通灯泡等实例；在归纳正投影规律时，教科书先后结合铁丝、正方形纸板和正方体模型的例子，讨论当它们与投影面成不同的位置关系时的正投影，归纳出其中蕴涵的一般规律；在引出三视图的概念及规律时，先从一本书的简单例子分析起，借助它由特殊到一般地展开相关内容，然后再用基本几何体和支架、钢管、密封罐等物体为例，进行进一步的讨论。这章最后的课题学习，设计了动手实践的活动，通过制作简单立体模型来加强对三视图等的理解认识。这些安排都体现了利用典型例子、借助直观、适当归纳上升的编写特点。此外，各章的习题和“数学活动”中，都选择了一定

量的反映数学内容的实际背景或实践应用的题目，这些都体现了教科书注重联系实际的特点。

2．注意揭示数学知识的本质特征和内在联系

数学是研究现实数量关系和空间形式的一门科学，数学本身存在着严密的逻辑关系，只有深刻地揭示数学知识的本质特征和各部分数学知识之间的内在联系，才能真正地理解数学，更好地利用数学分析问题、解决问题。

本册书在编写的过程中，注意揭示相关数学知识的本质特征，挖掘数学知识的内在联系。例如，第26章“二次函数”中，教科书两方面结合起来，即从数量关系的角度利用了配方法，从直观表示的角度利用了函数图象，揭示二次函数的最大值与最小值的产生原因。第26 .2节“用函数观点看一元二次方程”中，教科书利用二次函数的图象抛物线与x轴的位置关系，归纳出一元二次方程的根的三种情况。这样不仅以函数的观点俯视了前面学习的方程知识，并且体现了函数与方程的内在联系。第27章“相似”中，教科书在讨论相似三角形的判定时，着重分析两个三角形的6组对应元素（3组对应角和3组对应边）中只要哪几组满足相等或成比例的条件，其他元素就满足相似定义的要求。这样就揭示了三角形的基本元素（角和边）内在的相互联系、相互制约的关系，从本质上体现了探究相似的判定条件的基本思想，即“抓关键性的对应元素”。教科书还特别提请学生对“相似比为1”的情形进行思考，这样做的目的在于让学生认识“全等”与“相似”都是图形之间的关系，“全等”是特殊的“相似”

（相似比为1），“相似”是“全等”的延伸（相似比可以是任意正实数）。第28章“锐角三角函数”中，教科书注意揭示：直角三角形中，对于锐角的每一个确定的值，相应边的比有唯一的确定值与之对应。然后在函数的一般定义的基础上，由上述对应引出锐角三角函数的定义。这样就从实质上反映出：锐角三角函数是与图形有密切关系的一种特殊函数，其自变量是锐角，另一变量（函数）是直角三角形中相应边的比值。第29章“投影与视图”中，教科书把重点放在培养空间想象能力上，着重反映平面图形与立体图形两者的联系与转化，并揭示出这些联系与转化的基础是投影规律。

3．加强教材的探究性，引导学生自主思考

本套教科书提倡探究式学习，重视培养学生的数学思维能力，在呈现方式上留有一定的空间供学生自主探索和交流，这也是本册书的特点之一。

本册书对于其中重要的概念和结论大多安排了“观察”“思考”“讨论”“探究”“归纳”等栏目，让学生通过探索活动来认识相关内容，经历知识的“再发现”过程，发展创新思维能力。例如，第26章“二次函数”中，为使学生经过探索活动认识二次函数的图象，教科书安排了一系列的讨论，即从最简单的二次函数开始，经过对等类型的函数的讨论，最后归纳出一般二次函数的图象的形状和位置。又如，第27章“相似”中，教科书安排了三个“探究”栏目，引导学生通过“先直观实验，后逻辑证明”的方式，由感性到理性地掌握相似三

角形的三个判定定理，使学生经历一个“探究──发现──证明”的认识过程。再如，第28章“锐角三角函数”中，教科书先安排了对正弦函数的探究，得出正弦的概念后，又安排了进一步的探究，引导学生类比对正弦的认识探究其他锐角三角函数，进而得出余弦和正切的概念，使学生运用类比思维经历由此及彼的知识扩充过程。第29章“投影与视图”中，教科书特别安排了观察、想象、制作相结合的实践活动──第29．3节“课题学习制作立体模型”。这给予学生进行脑与手结合的学习的机会，。也提供了合作式学习的空间。

三、几个值得关注的问题

1．温故知新，与时俱进，加强新旧所学内容的联系，在新的高度上提高对所学知识的整体性认识

本册书是本套教科书中的最后一册，学习其中各章时应关注它们与此前已经学知识的联系，既要温故知新，又要与时俱进，在新的高度上对所学内容加以梳理，提高对所学知识的整体性认识。

