拉格朗日乘数法应用的推广

拉格朗日乘数法应用的推广

电子科技大学2014级英才学院宁博宇败家男

摘要

在数学最优化问题中，拉格朗日乘数法（以数学家约瑟夫?路易斯?拉格朗日命名）是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。它是解决工程，经济等最优化问题的一种数学工具。本文介绍了拉格朗日乘数法，并将其进行推广，提出了在不等式约束和等式约束混合条件下的解法。

关键词：拉格朗日乘数法,条件极值。

第一章引言

在数学最优化问题中,拉格朗日乘数（以约瑟夫?路易斯?拉格朗日命名）是一种寻找变量受一个或多个条件限制的多元方程求极值的方法。这种方法将一个有n个变量与k个约束的问题转换为一个更易求解的n+k个变量的方程组，其变量不受任何约束。这种方法引入了一种新的标量未知数，即拉格朗日乘数：约束方程的梯度（gradient）的线性组合里每个向量的系数。

1.1约瑟夫?路易斯?拉格朗简介

约瑟夫?路易斯?拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，生于1736年1月25日，死于1813年4月10日），是法国籍意大利裔天文学家和数学家。拉格朗日曾经为普鲁士腓特烈大帝在柏林工作了二十年，并且被腓特烈大帝称做是“欧洲最伟大的数学家”，后来受王法国国王路易十六的邀请然后定居巴黎直至去世。拉格朗日一生才华横溢，在数学、物理和天文等领域都做出了很多重大的贡献。他的成就包括著名的拉格朗日中值定理，创立了拉格朗日力学等等。

他的主要贡献：

代数：群的阶是子集的阶的倍数，消去理论，将行列式的概念应用到非消去理论的范畴，拉格朗日插值多项式

数论：四平方和定理，证明配尔方程必存在解，证明威尔逊定理，创立二次型论，证明循环连分数均为二次无理数。

微积分：拉格朗日乘数法，中值定理。

力学：1764年，拉格朗日成功解释了为什么月球总是一面朝向地球。在1772年至1788年，他简化了经典力学中的一些公式和运算，并创建了自己的分支，称为拉格朗日力学。

天文；1772年，发现拉格朗日点。

第一章引言

在数学最优化问题中,拉格朗日乘数（以约瑟夫?路易斯?拉格朗日命名）是一种寻找变量受一个或多个条件限制的多元方程求极值的方法。这种方法将一个有n个变量与k个约束的问题转换为一个更易求解的n+k个变量的方程组，其变量不受任何约束。这种方法引入了一

种新的标量未知数，即拉格朗日乘数：约束方程的梯度（gradient ）的线性组合里每个向量的系数。

1.2拉格朗日乘数法的应用现状

拉格朗日乘数法作为微积分求限制条件的多元函数极值的一种方法，在实际问题中占有重要地位。

工程应用中人人往往会遇到许多实际问题，其中就有很多事约束最优化问题。例如工业设计中的易拉罐的外形设计，机机翼载荷转换计算，工程结构可靠度分析的一种方法和一个工程力学模型的分析计算等。拉格朗日乘数法作为求约束最优化的一种方法，在工程问题中能利用它解决上述问题。

约束最优化在经济学占有很重要的地位。例如一个消费者的选择问题可以被视为一个求效用方程在预算约束下的最大值问题。拉格朗日乘数在经济学中被解释为影子价格，设定在某种约束下，在这里即收入的边际效用。

第二章 拉格朗日乘数法的基本理论

2.1 拉格朗日乘数法简介

在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，比如，要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱，确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小. 设水箱的长、宽、高分别为 z y x ,, ， 则水箱容积 xyz V =

焊制水箱用去的钢板面积为 xy yz xz z y x S ++=)(2),,( 这实际上是求函数 ),,(z y x S 在 xyz V = 限制下的最小值问题。 这类附有条件限制的极值问题称为条件极值问题， 其一般形式是在条件 )(,,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ?

