麦克斯韦滚摆实验原理分析

麦克斯韦滚摆实验原理分析

麦克斯韦滚摆实验，在中学物理教学中是传统的教师演示实验。这一实验在讲述机械能守恒定律时，用来演示势能和动能可以相互转化，但总的机械能守恒。现象明显生动，对学生很有吸引力，实验器材又很简单，演示时操作也方便。由于实验原理较为复杂，超出了中学物理教学大纲，所以一般老师在演示这一实验时，都是用它来定性地说明势能与动能之间的相互转化，在忽略摆线与摆轴之间摩擦力的情况下，机械能守恒。这样做无疑是符合教学要求的。但是作为传统的演示实验，我们如果能深入地理解实验原理，将为在课堂上讲清机械能守恒这一重要规律，打下一个很好的深入理解实验的基础。本文试图应用刚体转动运动学与刚体转动动力学的有关规律分析并证明滚摆在运动过程中机械能的转化与守恒问题，以供参考。

如图1所示，一般演示用实验滚摆，是由金属摆轴与园盘式摆轮组合而成的复合刚体，并用两条摆线悬挂在演示支架上。为了计算与证明上的方便，设摆轴的质量为m，摆轮质量是摆轴质量的n倍即nm，所以摆的质量M=(n＋1)m；摆轴的半径为r，摆轮半径是摆轴半径的n′倍即R=n′r。为了证明滚摆运动过程中机械能的转化与守恒，我们首先计算出滚摆在运动过程中任意位置的质心加速度。

1．计算滚摆运动过程中质心加速度。图2为滚摆的截面图，Mg为滚摆所受的重刀，T为摆线的拉力（每条摆线的拉力为T/2，总的拉力为T）。设该时刻滚摆向下运动。由质心运动定理可列出滚摆的平动方程：

即：(n+1)mg-Mg-T=Mac

即：(n+1)mg-T=(n+1)mac (1)

由刚体的转动定律可列出滚摆的转动方程：

Tr=Ia (2)

α为滚摆的角加速度，I为滚摆的转动惯量，由于滚摆是摆轴与摆轮的结合，所以转动惯量为二者之和。其中摆轴可看做实心园柱体，摆轮可视为园盘，所以它们的转动惯量分别为：

所以滚摆的转动惯量为：

I=IR＋Ir

把(3)式代入(2)式得：

因为滚摆质心加速度αc=rα代入上式得：

把(4)式代入(1)式得：

所以：

(5)式为滚摆在向下运动过程中任意时刻质心加速度的表达式。

2．证明滚摆运动过程中势能转化为动能，但总的机械能守恒。

如图3所示，取1的位置为滚摆运动到最上端的位置，取3的位置为滚摆运动到最下端的位置（零势能位置），取2为中间某一时刻滚摆所在的位置。

(1)在位置1时，滚摆的机械能E等于该位置势能Epo与动能EKr之和：

E=EpO＋EK1

因为EK1=0，所以：

E=Epo＋0

=Mqh (6)

这是滚摆运动到最上端的势能，在数值上等于滚摇的总机械能。

(2)当滚摆由位置1运动到位置2时，滚摆的势能为Ep2则：

Ep2＝Mgh2

=Mg(h一h1)

=Mgh—Mgh1 (7)

式中Mgh1为滚摆由位置1运动到位置2时减少的势能，令为EP1：

Ep1＝Mgh1

式中Vc1为滚摆运动到位置2时的质心速度，ac1为质心加速度，把(5)式代入上式得：Ep1＝Mgh1

把(8)式代入(7)式：

Ep1=Mgh一Mgh1

在位置2时滚摆的动能EK2为平动动能与转动动能之和：

把它和(3)式都代入(10)式：

比较(8)式与(11)式得：

Ep1=EK2 (12)

它告诉我们滚摆由位置1运动到位置2时，动能的增加值恰好等于势能的减少值，也就是滚摆的势能转化为滚摆的动能。应注意，在滚摆动能的数值中增加了一项转动动能的数值。

(3)滚摆运动到位置2时总的机械能。

E=Ep2+Ek2

上式结果说明：滚摆由位置1运动到位置2时，势能减少动能增加，但总机械能在数值上保持恒定。由于位置2是任取的，所以当滚摆运动到其它位置时，同样也可以证出上述结果。

3．滚摆运动过程中能量的分配。

取滚摆运动过程中的某一位置，如位置3，比较该位置动能与总的机械能、动能中平动动能、转动动能与总的机械能的数量关系。

当滚摆运动到位置3时，势能EP3=0，所以总的机械能：

E=EK3＋EP2

=EK3

其中Vc3为滚擂运动到位置3时的质心速度，W3为刻摆轴相对抽心的角速度。这时滚摆的平动动能：

转动动能：

如果设n=10即轮的质量是轴的质量的10倍，n′=5即轮的半径是轴半径的5倍。则：

=8.1％

=91.9%

=8.8%

上述计算结果说明，当滚摆运动到位置3时，总的机械能为平动动能与转动动能之和，其中转动动能占总机械能百分之九十以上，平动动能占总机械能不到百分之十。（当然n与n′取其它数时，比例不同）能量的分配告诉我们，滚摆向下运动过程中势能转化为动能，动能主要表现为转动动能，平动动能只占总能量的一小部分。