不等式放缩技巧十法
第六章 不等式
第二节不等式放缩技巧十法
证明不等式，其基本方法参阅 <数学是怎样学好的 >(下册)有关章节?这里以数列型不等式 的证明为例说明证明不等式的一个关键问题 ：不等式的放缩技巧。
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性 和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各 类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的 结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下十种：
一利用重要不等式放缩
1?均值不等式法
②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里
n
a 1 a n
a 1 a n
其中，n
2,3等的各式及其变式公式均可供选用。 例2已知函数
f(x)
1 7-
，若f(1)-，且f(x)在［0，1］上的最小值为丄，求证: 1 a 2 5 2
例 1 设 S n
J 2 ,2 3
；n(n 1).求证
n(n 2 1)
S n
(n 1)2 2
解析 此数列的通项为
a k
,k(k 1),k 1,2, ,n.
k
k(k
1)
k k
1
k
1
2
2
n
k S n
n
(k
2)
k 1
k
1
2
即n(n 1)
S n
n(n
1)
n (n 1)2 2
2
2
2
注：①应注意把握放缩的 “度
” : 上述不等式右边放缩用的是均值不等式
ab 宁，若
放成.... k(k —1)
k 1 则得 s n
(k 1)
k 1
(n 1)(n 3)
2
，就放过“度”
了!
2
n
a 1
a n
n
f(1) f(2) f(n)
1 2* 1
［简析］f (x)
1 1 4X
1
2?2X
(x 0) f(1) L f(n)
(1
克） (1
(1
1
1(1
例3求证c ：
n C
n
n 1
2~(n
简析不等式左边 C 1 故原结论成立 【例4】已知a 2 2 22 1, n
C ；=2n 1
2n 1 =n
n 1
2V
2 a 2
a ： 1 , X 2 x ； L 求证：a 1X 1 a 2X 2
a n X n W 1. 【解析】使用均值不等式即可: 因为
2
X xy a 1X 1 a 2X 2 L a n X n 2 a 1 2 X 1 2 2 X
1
其实，上述证明完全可以改述成求
2 2
右 a 1 a 2 2
L
a n
2
p
，X 1
试求a 1x 1
a 2x 2
请分析下述求法: 因为 xy
a 1x 1 a 2x 2 L
a n X n
洛）
N).
2n
2 2
a 2 X 2
2
a 1x 1 2
X
2
22
2° 1
2
-(x, y R)，
所以有
1.
a ?X 2
2
L
X n a n x n 的最大
值。
2
2
.
2
a 1
a 2
L a n
2
2 x
1
2 2
a n X n
2
a n x n 的最大
值。
q(p,q 0)
，
本题还可以推广为:
2
匕(x, y R),所以有 2
2 2 2 a
〔 X 1
a 2
2 2 2 X 2
L X n
2
x 2 2 a
n
2
2 X n
_q 2 ，且此时有a k x k （k
上述解题过程貌似完美，其实细细推敲，是大有问题的：取的条件是
故 a 1x 1 a 2x 2
_p
a n x n 的最大值为 1,2,L , n)。
n
n
X k (k 1,2,L ,n)，即必须有
那么，p q 呢？其实例6的方法
照样可用，只需做稍稍变形转化:
a k
(4X 1 a 2X 2 L a n X n )max 、PQ ，当且仅当.P
ir r
结合其结构特征，还可构造向量求解：设
m ⑻住,L , a n ), n (咅冬,L ,x n )，则
a k
2 2
k 1
a k
k
1兀，即只有p=q 时才成立!
2
a2
L
2
(J p)2
cP)2
2 2
a n 1
X
1
2
(屈)
2
鳥2)2 L
2 X
n 1
(,q)
a X 1 a ?X 2
则有 2 2
a n X n
..pq a1X1
a ?X 2
a n X n
2 a
2 2
( . P)2 ( . P)
2
an
)( (、P)2)(
2 2 _X1_ _x
「q)2 苛 2
(爲2)］
帀
曰
是
x k -y=(k
1,2,L ,n).
|?X 1 a 2X 2 L a n X n |
a 2 a ； L
x ； L
2 X
n
、? pq.
