上海市建平中学2020届高三下学期7月摸底数学试题

上海市建平中学2020届高三下学期7月摸底数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题 1．行列式

2002

=______.

2．已知集合{}420A x x =-≤≤，{}

5B x x =≥，则A B =______.

3．不等式

3

11

x x +>+的解集为______. 4．从某校高中3个年级按分层抽样抽取了100人作为调研样本，其中有80人来自高一和高二，若知高一和高二总人数共计900人，则高三学生的总人数为______. 5．若函数()()3log f x x a =+的反函数的图象经过点()1,2，则实数a =______.

6．已知空间向量(),a x y =-，()

,b y x =-，则a 与b 的夹角为______.

7．已知双曲线C 的焦点在坐标轴上，渐近线方程为2

y x =±，若点()4,2在C 上，则双曲线C 的焦距为______.

8．若复数z 满足0z z z z ?++=，则复数12z i --的最大值为______.

9．珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的《数术记遗》?2021年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产.如图，我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”.未记数（或表示零）时，每档的各珠位置均与图中最左档一样；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个下珠表示“1”，例如：当千位档一个上珠、百位档一个上珠、十位档一个下珠、个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是5515.现选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，若规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，这个数能被3整除的概率为______.

10．已知x C ∈，且5

10x -=，则4321

=x x x x

+++_____．

11．已知ABC 的面积为3，P ，Q 为ABC 所在平面内异于点A 的两个不同的点，若()120PA PC λ-+=且QA QB QC BC λλλ++=，其中0λ>，则APQ 的面积为______.

二、解答题

12．存在实数α∈R 使得m ，则

实数m 的取值范围为______.

13．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，8AB =，5BC =，14AA =，平面α截长方体得到一个矩形EFGH ，且112A E D F ==，5AH DG ==．

（1）求截面EFGH 把该长方体分成的两部分体积之比； （2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．

14．已知定义在()1,1-上的奇函数()f x ，当()0,1∈x 时，()241

x

x f x =+.

（1）当()0,1∈x 时，解方程()25

f x =； （2）求()f x 在区间

1,0上的解析式.

15．某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD 内举行机器人拦截挑战赛，在E 处按

EP 方向释放机器人甲，同时在A 处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q 处成功拦

截机器人甲.若点Q 在矩形区域ABCD 内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败.已知18AB =米，E 为AB 中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记EP 与EB 的夹角为θ.

（1）若3

πθ=

，AD 足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？

（2）如何设计矩形区域ABCD 的宽AD 的长度，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD 内成功拦截机器人甲？

16．设椭圆M :22

221(0)x y a b a b +=>>的左顶点为A 、中心为O ，若椭圆M 过点

11,22P ??

- ???

，且AP PO ⊥． （1）求椭圆M 的方程；

（2）若△APQ 的顶点Q 也在椭圆M 上，试求△APQ 面积的最大值；

（3）过点A 作两条斜率分别为12,k k 的直线交椭圆M 于,D E 两点，且121k k =，求证：直线DE 恒过一个定点．

17．已知数列{}n a 满足：10a =，221n n a a =+，()

*2121n n a a n n N +=++∈.

（1）求5a 和7a 的值； （2）设()*

212n n n

a b n N -=

∈，n

S 为数列121n n b b ++???????

的前n 项和，求2020S ；

（3）设定义在*N 上的函数()818283843n n n n f n a a a a ++++=++-，求()252f 的值，并求出函数()f n 的值域.

三、单选题

18．已知锐角ABC 的面积为3AC =，4BC =，则角C 的大小为（ ）

A ．

6

π B ．

5π C ．

4

π D ．

3

π 19．1l 、2l 是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（ ） A ．如果1//l α，//2l α，则一定有12l l // B ．如果12l l ⊥，2l α⊥，则一定有1l α⊥ C ．如果12l l ⊥，2l α⊥，则一定有1//l α D ．如果1l α⊥，//2l α，则一定有12l l ⊥

20．元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用额小于22元；设购买2只玫瑰花所需费用为A 元，购买3只康乃馨所需费用为B 元，则A B 、的大小关系是（ ）． A ．A B > B ．A B <

C ．A B =

D ．A B 、的大小关

系不确定

21．已知函数()()1x

f x x D x

=

∈-，有下列四个结论： ①对任意x D ∈，()()0f x f x -+=恒成立；

②对任意()0,1m ∈，方程()f x m =有两个不相等的实数根；

③存在函数()g x 使得()g x 的图象与()f x 的图象关于直线y x =对称； ④对任意()1,k ∈+∞，函数()()g x f x kx =-在D 上有三个零点. 则上述结论中正确的个数为（ ） A ．1 B ．2

C ．3

D ．4

参考答案

1．4 【分析】

根据行列式的计算法则a b

ad bc c d

=-，计算求值即可； 【详解】

根据行列式计算的对角线法则，知：

20220402

=?-=；

故答案为：4 【点睛】

本题考查了行列式的计算，应用行列式的对角线法则计算求值，属于简单题； 2．[]5,20 【分析】 直接求A B 即可.

