二面角的基本求法例题及练习

C1

C

C1

C

B

一、平面与平面的垂直关系

1．判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

例1．在空间四边形ABCD 中，AB=CB ，AD=CD ，E 、F 、G 分别是AD 、DC 、CA 的中点。 求证：BEF BDG ^平面平面。

例2．AB BCD BC CD ^=平面，，90BCD °?，E 、F 分别是AC 、AD 的中点。

求证：BEF ABC ^平面平面 。

2．性质定理：若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交

线的直线垂直于另一个平面。 例3．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角.。

二、二面角的基本求法

1．定义法：在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直。 例4．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， 求（1）二面角11A B C A --的大小；

（2）平面11A DC 与平面11ADD A 所成角的正切值。

练习：过正方形ABCD 的顶点A 作PA ABCD ^平面，设PA=AB=a 求二面角B PC D --的大小。

2．三垂线法

例5．ABCD ABEF ABCD ^平面平面，是正方形，ABEF AF=

1

2

AD=a ，G 是EF 的中点，

C

C

（1）求证：AGC BGC ^平面平面； （2）求GB 与平面AGC 所成角的正弦值； （3）求二面角B AC G --的大小。

例6．点P 在平面ABC 外，ABC V 是等腰直角三角形，90ABC °?，PAB V 是

正三角形，PA BC ^。

（1）求证：^平面PA B 平面A B C ； （2）求二面角P AC B --的大小。

练习：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是AD 的中点，求二面角

1A BD P --的大小。

B1

A

3．垂面法

例7．SA ABC AB BC SA AB BC ^^==平面，，， （1）求证：SB BC ^；

（2）求二面角C SA B --的大小；

（3）求异面直线SC 与AB 所成角的余弦值。

4．无棱二面角的处理方法 （1）找棱

例8．过正方形ABCD 的顶点A 作PA ABCD ^平面，设PA=AB=a 求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的大小。

（2）射影面积法（cos

s

S

q=射影）

例9．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P是棱

1

AA的中点，

求平面

11

PB C与平面ABCD所成二面角的大小。