3.4 导数的综合应用

一、填空题

1．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm ，要使体积最大，则其高为________cm. 解析设圆锥的体积为V cm 3，高为h cm ，则V ＝13π(400－h 2

)h ＝13π(400 h －h 3)，

∴V ′＝13π(400－3h 2)，由V ′＝0，得h ＝2033.

所以当h ＝203

cm 时，V 最大．

答案

203

2．设m ∈R ，若函数y ＝e x

＋2mx 有大于零的极值点，则m 的取值范围是________．解析因为函数y ＝e x ＋2mx ，有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于零的实根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图象可得－2m >1，即m <－12.

答案 m <－1

3．若函数y ＝f (x )可导，则“f ′(x )＝0有实根”是“f (x )有极值”的________．答案必要不充分条件

4．已知函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是________．

解析f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，

显然a>0，f′(x)＝3(x＋a)(x－a)，

由已知条件0

答案(0,1)

5．已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)·(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是________．

解析结合二次函数图象知，

当a>0或a<－1时，在x＝a处取得极小值，

当－1

答案(－1,0)

6．有一长为16m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.

解析设矩形的长为x m，则宽为：16－2x

＝8－x(m)

∴S矩形＝x(8－x)＝8x－x2＝－(x－4)2＋16≤16.

答案16

7．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是________．

解析令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可得极大值为f(－1)＝2，极小值为

f (1)＝－2，如图，观察得－2＜a ＜2时恰有三个不同的公共点．

答案 (－2,2)

8．一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后t 秒内列车前进的距离为S ＝27t －0.45t 2米，则列车刹车后________秒车停下来，期间列车前进了________米．

解析 S ′(t )＝27－0.9t ，由瞬时速度v (t )＝S ′(t )＝0得t ＝30(秒)，期间列车前进了S (30)＝27×30－0.45×302＝405(米)．答案 30 405

9．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，若f (x )在区间(－1,0)上单调递减，则

a 2＋

b 2的取值范围是________．

解析由题意得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(x )≤0在x ∈(－1,0)上恒成立，即3x 2＋2ax ＋b ≤0在x ∈(－1,0)上恒成立， ∴??

2a －b －3≥0，b ≤0，

∴a ，b 所满足的可行域如图中的

阴影部分所示．则点O 到直线2a －b －3＝0的距离

d ＝

，∴a 2＋b 2≥d 2＝95，

∴a 2＋b 2的取值范围为??????

95，＋∞.

答案 ????

95，＋∞

10．关于x 的方程x 3－3x 2－a ＝0有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是________．

解析 f ′(x )＝3x 2

－6x ＝3x (x －2)．令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2 当x ＜0时，f ′(x )＞0；当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.

∴当x ＝0时，f (x )取得极大值，即f (x )极大值＝f (0)＝－a ；当x ＝2时，f (x )取得极小值，即f (x )极小值＝f (2)＝－4－a . ∴??

－a ＞0

－4－a ＜0

，解得：－4＜a ＜0.

答案 (－4,0)

11．将边长为1 m 的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其

中一块是梯形，记s ＝梯形的周长2

梯形的面积

，则s 的最小值是________．

解析如图所示，设AD ＝x m(0＜x ＜1)，则DE ＝AD ＝x m ， ∴梯形的周长为x ＋2(1－x )＋1＝3－x (m)，

又S △ADE ＝

x 2(m 2

)， ∴梯形的面积为

34－3

x 2(m 2)， ∴s ＝433×x 2－6x ＋9

1－x 2(0＜x ＜1)，

∴s ′＝－83

3x －1x －3

1－x 22

，令s ′＝0得

x ＝13或3(舍去)，当x ∈?

????0，13时，s ′＜0，s 递减；当x ∈? ????

13，1时，s ′＞0，s 递增．故当x ＝13时，s 的最小值是3233.

答案 323

12．已有函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )＞0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )＜0的解集是________．

解析在(0，＋∞)上有f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)单调递增．又函数

f (x )是R 上的偶函数，所以f (1)＝f (－1)＝0.当x ＞0时，f (x )＜0，∴0＜x ＜1；当x ＜0时，图象关于y 轴对称，f (x )＞0，∴x ＜－1. 答案 (－∞，－1)∪(0,1)

13．设函数f (x )＝ax 3

－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________．

解析若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；

当x ＞0，即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1

设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝

31－2x

x 4

，

所以g (x )在区间?

????0，12上单调递增，在区间??????12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ? ??