第26章“二次函数”，是本套教科书继研究一次函数、反比例函数后以基本代数函数为研究对象的又一章。它的编写思路、内容结构等与前面的“一次函数”“反比例函数”有许多相似的地方，都反映了“变化与对应”的基本观点，都体现了函数是解决变量间存在单值对应关系的数学模型，都渗透了综合运用函数解析式和函数图象的数形结合研究方法。本章

的教学应注意在前面已学内容基础上学习新知识，同时应继续加深对函数的一般性认识。第27章“相似”中的27 .3节“位似”讲的是本套书中的第四种图形变换，此前先后已经学习的三种图形变换为平移、轴对称、旋转。对于这一节的教学，除要紧紧抓住相似形的相关知识外，还应在学生对图形变换已有一定认识的基础上，继续渗透图形变换的本质（即点到点的映射）的观点，将图形变换与其坐标变换联系起来，并对四种图形变换进行综述与比较。第28章“锐角三角函数”的教学中，应注意将此前学习的三角形、相似等几何知识与函数知识结合起来，认识锐角三角函数的本质，即以锐角为自变量，直角三角形中相应边的比为因变量（函数）的初等函数。第29章“投影与视图”的教学中中，应注意将重点放在培养空间想象能力上，在学生已有的有关投影和视图投影和视图投影和视图的初步感性认识（从不同方向看物体的感觉等）的基础上，适当引入投影与视图的基本概念，归纳正投影的基本规律，借助直观模型说明问题，结合实际例子讨论问题，作好由感性认识到理性认识的过渡，着重反映平面图形与立体图形两者的联系与转化，并揭示出这些联系与转化的基础是投影规律。

综上分析，本册书的教学应结合学生的实际情况，对以前所学内容进行适当复习，加强知识间的相互联系与综合，在学生已有经验的基础上进行教学，使学生的学生形成正迁移。同时应注意进行适当的归纳总结，加深和完善对初中阶段知识的整体性认识。

2．直观实验与逻辑证明相结合，适度地培养推理能力

本套教科书对于推理能力的培养有循序渐进的整体设计，即按照“说点儿理”“说理”“简单推理”“用符号表示推理”等不同层次分阶段逐步加深地安排。本册书是九年级下学期的用书，一方面，对于学生的推理能力的要求，应在前面已有高度的基础上以“一以贯之”的精神来处理，即保持已有水平并适度地使之发展。另一方面，本册书的知识内容的难度和综合性较前面几册要高，例如相似要比全等复杂，锐角三角函数要以相似三角形为基础，投影与视图不仅与平面图形相关，而且要涉及立体几何中的一些基础知识，其中包括空间中直线与直线（简称线线）、直线与平面（简称线面）、平面与平面（简称面面）的位置关系（相交、垂直和平行），因此对本册书中问题的推理要求应适度。

教学中，对本册书所有内容都完全纯粹地按照严格逻辑证明来要求是不合适的，对于某些内容可以采取直观实验与逻辑推理相结合的方式。例如，认识相似三角形的判定条件时，可以先通过画图和度量等实验手段得出猜想，然后再经过逻辑推理证明猜想，得出确切的判定条件。这种方法不是先由教科书或教师直接告诉学生结论，然后再去证明它，而是先用直观实验发现结论，在经过推理肯定结论。又如，学生学习投影与视图之前缺乏对立体几何的系统学习，而学习中又不可避免地涉及立体几何中的一些基础知识，解决这个问题的比较好的做法是重视相关内容与实际的联系，在不刻意追求对抽象概念有透彻理解的前提下，选择一些实例，利用直观的、感性的认识，使学生能结合例子了解基本空间位置关系。教学中可

以动态地展示模型，利用直观演示，比较几种不同的空间位置关系，使学生能够联系例子认识到“像……那样，就是一条直线平行（或垂直，或倾斜）于一个平面”等。需要指出，推理不完全限制在逻辑证明之中。虽然第29章“投影与视图”中内容要完成的题目多是识图、画图、制作模型等类型的问题，很少涉及定量的计算，也没有形式上的证明，但是其中许多问题需要以图形为对象进行想象和分析，判断三视图与立体图形之间的对应关系，确定立体图形各部分的相对位置关系，得出图形的整体形状等，这些都需要根据一定道理下结论，实际上包含了推理的成分。再如，在解直角三角形的学习中，虽然大量的问题是计算题，但是这些计算都是建立在对图形进行了必要的分析的基础上的，计算过程中隐含了推理。总之，本册书中多处涉及推理，教学中既要注意进一步培养学生的推理能力，使初中毕业生的数学推理水平达到应有高度，又要注意掌握推理训练的方式、数量和难度

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