华师版初中数学八年级上学期半期考试题 (提高卷,含解析)

华师版初中数学八年级上学期半期考试

提高卷

（全卷满分60分；考试时间60分钟）

一、填空题：（每题3分，共30分）

1、|a |=4，2b =3，且a+b ＜0，则a -b = .

2

、a ，小数部分为b ，则

+a )b = . 3 、已知a+b =5，ab =6，则a 2+b 2 = ，a 4+b 4 = .

4、已知：a 2-2ab +2b 2+4a +8=0, 则a 2b -2ab 2+b 3-

a

2b ) = .

5、已知x 2-6x -1 = x 2-6x +9-10 =(x -3)2-10，仿照上述方法将x 2+4x -3化成(x +m )2+k 的 形式，则m = ，k = .

6、在Rt △ABC 中，∠C=90o ，周长为60cm ，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三

角形最长边的中线是 ，三角形面积是 .

7、如图，一圆柱高8cm ，底面半径2cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点B

要爬行的最短路程是 . (π取3.14；1017

1034384 )

8、如右图1，在四边形ABCD 中，AB =AD =8cm ，

∠A =60o ，∠D =150o ，四边形的周长为32cm ， 则四边形ABCD 的面积为 cm 2.

9、如右图2，在△ABC 中，BC=9，AB=17，

AC=10，AD ⊥BC ，则AD 的长为 .

10、在△ABC 中，AB = AC = 1，BC 边上有2020个不同的点P i , 记m i =AP i 2+BP i ·CP i (i=1，2，3，...，2020)，则 m 1+m 2+m 3+...+m 2020= .

二、解答下列各题(11题6分，其余每题8分，共30分)

11、如图：在Rt △ABC 中，∠C=90o ，AC=4，BC=3, 在Rt △ABC 的外部拼接一个合适的 直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，如图（1）所示，请在两个备用图中分别 画出与示例不同的拼接方法，并在图中标明拼接的直角三角形的三边长度。

图（1） 备用图 A

B D

B

C

D

i A 4 C 4

B 3

A 4 C

B 3

A 4 C

B 3

12、已知：在△ABC 中，AB = AC = 6， （1）若P 是BC 边上任意一点，如图（1），求：PC ·PB+PA 2的值； （2）若D 是CB 延长线上任意一点，如图（2），求证：AD 2-AB 2=BD·CD.

图（1） 图（2）

13、在△ABC 中，AB=15，AC=13，BC 边上的高AD=12， 求BC 长和S △ABC .

14、（1）已知二次三项式ax 2-b x +4与x 2-2x 的积不含x 3项，也不含x 2项，

求a 、b 的值．

（2）若对任何x 的值，永远有3x 2+2x +4=a (x +1)(x -2)+b (x -1)-c ，

求a 、b 、c 的值．

A

D B C

A

B P C

八年级上学期半期考试B 卷解答参考

1、|a |=4，2b =3，且a+b ＜0，则a -b = - 1或- 7 . 解析：由|a |=4得a =±4，由2b =3得b =±3，又a+b ＜0，

则a =-4，b =±3，故a -b =-4-3=-7或a -b =-4-(-3)=-1. 2

a ，小数部分为

b ，则

+a )b = 1 .

解析：由4＜5＜9得2

＜＜3，得a =2，则b

-2，

故

a )b

-2) =5-4=1.

3 、已知a+b =5，ab =6，则a 2+b 2 = 13 ，a 4+b

4 = 97 . 解析：由(a+b )2 =a 2+b 2+ 2ab 得a 2+b 2 =(a+b )2-2ab =

5 2-2×6=13， 再由(a 2+b 2)2 =a 4+b 4+ 2a 2b 2得a 4+b 4 =(a 2+b 2)2 -2a 2b 2=132-2×62=97. 4、已知：a 2-2ab +2b 2+4a +8=0, 则a 2b -2ab 2+b 3-

a

2b ) = - 7 . 解析：由a 2-2ab +2b 2+4a +8=0得2a 2-4ab +4b 2+8a +16=0，

变形得(a 2-4ab +4b 2)+(a 2+4a +8)=0，即(a -2b )2+(a +4)2=0，解得a =-4，b =-2. 故a 2b -2ab 2+b 3-

a

2b ) =b (a 2-2ab +b 2)-

a

2b ) =b (a -b )2-

-2)(-2)2-(15-16)=-8+1=-7.

