第6章数理统计的基本概念习题及答案
第六章 数理统计的基本概念
一.填空题
1.若n ξξξ,,,21Λ是取自正态总体),(2σμN 的样本,
则∑==n
i i n 11ξξ服从分布 )n ,(N 2
σμ .
2.样本),,,(n X X X Λ21来自总体),(~2
σμN X 则~)(22
1n S n σ
- )(1χ2-n ; ~)(n
S n X μ- _)(1-n t __。其中X 为样本均值,∑=--=n i n X X n S 122
11)(。
3.设4321X X X X ,,,是来自正态总体).(220N 的简单随机样本,
+-=221)2(X X a X 243)43(X X b -,则当=a 20
1=a 时,=b 1001=b
时,统计量X 服从2
X 分布,其自由度为 2 .
4. 设随机变量ξ与η相互独立, 且都服从正态分布(0,9)N , 而129(,,,)
x x x L 和
129(,,,)y y y L 是分别来自总体ξ和η的简单随机样本, 则统计量
~U = (9)t .
5. 设~(0,16),~(0,9),,X N Y N X Y 相互独立, 129,,,X X X L 与1216
,,,Y Y Y L 分别 为X 与Y 的一个简单随机样本,
则22
2
129222
1216
X X X Y Y Y ++++++L L 服从的分布为 (9,16).F
6. 设随机变量~(0,1)X N , 随机变量2~()Y n χ, 且随机变量X 与Y 相互独立,
令T =, 则2~T F (1,n ) 分布.
解:由T =, 得22
X T Y n =. 因为随机变量~(0,1)X N , 所以22~(1).X χ
再由随机变量X 与Y 相互独立, 根据F 分布的构造, 得22
~(1,).X T F n Y n
=
7. 设12,,,n X X X L 是总体(0,1)N 的样本, 则统计量2
2
2111n k k X n X =-∑服从的分布为
(1,1)F n - (需写出分布的自由度).
解:由~(0,1),1,2,,i X N i n =L 知22
221
2
~(1),~(1)n
k k X X n χχ=-∑, 于是
221
22211
(1)
1~(1,1)./1
1n
k
n k k k X
n X F n X n X ==-=--∑∑
8. 总体2
1234~(1,2),,,,X N X X X X 为总体X 的一个样本, 设2
122
34()()X X Z X X -=-服
从 F (1,1) 分布(说明自由度)
解:由2
12~(0,2)X X N σ+,
有2
2
~(1)χ, 又 234~(0,2)X X N σ-,
故2
2
~(1),χ
因为2
与2
独立,
所以2
123
4~(1,1).X X F X X ??
+ ?-??
9.判断下列命题的正确性:( 在圆括号内填上“ 错” 或“ 对”)
(1) 若 总 体 的 平 均 值 与 总 体 方 差 2 都 存 在 , 则 样 本 平 均 值 x 是 的 一 致 估 计。 ( 对 )
(2) 若 0≠-θθ
)?(E 则 称 $θ为 的 渐 近 无 偏 估 计 量 .( 错 )
(3) 设总体X 的期望E(X),方差D(X)均存在,21x x , 是X 的一个样本 ,
则统计量213
2
31x x +是 E(X) 的无偏估计量。 ( 对 )
(4) 若 θθθ
==)?()?(2
1
E E 且 )?()?(2
1
θθD D <则 以 $θ2估 计 较 以 )θ1估 计 有 效 。 ( 错 )
(5) 设$θn 为 的估计量,对任意 > 0,如果0=≥-∞
→}|?{|lim εθθn
n P 则称 $θn 是 的一致估计量 。 ( 对 )
(6)样本方差()
∑=--=n i i
n X X n D 1
211是总体),(~2
σμN X 中2 的无偏 估计量。()
2
1
1∑=-=n
i i X X n D *
是总体X 中2的有偏估计。 ( 对 )
10.设321X X X ,,是取自总体X 的一个样本,则下面三个均值估计量
321332123211121
4331?,1254131?,2110351?X X X u
X X X u X X X -+=++=++=μ都
是总体均值的无偏估计,其中方差越小越有效,则 2?μ 最有效.