限制下，求函数 ),,,(21n x x x f 的极值

条件极值与无条件极值的区别

条件极值是限制在一个子流形上的极值，条件极值存在时无条件极值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。

例如，求马鞍面 12

2

+-=y x z 被平面 XOZ 平面所截的曲线上的最低点。请看这个问题的几何图形（x31马鞍面）

从其几何图形可以看出整个马鞍面没有极值点，但限制在马鞍面被平面 平面所截的曲线上，有极小值 1，这个极小值就称为条件极值。

2.2 条件极值点的必要条件

设在约束条件0),(=y x ?之下求函数=z ),(y x f 的极值 . 当满足约束条件

的点),(00y x 是函数),(y x f 的条件极值点 , 且在该点函数),(y x ?满足隐函数存在条件时, 由方程0),(=y x ?决定隐函数)(x g y =, 于是点0x 就是一元函数())( , x g x f z =的极限点 , 有

0)(='+=x g f f dx

dz

y x . 代入 )

,()

,()(00000y x y x x g y x ??-

=', 就有

0)

,()

,()

,(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ??,

( 以下x f 、y f 、x ?、y ?均表示相应偏导数在点),(00y x 的值 . ) 即 x f y ?—y f x ?0= , 亦即 (x f , y f ) (?y ? ,x ?-)0= .

可见向量(x f , y f )与向量(y ? , x ?-)正交. 注意到向量(x ? , y ?)也与向量(y ? , x ?-)正交, 即得向量(x f , y f )与向量(x ? , y ?)线性相关, 即存在实数λ, 使

(x f ,y f ) + λ(x ?,y ?)0=. 亦即 ??

?=+=+.

, 0y y x x f f λ?λ?

Lagrange 乘数法 :

由上述讨论可见 , 函数=z ),(y x f 在约束条件0),(=y x ?之下的条件极值点应是方程组

?

??

??==+=+.

0),(, 0),(),(, 0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ?λ?λ?

的解.

引进所谓Lagrange 函数

),(),(),,(y x y x f y x L λ?λ+=, ( 称其中的实数λ为Lagrange 乘数 )

则上述方程组即为方程组

?

??

??===.

0),,( , 0),,( , 0),,(λλλλy x L y x L y x L y x

因此，解决条件极值通常有两种方法 1）直接的方法是从方程组（１）

,

,,2,1,0),,,(21m k x x x n k ==?

中解出 m x x x ,,,21 并将其表示为

m k x x x g x n m m k k ,,2,1,),,,(21 ==++

代入 ),,,(21n x x x f 消去 m x x x ,,,21 成为变量为 n m x x ,,1 +的函数 ),,(),,,,,(),,(1111n m n m m n x x F x x g g f x x f ++== 将问题化为函数 ),,(1n m x x F + 的无条件极值问题；

2）在一般情形下，要从方程组（1）中解出 m x x x ,,,21 来是困难的，甚至是不可能的，因此上面求解方法往往是行不通的。通常采用的拉格朗日乘数法，是免去解方程组（1）的困难，将求 ),(1n x x f 的条件极值问题化为求下面拉格朗日函数 ∑=+

=m

k n k

k n m n x x x x f x x L 1

1111),,(),,(),,;,,( ?

λλλ

的稳定点问题，然后根据所讨论的实际问题的特性判断出哪些稳定点是所求的极值的。

第三章 Lagrange 乘数法的推广

目标函数

()12,,

,n A f x x x =

在约束条件

()()()1121212212,,,,,,,,,n n n n n

x x x a x x x a x x x a ???≤??

≤???

?≤

?

下的条件极值问题，这里假定()12,,,n f x x x 及()12,,,k n x x x ?，()1,2,,k n =对

每个()1,2,

,j x j n =都有偏导数。为方便我们用extre 表示极值，用restr 表示约

束条件，于是上述条件极值问题可表示为 extre ()12,,

,n A f x x x =

restr ()()()1121

212

212,,,,,

,,,,n n n n n

x x x a x x x a x x x a ???≤??