12＝4，从而a ≥4.

当x ＜0，即x ∈[－1,0)时，同理a ≤3x 2－1

g (x )在区间[－1,0)上单调递增， ∴g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上可知a ＝4. 答案 4 二、解答题

14. 已知函数3()(0)f x ax cx d a =++≠是R 上的奇函数，当1x =时()f x 取得极值

2-.

(I)求()f x 的单调区间和极大值；

(II)证明对任意12,x x (1,1),∈-不等式12|()()|4f x f x -<恒成立. 解析 (I)由奇函数定义，应有()(),f x f x x R -=-∈.

即 33,0.ax cx d ax cx d d --+=---∴= 因此， 3(),f x ax cx =+ 2'()3.f x ax c =+

由条件 (1)2f =-为()f x 的极值，必有'(1)0,f =故

a c a c +=-??+=?

解得 1, 3.a c ==-

因此， 32()3,

'()333(1)(1),'(1)'(1)0.

f x x x f x x x x f f =-=-=+--==

当 (,1)x ∈-∞-时，'()0f x >，故()f x 在单调区间(,1)-∞-上是增函数. 当 (1,1)x ∈-时，'()0f x <，故()f x 在单调区间(1,1)-上是减函数. 当 (1,)x ∈+∞时，'()0f x >，故()f x 在单调区间(1,)+∞上是增函数. 所以，()f x 在1x =-处取得极大值，极大值为(1) 2.f -= (II)由(I)知，3()3([1,1])f x x x x =-∈-是减函数，且

()f x 在[1,1]-上的最大值(1)2,M f =-= ()f x 在[1,1]-上的最小值(1) 2.m f ==-

所以，对任意12,(1,1),x x ∈-恒有 12|()()|2(2) 4.f x f x M m -<-=--=

15．如图，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路OC ，另一侧修建一条观光大道，它的前一段OD 是以O 为顶点，x 轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段DBC 是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)? ?

???A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，x ∈[4,8]

时的图象，图象的最高点为B ? ????

5，

833，DF ⊥OC ，垂足为F . (1)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式；

(2)若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园PMFE ，问：点P 落在曲线OD 上何处时，水上乐园的面积最大？

解析 (1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，由图象知A ＝

833，ω＝2π

T ＝2π

8－5

＝π6.将B ?

????5，833代入到y ＝833·

sin ? ????

π6x ＋φ中，得5π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )．

又|φ|＜π2，所以φ＝－π3.故y ＝833sin ? ????π

x －π3.

(2)在y ＝833sin ? ????π

6x －π3中，令x ＝4，得D (4,4)，所以曲线OD 的方程为y 2

＝4x (0≤x ≤4)．

设点P ? ????t 24，t (0≤t ≤4)，则矩形PMFE 的面积为S ＝? ?

???4－t 2

4t (0≤x ≤4)．因为S ′

＝4－3t 24，由S ′＝0，得t ＝43

，

且当t ∈? ????

0，

433时，S ′＞0，则S 单调递增，当t ∈? ??

433，4时，S ′＜0，则S 单调递减；

所以当t ＝

3时，S 最大，此时点P 的坐标为? ??

??43，

433. 16．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在区间[0,1]上是增函数，在区间(－∞，0]与 [1，＋∞)上是减函数，且f ′? ????12＝3

(1)求f (x )的解析式；

(2)若在区间[0，m ](m ＞0)上恒有f (x )≤x 成立，求m 的取值范围．

解析 (1)由f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，得f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .又由f (x )在区间[0,1]上是增函数，在区间(－∞，0]与[1，＋∞)上是减函数，可知x ＝0和x ＝1是f ′(x )＝0的解，

∴???

f ′0＝0，

f ′

1＝0，

即??

c ＝0，

3a ＋2b ＋c ＝0，

解得???

c ＝0，b ＝－3

2a .

∴f ′(x )＝3ax 2－3ax .又由f ′? ????12＝32，得f ′? ????12＝3a 4

－3a 2＝3

2，∴a ＝－2，即

f (x )＝－2x 3＋3x 2.

(2)由f (x )≤x ，得－2x 3＋3x 2≤x ，即x (2x －1)(x －1)≥0， ∴0≤x ≤1

或x ≥1.

又f (x )≤x 在区间[0，m ](m ＞0)上恒成立，∴0＜m ≤1

故m 的取值范围是?

???0，12.