5、已知x 2-6x -1 = x 2-6x +9-10 =(x -3)2-10，仿照上述方法将x 2+4x -3化成(x +m )2+k 的 形式，则m = 2 ，k = - 7 .

解析：由x 2+4x -3 = x 2+4x +4-7 =(x +2)2-7=(x +m )2+k ，得m =2，k =-7.

6、在Rt △ABC 中，∠C=90o ，周长为60cm ，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三 角形最长边的中线是 6.5cm ，三角形面积是 30cm 2 .

解析：由题意，设斜边为13a ，一直角边为5a ，则由勾股定理得另一直角边为12a . 根据周长得5a+12a+13a=60÷2=30cm ，解得a=1cm ，

则三边长分别为5cm 、12cm 、13cm ，

故这个三角形斜边的中线是13÷2=6.5cm ，面积是5×12÷2=30cm 2. 7、如图，一圆柱高8cm ，底面半径2cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点B

要爬行的最短路程是 10.17cm . (π取3.14；10171034384≈) 解析：如图，蚂蚁从点A 出发沿着展开图中AB 方向到点B 为最短路线， AC 为底面圆的半周长，为28.6214.3=?cm.

根据勾股定理，得AB=17.104384.10328.6822≈=+cm.

A

B

C

8、如图，在四边形ABCD 中，AB=AD=8cm ，∠A=60o ，∠D=150o ，四边形的周长为32cm ， 则四边形ABCD 的面积为 (24+16

3 ) cm 2.

解析：如图，连接BD.由AB=AD=8cm ，∠A=60o ，

得∠ABD=∠ADB=60o ，BD==8cm. 由∠ADC=150o ，则∠BDC=90o .

由四边形ABCD 的周长为32cm ，得BC+CD=16cm. 在Rt △BDC 中，82+CD 2=(16-CD)2，解得CD=6cm. 则S △BDC =BD·CD ÷2=8×6÷2=24cm 2.

作DH ⊥AB 于点H ，则AH=

2

1

AB=4cm. 根据勾股定理，得DH 2=AD 2-CD 2=82-42=48，解得DH=43cm ， 则S △ABD =AB·HD ÷2=8×43÷2=163cm 2

，

故四边形ABCD 的面积为S △BDC +S △ABD =(24+163)cm 2.

9、如右图，在△ABC 中，BC=9，AB=17，AC=10，AD ⊥BC ， 则AD 的长为 8 . 解析：由题意得在Rt △ADB 中，AD 2=AB 2-BD 2.

在Rt △ADC 中，AD 2=AC 2-CD 2.

则AB 2-BD 2=AC 2-CD 2，即172-(9+CD)2=102-CD 2，解得CD=6，

进而得AD=.8601CD AD 2222=-=-

10、在△ABC 中，AB = AC = 1，BC 边上有2020个不同的点P i , 记m i =AP i 2+BP i ·CP i (i=1，2，3，...，2020)，则 m 1+m 2+m 3+...+m 2020= 2041210 .

解析：如图，作AH ⊥BC 于点H ，则BH=CH.

在Rt △AHP i 中，AH 2=AP i 2-P i H 2; 在Rt △AHB 中，AH 2=AB 2-BH 2. 则AP i 2-P i H 2=AB 2-BH 2，变形得AP i 2+BH 2-P i H 2=AB 2=1， 即AP i 2+(BH+P i H)(BH -P i H)=1.

