二次曲线方程的化简与分类
二次曲线方程的化简与分类
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
2015届本科毕业论文（设计）论文题目：二次曲线方程的化简与分类
学院：数学科学学院
专业班级：数学与应用数学11-1班
学生姓名：努尔麦麦提.艾则孜
指导教师：候传燕老师
答辩日期：2015年5月6日
新疆师范大学教务处
目录
摘要 (1)
1前言 (3)
2二次曲线方程的化简与分类 (4)
2.1方程的化简 (4)
2 .1.1 中心曲线方程的化简.... . (4)
2 .1.2 无心曲线方程的化简 (4)
2 .1.3 线心曲线方程的化简 (5)
2.2 二次曲线的分类 (6)
2 .2 .1 二次曲线方程的不变量 (7)
2 .2 .2用不变量确定二次曲线的标准方程 (10)
2 .2 .3用配方法化简二次曲线方程 (11)
3总结 (16)
4参考文献 (17)
致谢 (18)
二次曲线方程的化简与分类
摘要：本文基本研究了二次方程化简和分类的多种方法：坐标变换法；不变量法；配方法等.并在此基础归纳总结出两种新的简便的方法，即不变量法和配方法详细介绍了二次曲线化简具体方法与步骤.
关键词：二次曲线；标准方程；不变量；参数法；配方法；
The two curve equation simplification and classification Abstract：This paper studies the method of two kinds of equation simplification and classification: the method of coordinate transformation; invariant method; factorization method. And on the basis of summarizing two new simple method, namely the method and parameter method, described in detail the specific methods and steps two times curve simplification.
Key words：Two standard curve; equation; invariant met hod; parameter method;
1前言
二次曲线方程的化简与分类既是大学空间解析几何研究的重要内容之一，又是对中学二次曲线内容的教学有极大的作用。研究如何将二次方程表示的曲线进行化简、分类、作出具体图像具有很大的理论价值。目前，我们所知道的各种教材及参考文献资料给出了二次方程化简的几种基本方法：坐标变换法；不变量法；因式分解法。在上述方法中，有的化简简单，但难于作图；而有的化简相对繁琐，但易于作图。
本文经过深入研究有关二次方程的学问，对二次曲线方程进行分类、整理，运用了高等数学的方法，归类总结出二次方程化简的方法，选择一种方便于二次方程化简的方法。
利用坐标变换能够把二次曲线方程化为所表图形的最简单形式。本部分要解决这样一个理论问题，即一定有这作这种坐标变换的方法，然后解决了二次曲线的分类问题。
2二次曲线方程的化简与分类
2.1
方程的化简：
2.1.1
中心曲线方程的化简：
对中心曲线F （x,y ）=0，令O ′（0x ，0y ）为其中心，若将坐标原点
平移至O ′，则新方程中将不含一次项，再选取适当的θ角，作旋转变换，还可消去方程中的交叉乘积项，最终中心曲线的方程可化简为 221122330a x a y a '''''++= （1）
由于211220I a a '''=≠， ∴1122,a a ''全不为0，从而中心曲线（1）关于新系的x ′，y ′轴对称，即以中心曲线的二主直径作为坐标轴建立新坐标系时，则曲线的方程便简化为（1）
例1：化简二次曲线方程x 2-xy+y 2+4x-2y=0
解：根据11121222:():()X Y a X a Y a X a Y =++
;XF 1（x ，y ）+YF 2（x ，y ）=0
所给二次曲线的二主直径为
x+y+2=0 ，x-y+2=0
取坐标变换公式 1(2)2
1(2)2x x y y x y ?'=+-????'=--+??
即 1()2
1()22x x y y x y ?
''=-????''=++??
代入原方程有x ′2+3y ′2-8=0
即
22188
3
x y ''+= 2.1.2 无心曲线方程的化简：
对无心曲线F （x,y ）=0，选取适当角作旋转变换，可消去方程中的交
叉乘积项，即二次曲线方程简化为
2211
22132333220a x a y a x a y a '''''''''++++=
由于11220a a ''= ∴1122,a a ''有且仅有一为0，不妨设'
11a =0再配方有 2220130()2()0a y y a x x ''''''+++=
作平移0
x x x y y y '?'''=+??''''=+??则方程最终简化为
0213222=''"
+''"x a y a （2)
由于 111212221323:::a a a a a a =≠ ∴013≠"a
从而无心曲线（2）关于x ″轴对称，即x ″轴是其一主直径，且x ″轴与曲线的交点是新坐标系的坐标原点。
可见以无心曲线的主直径作为x ′轴，以过顶点且与主直径垂直的直线作为y ′轴建立新系，则曲线的方程便简化为（2）
例2：化简二次曲线方程x 2+2xy+y 2+2x-2y=0
解：所给曲线的一主直径为x+y=-0，曲线的顶点为原点，取过顶点且与主直 径垂直的直线x-y=0，并取坐标变换为
???
?
??
?
+='-=
')
(2
1)(21y x y y x x 即???
?
?
?
?
'-'-='+'=
)
(21)(2
1
y x y y x x
代入原方程并化简为 022='+'x y 2.1.3 线心曲线方程的化简：
对于线心曲线F （x,y ）=0，取一中心O '（0x ，0y ），并作平移变换即可消去 方程中的一次项，再选取适当的α角作旋转变换，还可消去交叉乘积项，最终方
程简化为
033222211='
+''+''a y a x a
由于022112='
'='a a I ∴'
'2211,a a 有且仅有一为0，不妨设011='
a ，则线
心曲线方程化简为0332
22='
+''
a y a （3）
由于022≠'
a ，∴曲线（3）关于x ′轴对称，可见新坐标系的x ′轴是其主直径，
即以曲线的一主直径作为x ′轴建立新坐标系，则在新系下，曲线的方程将简化为（3）
例3：化简二次曲线方程 x 2-2xy+y 2+2x-2y=0
解：可以证明它是线心曲线，它的主直径为x-y+1=0 再取一和主直径垂直
的直线x+y=0，作坐标变换 ???
????
+--='+=')1y x (21y )y x (21x 即???
?
??
?
+
'+
'=-
'-'=
21
2
12
1212
1
2
1y x y y x x
代入原方程并化简得 0122=-'y
总结上述化简二次曲线方程的方法，可得如下结论： 选取适当坐标系，可使
中心二次曲线的方程的化简为 033222211=++a y a x a （1） 无心二次曲线的方程化简为 02132
22=+x a y
a （2）
线心二次曲线的方程化简为 033222=+a y a （3）
2.2二次曲线的分类
1°对于中心曲线，中心曲线方程可化简为（1） 当033≠a ，令
A=3311a a -，B=33
22
a a -
，则（1）为 Ax 2+By 2=1
若A ，B>0，令A=
21a ，B=2
1b ，则（1）为 [1] 122
22=+b
y a x ——椭圆
若A ，B<0，令A=-21a ，B=-21
b
，则（1）为 [2] 122
22-=+b
y a x ——虚椭圆
若A>0，B<0,令A=
2
1
a
，B=-21b ，则（1）为 [3] 122
22=-b
y a x ——双曲线
同理当A<0，B>0时，也是双曲线 当
033=a 时，令A=11a ，B=22a ，则（1）为
[4]
02
2
22=+b
y a x ——一点 同理，若A ，B<0,则（I ）也为一点
若A>0,B<0，令A=21a ，B=-21
b
，则（1）为
[5] 022
22=-b
y a x ——二相交直线
同理 若A<0，B>0,则（1）也为二相交直线。
2°对于无心曲线，其方程可化简为（2），令
P= 22
13a a -，则（2）为
[6] y 2=2Px ——抛物线
3°对于线心曲线，其方程可化简为（3），令 k= 22
33
a a -
，则（3）为 y 2=k 若k>0，则（3）为
[7]y 2=a 2 ——二平行直线， 若k<0，则（3）为
[8]y 2=-a 2 ——二平行直线， 若k=0，则（3）为
[9]y 2=0 ——二重合直线。
2 .2 .1 二次曲线方程的不变量
设二次曲线在任意给定的直角坐标系中的方程为
F(x ,y )=a 11x 2 + 2a 12xy +a 22y 2+2a 13x +2a 23y +a 33=0, ①
在直角坐标变换'
0'0
cos sin sin cos x x a y a x y x a y a y '?=-+??