且取“=”的充要条件是:
X 1 a 1 理L a 2
Xn a n 。
特别提醒：上述题目可是我们课本上的原题啊 !只是我们做了少许的推广而已
2 ?利用有用结论 例 5 求证(1
1)(1 〔)(1 1) (1
1
)
3 5
2n 1
简析 本题可以利用的有用结论主要有：
2n 1.
1
由| m n | | m || n |立刻得解:
法1利用假分数的一个性质
b m
(b a m
0, m 0)可得
2n 2n 1
2n 1 2n
2n 1
八
肓
(2n 1)
即(1 (-- 1 3 1
1)(1 -)(1
2n )2 2n 1)
i) (1
2n 1 2n
1)
2n 1.
法2利用贝努利不等式
(1 \n
X) n x(n ,n 2, x 1, x 0)的一个特例
(1
右2 1
2
右(此处
2,x
1
注：例5是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成 高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是：
1
1 1 3, ------------
证明(1 1)(1 -)(1 -)
(1
)
3
3n 1.
4
7
3n 2
(可考虑用贝努利不等式
n 3的特例)
1 2x 3X (n 1) x a n X
例6已知函数 f (x) lg ------------------------------------------------- ,0 a 1,给定n N ,n 2.
n
1 2k 1
,2k 1
k1(1
n
2k 1 k 1
2k 1
2n 1.
1998年全国
1
求证：f (2x) 2 f (x)(x 0)对任意n N且n 2恒成立。
［简析］本题可用数学归纳法证明，详参高考评分标准; 这里给出运用柯西( Cauchy )不
n 等式[(a i b i)]2
i 1 n n
a： b2的简捷证法: i 1 i 1
f (2x) 2f(x)
2x 2x 2 x
lg1 2
3 (n 1)
n
2x
a n x x
(n 1) an n
[1 2x3x(n 1)x a n x]2n?[1 2x 2x 1
(n 1) an] 而由Cauchy不等式得(1 1 1 2x3x 1 (n 1)x X\ 2
n )
(1212)?[1 ?2x 32x
(n 1) 2x 2x
n ](0时取等号)
n?[1 22x32x(n 1)2x2x q
n ] 1)，得证!
例7 已知a1 1,a n 1 (1 1_ n ?
(I)用数学归纳法证明a n 2(n 2)；
(II)对ln(1 x) x对x 0都成立，证明a n (无理数 e 2.71828-)［解析］(II)结合第(I)问结论及所给题设条件ln(1x) x(x 0)的结构特征，可得放缩思路：a n 1(1 2n)a n ln a n 1ln(1
lna n
1
n2 n
丄
2n。
于是In a n 1In a n
11 2 n n 2n '
n 1
(In a i 1 In a i i 1
n 1
)
i 1
(丄
i
1r) In a n
i 2i In a11
1 (l)n 1
1 (2)
2 1 12
n 1 1 n ?
2
即In a n In a12a n 2 e .
【注】：题目所给条件l n(1x)x( x 0 )为有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论2n
a n 1
( 1 _1
n(n
1
n(n 1)
1
a n1 1 (1寸)(a n 1)
In (a n 1) In
(a n 1) ln(1 n(n 1))
1
n(n 1)
n 1
[ln(a i 1 i 2 1) In (a i 1)]
11
2 i(i 1)
In (a n 1) In(a2 1)
即In (a n 1) 1 In 3 a n 3e 1 e2.
1
【例8】已知不等式一
2
1L 1 2(Iog2 n],n N ,n 2。[log 2 n]表示不超过Iog 2 n
的最大整数。设正数数列{ a n}满足:a1 b(b 0),a n 叫n 2.
1 a n 1
求证a n
2b
2 b[log 2n]，n
3.
