勾股定理单元 易错题测试题试题

勾股定理单元 易错题测试题试题

一、选择题

1．如图，在平行四边形ABCD 中，∠DBC=45°，DE ⊥BC 于E ，BF ⊥CD 于F ，DE ，BF 相交于H ，BF 与AD 的延长线相交于点G ，下面给出四个结论:①2BD BE =； ②∠A=∠BHE ；

③AB=BH ； ④△BCF ≌△DCE ， 其中正确的结论是( )

A ．①②③

B ．①②④

C ．②③④

D ．①②③④

2．直角三角形的面积为 S ，斜边上的中线为 d ，则这个三角形周长为 （ ） A ．22d S d ++ B ．2d S d -- C ．22d S d ++

D ．(

)

22

d S d ++

3．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB =30°，点E 为AB 的中点，DE ⊥AB ，交AB 于点E ，DE =3，BC =1，CD =13，则CE 的长是（ ）

A ．14

B ．17

C ．15

D ．13

4．如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，

直角三角形的短直角边为a ，较长直角边为b ，那么2

a b （）

+的值为（ ）

A ．13

B ．19

C ．25

D ．169

5．已知一个三角形的两边长分别是5和13，要使这个三角形是直角三角形，则这个三角形的第三条边可以是（ ） A ．6

B ．8

C ．10

D ．12

6．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=6，AC=8，现将Rt △ABC 沿BD 进行翻折，使点A 刚好落在BC 上，则CD 的长为（ ）

A ．10

B ．5

C ．4

D ．3 7．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）

A ．1、2、3

B ．2、3、4

C ．1、2、3

D ．4、5、6

8．有下列的判断：

①△ABC 中，如果a 2＋b 2≠c 2，那么△ABC 不是直角三角形 ②△ABC 中，如果a 2－b 2＝c 2，那么△ABC 是直角三角形 ③如果△ABC 是直角三角形，那么a 2＋b 2＝c 2 以下说法正确的是（ ） A ．①②

B ．②③

C ．①③

D ．②

9．下列条件中，不能．．判定ABC 为直角三角形的是（ ） A ．::5:12:13a b c = B ．A B C ∠+∠=∠ C ．::2:3:5A B C ∠∠∠=

D ．6a =，12b =，10c =

10．如图，在△ABC ，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交CB 于点D ，过点D 作DE ⊥AB ，垂足恰好是边AB 的中点E ，若AD ＝3cm ，则BE 的长为（ ）

A ．

33

cm B ．4cm

C ．32cm

D ．6cm

二、填空题

11．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm 、3 dm 和1 dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点的最短路程是 dm ．

12．如图，Rt ABC 中，90A ∠=?，8AC =，6AB =，DE AC ⊥，1

3

CD BC =

，

1

3

CE AC =

，P 是直线AC 上一点，把CDP 沿DP 所在的直线翻折后，点C 落在直线DE 上的点H 处，CP 的长是__________

13．如图是由边长为1的小正方形组成的网格图，线段AB ，BC ，BD ，DE 的端点均在格点上，线段AB 和DE 交于点F ，则DF 的长度为_____．

14．如图，在Rt ABC ?中，90ABC ∠=，DE 垂直平分AC ，垂足为F ，//AD BC ，且3AB =，4BC =，则AD 的长为______．

15．如图，△ABC 中，∠ABC ＝45°，∠BCA ＝30°，点D 在BC 上，点E 在△ABC 外，且AD ＝AE ＝CE ，AD ⊥AE ，则

AB

BD

的值为____________．

16．如图，△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，AD 是BAC ∠的角平分线，E 是AD 上的动点，F 是AB 边上的动点，则BE+EF 的最小值为_____．

17．如图，在△ABC 中，AB =AC ＝10，BC ＝12，AD 是角平分线，P 、Q 分别是AD 、AB 边上的动点，则BP ＋PQ 的最小值为_______．

18．在ABC 中，12AB AC ==，30A ∠=?，点E 是AB 中点，点D 在AC 上，

32DE =，将ADE 沿着DE 翻折，点A 的对应点是点F ，直线EF 与AC 交于点G ，那么DGF △的面积=__________．

19．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 在ABC 内，AD 平分BAC ∠，连结CD ，把ADC 沿CD 折叠，AC 落在CE 处，交AB 于F ，恰有CE AB ⊥.若10BC =，

7AD =，则EF =__________.