【详解】

因为{}

420A x x =-≤≤，{}

5B x x =≥， 所以{|520}A

B x x =≤≤．

故答案为：[]5,20 【点睛】

本题考查集合的交集运算，是简单题. 3．()1,-+∞ 【分析】 本题先将不等式3

11

x x +>+转化为10x +>，最后再求不等式的解集即可. 【详解】 解：因为

311x x +>+?31011x x x x ++->++?2

01

x >+?10x +>1x ?>-，

所以不等式

3

11

x x +>+的解集为()1,-+∞. 故答案为：()1,-+∞ 【点睛】

本题考查求分式不等式的解集，是基础题. 4．225 【分析】

先根据题意建立方程，再求解即可. 【详解】

解：设高三学生的总人数为x 人，有题意：8010080

900x

-=， 解得：225x =，

所以高三学生的总人数为225人. 故答案为：225. 【点睛】

本题考查分层抽样，是基础题. 5．1 【分析】

由题意可得()21f =，由此可求得实数a 的值. 【详解】

由于函数()()3log f x x a =+的反函数的图象经过点()1,2，则()()32log 21f a =+=，解得1a =. 故答案为：1. 【点睛】

本题考查利用反函数的基本性质求参数，考查计算能力，属于基础题. 6．

2

π

【分析】

计算出0a b ?=，由此可得出a 与b 的夹角. 【详解】

由已知条件可得20a b xy xy xy ?=--+=，a b ∴⊥，因此，a 与b 的夹角为2

π. 故答案为：2

π. 【点睛】

本题考查利用空间向量的数量积求空间向量的夹角，考查计算能力，属于基础题. 7

．【分析】

分别讨论双曲线C 的焦点在x 轴上，双曲线C 的焦点在y 轴上，设出双曲线方程，根据题意，列出方程组求解，即可得出结果. 【详解】

若双曲线C 的焦点在x 轴上， 设双曲线C 的方程为()222210,0x y

a b a b

-=>>，

因为渐近线方程为2

y x =±

，点()4,2在C 上，

所以22

21641

b a a b ?=????-=??，解得2284a b ?=?=?

，因此c ==

则双曲线C

的焦距为2c =

若双曲线C 的焦点在y 轴上， 设双曲线C 的方程为()22

2210,0y x

a b a b

-=>>，

因为渐近线方程为2

y x =±

，点()4,2在C 上，

所以22

4161a b a b ?=????-=??，无解，故双曲线C 的焦点不在y 轴上；

综上2c =.

故答案为：【点睛】

本题主要考查求双曲线的焦距，熟记双曲线的简单性质即可，属于基础题型.

8．1+ 【分析】

设z a bi =+，（,a b ∈R ），结合条件0z z z z ?++=得z 在复平面内对应点的轨迹，再由

12z i --的几何意义求解即可．

【详解】

解：设z a bi =+，（,a b ∈R ）则由0z z z z ?++=, 得2220a b a ++=，即()2

211a b ++=．

复数z 在复平面内对应点的轨迹是以(1,0)A -为圆心，以1为半径的圆，如图：

12z i --=表示复数z 在复平面内对应点到点(1,2)P 的距离

所以12z i --最大值为||111PA +==．

故答案为：1． 【点睛】

本题考查复平面内复数对应的点的轨迹问题，复数模长的几何意义，是中档题. 9．38

【分析】

根据题意，确定总的基本事件个数，以及满足“这个数能被3整除”所包含的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率. 【详解】

选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，包含的基本事件个数为4216=；

这个数能被3整除包含的基本事件有：5511，5115，1155，1515，1551，共6个， 则这个数能被3整除的概率为63168

P ==. 故答案为：3

8

.