二、选择题
1、设总体ξ服从正态分布),(2
σN N ,其中μ已知,σ未知,321,,ξξξ是取自总体ξ的一个样本,则非统计量是( D ).
A 、)(3
1
321ξξξ++ B 、μξξ221++ C 、),,m ax (321ξξξ
D 、
)(1
2322212
ξξξσ++
2、设n ξξξΛ,,21是来自正态总体),(2
σμN 的简单随机样本∑=--=n
i i n S 1
221
)(11ξξ,∑=-=n i i n S 1222)(1ξξ,∑=--=n i i n S 1223)(11μξ,∑=-=n i i n S 122
4)(1μξ,则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是( B ).
A 、
1
/1--n S μξ B 、
1
/2--n S μξ C 、
n
S /3μξ- D 、
n
S /4μ
ξ-
3、设)2,1(~2
N ξ,n ξξξK ,,21为ξ的样本,则( C ).
A 、
)1,0(~21
N -ξ
B 、
)1.0(~41
N -ξ
C 、)1,0(~/21N n -ξ
D 、
)1,0(~/21
N n
-ξ 4、设n ξξξΛ,,21是总体)1,0(~N ξ的样本,S ,ξ分别是样本的均值和样本标准差,
则有( C )
A 、)1,0(~N n ξ
B 、)1,0(~N ξ
C 、
∑=n
i i
n x 1
22)(~ξ
D 、)1(~/-n t S ξ
5.. 简 单 随 机 样 本 (X X X n 12,,Λ ,) 来 自 某 正 态 总 体,X 为 样 本 平 均 值, 则 下 述 结 论 不 成 立 的 是 ( C )。
( A ) X 与 (?)X
X i
i n
-=∑21独 立
( B )X i 与X j 独 立 ( 当 j i ≠ ) ( C )
X
i
i n
=∑1
与
X
i
i n 21
=∑ 独 立
( D )X i 与X j 2
独 立 ( 当
j i ≠)
6. 设
1n 21X , ,X ,X Λ, 来自总体2n 212
11Y ,,Y ,Y ),,(N ~X ,X Λσμ 来自总
体Y £,
),(N ~Y 222
σμ
, 且 X 与 Y 独 立。∑∑====2
1n 1
i ,i 2
n 1i ,i 1,Y n 1
Y ,X n 1X
∑∑==-=-=21
2
11
n 1
i 2,i 22n 2n 1i 2,i 12
n 1,)Y Y (n 1
S ,)X X (n 1S
则如下结论中错误的是 ( D )。 ( A ) )1,0(N ~n n )]
()Y X [(222
12
121σ+σμ-μ--=ξ-
( B )
)1n ,1n (F ~S S )
1n (n )
1n (n 212n 22n 121
22
12212
1
--?
σσ?
--=
η
( C )
)2n n (~S n S n 212222n 222
12n 112
1
-+χσ+
σ=ζ ( D )
)2n n (t ~2n n 2121-+ζ
ξ
?-+=
ρ
7. 设n X X X Λ,,21是取自总体),0(2
σN 的样本,则可以作为2σ的无偏估计量是
( A ).
A 、∑=n i i X n 12
1
B 、∑=-n i i X n 12
11 C 、∑=n
i i X n 1
1
D 、∑=-n
i i X n 1
11 8. 3、设321,,X X X 是来自母体X 的容量为3的样本,32112
1
10351?X X X ++=μ
,32121254131?X X X ++=μ
,3213216131?X X X ++=μ,则下列说法正确的是( B ). A 、321?,?,?μμμ
都是)(X E =μ的无偏估计且有效性顺序为321???μμμ>> B 、321?,?,?μμμ
都是)(X E =μ的无偏估计,且有效性从大到小的顺序为312???μμμ
>> C 、321?,?,?μμμ
都是)(X E =μ的无偏估计,且有效性从大到小的顺序为123???μμμ
>> D 、321?,?,?μμμ
不全是)(X E =μ的无偏估计,无法比
三. 计算题
1、在总体)2,30(~2N X 中随机地抽取一个容量为16的样本,求样本均值X 在 29到31之间取值的概率.