【简析】当n2时a n na n 1
a
n 1 a n
a
n 1
a
n 1
即—
a n 于是当n a n 1 3时有
注：①本题涉及的和式
—)
a k a k 1
a n a1
2[log2n]
a n
2b
2 b[Iog 2 n]
为调和级数，是发散的，不能求和；但是可以利用
n(n 1)( n 2)来放缩:
常用放缩方法技巧
常用放缩方法技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高得放缩技巧而充满思考性与挑战性,能全面而综合地考查学生得潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题得极好素材。这类问题得求解策略往往就是:通过多角度观察所给数列通项得结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: ⑴添加或舍去一些项,如:; ⑵将分子或分母放大(或缩小) ⑶利用基本不等式,如:; ⑷二项式放缩:,, (5)利用常用结论: Ⅰ、得放缩 : Ⅱ、得放缩(1) : (程度大) Ⅲ、得放缩(2):(程度小) Ⅳ、得放缩(3):(程度更小) Ⅴ、分式放缩还可利用真(假)分数得性质:与 记忆口诀“小者小,大者大”。解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、 Ⅵ、构造函数法构造单调函数实现放缩。例:,从而实现利用函数单调性质得放缩:。 一．先求与再放缩 例1、,前n项与为S n ,求证: 例2、 , 前n项与为S n ,求证: 二．先放缩再求与 (一)放缩后裂项相消 例3.数列,,其前项与为 ,求证: (二)放缩后转化为等比数列。 例4、满足: （1）用数学归纳法证明: （2）,求证: 三、裂项放缩 例5、(1)求得值; (2)求证:、 例6、(1)求证: (2)求证: (3)求证: 例7、求证: 例8、已知,,求证:、 四、分式放缩 姐妹不等式:与 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、 例9、姐妹不等式:与 也可以表示成为 与 例10、证明: 五、均值不等式放缩 例11、设求证 例12、已知函数,a>0,b>0,若,且在[0,1]上得最大值为, 求证: 六、二项式放缩 ,, 例13、设,求证、 例14、 , 试证明:、
数列不等式(放缩法)
用放缩法证明不等式的方法与技巧 一．常用公式 1． )1(11)1(12-<<+k k k k k 2． 1 21 12-+<<++k k k k k 3．22 k k ≥()4≥k 4．1232k k ???????≥(2≥k ) 5． ?? ????--≤！！（！k k k 1)11211 6．b a b a +≤+ 二．放缩技巧 所谓放缩的技巧：即欲证A B ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使A C B ≤≤， 由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”. 常用的放缩技巧 （1）若0,,t a t a a t a >+>-< （2） < > 11> n >= （3）21111111 (1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n - =<<=->++-- （4 ）= <=<= （5）若,,a b m R + ∈，则,a a a a m b b m b b +>< + （6）21111111 112!3!!222 n n -+++???+<+++???+ （7）22211111111 11(1)()()232231n n n +++???+<+-+-+???+--（因为211(1)n n n < -） （7）1111111112321111 n n n n n n n n n +++???+≤++???+=<+++++++ 或11111111 123222222n n n n n n n n n +++???+≥++???+==+++ （8 ）1???+>???+== 三．常见题型 （一）．先求和再放缩: 1．设1111 2612 (1) n S n n = ++++ +，求证：1n S < 2．设1n b n = （n N *∈），数列2{}n n b b +的前n 项和为n T ，求证：34 n T <
典型例题：用放缩法证明不等式
用放缩法证明不等式 所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。 一. “添舍”放缩 通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。 例1. 设a ，b 为不相等的两正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证143 ＜＋＜a b 。 证明：由题设得a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，于是（a ＋b ）2＞a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，又a ＋b ＞0，得a ＋b ＞1，又ab ＜14（a ＋b ）2，而（a ＋b ）2＝a ＋b ＋ab ＜a ＋b ＋14（a ＋b ）2，即34（a ＋b ）2＜a ＋b ，所以 a ＋ b ＜43，故有1＜a ＋b ＜43 。 例2. 已知a 、b 、c 不全为零，求证： a a b b b b c c c ac a a b c 22222232 ++++++++++＞（） 证明：因为a ab b a b b a b a b a b 222 22 234 2 22++=+++=++（）＞（）≥，同理b bc c b c 222 +++＞，c ac a c a 222+++＞。 所以a ab b b bc c c ac a a b c 22222232 ++++++++++＞（） 二. 分式放缩 一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。 例3. 已知a 、b 、c 为三角形的三边，求证：12＜＋＋＜a b c b a c c a b +++。 证明：由于a 、b 、c 为正数，所以a b c a a b c +++＞，b a c b a b c +++＞，c a b c a b c +++＞，所以