17．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，

D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，

E ，

F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)． (1)某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？

(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

解析设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)．由已知得a ＝2x ，h ＝

60－2x

2＝2(30－x )，0＜x ＜30.

(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2

＋1 800. 所以当x ＝15 cm 时，S 取得最大值．

(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )．由V ′＝0，得x ＝0(舍)或x ＝20.

当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也就是最大值，

此时h a ＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.

18．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；

(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3

＋x 2

f ′x ＋f(m

在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围．

解析 (1)根据题意知，f ′(x )＝a 1－x

(x ＞0)，

当a ＞0时，f (x )的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(1，＋∞)；当a ＜0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]；当a ＝0时，f (x )不是单调函数．

(2)∵f ′(2)＝－a

＝1，∴a ＝－2，

∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3. ∴g (x )＝x 3

＋? ??

m 2＋2x 2－2x ，

∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.

∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，且g ′(0)＝－2， ∴???

g ′

t ＜0，g ′

3＞0.

由题意知：对于任意的t ∈[1,2]，g ′(t )＜0恒成立，

∴???

g ′1＜0，g ′2＜0，g ′

＞0，

∴－

＜m ＜－9. 【点评】利用导数解决函数的单调性、最值、极值等问题时，主要分以下几步：,第一步：确定函数的定义域；,第二步：求函数f x 的导数f ′x ；,第三

步：求方程f ′

x ＝0的根；,第四步：利用f ′x ＝0的根和不可导点的

x 的值从小到大顺序将定义域分成若干个小开区间，并列出表格；,第五步：由f ′x 在小开区间内的正、负值判断f x 在小开区间内的单调性；,第六步：明确规范表述结论.

导数的综合应用教学设计(正式版)

导数的综合应用一、教材分析我们在复习过程中，发现学生对于导数能够运用，但在具体运用过程中，问题比较多的是如何运用导数去解决问题的手段或解决问题的途径不够宽，或解法不是很灵活。因此，我通过本堂课进一步巩固这部分内容，利于学生进一步地掌握导数知识的运用：确定单调性、求极值、求最值、求切线的斜率从而解决恒成立与不等式问题应用。二、学情分析根据教材结构与内容分析，结合高考考纲要求，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点。三、教学目标知识与技能：通过高考中涉及到导数的常见题型，在学生掌握求曲线斜率，判断函数单调性，及如何求极值，最值的基础上，总结出两种常见题型。过程与方法：通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力。通过问题的探究体会数形结合，分离变量，构造函数的数学思想。情感、态度与价值观：通过常见题型的常见解决方法，是学生认识到解决有关导数的综合问题并不复杂，从而激发学生的学习兴趣。四、教学重点、难点教学重点：利用导数判断函数单调性，极值，最值。教学难点：以导数为工具处理恒成立问题，及证明不等式。教学过程本节课教学过程主要分为：知识回顾，典例示范，知识小结，考点测评，高考赏析五个板块【知识回顾】（重在对知识的进一步理解和掌握。有利于构建知识网络，回归教材而高于教材） 1.导数定义，判断函数单调性，求极值，最值的方法。【注】由学生自己来归纳，目的是加强学生的印象。

2.课前热身：（1）已知直线 ax-by-2=0 与曲线在点（1，1）处的切线互相垂直，则 = ，（2）函数，在上的最大值和最小值分别为【注】（1）学生阅读并回顾知识要点，巩固基础。（2）导数的几何意义，考察函数的单调区间、极值、最值等性质。这是导数运用过程中最常用的。（3）注意极值不一定是最值，要考虑函数区间的开闭及单调性。【典例示范】例一：已知函数（1）求f(x)的最小值。（2）若对所有x 1都有，求实数a 的取值范围。解析：需先求出定义域【注】在求最值之前须讨论函数的定义域，利用分离变量的方法解决恒成立问题。这也是本节课的重点。【注】当某区间只有一个极大（小）值时，该值就是最大（小)值例二：已知向量若函数在区间上是增函数，求t 的取值范围。解析：由f(x)在(-1,1)上单调递增，可知恒成立，即移项有令只须求g(x)在的最大值 . 3 y x =a b 32 23125y x x x =--+[]0,3()ln f x x x =≥()1f x ax ≥-'''min 10110,11()()()()()e e e x f e e f x f x f x f ><==- 且=lnx+1,令，则x>,则00,可知g(x)在1,+单调递增，所以g(x)(1)=1,得a 1g

导数综合应用复习题

导数综合应用复习题标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]