【点睛】

本题主要考查求古典概型的概率，熟记概率计算公式即可，属于基础题型. 10．4或-1 【分析】

由()()

5

4

3

2

1110x x x x x x -=-++++=,得1x =,或43210x x x x ++++=,进而得到

答案． 【详解】

∵x C ∈，且()()

5

4

3

2

1110x x x x x x -=-++++=,

故1x =,或43210x x x x ++++=，

当1x =时,4321

4x x x x

+++=,

当43210x x x x ++++=时，

432432111x x x x x x x x

x x

+++++++-==-，

故43214x x x x

+++=，或-1

故答案为4或-1． 【点睛】

本题考查1的五次方根,化简,求值,考查计算能力,属于中档题. 11．3 【分析】 先得到12=2AP AC λλ+和212AQ AB λ

λ

=+，最后表示出APQ

S 并转化求值即可.

【详解】

解：因为()120PA PC λ-+=，所以2PA PC PC λ-=，即1

2PC CA λ

= 因为()120PA PC λ-+=，所以()12AP PC λ=-+

所以()1212PC CA AP PC

λλ?

=?

??=-+?

，所以()11212=22AP CA AC λλλλ+=-+?

， 因为QA QB QC BC λλλ++=，所以2AQ QB λ=，所以212AQ AB λ

λ

=

+，

12=

2AP AC λλ+，212AQ AB λ

λ

=+ 因为ABC 的面积为3，所以1

sin 32

ABC

S

AB AC A =

??=， 111221sin ()()sin sin 3222122

APQ

S

AP AQ A AC

AB A AB AC A λλλλ+=

??=??=??=

+， 所以

APQ 的面积是3 故答案为：3 【点睛】

本题考查平面向量的线性运算，三角形的面积公式，是中档题. 12．?-∞ ??

【分析】

首先利用三角函数化简已知，转化为

()

f α=意义，求距离差的最大值，再根据存在问题求m 的取值范围. 【详解】

=

=，

设()

cos,sin

Pαα，()

2,0

Q-，

1

0,

2

S

??

?

??

，

则(

)

f PQ PB

α==-，

如图，

PQ PB QB

-≤，当且仅当,,

P Q B三点共线且点B在,P Q之间时等号成立，

又

QB==()

fα，

因为存在实数α∈

R

使得m

≥

所以

max

m

?

≤

?

即m≤

故答案为：

?

-∞

??

【点睛】

本题考查与三角函数有关的最值问题，重点考查构造函数的几何意义求最值，数形结合思想，

属于中档题型，本题的关键是构造两点间距离公式，转化几何意义求最值. 13．（1）

1111

79AA EH DD FG BHEB CGFC V V --=

；（2

【分析】

（1）由题意,平面α把长方体分成两个高为5的直四棱柱,转化求解体积推出结果即可． （2）解法一：作AM EH ⊥,垂足为M ,证明HG AM ⊥,推出AM ⊥平面EFGH ．通过计算求出,AM AF 的值．设直线AF 与平面α所成角为θ,求解即可．

解法二：建立空间直角坐标系,求出平面α一个法向量,设直线AF 与平面α所成角为θ,通过空间向量的数量积求解即可． 【详解】

（1）由题意,面α把长方体分成两个高为5的直四棱柱,

()111111

(25)457022AA EH DD FG V A E AH A A AD -=?+??=?+??=,

()111111

(36)459022

BHEB CGFC V BH B E B B BC -=?+??=?+??=,

所以，

1111

7

9

AA EH DD FG BHEB CGFC V V --=

．

（2）解法一：作AM EH ⊥,足为M ,题意，

HG ⊥平面11ABB A ，故HG AM ⊥，

所以AM ⊥平面EFGH ,因为114AA EH S =梯形,

14AA E S =△，所以10AEH S =△，因为5EH =，

所以4AM =

．又AF =

=，

设直线AF 与平面α所成角为θ,

则sin 15

AM AF θ=

=

．

所以,直线AF 与平面α

． 解法二：以DA 、DC 、1DD 所在直线分别为

x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,

则()5,0,0A ,()5,5,0H ,()5,2,4E ,()0,2,4F , 故(5,

0,0)FE =,(0,3,4)HE =-,

设平面α一个法向量为(,,)n x y z =,

则00n FE n HE ??=??=?

即50340x y z =??-+=?,

所以可取(0,4,3)n =．

设直线AF 与平面α所成角为θ, 则||4sin ||||

n AF n AF θ?

=

= 所以，直线AF 与平面α．

【点睛】

本题考查几何体的体积,空间角的计算,对于空间角计算通常有两种方法：①几何法,作出所求角,然后计算,作、证、算三步缺一不可;②空间向量法,建立空间直角坐标系,求出线段的方向向量坐标,面的法向量坐标,即可求出角.

14．（1）?；（2）0,0()2,10

41

x

x x f x x =??