'=++?? ②
下，曲线方程左端变为
F ’(x ’,y ’)='''''''2'''''1112221323332a x +2a x y +22a y a x a y a +++
则F(x,y)多项式也是二元二次多项式，它的每一个系数都能用多项式F(x,y) 的系数及坐标变换②的系数表出
定义：我们知道,F （x,y ）系数组成的一个非常数函数f （x,y),如果经过直角坐 标变换①F （x ，y ）变为
''(,)F x y 时有 f(a 11,a 12,...,a 33)=f(a ,11,a ,12,...,a ,33)
那么这个函数f 叫做二次曲线①在直角坐标变换下的不变量.如果这个函数
f 的值，只是经过转轴变换不变，那么这个函数叫做二次曲线①在直角坐标变换 下的半不变量.
定理 1 二次曲线在直角坐标下，有三个不变量I 1,I 2,I 3与一个半不变 量K 1：
I 1 =a 11+a 12 , I 2= a 11a 22 - a 212 ,
11
1322
23
13331
2333
a a a a a a k a a =
+
证明： 因为直角坐标变换（1）总可以分成由转轴公式和移轴公式,如果平面内
一点的旧坐标与新坐标分别为(x,y)与(x ’,y ’).那么移轴公式为
x x x y y y '=+??'=+? 或 00x x x y y y '=-??'=-? 式中(x 0,y 0)为新坐标系原点在旧坐标系里的坐标.
二次曲线F (x , y )=a 11x 2 + 2a 12xy +a 22y 2+2a 13x +2a 23y +a 33=0的新方程为
2200110120022013023033((,)()2()()()2()2()0
F x x y y a x x a x x y y a y y a x x a y y a ''''''''++=+++++++++++=化简整理得
2222013023033()2()2()0
a y y a x x a y y a '''++++++=这里
'
11111212'1311022023100'231202202312200'223311012002201302302300,'(,)
,'(,)222(,)
a a a a a a x a y a F x y a a x a y a a F x y a a x a x y a y a x a y a F x y ?==??=++=???=++=??=+++++=??因此在移转轴公式为轴下，二次曲线方程系数的不变规律为： （1） 二次曲线系数不变；
（2） 一次项系数变为2F 1（x ，y ）与2F 2（x 0，y 0）； （3） 常数项变为F （x 0，y 0） 转轴下
'
'cos sin sin cos x x a y a y x a y a
'?=-??
'=+?? 或
''cos sin sin cos x x a y a y x a y a
?=+??=-+?? 式中的a 为坐标轴的旋转角. 将上式代入（1），得在转轴下二次曲线（1）的新方程
为 022+y x 2a +x 2a 33''23''13'2'22'''12''11'=+++a y a x a y a 这里
'2211111222'2211111222'2212221112'1313'231323'3333
cos 2sin cos sin ,cos 2sin cos sin ()sin cos (cos sin )cos sin sin cos a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a y a a a a a a a a ?=++??=++???=-+-??=+???=-+??=?? 因此本定理的证明,也就分成移轴与转轴两步来完成.先证明在移轴下I 1， I 2，I 3不变，而K 1一般要改变.
在移轴下二次曲线(1)的二次项系数不变. 所以
'''1112211221,
I a a a a I =+=+='
'
1112
'
11
12
2
2'
'
1222
12
22
a a a a I I a a a a ===
11121101201312
22
1222023
11012013
12022023
00'
'
'
11
1213'
''
'
312
2223'
''13
23
33
(,)
a a a x a y a a a a x a y a a x a y a a x a y a F x y a a a I a a a a a a ++++++++==
11
122201201312
22
122202*********
12022023
13023033
a a a x a y a a a a x a y a a x a y a a x a y a a x a y a ++=
++++++++
111213
12
2223313
23
33
a a a a a a I a a a == 上面的第三个等式是由第三列加第一列乘以负的x 0，第二列乘以y 0而得到的四 个等式是由第三行减去第一行乘以x 0，第二行乘以y 0而得到的.K 1在移轴下一 般是要改变的，但是在转轴下也是不变的
1113222313
33
1
23
33
a a a a a a k a a =+
='
1k
因为在转轴下'
3333a a =
，'1313'231323cos sin sin cos a a a y a a a a a a
?=+??=-+??
2 .2 .2用不变量确定二次曲线的标准方程
一 , [1].如果二次曲线F (x ,y )=a 11x 2 + 2a 12xy +a 22y 2+2a 13x +2a 23y +a 33=0
是中心曲线，则它的简化方程为
1
223
232
0,(0)I x y I I λλ++
=≠。111313
330a a a a λλ
=--
其中
12,λλ是二次曲线特征方程的两个根（方程中的撇号已略去）.
[2].如果二次曲线①是无心曲线，则它的简化方程为
23
1131
20,(0)I I y x I I I ±-
=< 其中的正负号可以任意选取（方程中的撇号已略去）.
[3].如果二次曲线①是线心曲线，则它的简化方程为
21
111
0,(0)k I y I I +
=≠= 0. (方程中的撇号已略去).
二，二次曲线的类型
如果给出二次曲线F (x , y )=a 11x 2 + 2a 12xy +a 22y 2+2a 13x +2a 23y +a 33=0,那么用它的不 变量与半不变量来判断已知曲线为何种曲线的条件是： [1] 椭圆：2130,,0;I I I >< [2] 虚椭圆：2130,,0;I I I >>
[3] 点（或称一对交于实点的共轭虚直线）：230,0;I I >= [4] 双曲线：230,0;I I <≠
[5] 一对相交直线：230,0;I I <= [6] 抛物线：230,0;I I =≠； [7] 一对平行直线：2310,0;I I k ==< [8] 一对平行虚直线：I 2310,0;I I k ==> [9] 一对重合直线：2310;I I k ===.
注：1. 二次曲线①表示两条直线（实的或虚的，不同的或重合的）的充要条 件为30I =
2.30I ≠的二次曲线叫做非退化二次曲线；30I =的二次曲线叫做
退化二次曲线.
