2018浙江杭州中考数学试卷(含解析)

2018年浙江杭州市初中毕业、升学考试

数学学科

（满分120分，考试时间120分钟）

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内． 1．（2018浙江杭州，1，3分） |-3|=( ) A.3 B.-3 C.

13 D. 1

3

- 【答案】D

【解析】负数的绝对值等于它的相反数,|-3|=3,故选择D 【知识点】负数的绝对值等于它的相反数 2．（2018浙江杭州，2，3分）数据1 800 000用科学计数法表示为( ) A. 6

1.8 B. 6

1.810? C. 5

1.810? D. 6

1810? 【答案】B

【解析】把大于10的数表示成10n

a ?的形式时,n 等于原数的整数位数减1,故选择B 【知识点】科学计数法 3．（2018浙江杭州，3，3分） 下列计算正确的是( ) A.

22=2 B. 22=2± C. 24=2 D. 24=2±

【答案】A

【解析】2

0a a =≥,∴B 、D 错，24=4，∴C 也错

【知识点】根式的性质 4．（2018浙江杭州，4，3分） 测试五位学生的“一分钟跳绳”的成绩，得到五个各不相同的数据，在统计时，

出现了一处错误：将最高成绩写得更高了，计算结果不受影响到的是（ ） A. 方差 B. 标准差 C.中位数 D. 平均数

【答案】C

【解析】平均数、方差、标准差与各个数据大小都有关系，而中位数只受数据排列顺序的影响，最大的更大不影响大小处中间数的位置 【知识点】数据分析 5．（2018浙江杭州，5，3分） 若线段AM ，AN 分别是△ABC 的BC 边上的高线和中线，则（ ） A. AM AN > B. AM AN ≥ C. AM AN < D. AM AN ≤ 【答案】D

【解析】AM 和AN 可以看成是直线为一定点到直线上两定点的距离，由垂线段最短，则AM AN <，再考虑特殊情况，当AB=AC 的时候AM=AN 【知识点】垂线段最短 6．（2018浙江杭州，6，3分）某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一道得+5，每答错一题得-2分，不答

的题得0分，已知圆圆这次竞赛得了60分，设圆圆答对了x 道题，答错了y 道题，则（ ） A. 20x y -= B. 20x y += C. 5260x y -= D. 5260x y +=

【答案】C

【解析】答对得分：5x 分，答错得分-2y 分，不答得分0分，共得分60分，则5260x y -=

【知识点】二元一次方程组的应用 7．（2018浙江杭州，7，3分） 一个两位数，它的十位数字是3，个位数字是抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面

分别标有数字1~6）朝上一面的数字。任意抛掷这枚骰子一次，得到的两位数是3的倍数的概率等于（ ） A.

16 B. 13 C. 12 D. 23

【答案】B

【解析】共有6种等可能：31,32,33,34,35,36；为3的倍数的有2种可能：33,36 【知识点】古典概率 8．（2018浙江杭州，8，3分） 如图，已知点P 是矩形ABCD 内一点（不含边界），设

1234,,,.PAD PBA PCB PDC θθθθ∠=∠=∠=∠=若8050O O APB CPD ∠=∠=，,则（ ）

A.

01423++)30θθθθ=（）-( B. 0

2413++)40θθθθ=（）-( C.

1234++)70θθθθ=（）-( D. 0

1234++)180θθθθ=（）+( 【答案】A

【思路分析】把矩形的内角为90°，转化为两个角的和，根据三角形的内角和，可得几个角的和，然后运用等式的性质进行加减

【解题过程】000221=180-80-=100-θθ∠，000

443=180-50-=130-θθ∠，

00001213431+=90-=103+=90-=10θθθθθθ∠∴∠∴Q Q ，，，，A 。12434321-+-=---=-=θθθθθθθθ000（）401030；

C 、

D 无法拼出21124334----θθθθθθθθ或、、；B. 02143-+-==+=40θθθθ≠000401050

【知识点】三角形的内角和为180°，矩形的内角都为90°

9．（2018浙江杭州，9，3分） 四位同学在研究函数

时，甲发现当1x =时，函数

有最小值；乙发现-1是方程2

0ax bx c ++=的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当2x =时，4y =，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ） A. B. C. D.

【答案】B

【思路分析】分别列出四个方程，假定某个是错的，则其他三个方程是对的，解出检验

【解题过程】甲：1,22

b

b -==-；乙：10b

c -+=；丙：

2243,4124ac b c b a -=-=；丁：424b c ++=； 若甲错：2

10412424

b c c b b c -+=??-=??++=?，由乙，丁得1323b c ?=????=-??，代入丙不符合，不合题意；

若乙错：2

2

412424

b c b b c =-??-=??++=?