=?--<

（1）由题意有22

415

x x =+，解方程即可求得解集，且保证()0,1∈x 即可；

（2）利用奇函数的性质：()()f x f x -=-且在0x =处有定义时()00=f ，即可求()f x 在区间1,0上的

解析式； 【详解】

（1）222122522024152

x x x x x =??-?+=?=+或221

x x =?=-（舍）或1x =（舍）； 故当()0,1∈x 时，方程()2

5

f x =无解，即解集为?. （2）由题意知： ()00=f ；

当()1,0x ∈-时，()()224141

x x

x x

f x f x ---=--=-=++ 综上所述，0,0()2,1041

x

x x f x x =??

=?--<

本题考查了含指数元方程的解法：换元法转化为一元二次方程求解，利用函数的奇偶性求函数解析式，属于简单题；

15．（1）机器人乙按与AB

的夹角为arccos 4

的角度释放才能挑战成功；（2）宽AD 至少为6米. 【分析】

（1）由题意可知2=AQ EQ ，设EQ x =，则2=AQ x ，利用余弦定理可求得x 的值，进而利用余弦定理可求得cos α的值，由此可求得结果；

（2）设EQ x =，则22AQ EQ x ==，利用余弦定理以及诱导公式可求得9cos 62x x

θ=

-，可计算出

sin x θ=求得sin x θ的最大值，可得出()max sin AD x θ≥，进而可得出结论.

【详解】

（1）由于机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，故2=AQ EQ ， 设EQ x =，QAB α∠=，易知()3,9x ∈，0,

2πα??

∈ ??

?

， 由余弦定理可得()()2

229221cos cos 3292

x x x πθπ+--===-??，

整理得23270x x --=，解得32

x +=

. ()2

22

929cos arccos

29212444

x x x x x αα+-==+=?=??，

答：机器人乙按与AB 的夹角为的角度释放才能挑战成功； （2）设EQ x =，则22AQ EQ x ==，易知()3,9x ∈，

由余弦定理可得()()2

22929cos 2926

x x x x x πθ+--==-

??，9cos 62x x θ∴=-，

sin x θ===

由题意得sin AD x θ≥对任意()3,9x ∈恒成立，

故()max sin 6AD x θ≥=，当且仅当x =.

答：矩形区域ABCD 的宽AD 至少为6米时，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD 内成功拦截机器人甲. 【点睛】

本题考查解三角形的综合应用，考查余弦定理、反三角以及二次函数基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.

16．（1）2

2

113

y x +=（2

1

4

（3）(2,0)-

【解析】

试题分析：根据AP PO ⊥，利用斜率关系求出a ，再利用椭圆过点P ，求出b ，写出椭圆方程；AP 为定直线，要想APQ ?面积最大，只需点Q 到AP 的距离最大.写出AP 所在直线方程，巧设点Q ，求出点Q 到直线AP 的距离的最大值，问题得到解决；写出AD 所在直线方程后联立方程组，利用根与系数关系，有1A x =-，写出点D 的坐标，同理写出点E 的坐标，根据21

1

k k =

，减元化简DE k ，利用点斜式写出DE 所在直线方程，令0y =，求出2x =-，说明直线过定点(2,0)-，直线过定点问题是高考常见题型，要掌握解题方法和技

巧.

试题解析：（1）由AP OP ⊥，可知1AP OP k k ?=-，

又A 点坐标为(),0,a -故11

22111+22

a ?=---，可得1a =，

因为椭圆M 过P 点，故

211+144b =，可得213

b =， 所以椭圆M 的方程为22

1

1

3

y x +=． （2）AP 的方程为01

110122

y x -+=

--+，即10x y -+=，

由于Q 是椭圆M

上的点，故可设cos ,3Q θθ?? ? ???

，

所以

12APQ S ?=

16πθ?

?=

++ ??

?

当()2Z 6

k k π

θπ+

=∈，即()2Z 6

k k π

θπ=-

∈时，APQ S ?取最大值．

故APQ S ?

1

4

． 法二：由图形可知，若APQ S ?取得最大值，则椭圆在点Q 处的切线l 必平行于AP ，且在直线AP 的下方．

设l 方程为(0)y x t t =+<，代入椭圆M 方程可得2246310x tx t ++-=，

由0?=

，可得3t =±

，又0t <

，故3

t =-． 所以APQ S ?

的最大值11224=?=． （3）直线AD 方程为()11y k x =+，代入2

2

31x y +=，可得

()22

221

1

1

316310k x k x k +++-=，2121

31

31A D k x x k -?=+，

又1A x =-，故2

1211313D k x k -=+，2111221113211313D k k y k k k ??-=+= ?++??