3.利用不变量与半不变量，只能简化方程，判断曲线为何种曲线，但不
能作出它的图形
2.2.3用配方法化简二次曲线方程
a. 中心二次曲线
由上述定理可知,二元二次方程(1)配方得
2'2'111122233(,)()()0F x y a x b y c a y c a =+++++=则为
中心二次曲线。 二次曲线的中心为方程组
11200
x b y c y c ++=+=的解。要使方
程(,)0F x y =化简,只需要选取二次曲线的中心为新坐标系的原点,二次线 的对称轴为新坐标系的坐标轴。可以求出对称轴的方程,设对称轴的方向矢量为
}{,X Y ν=,二次曲线的中
心为'
00(,)
o x
y ,则新坐标系一条轴'x 的方程为
00
x x Xt
y y Yt =+??
=+?()t -∞<<+∞而二次曲线两个半轴的大小'',a b 可利用新坐标
轴与二次曲线的交点和,'00(,)o x y 之间距离来确定。由引理2.6.2知,x 轴与二
次曲线的交点所对应得参数2(,)
(,)
F x y t X Y φ=-
这里
22''1112332(,)2;(,)(,)X Y a X a XY a Y X Y X Y Φ=++Φ=I Φ。若20t >
时,则对应的半轴长'22//a t X Y =-+,且当标准方程中右边是1或0时,所
对应的项是正项；若20t <时,则对应的半轴长为'2
22a t X Y =-+且当标
准方程中右边是1或0时,所对应的项是负项。因 此可得如下化简方法: 第一步, 利用配方法得
2'2'111122233(,)()()0F x y a x b y c a y c a =+++++=,
第二步,解方程组
11200
x b y c y c ++=+=求出二次曲线的中心'00(,)o x y ，
第三步,求出二次曲线的两个 主方向1122:,:x y x y 及主直径方程分别
1112220,0A x B y C A x B y C ++=++=,
第四步,把两主直径为新坐标轴的轴'',x y 由引理2我们得到,轴'',x y 与二次
曲线
的交点所对应的参数
200(,)
(,)
i i i F x y t X Y φ=-
(1,2)i =，
第五步,求出两半轴a,b 的长,写出标准方程。根据新坐标系原点为中心
'00(,)o x y 以及新坐标轴的'',x y 直线方程,即能确定二次曲线方程图形的具体位置.
例 1 化简二次曲线方程x 2-xy+y 2+4x-2y=0 .
解 因为(5)通过配方可变形为 2213
(1)(2)4024
x y y -++--=,所以由定
理可知,方程( 5)代表的二次曲线是实椭圆.解方程组1102
20
x y y ?
-+=?
??-=?可 知二 次曲线的中心是 O ’( 0 , 2).解方程
1
120
112
λ
λ--
=-
-,得 λ=13,22
。代λ的值分别
入方程组1(1)021(1)02
X Y X Y λλ?
--=????-+-=??解之得 X 1:Y 1 =1:1, X 2: Y 2 = - 1:1 ,对称轴为 x - y + 2= 0 , x + y - 2=0 所以21(0,2)4
0(1,1)3F t φ=-
=> 即椭圆的两半轴
'22211122,a t X Y =+='2222222
6,3
b t X Y =+=
因此二次曲线的标准方程为22
188
3
x y ''+=。。 b ．无心二次曲线
由定理,二元二次方程(1)通过配方
2'1111222(,)()()0F x y a x b y c a y c =++++=则为抛物线。要
使这个二次曲线方程化简,只需要选取抛物线的顶点为新坐标系的原点,抛物线 唯一的对称轴为坐标y 轴,求出抛物线的焦参数p 即可。因此可得如下化简方法: 第一步,利用配方法得
2'2'111122233(,)()()0F x y a x b y c a y c a =+++++=
第二步,求出二次曲线非渐近主方向11:X Y 和渐近主方向22:X Y 唯一 的主直径: 0Ax By C ++=,取主直径为y 轴,
第三步, 如果取'111(,)M x y 为轴y 上的一定点,且过'111(,)M x y 以方
向22:X Y 为方向直线(主直径)和二次曲线有唯一交点(顶点)'00(,)o x y , 所对应的参数为[]
1102122(,)2(,)(,)F x y t X F X Y Y F X Y =
+过'111(,)M x y 以方向
11
:X Y 为方向的直线与二次曲线有两个交点,此交点所对应的参数为 21111(,)
(,)
F x y t X Y φ=-
第四步,求出抛物线的焦参数22
112
20
22
//(,)
2t x y p t X Y
=-
+
第五步,当20t >,标准方程为:2
''2x py =-,当20t <,标准方
为:2
''2x py =根据新坐标系的原点为顶点'00(,)o x y ,以及新坐标轴的y 直线 方程,即可确定图形的具体位置.
例2化简二次曲线方程4x 2-4xy+y 2+6x-8y+3=0. ( 6)
解 因为(6)通过配方可变形为 4(x-12y+3
4)2-5(y-320)=0,所以由定理可知,方 程(6)代表的二次曲线是抛物线.解方程
4202
1λλ
--=--,得λ= 5,0代λ的值分
别入方组(4)20
2(1)0X Y X Y λλ--=??-+-=?,解之得非渐近主方向及渐近主方向分别为 X 1:Y 1
=-2:1,X 2 :Y 2=1:2,抛物线唯一的主直径:2x-y+2=0,取主直径为y 轴,在y 轴上取 一点M 1(-1,0),过点M 1(-1,0)以方向1:2为方向直线与二次曲线交点所对应 的参数为[]012(1,0)1
2(1,0)2(1,0)10
F t F F --==
-+-即抛物线的顶点为 O(91
,105
-
),过点M 1(-1,0)以方向-2:为方向的直线与二次曲线的有两个交点, 交点所对应的参数为 2(1,0)1
0(2,1)25
F t --=
=<Φ-,则抛物线的焦参数为
p=2
221
1
220111
5.
//()525152 2..510
t X Y t X Y +==
=+ 因此二次曲线标准方程为225
''5
x y =-
c.线心二次曲线
由定理可知,二元二次方程(1)通过配方
2'2'111122233(,)()()0
F x y a x b y c a y c a =+++++=则为线心二
次曲线.要使方程化简,只需要选取中心直线为'y 轴,求出标准方程右边的常数 即可.因此可得如下化简方法: 第一步,利用配方法得
2'2'111122233(,)()()0
F x y a x b y c a y c a =+++++=
第二步,写出中心直线方程:0Ax By C ++=,取中心直线为y 轴,
第三步,在中心直线上取一点'111(,)M x y ,过'
111(,)M x y 以方向BA:为方向
的直线与二次曲线有两个交点,交点所对应的参数为211(,)
(,)
F x y t A B φ=-
,则常数
为22//t A B α=+,当20t >时,标准方程形式为:'22x a =当20t =时,标
准方程为:'20x =;当20t <时,标准方程为:'22x a =-
根据新坐标系的原点为中心直线上的任意一点'00(,)o x y ,以及新坐标轴的y 直 线方程,即可确定图形的具体位置.
例3 化简二次曲线方程x 2-2xy+y 2+2x-2y-3=0 .
