空间几何向量求二面角专项练习
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1. 如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD =
2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60°
（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。
2. 如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=?,E ，F 分别是BC , PC 的
中点.
（Ⅰ）证明：AE ⊥PD ;
（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为6
2
，求二面角E —AF —C 的余弦值.
3.如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。
（1） 证明：直线EE 1//平面FCC 1；求二面角B-FC 1-C 的余弦值。
4.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形． 已知 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．
（Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ；
（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角A BD P --的大小．
5.如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面
ABCD ，PA ＝2.
（Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ;
（Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小. 6.如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，
AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥；
（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小；
E A
B
C
F
E 1
A 1
B 1
C 1
D 1
D A
B
C
E
D
P A
C
B P
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6. 已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。 （1）求证：AC 1⊥BC ；
（2）求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。
7. 如图，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求平面AB 1E 和底面A 1B 1C 1D 1所成锐角的余弦值.
8.如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD, AD//BC//FE ，AB ⊥AD ，M 为
EC 的中点，AF=AB=BC=FE=1
2
AD
(I) 求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (II) 证明平面AMD ⊥平面CDE ； 求二面角A-CD-E 的余弦值
9. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥侧面11A ABB . （Ⅰ）求证：AB BC ⊥；
（Ⅱ）若直线AC 与平面1A BC 所成的角为θ,二面角1A BC A --的大小为
?，试判断θ与?的大小关系，并予以证明.
10，在底面是直角梯形的四棱锥S —A BCD 中，AD//BC ，∠A BC=900，
S A ⊥面A BCD ，S A =21，A B=BC=1，A D=21
。 求侧面SCD 与面SB A 所
成的二面角的大小。
11.如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为 2，D 为1CC 中点．
（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ；
A
B
B 1
C 1
A 1
L
A
D B
C E
D B
A
图5
A
z
y
x
D
C
B
S
A
B
C
D
1
A 1
C
1
B
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D
P
B
A
C
E
（Ⅱ）求二面角11C B A A --的大小；
12.如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，
PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=，E F ，分别是BC PC ，的中点． （1）证明：AE PD ⊥；
（2）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为62
，求二面角E AF C --的余弦值．
13．如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABC Ｄ中，∠ABC=600，PA=AC=a ，PB=PD=a 2,点E 在PD 上，且PE:ED=2:1. （1）证明PA ⊥平面ABCD ；
（2）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小
14．如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=AA 1=1，，AB 1与A 1B
相交于点D ，M 为B 1C 1的中点. （1）求证：CD ⊥平面BDM ；
（2）求平面B 1BD 与平面CBD 所成二面角的大小.
15．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，且PD=AB=a ，E 为PB 的中点.
（1）求异面直线PD 与AE 所成的角的大小；
（2）在平面PAD 内求一点F ，使得EF ⊥平面PBC ； （3）在（2）的条件下求二面角F —PC —E 的大小.
16. 如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1， E 、F 、M 、N 分别是A 1B 1、BC 、C 1D 1、B 1C 1 的中点.
（1）用向量方法求直线EF 与MN 的夹角； （2）求直线MF 与平面ENF 所成角的余弦值； （3）求二面角N —EF —M 的平面角的正切值.
P
B
E
C
D
F
A
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