，

同理可得2

22

21313E k x k -=+，222213E k y k =+，又121k k =且12k k ≠，可得21

1k k =且11k ≠±，

所以212

133E k x k -=+，121

23E k y k =+，()

11

221112221112

2

1122313231331

313E D DE E D k k y y k k k k k k x x k k k -

-++===---+-++， 直线DE 的方程为()

21112221112213131331k k k y x k k k ??

--=- ?+++??

，

令0y =，可得()

221122

11

311321313k k x k k +-=-=-++． 故直线DE 过定点()2,0-． （法二）若DE 垂直于y 轴，则,E D E D x x y y =-=，

此时221222111133

D E D D D E D D y y y y k k x x x y =

?===++-与题设矛盾． 若DE 不垂直于y 轴，可设DE 的方程为+x ty s =，将其代入2

2

31x y +=，

可得(

)

2

22

3210t y tsy s +++-=，可得222

21

,33

D E D E ts s y y y y t t --+=?=++， 又()()

1211111D E D E

D E D E y y y y k k x x ty s ty s =

?==++++++， 可得()

()()()2

2

1110D E D E t y y t s y y s -+++++=，

故(

)

()()22

2

2212111033

s ts t t s s t t ---++++=++，

可得2s =-或1-，又DE 不过A 点，即1s ≠-，故2s =-． 所以DE 的方程为2x ty =-，故直线DE 过定点()2,0-．

【点睛】先根据题意列方程组求出,a b 写出椭圆的标准方程；最值问题首先表示三角形的面积，写出直线AP 的方程，由于点Q 是椭圆M 上的点，所以巧设点Q 的坐标，借助点到直线距离公式表示三角形的高，从而表示出三角形的面积，然后求最值；第三步为直线过定点问题，把A 所在直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数关系找出D E 、 坐标，写出DE 所

在直线方程，证明其过定点. 17．（1）55a =，78a =；（2）80802021

；（3）()2521009f =，{}

*

41,y y n n N =+∈. 【分析】

（1）根据递推关系直接求5a 、7a 即可； （2）先判断数列{}n b 是以0为首项，

1

2

为公差的等差数列，从而求出n b ，再将121n n b b ++化

简1

141n n ??-

?+??

，最后求2020S 即可； （3）先求出()41f n n =+，再求()2521009f =和函数()f n 的值域. 【详解】

解：（1）()5211232213455a a a a =+=++=+=

()7311242224488a a a a =+=++=+=.

（2）121212111

1

2211

22222

n n n n

n n n n n

a a a

b b +---++++=

=

=

+

=+ 故数列{}n b 是以1211

11

022

a a

b -=

=

=为首项，12为公差的等差数列

()()()**

12114114211n n n n b n N n N b b n n n n ++-??=

∈?==-∈ ?++??

故2020111111180804...4112232020202120212021S ?????????

?=-

+-++-=-=

? ? ? ? ?????

??????. （3）()()()8142241443847n n n n a a n a n a n +=++=++=++

()()8241221443847n n n n a a a n a n ++=+=++=++ ()()()83412242484888n n n n a a n a n a n ++=++=++=++ ()8442212143847n n n n a a a a n +++=+=+=++

()()()818283843884741n n n n f n a a a a n n n ++++=++-=+-+=+

故()2521009f =，函数()f n 的值域为{

}*

41,y y n n N =+∈.

【点睛】

本题考查数列与函数的关系、判断数列是等差数列、利用递推关系求指定项、裂项相消法求

n 前项和，是中档题.

18．D 【分析】

本题先建立方程1

43sin 2

C =??，再求sin C ，最后求角C 的大小即可. 【详解】

解：因为锐角ABC 的面积为3b AC ==，4a BC ==，

所以1sin 2ABC

S

ab C =

，即143sin 2C =??，解得：sin 2

C =， 由因为角C 是锐角，所以3

C π

∠=

故选：D. 【点睛】

本题考查利用三角形的面积公式求角，是基础题. 19．D 【分析】

由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系逐一核对四个选项得答案． 【详解】

若1//l α，//2l α,则1l 与2l 可能平行、相交或异面,故A 错误； 如果12l l ⊥,2l α⊥,则有1//l α或1l α?,故B 、C 错误； 如果1l α⊥,则1l 垂直α内的所有直线,又//2l α,则过2l 与α相交的平面交α于a ,则2//l a ,∴12l l ⊥,故D 正确． 故选D ． 【点睛】

本题考查空间线面平行垂直关系,熟练掌握有关定理是解题的关键,属于基本题.