基础知识天天练 数学7-4

第7模块第4节

[知能演练]

一、选择题

1．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是

() A．异面B．相交

C．平行D．不确定

解析：由线面平行的性质定理容易推出，该直线应该与交线平行．

答案：C

2．已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，则下列命题是真命题的是

()

①若m?α，n∥α，则m∥n；

②m⊥n，m⊥β，则n∥β；

③α∩β＝n，m∥n，则m∥α且m∥β；

④若m⊥α，m⊥β，则α∥β.

A．①③B．②③

C．③④D．④

解析：①中m、n可能异面，②中n可能在平面β内，③中m可能在平面α或β内．答案：D

3．下列命题正确的是

() A．直线a与平面α不平行，则直线a与平面α内的所有直线都不平行

B．如果两条直线与平面α所成的角相等，则这两条直线平行

C．垂直于同一直线的两个平面平行

D．直线a与平面α不垂直，则直线a与平面α内的所有直线都不垂直

解析：当直线a在平面α内时，它与平面α不平行，但a可以与平面α内的一些直线平行，故选项A错误；两条直线与平面α所成的角相等时，这两条直线可以平行，但也可能相交或异面，故选项B错误；直线a与平面α不垂直，但直线a可以与平面α内的一些直线垂直，故选项D错误，只有选项C正确．

答案：C

4．给出下列关于互不相同的直线m，l，n和平面α，β的四个命题：

①若m?α，l∩α＝A，点A?m，则l与m不共面；

②若m ，l 是异面直线，l ∥α，m ∥α，且n ⊥l ，n ⊥m ，则n ⊥α； ③若l ∥α，m ∥β，α∥β，则l ∥m ；

④若l ?α，m ?α，l ∩m ＝A ，l ∥β，m ∥β，则α∥β. 其中为假命题的是

( )

A ．①

B ．②

C ．③

D ．④

解析：①为真，依据的是异面直线的判定法则；②为真，l ，m 在α内的射影为两相交直线l ′，m ′，可知l ′∥l ，m ′∥m ，又n ⊥l ，n ⊥m ，所以n ⊥l ′，n ⊥m ′，所以n ⊥α；③中l 、m 可能平行，也可能相交或异面，为假命题；④由两平面平行的判定定理可知为真命题，故假命题为③.

答案：C 二、填空题

5．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，∠A ＝60°，G 为重心，过G 的平面α与BC 平行，AB ∩α＝M ，AC ∩α＝N ，则MN ＝________.

解析：如下图，在△ABC 中，由余弦定理知BC ＝39，∵BC ∥α，∴MN ∥BC ，又G 是△ABC 的重心，∴MN ＝23BC ＝2393

.

答案：239

3

6．如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a

3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，

Q 在CD 上，则PQ ＝________.

解析：如图所示，连接AC ，

易知MN ∥平面ABCD ， ∴MN ∥PQ .

又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC ， 又∵AP ＝a

3，

∴

PD AD ＝DQ CD ＝PQ AC ＝23，∴PQ ＝23AC ＝223

a . 答案：223a

三、解答题

7．如下图，E 、F 、G 、H 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱BC 、CC 1、C 1D 1、AA 1

的中点．

(1)求证：EG ∥平面BB 1D 1D ； (2)求证：平面BDF ∥平面B 1D 1H .

解：(1)取B 1D 1的中点O ，连结GO ，OB ，易证四边形BEGO 为平行四边形，故OB ∥GE ，由线面平行的判定定理即可证EG ∥平面BB 1D 1D .

(2)由正方体得BD ∥B 1D 1.如图，连结HB 、D 1F ，易证四边形HBFD 1是平行四边形，故HD 1∥BF .又B 1D 1∩HD 1＝D ，BD ∩BF ＝B ，所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .

8．如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，侧面PBC 内有BE ⊥PC 于E ，且BE ＝

6

3

a ，试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面P AD .

解：∵BE ⊥PC ，∴EC ＝BC 2

－BE 2

＝

a 2

－2a 23＝3

3

a .在Rt △PBC 中，BE 2＝EP ·EC ，

∴EP ＝BE 2

EC ＝23a 2

3

3

a ＝233a ，∴PE EC ＝2.当AF

FB ＝2时，可以使EF ∥平面P AD .