解:因)2,30(~2
N X ,故)162,30(~2N X ,即))2
1(,30(~2N X
)22
130
2()3120(<-<-=<<∴X P X P 9544.01)2(2)2()2(=-Φ=-Φ-Φ=
2、设某厂生产的灯泡的使用寿命),1000(~2σN X (单位:小时),抽取一容量 为9的样本,其均方差100=S ,问)940( 解:因2 σ未知,不能用), 1000(2 n N X σ=来解题, 而)1(~--= n t n S X T μ )8(~3t S X T μ -=∴ )()(39403940S S X P X P μ μ-<-=<∴,而1000,100==μS )940(<∴X P )8.1()100 3 )1000940((-<=?-<=T P T P )8.1(>=T P 由表查得056.0)8.1()940(=>= 3、设721,,X X X Λ为总体)5.0,0(~2 N X 的一个样本,求∑=>7 1 2)4(i i X P . 解:)5.0,0(~2 N X )1,0(~2N X i ∴ ∑∑===∴ 7 1 7 1 2 22 )7(~4)2(i i i i x X X ∑∑==≈>=>∴7 1 7 1 22025.0)164()4(i i i i X P X P 4、设总体)1,0(~N X ,从此总体中取一个容量为6的样本654321,,,,,X X X X X X , 设26542321)()(X X X X X X Y +++++=,试决定常数C ,使随机变量CY 服 从2x 分布. 解:)3,0(~321N X X X ++,)3,0(~654N X X X ++ )1,0(~3 3 21N X X X ++∴ , )1,0(~36 54N X X X ++ )2(~)3()3(226542321x X X X X X X +++++∴ 即)2(~)(31 )(31226542321x X X X X X X +++++ 3 1= ∴C 时,)2(~2 x CY 5、设随机变量T 服从)(n t 分布,求2T 的分布. 解:因为n Y X T /=,其中)1,0(~N X ,)(~2 n x Y , n Y X n Y X T /1//222 == )1(~22x X ),1(~2n F T ∴ 6. 利 用 t 分 布 性 质 计 算 分 位 数 ( 50 ) 的 近 似 值 。 ( 已 知 ~ N ( 0, 1 ) , p ( < ) = ) 解: 当 n 足 够 大 时,t 分 布 近 似 N (0,1), 当 u ~ N (0,1 ) 时 ,分 位 数 u 1- 近 似 t 1-( n ) 。 而 p { u } = 时 , = 2 , ( 50 ) 2 7. 设 ,,X ,X 21Λ X n 为 来 自 有 均 值 和 r 阶 中 心 矩 r 的 总 体 X 的 样 本,试证明()r n i r i X n E μμ=?? ????-∑=11。又此式说明总体的r 阶 矩与样本r 阶矩有什么关系 证 : ()()r n i r n i r i n i r i n X E n X n E μμμμ==-=??????-∑∑∑===11 1111 上 述 结 果 表 明 总 体 的 r 阶 矩 与 样 本 的 r 阶 矩 相 等 , 说 明 样 本 的 r 阶 中 心 矩 是 总 体 X 的 r 阶 中 心 矩 r 的 无 偏 估 计 。 8. 设总体2~(0,2)X N , 1210,,,X X X L 为来自总体X 的样本. 令 2 2 510 16i j i j Y X X ==????=+ ? ????? ∑∑. 试确定常数C , 使CY 服从2χ分布, 并指出其自由度. 解:由2~(0,2)X N , 得 ~(0,1),1,2,,10.2 i X N i =L 又1210,,,X X X L 互相独立, 故 510 16 11~(0,5),~(0,5),22i j i j X N X N ==∑∑ 10 5 ~(0,1), ~(0,1),j i X X N N ∑∑ 且二者独立. 从而有 2 2 510 2161~(2),20i j i j X X χ==?? ??????+ ? ???????? ? ∑∑ 得21 ,20 C χ= 分布的自由度为2. 9. 设124125,,,,,,X X X Y Y Y L L 与分别是来自正态(0,1)N 的总体X 与Y 的样本,4 5 2 21 1 ()()i i i i Z X X Y Y ===-+-∑∑,求EZ . 解:方法1:由 2 1 2 ()222~(1),(1)1,1n i i X X n E n n σ χχσ--∑--=-= 可得 4 2 2 1 ()~(3),i i X X χ=-∑521 )i i Y Y =-∑2~(4),347EZ χ∴=+=. 