解 由于x 2-2xy+y 2+2x-2y-3=0通过配方可变形为(x-y+1)2-4=0,所以二次曲线是两实平行直线, 已知二次曲线中心直线方程为:x-y+1=0 ,取中心直线为y 轴,在中心直线上取一点A 1(0,1),过A 1(0,1)以方向-1:为方向的直线与二次曲线有两个交点,交点所对应的参数为2(0,1)4
0(1,1)4
F t --=
=<Φ--,常数
22//.(1)12t α=-+=,
此二次曲线的标准方程为2'2x =
3总结
一、我在这个论文里面就介绍了二次曲线方程化简介几种方法，既有了坐标
变换法,不变量与半不变量法、等几种比较常见好方法，也有了对于所查文献资料给出几种化简二次曲线基本过程进行归纳，并关联到这几种方法给出两种既易于二次曲线方程化简又易于作图的简便方法即不变量法和配方法（还有参数法），所以引起我们思维要善于活跃，对于同一问题，要应用不同的方法进行解释，再从所有的解法中寻召一种最简单的方法。参数法化简二次曲线方程把坐标变换和主直径法有机地结合起来,用初中，高中数学形式表示出来,达到化简二次曲线方程的目标。而配方法是经过对于二次曲线方程配方变形,对二次曲线方程进行分类,化简;尔后根据直线与二次曲线相交时参数t的几何意义,确认二次曲线的标准方程。最后，将图形学的学问与我们教科书里面的研究方法结合起来。
二、方程F(x, y)=a11x2 + 2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0的化简分三步完成。前两步把坐标轴变成曲线对称轴，第三步按照中心型和非中心型曲线，将坐标原点移动到顶点或者中心，得到标准坐标系和标准方程.
4 参考文献
1.吕林根，许子道,解析几何(第四版)：高等教育出版社，2006.5．269—284 2数学_自然科学_专业资料二次曲线方程的分类与化简。第 22 卷第 6 期
不变量法化简二次曲面
不变量法化简二次曲面 徐晓利摘要：二次曲面的化简是一项复杂又高难度的工作.本文主要总结了计算简便易掌握的不变量法，即运用变量和不变量化简二次曲面的方法，并举例讲解方法.关键词：二次曲面；化简；不变量二次曲面是解析几何的重点内容，也是高等代数这一模块中重要的二次型理论的经典应用.我们往往通过化简其方程，判别二次曲面的类型，并确定其几何形状.化简二次曲面，是二次曲面一般理论中最重要的内容，也是难点所在.坐标变换法（正交变换）是化简二次曲面方程普遍常用的方法，但是由于相关高等代数理论抽象难懂，计算过程复杂，课堂教学显得很是困难.在欧式坐标系中，二次曲面存在着许多不变量，总结归纳不变量关系与二次曲面标准方程之间联系，由此来进行化简.1二次曲面定义1在三维空间中，用三元二次方程来表示的曲面称为二次曲面.设二次曲面的一般方程为：（1.1）.二次曲面方程中的常用记号：将的二次项部分记为，将的系数排成矩阵，叫做二次曲面的矩阵..2不变量法化简二次曲面定义2二次曲面的标准方程：无法再使用平移、旋转变换进行化简的方程.即满足以下三者的方程：1）方程中不包含交叉项xy，xz，yz；2）若方程中存在某一坐标的二次项，就不存在这一坐标的一次项；3）若方程中只存在某一坐标的一次项，且此时其中不存在.在高等代数课程中，有一个重要理论，称为二次型理论.二次型理论告诉我们，通过求解矩阵的特征方程，求相应特征根，最后得到唯一的标准形.这也就是我们常常所说的正交变换.二次曲面方程中也有
相应的二次型矩阵，从而二次曲面便能用此变换化简，在这里不加以展开.在变换中我们发现，二次曲面方程在直角坐标变换后，方程虽然发生了一定变化，但是决定二次曲面的几何特征的性质却没有任何变化，那些不变的性质我们可以采用不变量来刻画.这种不变量可以用二次曲面方程的系数来表达.我们称，不因直角坐标变化而发生改变的量为正交不变量.正交不变量在解析几何研究中十分重要的一项，为二次曲面和二次曲线的化简有着尤为重要的作用，下面我将证明二次曲面中的不变量.引理 1.是二次曲面的不变量.即是正交不变量.推论 1.二次曲面的特征方程和特征根在任意直角坐标变换下都不变.引理2.和在转轴变换下不变，称为半不变量.引理3.给定二次曲面方程（1）当时，是不变量；（2）当时，是不变量.任意一个二次曲面方程在选取适当的直角坐标变化后可以被分为5大类别，表示为化简的五个方程之一，下面我们利用二次曲面在转轴变化下的不变量与半不变量对二次曲面进行化简.定理1.不变量得简化方程：（1）当时，简化方程为；（2）当时，简化方程为；（3）当时，简化方程为；（4）当时，简化方程为；（5）当时，简化方程为.其中表示非零特征根.证明：从略.例1：化簡下面二次曲面方程，并判断出它为何种二次曲面.解：二次曲面的矩阵，分别计算不变量，得，，，.特征方程为，特征根为：，，.又由，所以二次曲面的简化方程为：，该曲面为椭圆柱面.例2：化简二次曲面方程.解：二次曲面的矩阵，分别计算不变量，得，，，由故二次曲面为中心二次曲面，特征方程为，特征根为：，，又所以二次曲面的简化方程为：，这是一个
二次曲线化简的方法
二次曲线化简的方法 思维导图 具体方法 相关定义及公式： 移轴公式 1、平面直角坐标变换 转轴公式 一般坐标变换公式： 二次曲线化简的 方法 平面直角坐标变 换 坐标变换 移轴系数变换规 律 转轴系数变换规 律 转轴（主直径） 中心二次曲线 无心二次曲线 线心二次曲线 应用不变量化简二次曲线的方程 中心二次曲线 无心二次曲线 线心二次曲线
其中：l1：A1x+B1y+C1=0；l2：A2x+B2y+C2=0,l1,l2相互垂直 ① ② 这里需要注意的是①中x的系数应和②中y的系数相等，所以在符号选取时要使得这两项系数同号。 2、不变量：由F（x，y）=0的系数组成的一个非常数函数f，如果经过直角坐标变换函数值不变，那么这个函数f叫做二次曲线在直角坐标变换下的不变量；若这个函数f 的值，只是经过转轴变换不变，那么这个函数叫做二次曲线在直角坐标变换下的半不变量。 ① ②
方法介绍： 一、直角坐标变换： 1、坐标变换 一般的，在曲线有中心的前提下，为了计算方便，往往先移轴再转轴 非中心二次曲线先转轴再移轴。 ①移轴下（）二次曲线的新方程为： 化简整理得： 这里有： 在移轴下，二次曲线方程系数的变化规律： （1）二次项系数不变 （2）一次项系数变为 2F1（x0,y0）与2F2(x0,y0) ②在转轴（）下二次曲线的新方程为： 这里有
在转轴下，二次曲线方程系数的变换规律： （1）二次项系数一般要改变。新方程的二次项系数仅与原方程二次项系数及 旋转角有关，而与一次项系数及常数项无关。 （2）新方程的一次项系数： 在转轴下，二次曲线方程的一次项系数 a13，a23的变换规律是与点的坐标x，y的变换规律完全一样，当原方程有一次项时，通过转轴不难完全消去一次项，当原方程无一次项时，通过转轴也不会产生一次项。 （3）常数项不变。 【例题详解方法】 例1【无心二次曲线】 化简二次曲线方程，并画出它的图形 解： 由于二次曲线方程含有xy项，故可先通过转轴消去xy项。设旋转角为α，则有：
圆锥曲线的定义方程和性质知识点总结
椭圆的定义、性质及标准方程 1. 椭圆的定义： ⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<
第五章二次曲线的一般理论
221340;x kt x y xy y y k t =+?+--=? =+?与二次曲线交于一点{}{}()() 00,,1,,1,v X Y k x y k ===第五章 二次曲线的一般理论 §5.1 二次曲线与直线的相关位置 1.求直线x-y-1=0与二次曲线222210x xy y x y -----=的交点. 解: 将y=x-1代入曲线方程,得 ()()()2 22112110,00 x x x x x x --------==即 故直线在二次曲线上. 2.试决定k 的值,使得 (1) 直线50x y -+=与二次曲线230x x y k -++=交于两不同实点; (2) 直线 (3) 直线10x ky --=与二次曲线22(1)10y xy k y ----=交于两个相互重合的实点; (4) 已知直线11x t y t =+??=-? 与二次曲线222420x xy ky x y ++--=有两个共轭虚点，求k 的值 解: (1). 将y=x+5代入二次曲线方程,得 () ()22 250 2450 4160 4,x x k k k k -++>--+>-->∴<-时直线与二次曲线有两个不同的实交点. (2). 二次曲线的矩阵为1 2 231/201/20 ---- 且 .