，由甲，丁得24b c =-??=?，代入丙满足，符合题意；

若丙错：2

10424

b b

c b c =-??

-+=??++=?，由甲，丁得24b c =-??=?，代入乙不满足，不符合题意；

若丁错：22

10412

b b

c c b ?=-?

-+=??-=?

，由甲，乙得23b c =-??=-?代入丙不满足，不合题意。

【知识点】二次函数最值，二次函数与一元二次方程的关系，二元方程组的解法 10．（2018浙江杭州， 10，3分）如图，在△ABC 中，点D 在AB 边上，DE//BC ，与边AC 交于点E ，连接

BE ，记△ADE ，△BCE 的面积分别为S 1，S 2,（ ）

A. 若2AD>AB ，则3S 1>2S 2

B. 若2AD>AB ，则3S 1<2S 2

C. 若2AD2S 2

D. 若2AD

C

B

E

D

A

【答案】D

【思路分析】首先考虑极点位置，当2AD=AB 即AD=BD 时S 1，S 2的关系，然后再考虑AD>BD 时S 1，S 2的变化情况。 【解题过程】当2AD=AB 即AD=BD 时2 S 1= S 2，则3S 1<2S 2。当2ADAB 时，不确定。 【知识点】中位线及面积大小比较

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上． 11．（2018浙江杭州，11，4分） 计算：3a a -=____________. 【答案】2a

【解析】32a a a -= 【知识点】合并同类项 12．（2018浙江杭州，12，4分）如图，直线a//b ，直线c 与直线a,b 分别交于点A ，B ，若∠1=45°，则∠2=__________.

3

2

1

B A

A

B

【答案】135°

【解析】0

//,1345,218045135a b ∴∠=∠=∴∠=-=Q 【知识点】平行线的性质

13．（2018浙江杭州，13，4分）因式分解：2

()()______.a b b a ---= 【答案】(b)(1)a a b --+

【解析】2

2

()()()()(b)(1)a b b a a b a b a a b ---=-+-=--+

【知识点】因式分解 14．（2018浙江杭州，14，4分） 如图，AB 是e O 的直径，点C 是半径OA 的中点，过点C 作DE ⊥AB ，交e O

于点D ，E 两点，过点D 作直径DF ，连接AF ，则∠DFA=___________.

F

C

E

D

B

A

【答案】30°

【解析】001

==

60==302

AB DE C OA OC AC DO DOC DBA DFA ⊥∴∴∠=∴∠∠Q ，且为中点， 【知识点】垂径定理，圆的角度计算 15．（2018浙江杭州，15，4分） 某日上午,甲,乙两车先后从A 地出发沿同一条公路匀速前进前往B 地,甲车8点出发,如图是其行驶路程s （千米）随行驶时间（小时）变化的图象，乙车9点出发，若要在10点至11点之间（含10点和11点）追上甲车，则乙车的速度v （单位：千米/小时）的范围是____________.

s(千米）

t （小时）

120

3

O

【答案】6080v ≤≤

【解析】由图象得120

=

=40/)3

V km h 甲（，考虑极点情况，若在10点追上，则(108)(109)V V -=-甲乙，解得：

80/V km h =乙，同理：若在11点追上，60/V km h =乙

【知识点】一次函数的应用 16．（2018浙江杭州，16，4分）折叠矩形纸片ABCD 时，发现可以进行如下操作：①把△ADE 翻折，点A 落

在DC 边上的点F 处，折痕为DE ，点E 在AB 边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG 翻折，点C 落在直线AE 上的点H 处，折痕为DG ，点G 在BC 边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD=___________. 【答案】3323+或

【思路分析】由①得四边形AEFD 是正方形，将由③得K 型相似，然后结合勾股定理列方程求解，但要注意对点H 是落在线段AE 上还是BE 上分类讨论。

【解题过程】设AD=x 由题意：四边形AEFD 为正方形则AD=AE,由翻折：△DHG ≌△DCG ，HG=G C

（1） 当H 落在线段AE 上时

222222

122,2,K ADH BHG,33=1=1=3=

3333,3=323,323323

AD AH

AB AD BE BH BG

a EH AH a BH BG a a a RT BHG BH BG HG a a a

a a a =+∴=??∴=-∴-∴--?+=+-=+=-∴=+Q :Q 由型可得又，，，在中（）（）

解得：（舍）

（2） 当H 落在线段BE 上时222222

122,EH 11,K ADH BHG,1

=1=1=3=

11,1=3,13

AD AH

AB AD BH BH BG

a EH AH a BH BG a

a a RT BHG BH BG HG a a a

a a a =+=∴=??∴

=+∴∴+∴++?+=+-==-∴=Q :由型可得，，，在中（）（）

解得：（舍）

【知识点】正方形的性质，折叠的性质，相似，勾股定理

D

F H E G

C

B

A

G H

F

E D

C

B

A

三、解答题（本大题共7小题，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（2018浙江杭州，17，6分） 已知一艘轮船上装有100吨货物，轮船到达目的地后开始卸货，设平均卸货速度为v （单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为t （单位：小时）