方法2: 2 211()()1,1n i i E S E X X DX n =??=-==??-?? ∑Q 2222 1212(34)34347EZ E S S ES ES ∴=+=+=+=. 10.设X Y , 是 取 自 母 体 N ( ,2 ) ,容 量 为 n 的 两 个 相 互 独 立 的 样 本 X 1 、X 2、 Λ 、 X n 及 Y 1、 Y 2、 Λ 、Y n 的 均 值 , 试 确 定 n , 使 这 两 个 样 本 均 值 之 差 超 过 的 概 率 大 约 为 。 ( 已 知 ( ) = ) 解 : 由 于 X 及 Y 均 服 从 ???? ? ?n N 2,σμ则 ??? ??-22,0~σn N Y X 要 ( )( ) 01.02)2(≈>-=>-n n Y X P Y X P σσ 即 ( ) 99.02)2(≈<-n n Y X P σ 即 ()99.0122=-Φn 即 () 995.02=Φn n 2258=.. 取 n = 14 10 06 数理统计的基本概念 知识网络图 正态总体下的四大分布统计量样本函数样本个体总体数理统计的基本概念→???? ?????????????? 主要内容 一、样本 我们把从总体中抽取的部分样品n x x x ,,,21Λ称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量,一般用n 表示。在一般情况下,总是把样本看成是n 个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量,这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时,n x x x ,,,21Λ表示n 个随机变量(样本);在具体的一次抽取之后,n x x x ,,,21Λ表示n 个具体的数值(样本值)。我们称之为样本的两重性。 二、.统计量 1.定义:称不含未知参数的样本的函数),,,(21n X X X f Λ为统计量 2.常用统计量 样本均值 .11 ∑==n i i x n x 样本方差 ∑=--=n i i x x n S 122.)(11 样本标准差 .)(111 2∑=--=n i i x x n S 样本k 阶原点矩 ∑===n i k i k k x n A 1 .,2,1,1Λ 样本k 阶中心矩 ∑==-=n i k i k k x x n B 1 .,3,2,)(1Λ μ=)(X E ,n X D 2 )(σ=, 22)(σ=S E ,221)(σn n B E -=, 其中∑=-=n i i X X n B 1 22)(1,为二阶中心矩。 三、抽样分布 1.常用统计量分布 (1)设n X X X ,,,21Λ是相互独立的随机变量,且均服从与标准正态分布)1,0(N ,则222212n n X X X X Λ++=,服从自由度为n 的-2χ分布,记为()n 2~χχ. (2)设()()n Y N X 2~,1,0~χ,且X 与Y 相互独立,则.n Y X T =服从自由度为n 的-t 分 布,记为()n t T ~. (3)设X 与Y 相互独立,分别服从自由度为1n 和2n 的-2χ分布,则1 22 1n n Y X n Y n X F ?==。服从自由度为()21,n n 的-F 分布,记为()21,~n n F F 2.正态总体场合 设n X X X ,,,21Λ是从正态总体()2,σμN 中抽取的一个样本,记 ()2 1211,1∑∑==-==n i i n n i i X X n S X n X ,则 (1);,~2??? ? ??n N X σμ (2)X 与2 n S 相互独立. (3)()()1~1222 --n S n χσ;或()1~)(2212 --∑=n X X n i i χσ ---------------------------------------- 说明:本试卷总计100分,全试卷共 5 页,完成答卷时间2小时。 ---------------------------------------- 一、填空题(本大题共8小题,每题4分,共32分) 1、随机事件A 、B 互不相容,且A =B ;则()P A = 2、已知,10/1)/(,5/1)(,5/2)(===B A P B P A P 则=+)(B A P 3、同时掷三枚均匀硬币,则恰有两枚正面向上的概率为 。 4、若随机变量)2.0,20(~B X ,则X 的最可能值是 。 5、若n X X X ,...,,21为来自泊松分布)(λP 的一个样本,2,S X 分别为样本均值和样本方差,则 =)(X E ,=)(2S E 。 6、样本0,5,10,-3样本均数为 ,样本方差为 。 