()()1,,1120,k X Y k k φφ===-≠时，()()5,,,1120, k X Y k k φφ===-≠时1,5k ∴=当()()()2 210,11210,650,4 k k k k ?=+---=-+=即 即{}{}()()00,,1,,1,0, v X Y k x y ==121,5, k k ==()2 2 21 1 ,2011 01 1 X Y X XY Y X Y I φ=++==-==时，：：，同时， ()()()()()21211002002100200430,1,3, 11).1,,10,213 2).3,,,150, 2 1,3,k k k k k F x y X F x y Y k F x y X F x y Y k φ=-+====+=-+ ≠=+=-+≠∴=k,1则当时当时时原直线与二次曲线交于一个实点. (3). 二次曲线的矩阵为1 1 1 1(1)/20(1)/21 k k ----- 且 令 解之，得 1） 当 2） 当 时，直线与二次曲线有二重合实交点. (4). 二次曲线的系数矩阵为 2 21/2 211/21 k ----且:1:(1)X Y =- 取00(,)(1,1),0,x y =<令即27 [(1)(1)](2)(3)02 k k k ++---+< 解得 49 24 k > ，且此时1(1,1)24(1)2024k k Φ-=+-+=->≠， 49 24 k ∴> 时, 直线与二次曲线有两个共轭虚交点。 §5.2 二次曲线的渐进方向、中心、渐进线 1. 求下列二次曲线的渐进方向,并指出曲线是属于何种类型的. ()()()22221230; 23426250;324230.x xy y x y x xy y x y xy x y ++++=++--+=--+= 解:(1) ∴曲线有一个实渐进方向，是抛物型的.
二次曲线的化简性质及应用1
目录 摘要 (1) 0引言 (1) 1二次曲线的化简 (1) 1.1通过移轴化简二次曲线 (2) 1.2利用不变量化简二次曲线 (3) 1.3利用正交变换来化简二次曲线 (4) 2二次曲线的性质 (7) 2.1二次曲线的曲率 (7) 2.1.1椭圆的曲率及性质 (7) 2.1.2抛物线的曲率及性质 (8) 2.1.3双曲线的曲率及性质 (8) 2.2二次曲线的重要性质 (9) 2.2.1椭圆中的定值 (9) 2.2.2双曲线的定值 (9) 2.2.3抛物线的定值 (10) 3二次曲线的应用 (10) 3.1二次曲线的光学性质 (10) 3.1.1抛物线的光学性质 (10) 3.1.2椭圆,双曲线的光学性质 (12) 参考文献 (13) Abstract (13)
二次曲线的化简、性质及应用 作者:—— 指导老师:—— 摘要:本文将化简二次曲线的几种常用方法进行归总结,并着重强调强调用正交合同变换来化简二次曲线.实现解析几何与高等代数的结合.并进一步总结出二次曲线的一些性质和应用. 关键词:正交变换;曲率;光学性质 0 引言 二次曲线与我们的生活密切相关,它们的某些性质在生产、生活中被广泛应用.一般二次曲线的化简、性质及应用是平面解析几何的中心研究课题, 如何将二次曲线方程进行化简, 是二次曲线一般理论的主要问题之一.参考文献[1]中讲述了两种方法,一是利用移轴与转轴来化简二次曲线, 这种方法的实质是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径重合的位置,它的优点在于不需要用高等代数知识.缺点是不能一步到位,且化简过程较为复杂.二是利用不变量与半不变量方法.先计算出二次曲线的不变量和半不变量,然后可判断已知曲线为何种曲线,同时也可直接求出它的简化方程.此法的优点是快捷,但无法画出二次曲线的图形. 针对以上两种方法的优缺点,利用参考文献[2]中二次曲线与二次型的关系,应用高等代数有关理论化简欧式平面上二次曲线方程为标准方程,通过举例说明化简二次曲线方程为标准方程的方法过程及应用的有关高等代数知识,阐述了高等代数指导学习其他几何学的意义. 对于二次曲线的性质,通过查看各种资料将二次曲线的一些重要性质进行了系统的归纳总结. 1 二次曲线的化简 我们知道二次型理论源于化二次曲线和二次曲面为标准形式的
圆锥曲线方程知识点总结
§8.圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义：为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2, 2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+ ⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12 222 b a b y a x =+ . ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12 22 2 b a b x a y =+ . ②一般方程：)0,0(122 B A By Ax =+. ③椭圆的标准方程：122 2 2=+ b y a x 的参数方程为?? ?==θ θsin cos b y a x （一象限θ应是属于20π θ ）. ⑵①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±. > ②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2. ③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -. ④焦距：2221,2b a c c F F -==. ⑤准线：c a x 2±=或c a y 2 ±=. ⑥离心率：)10( e a c e =. ⑦焦点半径： i. 设),(00y x P 为椭圆 )0(12222 b a b y a x =+ 上的一点，21,F F 为左、右焦点，则 》 ii.设),(00y x P 为椭圆)0(12 22 2 b a a y b x =+ 上的一点，21,F F 为上、下焦点，则 由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002 200201 x a ex x c a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减”. 注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(222 2a b c a b d -=和),(2a b c ⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆 )0(12 22 2 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c a c e -== ，方程t t b y a x (2 22 2=+是大于0的参数，)0 b a 的离心率也是a c e = 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆： 12 22 2=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ?的面积为2 tan 2θ b （用 ? -=+=0201,ex a PF ex a PF ? -=+=0201,ey a PF ey a PF
曲线方程及圆锥曲线的综合问题
普通高中课程标准实验教科书一数学［人教版］ 高三新数学第一轮复习教案(讲座35)—曲线方程及圆锥曲线的综 合问题 一.课标要求： 1 ?由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练； 2?通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想； 3.了解圆锥曲线的简单应用。 二.命题走向 近年来圆锥曲线在高考中比较稳定，解答题往往以中档题或以押轴题形式出现，主要考 察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但圆锥曲线 在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2007年高考对本讲的考察，仍将以以下 三类题型为主。 1.求曲线(或轨迹)的方程，对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力； 2?与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。 预测07年高考： 1.出现1道复合其它知识的圆锥曲线综合题； 2?可能出现1道考查求轨迹的选择题或填空题，也可能出现在解答题中间的小问。 .要点精讲 1.曲线方程 (1)求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下: 这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化” (2)求曲线方程的常见方法： 直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。 转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动