放缩法证明不等式的基本策略
放缩法”证明不等式的基本策略 近年来在高考解答题中， 常渗透不等式证明的内容， 而不等式的证明是高中数学中的一个难点, 以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一 提的是，高考中可以用 证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点 能体现出创造性。 放缩法”它可以和很多知识内容结合， 而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度， 些高考试题，例谈 放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。 1、添加或舍弃一些正项（或负项） 2、先放缩再求和（或先求和再放缩） 子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或 分母放大即可。 3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩） n J k 例 3、已知 a n =n ，求证：k=1 a k V 3- 它可 放缩法” ,有极大的迁移性，对它的运 用往往 对应变能力有较高的要求。 因为放缩必须有目标， 否则就不能同向传递。下面结合一 例1、已知 a n 2n 1(n N ).求证: a 1 a ^ a 2 a 3 丑(n N a n 1 ). 证明：Q 皀 a k 1 2k 1 2k 1 2(2k1 1) 1 3.2k 2k 2 1,2,..., n. a_ a 2 a 2 a 3 a n a n 1 1 （ 1 1 二（二 二 1 a_ 3 a 2 a 2 a 3 多项式的值变小。由于证 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大， 多项式中加上一些负的值， 明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证 明的目的。本题在放缩时就舍去了 2k 2，从而是使和式得到化简 例2、函数f (x ) =±- 1 4x ，求证: （1）+f （ 2） +…+f (n ) 证明：由 f(n)= 羊7=1-- 1 4n 1 得 f (1) +f (2) + …+f (n ) n 2(1 4 1 1 丄 2 21 2 22 1 1 * 芦 >1 此题不等式左边不易求和 ,此时根据不等式右边特征 ,先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对 左边可以进行求和.若分子, 分母如果同时存在变量时 ,要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分
常用放缩方法技巧
常用放缩方法技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如： a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg (5lg 3lg 2=<=+n n n n (5)利用常用结论： Ⅰ. 的放缩 Ⅱ. 21k 的放缩(1) ： 2111(1)(1) k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：22111111()1(1)(1)211k k k k k k <==+-+--+（程度小） Ⅳ. 2 1k 的放缩(3)：221 4112()412121k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++ 1. 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n 求证.2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 例2 已知函数bx a x f 211 )(?+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121 )()2()1(1-+ >++++n n n f f f 例3 求证),1(2 21321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++- . 例4 已知222121n a a a +++=，222121n x x x +++=，求证：n n x a x a x a +++ 2211≤1. 2．利用有用结论 例5 求证.12)1 211()511)(311)(11(+>-++++n n 例6 已知函数 .2,,10,)1(321lg )(≥∈≤x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 例7 已知1 12111,(1).2n n n a a a n n +==+++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥； )(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828 e ≈） 例8 已知不等式21111[log ],,2232 n n N n n *+++>∈>。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证.3,][log 222≥+ 证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 数列型不等式放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一 利用重要不等式放缩 1． 