而BH+P i H=CH+P i H=CP i ，BH -P i H=BP i ，所以AP i 2+BP i ·CP i =1，即m i =1. 故m 1+m 2+m 3+...+m 2020=1+2+3+...+2020=(1+2020)×2020÷2=2041210.

11、如图：在Rt △ABC 中，∠C=90o ，AC=4，BC=3, 在Rt △ABC 的外部拼接一个合适的 直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，如图（1）所示，请在两个备用图中分别 画出与示例不同的拼接方法，并在图中标明拼接的直角三角形的三边长度。

图（1） 备用图

12、已知：在△ABC 中，AB = AC = 6， （1）若P 是BC 边上任意一点，如图（1），求：PC·PB+PA 2的值； （2）若D 是CB 延长线上任意一点，如图（2），求证：AD 2-AB 2=BD·CD.

图（1） 图（2）

A

B

D

i A 4 C 4 B

3 A

4 C B 3 A 4 C B 3 A D B C A B P C H

A

B

C

D

H 1 10

2

2 5

H H

A B C D 解：（1）如图，作AH ⊥BC 于点H.

∵AB=AC=6，∴BH=CH.

∵在Rt △AHP 中，AH 2=AP 2-PH 2; 在Rt △AHB 中，AH 2=AB 2-BH 2.

∴AP 2-PH 2=AB 2-BH 2，变形得AP 2+BH 2-PH 2=AB 2=1， 即AP 2+(BH+PH)(BH -PH)=1.

∵BH+PH=CH+PH=CP ，BH -PH=BP ，

∴AP 2+BP·CP=1.

（2）如图，作AH ⊥BC 于点H.

∵AB=AC=6，∴BH=CH.

∵在Rt △AHD 中，AD 2=AH 2+DH 2; 在Rt △AHB 中，AB 2=AH 2+BH 2.

∴AD 2-AB 2=DH 2-BH 2=(DH+BH)(DH -BH). ∵DH+BH=DH+CH=CD ，DH -BH=BD ，

∴AD 2-AB 2=BD·CD.

13、在△ABC 中，AB=15，AC=13，BC 边上的高AD=12， 求BC 长和S △ABC . 解：分两种情况： (1)如图1，点D 在BC 边上.

由题意得:在Rt △ADB 中，AB 2=AD 2+BD 2. ∴BD 2=AB 2-AD 2=152-122=81，则BD=9；

在Rt △ADC 中，AC 2=AD 2+CD 2.

∴CD 2=AC 2-AD 2=132-122=25，则CD=5. 图1

∴BC=BD+CD=9+5=14.

S △ABC =21BC·AD=2

1

×14×12=84.

(2)如图2，点D 在BC 边的延长线上. 同理，可得:在Rt △ADB 中，BD=9；

在Rt △ADC 中，CD=5.

∴BC=BD -CD=9-5=4. 图2

S △ABC =

21BC·AD=2

1×4×12=24. 综上，得BC 长为14或4，S △ABC 为84或24.

14、（1）已知二次三项式ax 2-bx +4与x 2-2x 的积不含x 3项，也不含x 2项，

求a 、b 的值． 解：∵(x 2

-2x )(ax 2-bx +4)=ax 4+(-b -2a )x 3+(4+2b )x 2-8x ，

该乘积不含x 3项，也不含x 2项， ∴-b -2a =0且4+2b =0，解得b =-2，a =1.

（2）若对任何x 的值，永远有3x 2+2x +4=a (x +1)(x -2)+b (x -1)-c ，

求a 、b 、c 的值．

解：∵a (x +1)(x -2)+b (x -1)-c =ax 2-ax -2a+bx -b -c =ax 2+(b -a )x +(-2a -b -c )， ∴对任何x 的值，永远有3x 2+2x +4=ax 2+(b -a )x +(-2a -b -c ).

联立，得?????=---=-=4223c b a a b a 解得??

?

??-===1553c b a

即a 、b 、c 的值分别为3、5、-15.

B D

C A