高二上学期期中考试(数学理)

东北师大附中09-10高二上学期期中考试

数学（理）试题

命题人：毕伟 李海军 审题人：刘桂英

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，试卷满分120分，答题时间为120分钟． 注意事项：

1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考号、班级和登录账号填写在答题纸和答题卡的指定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．

3．非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字迹工整，笔迹清楚，请按照题号顺序在各个

题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．

第Ⅰ卷（选择题，共48分）

一、选择题（本卷共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的） （1）命题“001

,sin 2

x R x ?∈≤

”的否定是 （A ）1,sin 2x R x ?∈>

（B ）1,sin 2x R x ?∈≤ （C ）01,sin 2x R x ?∈> （D ）不存在1

,sin 2

x R x ∈>

（2）椭圆22

153

x y +=的离心率是

（A ）

25 （B （C ）23

（D （3）设,a b R ∈，则“0ab >”是“a b a b +=+”的

（A ）充要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分不必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （4）用辗转相除法（或更相减损术）求得78和36的最大公约数数是

（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）6

（5）阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，若8.0=p ，则输出的n 值为

（A ） 3 （B ） 4 （C ） 5 （D ） 6

（6）10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平

均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有

（A ）c b a >> （B ）a c b >> （C ）b a c >> （D ）a b c >> （7）已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%。现采用随机模拟的方法估计该运动员三

次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示命中，用5，6，，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果。经随机模拟产生了20组随机数：

907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为

（A ）0.35 （B ）0.30 （C ）0.25 （D ）0.20 （8）命题“若0≤m 或0≤n ，则0≤+n m ”的逆否命题是

（A ）若0>+n m ，则0≤m 或0≤n （B ）若0>m 或0>n ，则0m n +> （C ）若0>+n m ，则0>m 且0>n （D ）若0>m 且0>n ，则0m n +> （9）3名学生排成一排，其中甲、乙两人相邻的概率是

（A ）

16 （B ）13 （C ）12 （D ）2

3

（10）如果事件A 与B 是互斥事件，且事件A B +的概率是0.8，事件A 的概率是事件B

的概率的3倍，则事件A 的概率是

（A ）0.2 （B ）0.4 （C ）0.6 （D ）0.8

（11）用秦九韶算法求多项式2

3

4

5

6

()1235879653f x x x x x x x =+-++++在4x =- 的

值时，其中2v 的值是

开始

输入

输出

结束

否

是

（A ）-22 （B ）34 （C ）-57 （D ）220 （12）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=的点M 总在椭圆内部，则椭圆

离心率的取值范围是

（A ）(0,1) （B ）1

(0,]2 （C ）2(0,

)2 （D ）2[,1)2

第Ⅱ卷（非选择题，共72分）

二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在答题卡的横线上） （13）某小组共有8名同学, 其中男生6人, 女生2人, 现从中按性别用分层抽样方法从中

抽取4人参加社区志愿者服务, 则男生抽取 人；女生抽取 人．

（14）已知椭圆

22

1369

x y +=的左右两个焦点分别为12,F F ，P 是椭圆上一点，且1260F PF ∠=，则△12F PF 的面积为 ．

（15）在检查产品尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[,)a b 是其中一组，检查出的个体在

该组上的频率为m ，该组的直方图的高为h ，则a b -= ．

（16）点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的

长度小于1的概率为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （17）（本题满分8分）

某地有A 、B 、C 、D 四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A 到过疫区，B 肯定是受A 感染的．对于C,因为难以判定他是受A 还是受B 感染的，于是假定他受A 和受B 感染的概率都是

12.同样也假设D 受A 、B 和C 感染的概率都是1

3

. （Ⅰ）试写出A 、B 、C 、D 都被感染所有可能情况；（例如A B C D →→→， ）

（Ⅱ）求A 直接感染2人的概率．

C

A B D

（18）（本题满分8分）

过点(2,4)P 作两条互相垂直的直线12,l l ，1l 与x 轴交于点A ，2l 与y 轴交于点B ，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．

（19）（本题满分10分）

在区间(1,1)-中随机地取出两个数,m n ，求使方程22210x mx n +-+=无实根的概率。

（20）（本题满分10分）

某校高二年级共有1200名学生，为了分析某一次数学考试情况，今抽查100份试卷，成绩分布如下表：

成绩 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 人数 4 5 6 9 21 27 15 9 4 频率

0.04

0.05

0.06

0.09

0.21

0.27

0.15

0.09

0.04

（Ⅰ）画出频率分布直方图；

（Ⅱ）由频率分布表估计这次考试及格（60分以上为及格）的人数；

（Ⅲ）由频率分布直方图估计这考试的平均分．

（21）（本题满分10分）

如图，四棱锥P ABCD

-的底面ABCD是一个边长为4的正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD．

（Ⅰ）求四棱锥P ABCD

-的体积；

（Ⅱ）求直线PA与平面PBC所成的角的正弦值．

（22）（本题满分10分）

已知椭圆C：

22

22

1(0)

x y

a b

a b

+=>>的左、右焦点为

1

F、

2

F，椭圆C上的点

263

(

33

P满足

12

PF PF

?=．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）自定点(0,2)