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n Λ求证.2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k Λ=+= 2121)1(+ =++<+ 用放缩法证明数列不等式的几种类型和途径 不等式的证明,尤其是使用放缩法证明不等式,很多学生觉得无从下手,老师也觉得教学效果不理想.这里仅就用放缩法证明数列不等式谈谈自己的看法,不妥之处请同行指教. 根据建构主义的观点,学生在学习时可将知识分成若干模块,再对若干模块进行学习,经过同化和顺应,将知识变成自己的一部分. 常见的放缩方法有:增加(减少)某些项,增大(减少)分子(分母),增大(减小)被开方数,增大(减小)底数(指数),利用二项式定理,利用不等式的性质或重要不等式,利用函数的性质等. 对于“和式”数列不等式,若能够直接求和，则考虑先求和，再证不等式；若不能或甚难求和，则可考虑使用放缩法证明不等式. 而对于“和式”数列不等式,放缩的最主要目的是通过放缩,把原数列变为可求和、易求和的数列. 下面根据实施的途径分为以下五类进行讨论: 途径1:放缩为等差 等差?1类. 例1.求证：2131211222<++++n 同类不等式还有： ⑴ 8 11131211333<++++n ⑵ ()() 12216712151311222+->-++++n n (n>1) ⑶ 33322 1222<++++n n (n>1) 途径2:放缩为等比类. 例2.求证：3 512112112112132<-++-+-+-n 同类不等式还有： ⑴ 5 412112112112132<++++++++n ⑵ 3 4131213513313132<--++-+-+-n n 途径4:增大（减小）分子（分母）或被开方数放缩类. 例5.求证：()()2 2)1(322121+<+++?+?<+n n n n n n 导数应用于不等式证明之放缩法一例 的单调区间； 求轴垂直，处的切线与，在点（曲线是自然对数的底数），为常数，已知函数)()1())1(1)(...718.2(),2(ln )(.21x f y f x f y e k k x e x f x ==-=- 2)()1(,0)1(ln 1)(2-+<+>+-=x x x e e x g x x e x x x g 证明：，对任意）设（ ()()()】式成立。证毕。恒成立，【所以所以）递增 ，）递减，在（，在（划分单调区间如下：解得令】 【只需证再用放缩法 ， ）即证明（）（】，只需证 ，要证【）（） （），所以（放缩，由于以下对】 【证明：结论20)(011132 ln 2)(0)(,,0ln 3)(,ln 31ln 2)(2),0(,0ln 2x )(,0ln 2x ln 1x 1 )]1(ln 1[)1(1)], 1(ln 1[1)1(11)1(1)1()(111),1()()]1(ln 1[1)0(,)1(ln 11323232332 3333min 33322222222222222222>>-=+-=+-=+-=++==∞+>>+='+=? ++='>>++=>+++?-->+++?+->+++-?+>++++≥++≥+≥+<+-?+?>+<+-?+?------------------------x h e e e e e e e e e e e e e e h h e e x h e x x x h x x x x x h x e x x x h x e e x x x x x x e e x x e x x x x e x e x e e x e x e e e e x x x x e e e x x x x x x x x x x x 大学中常用不等式,放缩技巧 一：一些重要恒等式 ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6 ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2 Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2n a=sin2n+1a／2n+1sina ⅳ:e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n) (0 二重要不等式 1:绝对值不等式 ︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用) 2：伯努利不等式 （1+x1）（1+x2）…（1+x n）≥1+x1+x2+…+x n(x i符号相同且大于-1) 3：柯西不等式 (∑ a i b i)2≤∑a i2∑b i2 4:︱sin nx︱≤n︱sin x︱ 5; (a+b)p≤2p max(︱a p︱,︱b p︱) (a+b)p≤a p+ b p (0 证明数列不等式之放缩技巧以及不等式缩放在数列中应用 大全 证明数列型不等式,其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧，充满思考性和挑战性。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩. 一、利用数列的单调性 例１．证明：当Z n n ∈≥,6时, (2) 12 n n n +<. 证法一:令)6(2) 2(≥+=n n n c n n ，则0232)2(2)3)(1(1211<-=+-++= -+++n n n n n n n n n n c c ， 所以当6n ≥时，1n n c c +<．因此当6n ≥时，6683 1.644 n c c ?≤==< 于是当6n ≥时， 2 (2) 1.2n n +< 证法二：可用数学归纳法证．(1)当ｎ = 6时， 66(62)483 12644 ?+==<成立. （2）假设当(6)n k k =≥时不等式成立,即(2) 1.2 k k k +< 则当n =k +１时, 1(1)(3)(2)(1)(3)(1)(3) 1.222(2)(2)2k k k k k k k k k k k k k k ++++++++=?