导数综合应用复习题一、知识回顾： 1．导数与函数单调性的关系设函数()f x 在某个区间内可导，则在此区间内：（1）0)(>'x f ?)(x f ↗，)(x f ↗?()0f x '≥；（2）0)(≠'x f 时，0)(>'x f ?)(x f ↗ （单调递减也类似的结论） 2．单调区间的求解过程：已知)(x f y = （1）分析)(x f y =的定义域；（2）求导数)(x f y '='；（3）解不等式0)(>'x f ，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式0)(<'x f ，解集在定义域内的部分为减区间 3．函数极值的求解步骤：（1）分析)(x f y =的定义域；（2）求导数)(x f y '='并解方程()0f x '=；（3）判断出函数的单调性；（4）在定义域内导数为零且由增变减的地方取极大值；在定义域内导数为零且由减变增的地方取极小值。 4．函数在区间内的最值的求解步骤：利用单调性或者在求得极值的基础上再考虑端点值比较即可。二、例题解析：例1、已知函数321()13 f x x ax ax =+++ （1）若在R 上单调，求a 的取值范围。（2）问是否存在a 值，使得()f x 在[]1,1-上单调递减，若存在，请求a 的取值范围。解：先求导得2()2f x x ax a '=++ （1 ）()f x 在R 上单调且()f x '是开口向上的二次函数 ∴()0f x '≥恒成立，即0?≤ ∴2 440a a -≤，解得01a ≤≤ （2）要使得()f x 在[]1,1-上单调递减且()f x '是开口向上的二次函数 ∴()0f x '≤对[]1,1x ∈-恒成立，即()()11201120 f a a f a a '-=-+≤???'=++≤?? 解得a ∈? ∴不存在a 值，使得()f x 在[]1,1-上单调递减。例2、已知函数321()313 f x x x x =+-+， 2()2 g x x x a =-++ （1）讨论方程()f x k =（k 为常数）的实根的个数。

2020年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练

a - a (- ),( , +∞) 单调递增，在 (- （ 2020 年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练【题型归纳】题型一含参数的分类讨论例1 已知函数 f ( x ) = ax 3 - 12 x ，导函数为 f '( x) ，（1）求函数 f ( x ) 的单调区间；（2）若 f '(1)= -6, 求函数f ( x ) 在[—1，3]上的最大值和最小值。【答案】略【解析】（I ） f '( x ) = 3ax 2 - 12 = 3(ax 2 - 4) ，（下面要解不等式 3(ax 2 - 4) > 0 ，到了分类讨论的时机，分类标准是零）当 a ≤ 0时, f '( x ) < 0, f ( x )在(-∞, +∞) 单调递减；当 a > 0时,当x 变化时, f '( x ), f ( x ) 的变化如下表： x (-∞, - 2 ) 2 2 2 , ) a a 2 a ( 2 a , +∞) f '( x ) + 0 — + f ( x ) 极大值极小值此时， f ( x )在(-∞, - 2 2 6 a 2 2 , ) 单调递减； a a （II ）由 f '(1) = 3a -12 = -6, 得a = 2. 由（I ）知， f ( x )在(-1, 2) 单调递减 ,在( 2 ,3)单调递增。【易错点】搞不清分类讨论的时机，分类讨论不彻底【思维点拨】分类讨论的难度是两个， 1）分类讨论的时机，也就是何时分类讨论，先按自然的思路推理，由于参数的存在，到了不能一概而论的时候，自然地进入分类讨论阶段；（2）分类讨论的标准，要做到不重复一遗漏。还要注意一点的是，最后注意将结果进行合理的整合。题型二已知单调性求参数取值范围问题例 1 已知函数 f ( x) = 1 3 x 3 + x 2 + ax - 5 ，若函数在[1,+∞) 上是单调增函数，求 a 的取值范围

导数的综合应用题型及解法修订稿

导数的综合应用题型及解法 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】

导数的综合应用题型及解法题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 1．已知函数2)()(2=-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ；题型二：利用导数几何意义求切线方程 2．求下列直线的方程：（1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线；（2）曲线2 x y =过点P(3,5)的切线；题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 3．已知函数 ))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值；（Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 4．已知三次函数 32()f x x ax bx c =+++在1x =和1x =-时取极值，且(2)4f -=-． (1) 求函数()y f x =的表达式； (2) 求函数()y f x =的单调区间和极值； 5．设函数()()()f x x x a x b =--．（1）若()f x 的图象与直线580x y --=相切，切点横坐标为２，且()f x 在1x =处取极值，求实数,a b 的值；（2）当b=1时，试证明：不论a 取何实数，函数()f x 总有两个不同的极值点．题型四：利用导数研究函数的图象 6．如右图：是f （x ）的导函数， )(/x f 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ D ）（A ）（B ）（C ）（D ） 7．函数的图像为14313+-=x x y ( A ) x y o 4 -2 4 -2 - -x y o 4 -2 4 -2 --x y y 4 -2 4 -2 --6 6 6 6 y x -4 -2 o 4 2 2 4