7、2σ已知时检验假设0100:;:μμμμ≠=H H ,应构造统计量为 ,拒绝域为 。 8、考查4个3水平的因子A,B,C,D 及其交互作用A ×B 与A ×C ,则做正交实验设计时,可选用的行数最少的正交表为 。 二、单项选择题(本大题共8小题,每题4分,共32分) 1、设随机事件A 、B 互不相容,且()0,()0,P A P B >>则下列结论只有( ) 成立。 A 、A 、 B 是对立事件; B 、A 、B 互不相容; C 、A 、B 不独立; D 、 A 、 B 相互独立。 2、射击三次,事件i A 表示第i 次命中目标(i =1,2,3),下列说法正确的是( )。 A 、321A A A 表示三次都没击中目标; B 、313221A A A A A A ++表示恰有两次击中目标; C 、313221A A A A A A ++表示至多一次没击中目标;D 、321A A A 表示至少有一次没击中目标。 3、随机变量),(~2σμN X ,则随着σ的减小,)|(|σμ<-X P 应( )。 A 、单调增大; B 、单调减少; C 、保持不变; D 、增减不能确定 《概率与数理统计》 第一章 随机事件与概率 典型例题 一、利用概率的性质、事件间的关系和运算律进行求解 1.设,,A B C 为三个事件,且()0.9,()0.97P A B P A B C ==U U U ,则()________.P AB C -= 2.设,A B 为两个任意事件,证明:1|()()()|.4 P AB P A P B -≤ 二、古典概型与几何概型的概率计算 1.袋中有a 个红球,b 个白球,现从袋中每次任取一球,取后不放回,试求第k 次 取到红球的概率.(a a b +) 2.从数字1,2,,9L 中可重复地任取n 次,试求所取的n 个数的乘积能被10整除的 概率.(58419n n n n +--) 3.50只铆钉随机地取来用在10个部件上,其中有3个铆钉强度太弱,每个部件用3只铆钉,若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太 弱,从而成为不合格品,试求10个部件都是合格品的概率.(19591960 ) 4.掷n 颗骰子,求出现最大的点数为5的概率. 5.(配对问题)某人写了n 封信给不同的n 个人,并在n 个信封上写好了各人的地址,现在每个信封里随意地塞进一封信,试求至少有一封信放对了信封的概率. (01(1)! n k k k =-∑) 6.在线段AD上任取两点,B C,在,B C处折断而得三条线段,求“这三条线段能构成三角形”的概率.(0.25) 7.从(0,1)中任取两个数,试求这两个数之和小于1,且其积小于 3 16 的概率. (13 ln3 416 +) 三、事件独立性 1.设事件A与B独立,且两个事件仅发生一个的概率都是 3 16 ,试求() P A. 2.甲、乙两人轮流投篮,甲先投,且甲每轮只投一次,而乙每轮可投两次,先投 中者为胜.已知甲、乙每次投篮的命中率分别为p和1 3 .(1)求甲取胜的概率; (2)p求何值时,甲、乙两人的胜负概率相同?( 95 ; 5414 p p p = + ) 四、条件概率与积事件概率的计算 1.已知10件产品中有2件次品,现从中取产品两次,每次取一件,去后不放回,求下列事件的概率:(1)两次均取到正品;(2)在第一次取到正品的条件下第二次取到正品;(3)第二次取到正品;(4)两次中恰有一次取到正品;(5)两次中 至少有一次取到正品.(28741644 ;;;; 45954545 ) 2.某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号,假设拨过了的数字不再重复,试求下列事件的概率:(1)拨号不超过3次而接通电话;(2)第3次拨号才接通电话.(0.3;0.1) 五、全概率公式和贝叶斯公式概型 1.假设有两箱同种零件:第一箱内装50件,其中10件为一等品;第二箱内装30件,其中18件为一等品,现从两箱中随意挑选出一箱,然后从该箱中先后随机取出两个零件(取出的零件均不放回),试求:(1)先取出的零件是一等品的概率;(2)在先取出的零件是一等品的条件下,第二次取出的零件仍然是一等品 的概率.(2690 ; 51421 ) 2.有100个零件,其中90个一等品,10个二等品,随机地取2个,安装在一台设备上,若2个零件中有i个(0,1,2 i=)二等品,则该设备的使用寿命服从参 数理统计考试试卷 一、填空题(本题15分,每题3分) 1、总体得容量分别为10,15得两独立样本均值差________; 2、设为取自总体得一个样本,若已知,则=________; 3、设总体,若与均未知,为样本容量,总体均值得置信水平为得置信区间为,则得值为________; 4、设为取自总体得一个样本,对于给定得显著性水平,已知关于检验得拒绝域为2≤,则相应得 备择假设为________; 5、设总体,已知,在显著性水平0、05下,检验假设,,拒绝域就是________。 