<<++ 由(1)、（２)所述,当ｎ≥６时，2 (1) 12 n n +<. 二、借助数列递推关系 例2．已知12-=n n a .证明: ()23 11112 3 n n N a a a *++++ <∈. 证明:n n n n n a a 121121************?=-?=-<-=+++ , ∴3 2])21(1[321)21(...12111112122132<-?=?++?+<+++= -+n n n a a a a a a S ． 例３. 已知函数f(ｘ)＝52168x x +-,设正项数列{}n a 满足1a =l,()1n n a f a +=. (1) 试比较n a 与 5 4 的大小，并说明理由； (2) 设数列{}n b 满足n b =54-n a ，记S ｎ=1 n i i b =∑.证明：当ｎ≥2时,Ｓn ＜14(2n -１）. 分析：比较大小常用的办法是作差法,而求和式的不等式常用的办法是放缩法。 解：（1） 因为10,0,n n a a +>>所以1680,0 2.n n a a -><< 利用放缩法证明数列型不等式 一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式 问题。裂项放缩法主要有两种类型： （1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。 例1设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333n n n S a +=-?+，1,2,3, n =。设2n n n T S =， 1,2,3, n =，证明： 1 32 n i i T =< ∑。 点评： 关键是将12(21)(21) n n n +--裂项成111 2121n n +---，然后再求和，即可达到目标。 （2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。 例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的前n 和为n S ，2n n n T S S =-； （I ）求证：1n n T T +>； （II ）求证：当2n ≥时，2n S 711 12 n +≥。 点评：此题（II ）充分利用（I ）的结论，n T 递增，将2n S 裂成 1122 112222n n n n S S S S S S S ----+-+ +-+的和，从而找到了解题的突破口。 2、迭乘放缩法：放缩法与迭乘法的结合，用放缩法构造迭乘形式，相乘时消去中间项。用于解决积式问题。 例3 已知数列{}n a 的首项为13,a =点()1,+n n a a 在直线)(03*N n y x ∈=-上。 若 3 *3log 2(),n n c a n N =-∈证明对任意的* n ∈N ，不等 式 12111 (1)(1+)(1+)n c c c +??>恒成立． 点评：此题是证明积式大于根式，由于左边没有根式，右边是三次根式，立方后比较更容易处理。33 131(1+ )()32 n n c n -=-可以看成是三个假分式的乘积，保持其中一项不变，另两项假分数分子分母同时加1，加2，则积变小，3313133131 ()323231332 n n n n n n n n n n --++>??=----，而通项式为31 { }32 n n +-的数列在迭乘时刚好相消，从而达到目标。 一：一些重要恒等式 ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6 ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2 Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2n a=sin2n+1a／2n+1sina ⅳ:e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n) (0 1:绝对值不等式 ︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用) 2：伯努利不等式 （1+x1）（1+x2）…（1+x n）≥1+x1+x2+…+x n(x i符号相同且大于-1) 3：柯西不等式 (∑ a i b i)2≤∑a i2∑b i2 4:︱sin nx︱≤n︱sin x︱ 5; (a+b)p≤2p max(︱a p︱,︱b p︱) (a+b)p≤a p+ b p (0 利用放缩法证明数列型不等式 一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。裂项放缩法 主要有两种类型： （1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。 例1设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333 n n n S a +=-?+，1,2,3, n =。设2n n n T S =，1,2,3, n =，证明： 1 3 2 n i i T =< ∑。 证明：易得12(21)(21),3 n n n S +=--1132311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++= =-----， 11223 1 1 131131111 11 ()()221212212121212121 n n i i i n n i i T ++===-=-+-++ ---------∑∑ = 113113()221212 n +-<-- 点评： 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1 11 2121 n n +---，然后再求和，即可达到目标。 （2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。 