证明：如下图．在PD 上取一点G ，使PG GD ＝2，连结EG ，AG ，则有EG 綊23AB

綊2

3CD ，

∴EG 綊AF ，

∴四边形AFEG 为平行四边形．

∴EF ∥AG ，又∵AG ?平面P AD ，EF ?平面P AD ，∴EF ∥平面P AD .

[高考·模拟·预测]

1．下列命题中正确的个数是

( )

①若直线a 不在α内，则a ∥α；

②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α；

③若直线l 与平面α平行，则l 与α内的任意一条直线都平行；

④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ⑤若l 与平面α平行，则l 与α内任何一条直线都没有公共点； ⑥平行于同一平面的两直线可以相交． A ．1 B ．2 C ．3

D ．4

解析：①②中a 可与α相交，③中l ∥α，只能说明有一系列的平行线与l 平行，④中另一条线可能在面内，⑤正确，⑥正确．

答案：B

2．设m ，n 是平面α内的两条不同直线；l 1、l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是

() A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2

C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2

解析：因m?α，l1?β，若α∥β，则有m∥β且l1∥α，故α∥β的一个必要条件是m∥β且l1∥α，排除A.因m，n?α，l1，l2?β且l1与l2相交，若m∥l1且n∥l2，因l1与l2相交，故m与n也相交，故α∥β；若α∥β，则直线m与直线l1可能为异面直线，故α∥β的一个充分而不必要条件是m∥l1且n∥l2，故选B.

答案：B

3．设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是

() A．若l⊥α，α⊥β，则l?β

B．若l∥α，α∥β，则l?β

C．若l⊥α，α∥β，则l⊥β

D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β

解析：对于选项A、B、D均可能出现l∥β，而对于选项C是正确的．

答案：C

4．如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz

上，则在下列命题中，错误

．．的为

()

A．O－ABC是正三棱锥

B．直线OB∥平面ACD

C．直线AD与OB所成的角为45°

D．二面角D－OB－A为45°

解析：将原图补为正方体不难得出B为错误，故选B.

答案：B

5．如下图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q 分别为AE，AB的中点．

(1)证明：PQ ∥平面ACD ；

(2)求AD 与平面ABE 所成角的正弦值． 解：(1)因为P ，Q 分别为AE ，AB 的中点， 所以PQ ∥EB .又DC ∥EB ，因此PQ ∥DC ， 由于PQ ?平面ACD ，DC ?平面ACD 从而PQ ∥平面ACD . (2)如下图，连接CQ ，DP .

因为Q 为AB 的中点，且AC ＝BC ， 所以CQ ⊥AB .

因为DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ， 所以EB ⊥平面ABC . 因此CQ ⊥EB ， 故CQ ⊥平面ABE .

由(Ⅰ)知PQ ∥DC ，又PQ ＝1

2EB ＝DC ，

所以四边形CQPD 为平行四边形， 故DP ∥CQ ，

因此DP ⊥平面ABE ，∠DAP 为AD 和平面ABE 所成的角． 在Rt △DP A 中，AD ＝5，DP ＝1， sin ∠DAP ＝

55

. 因此AD 和平面ABE 所成角的正弦值为

55

. [备选精题]

6．如图平面内两正方形ABCD 与ABEF ，点M 、N 分别在对角线AC 、FB 上，且AM ∶MC

＝FN ∶NB ，沿AB 折成直二面角．

(1)证明：折叠后MN ∥平面CBE ；

(2)若AM ∶MC ＝2∶3，在线段AB 上是否存在一点G ，使平面MGN ∥平面CBE ？若存在，试确定点G 的位置．

解：(1)如图，设直线AN 与BE 交于点H ，

连接CH ，

∵△ANF ∽△HNB ， ∴FN NB ＝AN NH ，又AM MC ＝FN NB ， ∴

AN NH ＝AM

MC

，∴MN ∥CH . 又MN ?平面CBE ，CH ?平面CBE ， ∴MN ∥平面CBE .

(2)存在，过M 作MG ⊥AB ，垂足为G ，连接NG ， 则MG ∥BC ， ∴MG ∥平面CBE .

又MN ∥平面CBE ，MG ∩MN ＝M ， ∴平面MGN ∥平面CBE ，

即G 在AB 线上，且AG ∶GB ＝AM ∶MC ＝2∶3.