1、; 2、0、01; 3、; 4、; 5、。 二、选择题(本题15分,每题3分) 1、设就是取自总体得一个样本,就是未知参数,以下函数就是统计量得为( )。 (A) (B) (C) (D) 2、设为取自总体得样本,为样本均值,,则服从自由度为得分布得统计量为( )。 (A) (B) (C) (D) 3、设就是来自总体得样本,存在, , 则( )。 (A)就是得矩估计(B)就是得极大似然估计 (C)就是得无偏估计与相合估计(D)作为得估计其优良性与分布有关 4、设总体相互独立,样本容量分别为,样本方差分别为,在显著性水平下,检验得拒绝域为( )。 (A) (B) (C) (D) 5、设总体,已知,未知,就是来自总体得样本观察值,已知得置信水平为0、95得置信区间为(4、71,5、69),则取显著性水平时,检验假设得结果就是( )。 (A)不能确定(B)接受(C)拒绝(D)条件不足无法检验 1、B; 2、D; 3、C; 4、A; 5、B、 三、(本题14分) 设随机变量X得概率密度为:,其中未知 参数,就是来自得样本,求(1)得矩估计;(2)得极大似然估计。 解:(1) , 令,得为参数得矩估计量。 (2)似然函数为:, 而就是得单调减少函数,所以得极大似然估计量为。 四、(本题14分)设总体,且就是样本观察值,样本方差, 《数理统计》例题 1.设总体X 的概率密度函数为: 2 2 1)(ββ x e x f -= )0(>β 试用矩法和极大似然法估计其中的未知参数β。 解:(1)矩法 由于EX 为0, πβββββ βββββββ2 00 2 2 2 22 2 1][) ()2 (2) ()2(21 2)(2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = +-=- =- - ===???? ?∞ +-∞+- ∞ +- - ∞ +- ∞ ++∞ ∞ -dx e xe e d x x d xe dx e x dx x f x EX x x x x x πβ2 222 1= -=X E EX DX 令2S DX =得:S π β2 ?= (2)极大似然法 ∑= ==- =- ∏ n i i i x n n i x e e L 1 2 22 2 1 11 1 β ββ β ∑=- -=n i i x n L 1 22 1 ln ln ββ 2 31 ln 2n i i d L n x d βββ==-+∑ 令0ln =β d L d 得∑==n i i x n 1 2 2?β 2. 设总体X 的概率密度函数为: ?? ???<≥--=αα βαββαφx x x x ,0),/)(exp(1 ),;( 其中β>0,现从总体X 中抽取一组样本,其观测值为(2.21,2.23,2.25,2.16,2.14,2.25,2.22,2.12,2.05,2.13)。试分别用矩法和极大似然法估计其未知参数βα和。 解:(1)矩法 经统计得:063.0,176.2==S X β αβαβ φα β α α β ααβ α β α α β α α +=-=+-=-===∞ +-- ∞ +-- ∞ +-- -- ∞ +-- ∞ +∞ +∞-?? ? ?x x x x x e dx e xe e xd dx e x dx x x EX ][) (1 )( ) (222][) (1 222 22 2βαβαβαβ β α α αβ α β α α β α α ++=+=+-=-==--∞ +∞ +-- --∞ +-- ∞ +?? ?EX dx e x e x e d x dx e x EX x x x x 222)(β=-=EX EX DX 令???==2S DX X EX 即???==+2 2S X ββα 故063.0?,116.2?===-=S S X βα (2)极大似然法 ) (1 1 1),;(αβ β α β β βα---- == =∏X n n X n i e e x L i )(ln ln αβ β-- -=X n n L )(ln ,0ln 2αβ βββα-+-=??>=??X n n L n L 因为lnL 是L 的增函数,又12,,,n X X X α≥L 所以05.2?)1(==X α 第五章 大数定律与中心极限定理 一、 典型题解 例1设随机变量X 的数学期望()(){}2,3E X u D X X u σσ==-≥方差,求P 的大小区间。 解 令3εσ=,则有切比雪夫不等式有: ()() ()22 221 ,339D X P X E X P X E X σεσεσ????-≥≤ -≥≤=????有 例2在n 次独立试验中,设事件A 在第i 次试验中发生的概率为()1,2,....i p i n = 试证明:A 发生的频率稳定于概率的平均值。 