≤???

?≤

?

()1

因为()12,,,i n i x x x a ?≤等价于()12,,

,0i i n a x x x ?-≥，故令

()212,,,i i i n z a x x x ?=- ()1,2,

,i n = ()2

作函数 ()()2121212,,,,,,,,,i n m i i n i F x x x z z z z x x x a ?=+- ()1,2,

,i n =

则 ()1212,,,,,,

0i n n F x x x z z z =

将函数()12,,,n f x x x 视为()1212,,,,,,

n n x x x z z z 的函数，则极值()1可化为

extre ()12,,

,n A f x x x =

restr ()()()11212212121212,,,,,,0,,,,,,

0,,,,,,0

n n n n m n n F x x x z z z F x x x z z z F x x x z z z =??

=??

?

?=

?

()3

作辅助函数

()()()12121212121

,,

,,,,

,,

,,,

,,,,

n

n n n i i n n i x x x z z z f x x x F x x x z z z φλ==+∑

则()3的极值必要条件为

1

2

000n x x x φ

φ

φ??=?????=???????=??

? 即1212111

1

121222*********n

n n

n

n

n

n

n n n

F F F f x x x x F F F f x x x x F F F f

x x x x λλλλλλλλλ?????++++=???????????++++=?

???????

???

??++++=?????? ()4

12000n

z z z φφφ??=?????=????

???=??? 即1122202020n n z z z λλλ=??=????=? ()5

120

0m F F F =??=????=? 即 ()()()2111222212212,,,0,,,0

,,,0

n m n m m m n m z x x x a z x x x a z x x x a ????+-=?+-=??

?

?+-=? ()6 由()2有

i i

j j

F x x ???=?? ()1,2,,;1,2,

,i n j n ==

将上式代入()4()5得

1212111

1

12

1222221212000m

m

m

m

m

m

n n n n

f x x x x f x x x x f x x x x ???λλλ???λλλ???λλλ?????++++=???????????++++=????????

?????++++=?????? ()7

()()()()()()111212212212,,,0,,,0

,,,0

n n n n n n x x x a x x x a x x x a λ?λ?λ??-=?

-=??

?

?-=

? ()8 方程组()

6()7()8即为()3有极值的必要条件。记

12111122

2212n n n n n

n x x x x x x A x x x ?????????????? ?

??? ? ???? ????= ? ? ???? ? ??????

()9

增广矩阵为

121

11112_

22

2212n n n n n

n

n f x x x x f x x x x A f x

x x x ??????????????? ????? ? ?????

?????= ? ?

????? ? ???????

()10

以下分几种情况进行讨论

Ⅰ 若0A ≠且_

A 的任一n 阶子式都不为0。 由方程组()7可解出i λ

且0i λ≠()1,2,

,i n =于是方程组()8有

()()()1121212212,,

,0,,,0,,,0

n n n n n x x x a x x x a x x x a ???-=??

-=???

?-=?

()11

故极值只能在边界上取得，因而极值()1变为

extre ()12,,

,n A f x x x =

restr ()()()1121212212,,,0,,,0,,,0

n n n n n x x x a x x x a x x x a ???-=??

-=??

?

?-=?

()12

由Lagrange 乘数法可求出()12的极值

Ⅱ 若0A ≠，12,,,

0n f f

f x x x ??

???≠

??????

则方程()7有解，显然i λ不全为0，否则12

,,,

0n f f

f x x x ??

???=

??????

，与条件矛盾。 若0n i i

λ≠∏，则0i λ≠ ()1,2,,i n =极值只能在边界上取得，于是极值()1转化

为极值()12 若

1

0n

i

i λ

==∏，则12,,

,n λλλ中必有部分为0，设12,,,0r n n n λλλ≠，

1

2

,,

,0n r m m m λλλ-=，这里()1r n <<，因为

0i

r

m i

λ

≠∏由方程()8有

()()()1122121212

,,,0,,,0,,,0

r r n n n n n n n n n x x x a x x x a

x x x a ???-=??