导数的综合应用

导数的综合应用 ★★★高考在考什么【考题回放】 1．（06江西卷）对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1) f ' (x ) ≥0，则必有（ C ） A ． f (0)＋f (2)<2f (1) B. f (0)＋f (2) ≤2f (1) C. f (0)＋f (2) ≥2f (1) D. f (0)＋f (2) >2f (1) 解：依题意，当x ≥1时，f ' (x )≥0，函数f (x )在（1，＋∞）上是增函数；当x <1时，f ' (x )≤0，f (x )在（－∞， 1）上是减函数，故f (x )当x ＝1时取得最小值，即有f (0)≥f (1)，f (2)≥f (1)，故选C 2．（06全国II ）过点（－1，0）作抛物线y=x 2+x +1的切线，则其中一条切线为（A ）2x+y +2=0 （B ）3x-y +3=0 （C ）x+y+1=0 （D ）x-y+1=0 解：y '=2x +1，设切点坐标为(x 0,y 0)，则切线的斜率为2x 0+1，且y 0=x 02+x 0+1 于是切线方程为y -(x 02+x 0+1)=(2x 0+1)(x-x 0)，因为点（－1，0）在切线上，可解得 x 0＝0或－4，代入可验正D 正确。选D 3.（06四川卷）曲线y =4x-x 3在点(-1,-3)处的切线方程是D （A ）y=7x+4 （B ）y=7x+2 （C ）y=x-4 （D ）y=x-2 解：曲线y =4x-x 3，导数y '=4-3x 2，在点(-1,-3)处的切线的斜率为k=1，所以切线方程是y=x-2，选D. 4.（06天津卷）函数f (x )的定义域为开区间(a,b )，导函数f ' (x )在(a,b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a,b )内有极小值点（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ． 4个解析：函数f (x )的定义域为开区间(a,b )，导函数f ' (x )在(a,b )内的图象如图所示，函数f (x )在开区间(a,b )内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A. 5.（浙江卷）f (x )=x 3-3x 2+2在区间[-1,1]上的最大值是 (A)-2 (B)0 (C)2 (D)4 解：f ' (x )=3x 2-6x =3x (x -2)，令f ' (x )=0可得x ＝0或2（2舍去），当－1≤x <0时，f ' (x )>0，当0

导数综合应用复习题经典

导数综合应用复习题经典 RUSER redacted on the night of December 17,2020

导数综合应用复习题一、知识回顾： 1．导数与函数单调性的关系设函数()f x 在某个区间内可导，则在此区间内：（1）0)(>'x f ?)(x f ↗，)(x f ↗?()0f x '≥；（2）0)(≠'x f 时，0)(>'x f ?)(x f ↗ （单调递减也类似的结论） 2．单调区间的求解过程：已知)(x f y = （1）分析)(x f y =的定义域；（2）求导数)(x f y '='；（3）解不等式0)(>'x f ，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式0)(<'x f ，解集在定义域内的部分为减区间 3．函数极值的求解步骤：（1）分析)(x f y =的定义域；（2）求导数)(x f y '='并解方程()0f x '=；（3）判断出函数的单调性；（4）在定义域内导数为零且由增变减的地方取极大值；在定义域内导数为零且由减变增的地方取极小值。 4．函数在区间内的最值的求解步骤：利用单调性或者在求得极值的基础上再考虑端点值比较即可。二、例题解析：例1、已知函数321()13 f x x ax ax =+++ （1）若在R 上单调，求a 的取值范围。（2）问是否存在a 值，使得()f x 在[]1,1-上单调递减，若存在，请求a 的取值范围。解：先求导得2()2f x x ax a '=++ （1 ）()f x 在R 上单调且()f x '是开口向上的二次函数 ∴()0f x '≥恒成立，即0?≤ ∴2 440a a -≤，解得01a ≤≤ （2）要使得()f x 在[]1,1-上单调递减且()f x '是开口向上的二次函数 ∴()0f x '≤对[]1,1x ∈-恒成立，即()() 11201120f a a f a a '-=-+≤???'=++≤?? 解得a ∈? ∴不存在a 值，使得()f x 在[]1,1-上单调递减。例2、已知函数321()313 f x x x x =+-+， 2()2 g x x x a =-++ （1）讨论方程()f x k =（k 为常数）的实根的个数。（2）若对[]0,2x ∈，恒有()f x a ≥成立，求a 的取值范围。（3）若对[]0,2x ∈，恒有()()f x g x ≥成立，求a 的取值范围。（4）若对[]10,2x ∈，[]20,2x ∈，恒有()12()f x g x ≥成立，