点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。 几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。 参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y 联系起来，得到用参数表示的方程。如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。 2 ?圆锥曲线综合问题 (1)圆锥曲线中的最值问题、范围问题 通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的 最值问题。这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等 式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。 圆锥曲线的弦长求法： 设圆锥曲线C： f(x, y)=0与直线I ：y=kx+b相交于A(x1, y1)、B(x2, y2)两点，则弦 长| AB|为： (1) 1 AB|= Jl + k" ■ |至］一葢jL + k? * J(签i+窿］)】_4耳］嘉 或|AB|二J1 +存I珀-讣J1 +占》丁⑦+力尸-细诙. 若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|. 在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出 相应的最值.注意点是要考虑曲线上点坐标(x, y)的取值范围。 (2)对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题 它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。 (3)实际应用题 数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同时课本上也出现了许多与圆 锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等。 涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转 化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是： 建立坐标系 (4)知识交汇题 圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强 区分度的综合题。 四.典例解析 题型1 :求轨迹方程 例1. (1) 一动圆与圆x2 y2 6x 5 0外切，同时与圆x2 y2 6x 91 0内切,求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
§5.6 二次曲线方程的化简与分类
§5.6 二次曲线方程的化简与分类 一、平面坐标变换 1.移轴和转轴： 如果平面内一点的旧坐标与新坐标分别为 (x, y)与(x', y')，则移轴公式为 或 式中(x0, y0)为新坐标系原点在旧坐标系里的坐标. 转轴公式为 或 式中α为坐标轴的旋转角. 前一公式为正变换公式，后一公式为逆变换公式. 注意两个变换的矩阵互为逆矩阵，因是正交变换，从而互为转置矩阵. 2. 一般坐标变换公式为 或 3.设在直角坐标系里给定了两条相互垂直的直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0, 其中A1A2＋B1B2＝0，如果取l1 为新坐标系中的横轴O'x'，而直线l2为纵轴O'y'，并设平面上任意点M的旧坐标与新坐标分别是 (x, y)与 (x'，y'), 则有 其中正负号的选取应使第一式右端x的系数与第二式右端y的系数相等，即要使得这两项的系数是同号的. 二、坐标变换对二次曲线方程系数的影响 1．在移轴下，二次曲线F(x, y)≡a11x2 + 2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0的方程变为
即新方程为 这里 因此，在移轴下，二次曲线方程系数的变化规律为： （1）二次项系数不变； （2）一次项系数变为 2F1(x0, y0)与 2F2(x0, y0)； （3）常数项变为F(x0, y0). 从而当二次曲线有中心时，可作移轴，使原点与二次曲线的中心重合，则在新坐标系下二次曲线的新方程中一次项消失. 2．在转轴下，二次曲线 F(x, y)≡a11x2 + 2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0 的方程变为 即新方程为 这里 因此，在转轴下，二次曲线方程系数的变化规律为： （1）二次项系数一般要改变. 新方程的二次项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关，而与一次项系数及常数项无关. （2）一次项系数一般要改变. 新方程的一次项系数仅与原方程的一次项系数及旋转角有关，而与二次项系数及常数项无关. 当原方程有一次项时，通过转轴不能完全消去一次项，当原方程无一次项时，通过转轴也不能产生一次项. （3）常数项不变. 从而当二次曲线方程中a12≠0时，选取旋转角α，使 , 则在新坐标系下二次曲线的新方程中xy项消失. 三、二次曲线的方程化简 1．利用坐标变换化简二次曲线的方程，在中心曲线时一般应先移轴后转轴；在非中心曲线时则一般应先转轴后移轴. 例1．利用移轴与转轴, 化简下列二次曲线的方程，并画出它们的图形.
6.5二次曲面方程的化简与位置确定
§6.5 二次曲面方程的化简与位置确定 本节重点：掌握利用不变量化简二次曲面的方法并能确定新坐标系的位置 一 有心二次曲面 对于有心二次曲面，取其一个中心为新坐标原点' O ，这时在新坐标系下，' O 的坐标为 )0,0,0(，它满足关于中心的方程 ?????=+++=+++=+++0 00'34''33''32''31 ' 24''23''22''21'14''13''12''11a z a y a x a a z a y a x a a z a y a x a (6.5.1) 把)0,0,0(代入(6.5.1)便得到' 34 '24'14a a a ==，因此有 6.5.1定理 若取有心二次曲面的一个中心为原点，则这个二次曲面在这个坐标系下的一次项系数为0。 结合上节结果得到，若二次曲面是有心二次曲面，则取其一个中心为新原点，对应于两个相异特征根21,λλ的两个单位特征向量为新坐标向量→→' ',j i ，取另一个坐标向量为 →→→ ?=' ''j i k ，那么在这个新坐标系下，二次曲面的方程为 0' 442'32'22'1=+++a z y x λλλ 其中3λ是这个二次曲面的另一个特征根，至于' 44a 可用下面方法得到 (1) 用中心的坐标表示' 44a ， 因为转轴不改变常数项，因此常数项由移轴决定，由(6.3.20)可得 ),,(000'44z y x F a = 其中),,(000z y x 是新原点上的坐标。但因为 ),,(),,(),,(),,(),,(0004000300002000010000z y x F z y x F z z y x F y z y x F x z y x F +++= 而),,(000z y x 是二次曲面中心，因此)3,2,1(),,,(000=i z y x F i 因此 ),,(0004'44z y x F a = (2) 用不变量求' 44a 若二次曲面是中心二次曲面，则3I 是其中心方程组的系数行列式，因此03≠I ，即
二次曲线方程的化简与分类
2015届本科毕业论文（设计）论文题目：二次曲线方程的化简与分类 学院：数学科学学院 专业班级：数学与应用数学11-1班 学生姓名：努尔麦麦提.艾则孜 指导教师：候传燕老师 答辩日期：2015年5月6日 新疆师范大学教务处
目录 摘要 (1) 1前言 (3) 2二次曲线方程的化简与分类 (4) 2.1方程的化简 (4) 2 .1.1 中心曲线方程的化简.... . (4) 2 .1.2 无心曲线方程的化简 (4) 2 .1.3 线心曲线方程的化简 (5) 2.2 二次曲线的分类 (6) 2 .2 .1 二次曲线方程的不变量 (7) 2 .2 .2用不变量确定二次曲线的标准方程 (10) 2 .2 .3用配方法化简二次曲线方程 (11) 3总结 (16) 4参考文献 (17) 致谢 (18)