证 设X 表示n 次试验中A 发生的次数,引入新的随机变量0i A X A ?=??1,发生? ,不发生 ()12,...i n =, ,则X 服从()01-分布,故 ()()(),1i i i i i i i E X p D X p p p q ==-=, 又因为 () ()2 2 4140i i i i i i i i p q p q p q p q -=+-=-≥, 所以 ()()1 1,2, (4) i i i D X p q i n =≤ = 由切比雪夫大数定理,对,o ε?>有()11lim 1n i i n i p X E X n ε→∞ =?? -<=???????? ∑ 即 11lim 1n i n i X p p n n ε→∞ =?? -<=???? ∑ 例 3 对于一个学生而言,来参加家长会的家长人数是一个随机变量,设一个学 生无家长,1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为。若学校共有400名学生,设各学生参加会议的家长数相互独立,且服从同一分布。(1)求参加会议的家长数X 超过450的概率;(2)求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。 解(1)以()400,,2,1 =k X k 记第k 个学生来参加会议的家长数,则k X 的分布律为 k X 0 1 2 k P 0.05 0.8 0.15 创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题(每空3分,共45分) 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学,求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率: ;没有任何人的生日在同一个月份的概率 ; 4、已知随机变量X 的密度函数为:, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? =≤?≥? , 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率 {0.51}P X -<<= ; 5、设随机变量X~ B(2,p)、Y~ B(1,p),若{1}5/9P X ≥=,则p = ,若X 与Y 独立,则Z=max(X,Y)的分布律: ; 6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与 Y 相互独立,则 D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y , X)= ; 7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本,则当k = 时, ~(3)Y t = ; 8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数,12,,,n X X X 为其样本, 1 1n i i X X n ==∑为样本均值,则θ的矩估计量为: 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ,计算得样本观察值10x =, 求参数a 的置信度为95%的置信区间: ; 二、 计算题(35分) 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为: 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求:1){|21|2}P X -<;2)2 Y X =的密度函数()Y y ?;3)(21)E X -; 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<=? ?其他 1) 求边缘密度函数(),()X Y x y ??; 2) 问X 与Y 是否独立?是否相关? 3) 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ?; 3、(11分)设总体X 的概率密度函数为: 1, 0(),000 x e x x x θ?θθ -?≥?=>?? X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。 1)求参数θ的极大似然估计量?θ ; 2)验证估计量?θ 是否是参数θ的无偏估计量。 2.(10分)环境保护条例,在排放的工业废水中,某有害物质不得超过0.5‰,假定有害物质含量X 服从正态分布。