导数综合应用

2014年12月27日导数综合组卷一．选择题（共16小题） 1．（2014?郑州一模）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）． 2．（2014?郑州模拟）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）．C D． 3．（2014?西藏一模）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（） 4．（2014?陕西）定积分（2x+e x）dx的值为（） 3 6．（2014?江西）若f（x）=x2+2f（x）dx，则f（x）dx=（） D 7．（2014?湖北）若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数： ①f（x）=sin x，g（x）=cos x； ②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1； ③f（x）=x，g（x）=x2， 3 2 ．D． 10．（2013?安徽）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3（f（x））2+2af （x）+b=0的不同实根个数是（）

11．（2013?辽宁）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（）．．．D． 13．（2009?安徽）设函数f（x）=x3+x2+tanθ，其中θ∈[0，]，则导数f′（1）的取值范围是（） [][[ 14．（2009?天津）设函数f（x）在R上的导函数为f′（x），且2f（x）+xf′（x）＞x2，下面的不等式在R内恒成 15．（2014?上海二模）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有 16．（2013?文昌模拟）设动直线x=m与函数f（x）=x3，g（x）=lnx的图象分别交于点M、N，则|MN|的最小值为．C D 二．填空题（共9小题） 17．（2014?江西）若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是_________．18．（2014?江苏模拟）各项均为正数的等比数列{a n}满足a1a7=4，a6=8，若函数f（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+a10x10的导数为f′（x），则f′（）=_________． 19．（2014?萧山区模拟）设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，若x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个解，且x0∈（a，a+1）（a∈N*），则实数a=_________． 20．（2014?沈阳二模）已知函数f（x）=x（x﹣a）（x﹣b）的导函数为f′（x），且f′（0）=4，则a2+2b2的最小值为_________． 21．（2014?孝感二模）如果f′（x）是二次函数，且f′（x）的图象开口向上，顶点坐标为（1，），那么曲线y=f （x）任一点处的切线的倾斜角α的取值范围是_________． 22．（2014?长葛市三模）设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为_________．

导数综合应用

函数的最值． 4．四个易误导数公式及两个常用的运算法则 (1)(sin x )′＝cos x . (2)(cos x )′＝－sin x . (3)(a x )′＝a x ln a (a >0，且a ≠1)． (4)(log a x )′＝1x ln a (a >0，且a ≠1)． (5)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (6)?? ??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2 (g (x )≠0). 考点一导数几何意义的应用例1 (1)过点(1,0)作曲线y ＝e x 的切线，则切线方程为________． (2)在平面直角坐标系xOy 中，设A 是曲线C 1：y ＝ax 3＋1(a >0)与曲线C 2：x 2＋y 2＝52 的一个公共点，若C 1在A 处的切线与C 2在A 处的切线互相垂直，则实数a 的值是________． (1)直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ax 2＋2＋ln x 相切于点P (1,4)，则b 的值为________． (2)若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2 处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a ＝________. 考点二利用导数研究函数的性质例2 设函数f (x )＝x 3－kx 2＋x (k ∈R )． (1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间； (2)当k <0时，求函数f (x )在[k ，－k ]上的最小值m 和最大值M .