（1）求v关于t的函数表达式；

（2）若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时要卸货多少吨？【思路分析】根据题意直接求出比例系数，然后代入极点求出极点值，再得出范围

【解题过程】(1)

100

(

0)

v t

t

=>

(2)0t5

<≤,当5

t=时，20

v=，1000,20,

k v

=>∴≥

Q∴平均每小时至少要卸货20吨。

【知识点】反比例函数

18．（2018浙江杭州，18，8分）某校积极参与垃圾分类活动，以班级为单位收集可回收的垃圾，下面是七年级各班一周收集的可回收垃圾的质量频数和频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）。

（1）求a的值。

（2）已知收集的可回收垃圾以0.8元/kg被回收，该年级这周收集的可回收垃圾被回收后所得的金额能否达到50元？

【思路分析】题（1）结合表格和图形可得；题（2）以每组最大值计算回收垃圾吨数和回收的最大所得金额与50元相比较

【解题过程】（1）表格和图形结合知：a=4

（2）设收集的可回收垃圾总质量为ykg，总金额为m元

由题意：2 4.5453 5.51651.5,51.50.841.241.550

y kg m

Q

元,

∴该年级这周收集的可回收垃圾被回收后所得金额不能达到50元。

【知识点】数据的统计与分析

19．（2018浙江杭州，19，8分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E，（1）求证：△BDE∽△CAD

（2）若AB=13，BC=10，求线段DE的长。

E

D C

B

A

【思路分析】题（1）AA相似；（2）等腰三角形三线合一求出BD=5，再运用子母相似得方程求出DE

【解题过程】

222221,;=,1

210,=5,RT ,135122

560

,==.

131213

AB AC ABC ACB AD BC BD CD AD BC DE AB DEB ADC ABC ACB BDE CAD BC BD BC ABD AD BD AB AD BD DE DE BDE CAD DE CA AE =∴∠=∠∴⊥⊥∴∠=∠∠=∠∴??=∴=

?+=∴=-=??∴=∴Q Q Q Q :Q Q :（）是边上中线，，，又，，又（）在中，有，即，

【知识点】相似三角形的判定和应性质应用，等腰三角形的三线合一

20．（2018浙江杭州，20，10分）设一次函数(,0)y kx b k b k =+≠是常数，的图象过A （1,3），B （-1，-1）两点

（1）求该一次函数的表达式；

（2）若点2

(22,)a a +在该一次函数图象上，求a 的值；

（3）已知点C 11(,y )x 和点D 22(x ,y )在该一次函数图象上，设1212()()m x x y y =--，判别反比例函数1

m y x

+=

的图象所在的象限，说明理由。 【思路分析】（1）待定系数法列出方程求解；（2）将点代入（1）中求出的解析式，得一元二次方程求解；（3）分别把点C 11(,y )x 和点D 22(x ,y )代入（1）中求得的解析式，然后整体相减，求出12122()y y x x -=-，从而

2122()0m x x =-≥，从而10m +>

【解题过程】（1）将A （1,3），B （-1，-1）代入函数y kx b =+得32

,11k b k k b b +==??∴?

?

-+=-=??

，21y x ∴=+ （2）将2

(22,)a a +代入21y x =+得：22(22)1a a ++=，212450,5,1a a a a ∴--=∴==-

（3）将1122(,),(,)C x y D x y 代入21y x =+，得

11212122221

,2(),m (x1x 2)(y1y 2)2(x1x 2)0,11,21y x y y x x m y x =+?∴-=-=--=-≥∴+≥?