二次曲线方程的化简与分类 摘要：本文基本研究了二次方程化简和分类的多种方法：坐标变换法；不变量法；配方法等.并在此基础归纳总结出两种新的简便的方法，即不变量法和配方法详细介绍了二次曲线化简具体方法与步骤. 关键词：二次曲线；标准方程；不变量；参数法；配方法；
The two curve equation simplification and classification Abstract：This paper studies the method of two kinds of equation simplification and classification: the method of coordinate transformation; invariant method; factorization method. And on the basis of summarizing two new simple method, namely the method and parameter method, described in detail the specific methods and steps two times curve simplification. Key words：Two standard curve; equation; invariant method; parameter method;
二次曲线方程的化简与应用
山西师范大学 现代文理学院（数计系） 毕业论文 论文题目：二次曲线方程的化简与应用 学生姓名：刘彦雪 学号： 1290110415 专业：数学与应用数学 班级： 1204班 指导教师：范青龙 二零一四年十一月四号
目录 摘要 (2) （一）、二次曲线的相关定义 (2) （二）、平面直角坐标变换 (3) 2.1二次曲线方程的化简与分类 (3) 2.2 利用系数的影响规律化简方程 ............................................. 错误！未定义书签。（三）、应用举例.. (7) （四）、结束语 (10) 参考文献 (11)
二次曲线方程的化简与应用 刘彦雪 摘要 二次曲线方程的化简是二次曲线理论的重要内容，是教学的一个难点，这方面的研究文献较多，分别总结出很多有效的方法。 文献给出了通过对二次曲线方程配方变形、直角坐标变换对二次曲线方程进行分类、化简;然后根据直线与二次曲线相交时参数t 的几何意义,确定二次曲线的标准方程.从而解决了利用坐标系 的平移,旋转对二次曲线方程分类,化简时运算复杂或无法确定图形具体位置等问题.本论文首先对定义进行归纳总结，运用验证类比以及大量的举例对二次曲线化简作了说明，其次给出了一些方法和过程及证明，然后作出了归纳总结。 关键词 定义； 二次曲线； 平面直角坐标变换 （一）、相关定义 1.1.在平面上，由二元二次方程 ()22111222132333,2220 F x y a x a xy a y a x a y a =+++++= 所表示的曲线,叫做二 次曲线. 1.2 有唯一中心的二次曲线叫做中心二次曲线;没有中心的二次曲线叫做无心二次曲线;有一条中心直线的二次曲线叫做线心二次曲线.无心二次曲线与线心二次曲线统称为非中心二次曲线. 1.3 把一个点对于某一坐标系的坐标变换称为同一个点对于另一种坐标系的坐标,这种变换称为坐标变换. 1.4 由曲线方程的系数给出的函数,如果在经过任意一个直角坐标变换后,
圆锥曲线定义标准方程及性质
圆锥曲线定义、标准方程及性质 一．椭圆 定义Ⅰ：若F 1，F 2是两定点，P 为动点，且21212F F a PF PF >=+ （a 为常数）则P 点的轨迹是椭圆。 定义Ⅱ：若F 1为定点，l 为定直线，动点P 到F 1的距离与到定直线l 的距离之比为常数e （0
二次曲线方程的化简
二次曲线方程的化简 一、平面坐标变换 1.移轴和转轴： 如果平面内一点的旧坐标与新坐标分别为 (x, y)与(x', y')，则移轴公式为 或 式中(x0, y0)为新坐标系原点在旧坐标系里的坐标. 转轴公式为 或 式中α为坐标轴的旋转角. 前一公式为正变换公式，后一公式为逆变换公式. 注意两个变换的矩阵互为逆矩阵，因是正交变换，从而互为转置矩阵. 2. 一般坐标变换公式为 或 3.设在直角坐标系里给定了两条相互垂直的直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0, 其中A1A2＋B1B2＝0，如果取l1 为新坐标系中的横轴O'x'，而直线l2为纵轴O'y'，并设平面上任意点M的旧坐标与新坐标分别是 (x, y)与 (x'，y'), 则有 其中正负号的选取应使第一式右端x的系数与第二式右端y的系数相等，即要使得这两项的系数是同号的. 二、坐标变换对二次曲线方程系数的影响 1．在移轴下，二次曲线F(x, y)≡a11x2 + 2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0的方程变为
即新方程为 这里 因此，在移轴下，二次曲线方程系数的变化规律为： （1）二次项系数不变； （2）一次项系数变为 2F1(x0, y0)与 2F2(x0, y0)； （3）常数项变为F(x0, y0). 从而当二次曲线有中心时，可作移轴，使原点与二次曲线的中心重合，则在新坐标系下二次曲线的新方程中一次项消失. 2．在转轴下，二次曲线 F(x, y)≡a11x2 + 2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0 的方程变为 即新方程为 这里 因此，在转轴下，二次曲线方程系数的变化规律为： （1）二次项系数一般要改变. 新方程的二次项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关，而与一次项系数及常数项无关. （2）一次项系数一般要改变. 新方程的一次项系数仅与原方程的一次项系数及旋转角有关，而与二次项系数及常数项无关. 当原方程有一次项时，通过转轴不能完全消去一次项，当原方程无一次项时，通过转轴也不能产生一次项. （3）常数项不变. 从而当二次曲线方程中a12≠0时，选取旋转角α，使 , 则在新坐标系下二次曲线的新方程中xy项消失. 三、二次曲线的方程化简 1．利用坐标变换化简二次曲线的方程，在中心曲线时一般应先移轴后转轴；在非中心曲线时则一般应先转轴后移轴. 例1．利用移轴与转轴, 化简下列二次曲线的方程，并画出它们的图形.
二次曲线方程的化简
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二次曲线方程的化简 作者：朱玉清， 柳静 作者单位：南阳理工学院,河南,南阳,473004 刊名： 南阳理工学院学报 英文刊名：JOURNAL OF NANYANG INSTITUTE OF TECHNOLOGY 年，卷(期)：2009，1(6) 被引用次数：0次 参考文献(9条) 1.吕林根,许子道.解析几何[M].北京:高等教育出版社,1987. 2.张卯.化简二次曲线方程的一种简捷方法[J].周口师专学报,1996,13(4):11-16. 3.翟娟,席芳渊.参数法化简二次曲线方程[J].中学数学教学,1994(4):24-25. 4.苏婷.二次曲线方程化简[J].陕西师范大学继续教育学报,2006(23):247-249. 5.文开庭.二次曲线的一种化简方法[J].毕节师专学报,1995(2):66-71. 6.林梦雷.二次曲线方程的化简[J].漳州师范学院学报,1999,12(1):22-26. 7.席高文,刘晓君.二次曲线方程分类与化简的新方法[J].许昌师专学报,2001,20(2):6-13. 8.廖民勋.二次曲线方程的化简及作图[J].广西师院学报,1997,14(2):76-81. 9.崔萍,高真秋.二次曲线方程化简与作图的简易方法[J].曲靖师范学院学报.2007,11(16):26-87. 相似文献(4条) 1.期刊论文张万生.董文瑾综合直角坐标变换对二次曲线方程的作用规律-数学教学研究2008,27(7) 本文进一步总结、探究直角坐标系的移轴和转轴,特别是综合变换对二次曲线方程的作用规律,为利用综合变换一次性化简曲线方程及作图做好必要的准备. 2.期刊论文崔萍.高真秋.Cui Ping.Gao Zhenqiu二次曲线方程化简与作图的简易方法-曲靖师范学院学报2007,26(6) 针对二次曲线方程化简与作图的方法,有的化简简单,但难于作图;有的化简繁琐,但易于作图.寻找一种既易于化简又易于作图的简便方法是一个值得研究的问题.文章在深入探讨二次曲线方程化简并作图的四种方法:坐标变换法、主直径主方向法、不变量与半不变量法、因式分解法的基础上,通过分析,归纳这四种方法之间的联系,给出一种相对于前四种方法对化简二次曲线方程并作图更为简便的方法,得到两个主要结论. 3.期刊论文张宇浅谈二次曲线方程的化简-网络财富2009(17) 二次曲线的化简是解析几何的中心研究问题,本文主要讨论二次曲线方程化简的几种常用的方法:坐标变换法,主直径、主方向法,不变量法,参数法和综合法,并给出各种方法优缺点的比较. 4.期刊论文夏艳.苏中.吴细宝.鄂盛国.XIA Yan.SU Zhong.WU Xi-bao.E Sheng-guo基于结构光的柱体工件直径测量-火力与指挥控制2008,33(12) 为实现柱状工件直径的实时快速非接触测量,利用结构光原理,对柱体直径的视觉测量方法进行了研究.详细介绍了结构光法测直径的原理和步骤,以及激光平面的标定和坐标变换求解空间二次曲线方程及特征参数的方法.实验证明该方法测量速度快,精度适中的特点,适用于大批量产品在线测量,亦适用于恶劣环境下的测量. 本文链接：https://www.360docs.net/doc/ed3184570.html,/Periodical_nylgxyxb200906017.aspx 授权使用：武汉大学(whdx)，授权号：7161b81c-341e-437d-9f57-9ecd00ff9e62 下载时间：2011年4月22日