已知a∈R，函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax. (1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)若|a|>1，求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值．考点三利用导数解决与方程、不等式有关的问题

导数的综合应用题型及解法(可编辑修改word版)

导数的综合应用题型及解法题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 x 2 处有极大值，则常数c＝ 6 ； 1.已知函数y f (x ) x(x c)2 个题型二：利用导数几何意义求切线方程 2.求下列直线的方程：（1）曲线y x 3 x 2 1在P(-1,1)处的切线；（2）曲线y x2 过点P(3,5)的切线；题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 f (x) =x3+ax 2+bx +c, 过曲线y = f (x)上的点P(1, f (1)) 的切线方程为 3.已知函数 y=3x+1 f (x)在x =-2 处有极值，求f (x) 的表达式；（Ⅰ）若函数 y =f (x) 在[－3，1]上的最大值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数 y =f (x) 在区间[－2，1]上单调递增，求实数 b 的取值范围（Ⅲ）若函数 4.已知三次函数f (x) =x3+ax2+bx +c 在x =1 和x =-1 时取极值，且f (-2) =-4 ． (1)求函数y =f (x) 的表达式； (2)求函数y =f (x) 的单调区间和极值； 5.设函数f (x) =x(x -a)(x -b) ． f(x)的图象与直线5x -y - 8 = 0 相切，切点横坐标为２，且f(x)在x = 1 处取极值，（1）若 a, b 的值；求实数 f (x) 总有两个不同的极值（2）当b=1 时，试证明：不论 a 取何实数，函数点．题型四：利用导数研究函数的图象 f / ( x) 的图象如右图所示，则 f（x）的图象只可能是（ 6.如右图：是 f（x）的导函数， D ）

3 （A ）（B ）（C ）（D ） y 1 x 3 4x 1个个个个 7. 函数 3 ( A ) 6 4 2 -4 -2 y o 2 4 -2 -4 6 4 2 x -4 -2 y o 2 4 -2 -4 x -4 6 y 6 y 4 4 2 2 y 2 4 x o x -2 -2 -2 2 4 -4 -4 8．方程 2x 3 6x 2 7 0个 (0,2)个个个个个个 ( B ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围 f (x ) = - 1 x 3 + 2ax 2 - 3a 2 x + b ,0 < a < 1. 9. 设函数 3 （1）求函数 f (x ) 的单调区间、极值. （2）若当 x ∈[a + 1, a + 2] 时，恒有| f ' (x ) |≤ a ，试确定 a 的取值范围. 2 10. 已知函数 f （x ）＝x3＋ax2＋bx ＋c 在 x ＝－ 3 与 x ＝1 时都取得极值（1）求 a 、b 的值与函数 f （x ）的单调区间（2）若对 x ∈〔－1，2〕，不等式 f （x ） 0,函数f (x ) = x 3 - ax 在[1,+∞) 上是单调函数. （1）求实数 a 的取值范围；（2）设 x 0 ≥1， f (x ) ≥1，且 f ( f (x 0 )) = x 0 ，求证： f (x 0 ) = x 0 .

导数综合应用答案

11.导数的综合应用（含答案）（高二） 1.（15理科）已知函数()1ln 1x f x x +=-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程；（Ⅱ）求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ?? >+ ?? ?；（Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ?? >+ ??? 对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值．【答案】（Ⅰ）20x y -=，（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）k 的最大值为2. 试题解析：（Ⅰ） 2 12 ()ln ,(1,1),(),(0)2,(0)011x f x x f x f f x x +''=∈-===--，曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程为20x y - =；（Ⅱ）当()01x ∈，时，()323x f x x ?? >+ ??? ，即不等式3 ()2()03x f x x -+>，对(0,1)x ?∈成立，设 33 1()ln 2()ln(1)ln(1)2()133x x x F x x x x x x +=-+=+---+-，则 4 2 2()1x F x x '=-，当()01x ∈，时，()0F x '>，故()F x 在（0，1）上为增函数，则()(0)0F x F >=，因此对(0,1)x ?∈，

3 ()2()3 x f x x >+ 成立；（Ⅲ）使()33x f x k x ?? >+ ??? 成立，()01x ∈，，等价于3 1()ln ()013x x F x k x x +=-+>-，()01x ∈，； 42 22 22()(1)11kx k F x k x x x +-'=-+=--，当[0,2]k ∈时，()0F x '≥，函数在（0，1）上位增函数，()(0)0F x F >=，符合题意；当2k >时，令4 02 ()0,(0,1)k F x x k -' == ∈， ()(0)F x F <，显然不成立，综上所述可知：k 的最大值为2. 考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论. 2．（15年理科）设函数2 ()f x x ax b =-+. （1）讨论函数(sin )22 f x ππ 在(-,)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（2）记2 0000(),(sin )(sin )f x x a x b f x f x =-+-求函数在22 ππ (-,)上的最大值D ；（3）在（2）中，取2 000,D 14 a a b z b ===- ≤求满足时的最大值。【答案】（Ⅰ）极小值为2 4 a b -；（Ⅱ）00||||D a a b b =-+-；（Ⅲ）1.