例 2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的前n 和为n S ， 2n n n T S S =-； （I ）求证：1n n T T +>； （II ）求证：当2n ≥时，2n S 711 12n +≥ 。 证明：（I ）111 111 1()23 2212 2n n T T n n n n n n +-= +++ -++++++++ 111 21221n n n = +- +++10(21)(22) n n =>++ ∴1n n T T +>． （II ） 112211222222,n n n n n n S S S S S S S S ---≥∴=-+-+ +-+1221122n n T T T T S --=++ +++ 由（I ）可知n T 递增，从而12222n n T T T --≥≥ ≥，又11217 ,1,212T S T ===， 12211222n n n S T T T T S --∴=+++++21171711 (1)(1)112212 n n T T S n +≥-++=-++= 即当2n ≥时，2n S 711 12 n +≥。 证明数列不等式的常用放缩方法技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如： a a >+12； n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg ( 5lg 3lg 2 =<=+n n n n (5)利用常用结论： Ⅰ. 的放缩 Ⅱ. 2 1k 的放缩(1) ： 2111(1)(1) k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：2 2 111111()1(1)(1)211 k k k k k k < ==+-+--+（程度小） Ⅳ. 2 1k 的放缩(3)：2214112()412121k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++ 不等式的证明（放缩法） 1．设x 0, y 0 ， A x y , B x x y ，则 A, B 的大小关系是（） 1 x y 1 1 y A. A B B. A B C. A B D. A B 2．已知三角形的三边长分别为a, b, c ，设 M a b , N c , Q a b ， 1 a 1 b 1 c 1 a b 则M,N与Q的大小关系是（） A.MNQ B. MQN C. QNM D. N Q M 3．设不等的两个正数a, b 满足a3 b3 a2 b2，则a b 的取值范围是（） A. (1, ) B. (1, 4 C. [1, 4 D. (0,1] ) ] 1 1 1 3 1 3 4．设A L ，则 A 与1的大小关系是. 210 210 1 210 2 211 1 5．设S 1 1 1 L 1 ，则 S 的整数部分为. 2 3 100 6．已知a,b,c均为正数，且a2 b2 c2 ，求证：c3 a3 b3 c3 . 2 7．设n N 1 1 1 1 . ，求证：L (2n 1)2 4 9 25 8．设n N 1 1 1 L 1 1 . ，求证： n 1 n 2 2n 2 9．设n N 1 1 L 1 1. ，求证： 42 (2 n)2 22 10．设S n 1 2 2 3 L n ( n 1) ，求证：不等式n( n 1) S n (n 1)2 2 2 对 所有的正整数n 都成立. 简答： 1． B 提示： A x y x y x y B 1 x y 1 x y 1 x y 1 x 1 y 2． D 提示：由 a b c ，得 1 1 ， 1 a 1 a b 1 c 1 1 1 a b c b a b c c 3． B 提示：由条件得 a 2 ab b 2 a b ，所以 (a b)2 a 2 a b b 2 a b ，故 a b 1 . 又 ( a b) 2 0 ，可得 3(a 2 ab b 2 ) 4( a 2 ab b 2 ) ，从而 3( a b)2 4( a b) ，所以 a b 4 ，故 1 a b 4 . 3 3 4． A<1 5． 18 提示：因为 n 2 时， n n 1 2 n n n 1 ，所以 2 1 2 ，即 2( n 1 n ) 1 n 1) n n 1 n n n 2( n 1 n 故18 1 2( 101 2) 1 1 1 L 1 1 2( 100 1) 19 2 3 100 所以所求整数部分为 18. 6．解：由已知可知， 0 a c,0 b c, a b a 2 b 2 c 2 c, ab 2 ，所以 2 3 3 2 2 2 2 3 3 3 2 ab 2 2 c 2 ) c 3 a b aga bgb c(a b ) c ，a b (a b)(a b ) c(c 2 2 所以原不等式得证 . 7．提示：由 1 4k 2 1 1 4k 1 (1 1 ) ，累加即得 . (2 k 1)2 4k 1 4k 2 4 k k 1 8．提示： 1n 1 1 L 1 1 1 L 1 1 1 L 1 n 1. 2 2n 2n 2n 2n n 1 n 2 2n n n n n 9．提示： 1 1 1 1) 1 1 ，累加即得 . (2 n)2 n 2 n(n n 1 n 证明数列不等式的常用放缩方法技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )25lg 3lg (5lg 3lg 2=<=+n n n n (5)利用常用结论： Ⅰ. 的放缩 Ⅱ. 21k 的放缩(1) ： 2111(1)(1)k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：22111111()1(1)(1)211k k k k k k <==+-+--+（程度小） Ⅳ. 2 1k 的放缩(3)：221 4112()412121k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结(供参考)
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