-=???

?-=?

于是极值（1）可用下法求出： 先求 extre ()12,,

,n A f x x x =

restr ()()()112

2121212

,,,0,,,0,,,0

r r n n n n n n n n n x x x a x x x a

x x x a ???-=??

-=???

?-=? ()13

若得可能极值点()00

0012,,

,n P x x x ，在验证0P 是否满足

()()()1122121212

,,,,,,,,,n r n r

m n m m n m m n m x x x a x x x

a x x x a ???--≤??

≤???

?≤? ()14

若()00

012,,

,n P x x x 满足()14，则其亦为()1的可能极值点，若()000

012,,

,n P x x x 不

满足()14，则说明()1无极值。

Ⅲ 若210n

i i λ==∑，由方程()()68可知，可能的极值点必须满足下列三个约束条件之一。

()a ()()()1121212212,,,,,

,,,,n n n n n

x x x a x x x a x x x a ???=??

=??

?

?=

?

()b ()()()1121212212,,,,,,,,,n n n n n

x x x a x x x a x x x a ???

?

?<

?

()15

()c 为()a ，()b 的混合型

以下分别讨论

()a 说明极值只能在边界上取得，故极值()1转化极值()12

()b 说明极值只能在内部取得，把120n λλλ====代入()7中得

12

0,0,,

0n

f f f

x x x ???===??? ()16 此即为函数()12,,

,n A f x x x =在有()15确定的开区域中有极值的必要条件，若

()16解出()00

0012,,,n P x x x 在验证()00

0012,,

,n P x x x 是否满足()15，如满足则

()000012,,

,n P x x x 为极值()1在内部的可能极值点，

否则()1在内部无极值点，此时可考虑边界的情况

()c 表明约束条件一部分为等式，另一部分为不等式。此时极值转化为()13，()14

Ⅳ 若0A ≠，则()R A n <

要使()7有解A ，_

A 必须满足条件

()_r A r A ??

= ???

()17

这里()r A ，_r A ??

???

分别表示A ，_

A 的秩。

由()17可得一方程活方程组

()()()11221212,,,0,,,0,,,0

n n n n R x x x R

x x x R x x x =??

=???

?=?

()18

于是当()12,,,n x x x 满足()18，方程组()7有解()1,2,,i i n λ=

若10n

i i λ=

≠∏，则极值()1转化()12 若1

0n i i λ==∏，但21

0n

i i λ=≠∑，不妨设12,,,0r n n n λλλ≠()1r n <<，12,,

,0n r m m m λλλ-=，

极值()1可如下求得

先求 extre ()12,,,n A f x x x =

restr ()()()()()()1122

1122121212

1212,,,0

,,,0,,,0

,,,0,,,0

,,,0

r r n n n n n n n n n n n n n R x x x R x x x R x x x x x x a x x x a x x x a ???=??

=???

=??

-=??-=???

-=

? ()19 的可能极值点()00

012,,

,n P x x x ，再验证()000

012,,

,n P x x x 是否满足

()()()1122121212

,,

,,,,,,,n r n r

m n m m n m m n m x x x a x x x a x x x a ???--≤??

≤???

?≤

?

注： 方法Ⅳ适合求以下极值 extre ()12,,

,n A f x x x =

restr ()()()1121212

212,,,,,

,,,,n n m n m

x x x a x x x a x x x a ???≤??

≤???

?≤

?

()20

例1 求 extre A z =

restr 2222

260

0z x y x y z ?++-≤?+-≤? (21) 令

2222

2

2

62u z x y v z x y

=---=--

作函数()222,,,,26F x y z u v u x y z =+++- ()222,,,,G x y z u v v x y z =++- 则极值转化为

extre A z =

restr ()(),,,,0

,,,,0

F x y z u v

G x y z u v =???=?? (22)

做辅助函数()()()22222212,,,,26x y z u v z u x y z v x y z φλλ=++++-+++- 若(22)有极值，则φ必须满足

0000000

x y z u v

F G φφφφφ??=???