导数的综合应用公开课教案

§3.4 导数的综合应用基础知识自主学习要点梳理 1.利用导数研究函数单调性的步骤 (1)求导数 )(' x f ； (2)在函数)(x f 的定义域内解不等式)('x f >0或)(' x f <0； (3)根据(2)的结果确定函数)(x f 的单调区间 2．求可导函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域；(2)求导数 )('x f ；(3)解方程)(' x f ＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验)('x f 在)(' x f ＝0的根x 0 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么)(x f 在x 0 处取极大值，如果左负右正，那么)(x f 在x 0 处取极小值． 3．求函数f (x)在闭区间[a ，b]内的最大值与最小值 (1)确定函数 )(x f 在闭区间[a ，b]内连续、可导； (2)求函数)(x f 在开区间(a ，b)内的极值； (3)求函数)(x f 在[a,b]端点处的函数值f (a)，f (b);

(4)比较函数 )(x f 的各极值与f (a)，f (b)的大小，其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 4．利用导数解决实际生活中的优化问题 (1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式y ＝)(x f ； (2)求导数 )(' x f ，解方程)(' x f ＝0； (3)判断使)(' x f ＝0的点是极大值点还是极小值点； (4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中作答．一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点．基础自测 1．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________． 2．若 )(x f ＝x 3 ＋3ax 2 ＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为 __________________________． 3．若函数 )(x f ＝x ＋asin x 在R 上递增，则实数a 的取值范围为 4.设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )

高考数学一轮复习第三章导数及其应用第4讲导数与函数的综合应用教案理(含解析)新人教A版

高考数学一轮复习第三章导数及其应用第4讲导数与函数的综合应用教案理（含解析）新人教A版第4讲导数与函数的综合应用基础知识整合 01优化问题，一般地，对于实际1．通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为□ 问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点． 2．生活中的优化问题解决优化问题的基本思路： 3．不等式问题 (1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题． (2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题． 1．把所求问题通过构造函数，转化为可用导数解决的问题，这是用导数解决问题时常用的方法． 2．利用导数解决与方程、函数零点、不等式等问题时，常用到数形结合及转化与化归的数学思想． 1．(2019·四川南充一诊)若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为( ) A．(1,5)B．[1,5) C．(1,5]D．(－∞，1)∪(5，＋∞) 答案 A 解析由题意知f′(x)＝3x2＋2x－a＝0在区间(－1,1)内恰有一根(且在根两侧f′(x)异号)?f′(1)·f′(－1)＝(5－a)(1－a)<0?1

2．(2019·湖北襄阳模拟)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( ) A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－∞，＋∞) 答案 B 解析由f (x )>2x ＋4，得f (x )－2x －4>0.设F (x )＝f (x )－2x －4，则F ′(x )＝f ′(x )－2.因为f ′(x )>2，所以F ′(x )>0在R 上恒成立，所以F (x )在R 上单调递增，而F (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f (x )－2x －4>0等价于F (x )>F (－1)，所以x >－1.故选B. 3.若函数f (x )＝x 3 －3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．[－2,2] C ．(－∞，－1) D ．(1，＋∞) 答案 A 解析 f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0， ∴x ＝±1.三次方程f (x )＝0有3个根?f (x )极大值>0且f (x )极小值<0. ∵x ＝－1为极大值点，x ＝1为极小值点． ∴??? ?? f －1＝2＋a >0，f 1＝a －2<0， ∴－22f (1) 答案 C 解析由题设，f (x )为R 上任意可导函数，不妨设f (x )＝(x －1)2 ，则f ′(x )＝2(x －1)，满足(x －1)·f ′(x )＝2(x －1)2 ≥0，且f (0)＝1，f (1)＝0，f (2)＝1，则有f (0)＋ f (2)>2f (1)；再设f (x )＝1，则f ′(x )＝0，也满足(x －1)·f ′(x )≥0，且有f (0)＋f (2)＝2f (1)，即1＋1＝2×1. 5．(2019·贵阳模拟)若关于x 的不等式x 3 －3x 2 －9x ＋2≥m 对任意x ∈[－2,2]恒成立，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，7] B ．(－∞，－20] C ．(－∞，0] D ．[－12,7] 答案 B 解析令f (x )＝x 3 －3x 2 －9x ＋2，则f ′(x )＝3x 2 －6x －9，令f ′(x )＝0，得x ＝－1