现在取5份水样,测定该有害物质含量,得如下数据: 0.530‰,0.542‰,0.510‰,0.495‰,0.515‰ 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定(0.05α=)? 数理统计 一、填空题 1.设n X X X ,,21为母体X 的一个子样,如果),,(21n X X X g , 则称),,(21n X X X g 为统计量。 2.设母体 ),,(~2 N X 已知,则在求均值 的区间估计时,使用的随机变量为 3.设母体X 服从方差为1的正态分布,根据来自母体的容量为100的子样,测得子样均值为5,则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。 4.假设检验的统计思想是 。 小概率事件在一次试验中不会发生 5.某产品以往废品率不高于5%,今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%, 此问题的原假设为 。 6.某地区的年降雨量),(~2 N X ,现对其年降雨量连续进行5次观察,得数据为: (单位:mm) 587 672 701 640 650 ,则2 的矩估计值为 。 7.设两个相互独立的子样2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取自正态母体)2,1(2 N 与 )1,2(N , 22 21,S S 分别是两个子样的方差,令2 2222121)(,S b a aS ,已知)4(~),20(~22 2221 ,则__________, b a 。 8.假设随机变量)(~n t X ,则 2 1 X 服从分布 。 9.假设随机变量),10(~t X 已知05.0)(2 X P ,则____ 。 10.设子样1621,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N , X 为子样均值,而 01.0)( X P , 则____ 11.假设子样1621,,,X X X 来自正态母体),(2 N ,令 16 11 10 1 43 i i i i X X Y ,则Y 的 分布 第七章 假设检验 三、典型题解 例1:某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布.当机器正常时, 其均值为0.5千克, 标准差为0.015千克.某日开工后为检验包装机是否正常, 随机地抽取它所包装的糖9袋, 称得净重为(千克): 0.498 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512, 问机器是否正常? 解: 根据样本值判断5.05.0≠=μμ还是.提出两个对立假设 0100:5.0:μμμμ≠==H H 和 选择统计量:)1,0(~/0 N n X Z σμ-= 取定0.05a =,则/20.025 1.96,z z a ==又已知 9, 0.015, n s ==由样本计算得0.511x =, 2.2 1.96=>,于是拒绝假设 0H , 认为包装机工作不正常. 例2:某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服从正态分布),(2 σμN , s cm s cm /2,/40==σμ,现用新方法生产了一批推进器,从中随机取25n =只,测得燃 烧率的样本均值为s cm x /25.41=.设在新方法下总体均方差仍为s cm /2,问这批推进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃烧率有显著的提高?(取显著性水平05.0=α) 解:根据题意需要检验假设 00 :40H m m ?(即假设新方法没有提高了燃烧率), 10 :H m m >(即假设新方法提高了燃烧率), 这是右边检验问题,拒绝域为 0.05 1.645x z z = ?,由 3.125 1.645 x z = =>可得z 值落到拒绝域中故在显著性水平0.05 a =下拒绝0 H . 即认为这批推进器的燃烧率较以往有显著提高. 例3:某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的平均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今 概率论与数理统计试题 与答案 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】数理统计的基本概念知识点
《数理统计》试卷及答案
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