二次曲线方程的化简与分类
二次曲线方程的化简与分类
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2015届本科毕业论文（设计）论文题目：二次曲线方程的化简与分类 学院：数学科学学院 专业班级：数学与应用数学11-1班 学生姓名：努尔麦麦提.艾则孜 指导教师：候传燕老师 答辩日期：2015年5月6日 新疆师范大学教务处
目录 摘要 (1) 1前言 (3) 2二次曲线方程的化简与分类 (4) 2.1方程的化简 (4) 2 .1.1 中心曲线方程的化简.... . (4) 2 .1.2 无心曲线方程的化简 (4) 2 .1.3 线心曲线方程的化简 (5) 2.2 二次曲线的分类 (6) 2 .2 .1 二次曲线方程的不变量 (7) 2 .2 .2用不变量确定二次曲线的标准方程 (10) 2 .2 .3用配方法化简二次曲线方程 (11) 3总结 (16) 4参考文献 (17) 致谢 (18)
二次曲线方程的化简与分类 摘要：本文基本研究了二次方程化简和分类的多种方法：坐标变换法；不变量法；配方法等.并在此基础归纳总结出两种新的简便的方法，即不变量法和配方法详细介绍了二次曲线化简具体方法与步骤. 关键词：二次曲线；标准方程；不变量；参数法；配方法；
The two curve equation simplification and classification Abstract：This paper studies the method of two kinds of equation simplification and classification: the method of coordinate transformation; invariant method; factorization method. And on the basis of summarizing two new simple method, namely the method and parameter method, described in detail the specific methods and steps two times curve simplification. Key words：Two standard curve; equation; invariant met hod; parameter method;
曲线方程及圆锥曲线典型例题解析
曲线方程及圆锥曲线典型例题解析 一．知识要点 1．曲线方程 步骤含义说明 1、“建”：建立坐标系；“设”：设动点坐标。建立适当的直角坐标 系，用(x,y)表示曲线上任 意一点M的坐标。 (1)所研究的问题已给出坐标系，即可直接 设点。 (2)没有给出坐标系，首先要选取适当的坐 标系。 2、现(限)：由限制条件，列出几何等式。写出适合条件P的点M 的集合P={M|P(M)} 这是求曲线方程的重要一步，应仔细分析 题意，使写出的条件简明正确。 3、“代”：代换用坐标法表示条件 P(M)，列出方程f(x,y)=0 常常用到一些公式。 4、“化”：化简化方程f(x,y)=0为最简 形式。 要注意同解变形。 5、证明证明化简以后的方程的 解为坐标的点都是曲线 上的点。化简的过程若是方程的同解变形，可以不要证明，变形过程中产生不增根或失根，应在所得方程中删去或补上(即要注意方程变量的取值范围)。 （2）求曲线方程的常见方法： 直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。 转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。 几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。 参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y 联系起来，得到用参数表示的方程。如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。 2．圆锥曲线综合问题 （1）圆锥曲线中的最值问题、范围问题 通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。 圆锥曲线的弦长求法： 设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为： 若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|． 在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围。
空间解析几何 第四章一般二次曲线与二次曲面
第四章一般二次曲线与二次曲面 这一章讨论用一般方程给出的二次曲线，在适当选取的坐标系中可以把它们的一般方程化成标准方程，从而达到判断一般方程所表示的曲线的类型与位置的目的。其次用不变量对二次曲线与二次曲面进行分类。 §4.1直角坐标变换 平面上的一般坐标变换可以看成是平移与旋转两种变换连续进行的结果。因此下面先分别介绍这两种变换，再研究一般的坐标变换。 4.1.1平面直角坐标平移 设Oxy 和O x y '''是同一个平面上的两个直角坐标系，它们的轴的方向和度量单位相同，只是原点位置不同（图4-1-1），那么平面上任意一点P 在坐标系Oxy 中的坐标(,)x y 和在坐标系O x y '''中的坐标(,)x y ''有什么联系呢？ 设O '在Oxy 中的坐标为00(,)x y ，从点P 向各坐标轴作平行线，从图4-1-1中容易看出： x x x y y y '=+?? '=+? （4.1.1） 这就是将原点O 平移到00(,)O x y '的坐标变换，其中(,)x y 和(,)x y ''分别是平面上同一点 P 在旧坐标系Oxy 和新坐标系O x y '''中的坐标。这种坐标变换叫做平移。如果用旧坐标表示 新坐标，那么有 x x x y y y '=-?? '=-? （4.1.2） （4.1.1）和（4.1.2）都是平移公式。 x'x 图4-1-1 例1 用平移化简2 2490x x y --+=，并画出它的图形。 解 原方程可以移项、配方成 2 (1)4(2)x y -=-
将原点O 移到(1,2)O '，即作平移： 1 2x x y y '=-?? '=-? 那么，在新坐标系O x y '''中，方程简化成2 4x y ''=。这是一条开口向上，焦参数为2的抛物线，如图4-1-2。 图4-1-2 4.1.2平面直角坐标旋转 设坐标原点O 不动，将坐标系的两条轴同时绕原点旋转一个角度θ得到一个新的坐标系 Ox y ''（图4-1-3） ，那么平面上任意一点P 的新、旧坐标之间的关系又如何呢？ 如图1.3所示，有 ||cos ||cos() ||sin ||sin() x OM OP MOP OP y MP OP MOP OP ?θ?θ==∠=+?? ==∠=+? 利用两角和的三角展开式，我们有 ||cos cos ||cos sin ||cos sin ||sin cos x OP OP y OP OP ?θ?θ ?θ?θ=-?? =+? 但||cos ,||sin x OM OP y M P OP ??''''====，以此代入上面两个展开式中，即得 cos sin sin cos x x y y x y θθ θθ''=-?? ''=+? （4.1.3） 这就是转角为θ的坐标旋转公式，其中(,)x y 和(,)x y ''分别是平面上同一点P 在旧坐标系Oxy 和新坐标系Ox y ''中的坐标。如果用旧坐标表示新坐标，那么从（4.1.3）中解出,x y ''，则得到 cos sin sin cos x x y y x y θθ θθ'=+?? '=-+? （4.1.4）