Q-作一条直线l与椭圆C交于不同的两点A、B（点B在点A的下

方），记||

||

QB QA λ=

，求λ的取值范围． 参考答案

一、选择题：ABCDB DCCDC BC

二、填空题：（13）3， 1 （14）33 （15）

h m （16）3

2

三、解答题

（17）解：（I ）共有6种情形

（Ⅱ）记“A 直接感染2人”的事件为A ，

由（I ）知A 、B 、C 、D 四人先后感染共有6种不同的情形，A 直接感染2人有3

种情形

所以，31()62

P A =

=． 答：A 直接感染2人的概率为

12

． （18）解法一：设点(,)M x y

∵M 为AB 的中点，∴ (2,0),(0,2)A x B y ∴ (22,4),(2,24)CA x CB y =--=-- ∵CA CB ⊥，∴0CA CB ?=

∴2(22)4(24)0x y ----=，即250x y +-= 故，点M 的轨迹方程为250x y +-=。 解法二：设点,A M 的坐标分别为(,0),(,)t x y （1）当2t ≠时，直线1l 的斜率为142k t =-，所以直线2l 的斜率为224

t k -= 直线2l 的方程为2

4(2)4

t y x --=

-． D A B C A B C D C

A B D C A B D C A B D C A B D

令0x =，得5

2t y =-

，即点B 的坐标为(0,5)2

t -． 由于点M 是线段AB 的中点，由中点坐标公式得，5,224

t t

x y ==- 由2t x =

得2t x =，代入524

t

y =-，得250x y +-=． （2）当2t =时，可得点A 、B 的坐标分别为（2，0），（0，4），

此时点M 的坐标为（1，2），它然适合方程250x y +-=．

由（1）（2）可知，方程250x y +-=就是所求的点M 的轨迹方程，他表示一条直线． （19）解：记“方程22210x mx n +-+=无实根”的事件为A

每个基本事件发生是等可能的

区域11(,)11m D m n n ??-<

=???

-<

?，区域2211(,)111m A x y n m n ??

?-<

． ()4

A P A D π

=

=的面积的面积．

答：方程22210x mx n +-+=无实根的概率为4

π． （20）解（Ⅰ）频率直方图见右图．

（Ⅱ）∵60分以上的频率约为0.270.150.090.040.55+++= ∴及格人数约为12000.55660?=．

（Ⅲ）平均分约为：

150.04250.05350.06450.21650.27750.15850.09950.0459.8

x =?+?+?+

?+?+?+?+?= （21）解：（1）过点P 作PE AD ⊥于点E ，则PE ⊥平面ABCD ．

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0.004

0.005 0.009 0.006 0.015 0.021 0.027 成绩 分数

4

2

PE=?=．……………………………………2分正方形ABCD的面积4416

=?=．

所以四棱锥P ABCD

-的体积为

1

16

33

P ABCD

V

-

=?=．……4分

（2）过E作EF BC

⊥于F点，连PF，过E作

EG PF

⊥于G点，

因为BC⊥平面PEF，EG?平面PEF，所以EG BC

⊥．又PF BC

?于F 点，所以EG⊥平面PBC．……………………………………6分

在Rt PEF

?

中，PF==

所以EG==．………………………………………8分

所以，设求直线PA与平面PBC所成的角为θ，

则

7

sin

4

EG

PA

θ===．直线PA与平面PBC

所成的角的正弦值为

7

．…………10分

（22）解：（1）设

12

(,0),(,0)

F c F c

-，

其中c=

于是

1

2

(

PF c

=

+，2

2

(

PF c

=-，则由

1

2

PF PF

?=

可得2

)0

c c

+-+=，

所以23

c=．………………………………………………………

2分

又点P在椭圆C

上，所以

22

22

331

a b

+=，即

22

81

3

a b

+=．…………○1又2223

a b c

-==，所以，223

b a

=-．…………○2

○2代入○1整理得42

318240

a a

-+=，解得22

a=（舍），或24

a=．

所以，21b =．

于是，所求的椭圆C 的标准方程为2

214

x y +=．………………4分

（2

）由题可知，01λ<<．

于是，由||

||

QB QA λ=，则QB QA λ=，

（I ）当直线l 的斜率不存在时， 容易求得，(0,1),(0,1)B A -， 所以||1,||3QB QA ==， 所以，此时||1

3

||QB QA λ=

=．……………………5分 （II ）当直线l 的斜率存在时，设为k ，则直线l 的方程为2y kx =-．○

3 设点1122(,),(,)A x y B x y ，将○

3代入2

214x y +=消去y 得： 22(14)16120k x kx +-+=．

由2

2

2

16412(14)0k k ?=-??+>解得234

k >

． 122

1614k

x x k +=

+，…………○4 122

12

14x x k

=+，……………○5…………………………………………7分 又QB QA λ=，所以2211(,2)(,2)x y x y λ+=+，所以有

21x x λ=，…………………○

6 将○6代入○4得1

2

16(1)14k

x k λ+=+，…………○7 将○6代入○5得2

12

1214x k

λ=+，………………○8 联立○7○8，消去1

x 得222222

1612(1)(14)14k k k λλ?=+++，

所以，

2

22222

(1)16(14)12(14)k k k λλ

++=?+，化简得2164

21

3(4)k

λλ

+=-+，

因为21403k <<，2

116443k <+<，所以26410

22133(4)k

<-<+， 所以，110

23λλ<+<且01λ<<．………………9分

设1()f λλλ=+，则()f λ在(0,1)上为减函数，又110

(),(1)233

f f ==，

所以1

13

λ<<．（此处也可以通过解一元二次不等式求出λ的取值范围）

综合（I ）、（II ）可得，λ的取值范围是1

13

λ≤<．…………10分