=+? 1

m y x

+∴=

的图象在第一三象限 【知识点】待定系数法求一次函数解析式，点和函数图象的关系，解一元二次方程，反比例函数的图像与性质 21．（2018浙江杭州，21，10分） 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交

线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点E ，连接CD 。 （1）若∠A=28°，求∠ACD 的度数； （2）设BC=a ，AC=b

①线段AD 的长度是方程2

2

20x ax b +-=的一个根吗？说明理由； ②若AD=EC ，求

a

b

的值。

【思路分析】（1）先求∠B,再根据等腰三角形知识求∠BCD ，在用直角求出∠ACD ；（2）根据勾股定理表示出AB ，表再示出AD ，根据一元二次方程的解表示出2

2

20x ax b +-=的解进行对比；由AD=AE,则可得AD=12

b ，从而可列方程求解出比值 【解题过程】

000000

0000

22222222(1)90,28,62,,,180,1806259,,5928312

(2)AD =m,,,,(),20,A B A B BD BC BDC BCD B BDC BCD BDC BDC ACD A ACD BD BC a AB AD BD m a RT ABC AB BC AC m a a b m am b AD ∠+∠=∠=∴∠==∴∠=∠∠+∠+∠=-∴∠==∠=∠+∠∴∠=-===∴=+=+?=+∴+=+∴+-=∴Q Q Q Q Q 设在中，222222203=,,,,,,

3,AD =20+20,()0,

222224

33

0,b,44

x ax b AD m AD AC AE b m AC b CE AC AE m CE AD b m m b b b b b m x x ax b a b b a b a b a b +-=∴=-=-=∴=-==∴-=∴==+-=?-=-=≠∴=∴=

Q Q Q Q 长为方程的根。

（）设即，将代入得：（）

【知识点】三角形内角和，等腰三角形角度计算，勾股定理，线段转换

22．（2018浙江杭州，22，12分）设二次函数)(2

b a bx ax y +-+=（b a ,是常数，0≠a ） （1）判断该二次函数图象与x 轴交点的个数，说明理由.

（2）若该二次函数的图象经过A （-1,4），B （0，-1），C （1,1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式； （3）若0<+b a ，点P （2，m ）(m >0)在该二次函数图象上，求证：0>a .

【思路分析】（1）比较根的判别式与0的大小关系；（2）根据函数关系式特点可判断出一定过（1,0）且不经过（1,1），故代入另两点求出,a b ；（3）将P 点代入结合0<+b a ，运用等式或不等式的性质整体转换 【解题过程】

2222(1)0,44()(2)0,12211,01,1()42

,,32113

(3)(2,)42()320,0,a a ac b a a b b a x a b a b b y x x a b a P m m a b a b a b a b b a b m ≠∴-=++=+≥∴--+==-??∴∴=--?

?+==??∴=+-+=+=+++<>Q Q Q 二次函数与轴有个或个交点（）由（）可得，图像过（），则不经过（），即只可经过A ，B 两点，代入A ，B 得：在二次函数图象上，又20,0

a a ∴>>即

【知识点】二次函数图像与x 轴的交点与一元二次方程解的关系；二次函数的解析式；点与函数图象的关系

23．（2018浙江杭州，23，12分） 如图，在正方形ABCD 中，点G 在边BC 上（不与点B 、C 重合），连接AG ，

作DE ⊥AG ,于点E ，BF ⊥AG 于点F ，设k BC

BG

= （1）求证：AE =BF

（2）连接BE 、DF ，设βα=∠=∠EBF EDF ,，求证：βαtan tan k =

（3）设线段AG 与对角线BD 交于点H ， AHD ?和四边形CDHG 的面积分别为21S S 和，求

1

2

S S 的最大值. N M

H F E

B

C

A D

G

【思路分析】（1）由正方形内K 证全等；（2）转化为证：

EF EF

k DE BF

=?

，则证：BF kDE =，则证AE kDE =用相似转化为证=BG kAB =；（3）把12,s s 分别表示出来，则2

1

s s 是关于k 的二次函数，求该函数的最大值 【解题过程】

001==90==,,90,,=tan 2=,ADE GAB tan =ABCD BAD ABC AB AD BC BF AG DE AG BAF DAE BAF ABF DAE ADE BAF ADE ABF DAE

ABF DAE AE BF EF BF BF AE ABF DAE BF AE DE EF DE DE

AE BG DE AB β∴∠∠⊥⊥∴∠+∠=∠+∠=∠+∠=∴∠=∠∠=∠∴???∴????∴=?==??∴=Q Q Q :（）四边形是正方形，，，又，（），，可证：，

222

12221(3)H MN 1=,+=1,,

1+1+111,11,

21+2(1)22(1)2(1)

1111,1(21+2(1)BGH BCD BGH BG k BC

HN BG k

BGH DAH k HN HM HM HN HM AD k k

k k k k k S k S S S k k k k S S k k k k k S =??===+-∴=??=∴=-=??-=+++=??=∴=+-=--+V V V :Q 令BC=1，过点作⊥AD ，分别交AD,BC 于M ，N

可证，则又，可求出22115

)(01)

2415=.

24

k S k S +<<∴=最大当时，（）

【知识点】正方形的性质，全等三角形的判断和性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值