??=?????=?????=?????=???=?

=? 即()

()()

()()()()

121212122222222202342024102520262027260280

29x x y y u v u x y z v x y z λλλλλλλλ+=??

+=?

?+-=?

=??=?+++-=??++-=? 将 ()28，()29代入()26，()27 中得

()221620x y z λ---= ()30 ()2220z x y λ--= ()31

由()25知道 22120λλ+≠即方程()23、()24中有非零界。于是其系数行列式为零，即

22042x x y y

= ()32

即 40xy -=

当120,0λλ≠≠时，极值(21)化为

extre A z =

restr 22

22

62z x y z x y

?=--?=+? 作()()()222212,,62R x y z z x y z x y z λλ=+---++-

令0

00R x R

y

R

z

??=???

??=?

????=??? 即12121222042010x x y y λλλλλλ-+=??-+=??--=? ()33

方程组()33有解，其第一、二方程系数行列式必为零

22042x x

y y

-=-即40xy =

于是0x =或0y =因0x =，0y =不满足约束条件

22

22

62z x y z x y

?=--?=+? ()34 故,x y 不能同时为0，把0x =，0y =分别代入()34得到

02x y z =??=??=?

03x y z =??

=??=?

2z =，3z =即为可能的极值。事实上验证2z =为极小值，2z =为极大值

当120,0λλ≠=时约束条件为

22

22

620z x y x y z ?=--?+-≤? ()35 先求 extre A z =

restr 22260x y z ++-= ()36 作辅助函数

()()22,,26H x y z z x y z λ=+++-

令22000260

H x H x H

z x y z ??

=???

??=?????=???

?++-=?得22202010260x y x y z λλλ=??=?

?+=??++-=?()37 由于10λ=-≠，故0x =，0y =代入22260x y z ++-=中得到6z =于是使得()36 极值点的()00,0,6P ，而0P 恰好满足约束条件

220x y z +-≤

故()00,0,6P 为(21)的可能极值点，实际上可明显看出6z =为极大值

当120,0λλ=≠时，约束条件为2222

2600x y z x y z ?++-≤?+-=? ()38 先求 extre A z =

restr 220x y z +-= ()39

作辅助函数()()22,,S x y z z x y z λ=++-

令220000

S x

S y S

z x y z ??

=???

??=?

?????=??

?+-=?得 222020100x y x y z λλλ=??=??-=??+-=? ()40

因1λ=，故0x =，0y =，代入220x y z +-=得到0z =于是得到()39的可能极值点()00,0,0P 恰好满足约束条件22260x y z ++-≤

故()00,0,0P 为(21)的可能极值点，实际上0z =为(21)极小值点

例2 求extre 22A x y =+

restr 2222x y z R ++≤ ()0R > ()41 令22222u R x y z =-++

作函数()22222,,,P x y z u u x y z R =+++- 则极值()41转化为

extre 22A x y =+

restr (),,,0P x y z u = ()42

引进辅助函数()()2222222,,,Q x y z u x y u x y z R λ=+++++-

由00000

Q x Q y Q z Q u P ??=???

??=?????=???

??=???

=? 得0A = 若0λ≠，则极值在边界上取值，因此使0z =故代入22220x y z R ++-=得到

222x y R +=即可验证2A R =即为22A x y =+取得的极小值

此时约束条件

2222x y z R ++< 或 2222x y z R ++=

因为边界上的极值以求出，故只要求A 在内部的极值。

22A x y =+极值的必要条件为

0,0A A x y

??==?? 即20x =，20y =

因此得可能极值点为()0,0，与()43()44的结果一致，而点()0,0,z ()z R <，满足条件

2222x y z R ++<，故()0,0,z 为()41的可能极值点，实际上()0,0,z ()z R <为()

41的极小值点，此时0A =

参考文献

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