20．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方行ABCD ，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH,已知AM 为Rt △ABM 的较长直角边，AM ＝7EF ，则正方形ABCD 的面积为_______.

三、解答题

21．在等边ABC 中，点D 是线段BC 的中点，120,EDF DE ∠=?与线段AB 相交于点

,E DF 与射线AC 相交于点F ．

()1如图1，若DF AC ⊥，垂足为,4,F AB =求BE 的长；

()2如图2，将()1中的EDF ∠绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段AC 相交于

点F ．求证：1

2

BE CF AB +=

．

()3如图3，将()2中的EDF ∠继续绕点D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段AC 的

延长线交于点,F 作DN AC ⊥于点N ，若,DN FN =设,BE x CF y ==，写出y 关于x 的函数关系式．

22．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD 于点D ，E 是AB 的中点，连接CE 交AD 于点F ，BD =3，求BF 的长．

23．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为AC 边上一动点，且不与点A 点C 重合，连接BD 并延长，在BD 延长线上取一点E ，使AE ＝AB ，连接CE ．

（1）若∠AED ＝20°，则∠DEC ＝ 度；

（2）若∠AED ＝a ，试探索∠AED 与∠AEC 有怎样的数量关系？并证明你的猜想； （3）如图2，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，AF 的延长线与EC 的延长线交于点H ，求证：EH 2+CH 2＝2AE 2．

24．已知a ，b ，c 满足88a a -+-＝|c ﹣17|+b 2﹣30b +225，

（1）求a ，b ，c 的值；

（2）试问以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由．

25．定义：如图1，点M 、N 把线段AB 分割成AM 、MN 和BN ，若以AM 、MN 、

BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M 、N 是线段AB 的勾股分割点．

（1）已知点M 、N 是线段AB 的勾股分割点，若2AM =，3MN =，求BN 的长； （2）如图2，在Rt ABC △中，AC BC =，点M 、N 在斜边AB 上，45MCN ∠=?，求证：点M 、N 是线段AB 的勾股分割点（提示：把ACM 绕点C 逆时针旋转

90?）；

（3）在（2）的问题中，15ACM ∠=?，1AM =，求BM 的长．

26．如图，△ABC 中AC =BC ，点D ，E 在AB 边上，连接CD ，CE ．

(1)如图1，如果∠ACB =90°，把线段CD 逆时针旋转90°，得到线段CF ，连接BF ， ①求证：△ACD ≌△BCF ；

②若∠DCE =45°， 求证：DE 2=AD 2+BE 2；

(2)如图2，如果∠ACB =60°，∠DCE =30°，用等式表示AD ，DE ，BE 三条线段的数量关系，说明理由．

27．如图，将一长方形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(0,0)O ，(6,0)A ，(0,3)C ，动点F 从点O 出发以每秒1个单位长度的速度沿OC 向终点C 运动，运动

2

3

秒时，动点E 从点A 出发以相同的速度沿AO 向终点O 运动，当点E 、F 其中一点到达终点时，另一点也停止运动．

设点E 的运动时间为t :（秒）

（1）OE =_________，OF =___________（用含t 的代数式表示）

（2）当1t =时，将OEF ?沿EF 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标及直线DE 的解析式；

（3）在（2）的条件下，点M 是射线DB 上的任意一点，过点M 作直线DE 的平行线，与x 轴交于N 点，设直线MN 的解析式为y kx b =+，当点M 与点B 不重合时，设

MBN ?的面积为S ，求S 与b 之间的函数关系式．

28．已知：如图，在ABC ?中，90ACB ∠=，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 与点E . （1）根据题意用尺规作图补全图形（保留作图痕迹）； （2）设,BC m AC n ==

①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根吗？并说明理由. ②若线段2AD EC =，求

m

n

的值.

29．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．

已知在平面内有两点()111, P x y 、()222, P x y ，其两点间的距离

()

()2

2

121212PP x x y y =

-+-，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂

直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为12x x -或1|y -2|y . （1）已知()2, 4A 、()3, 8B --，试求A 、B 两点间的距离______.

已知M 、N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为4，点N 的纵坐标为-1，试求M 、N 两点的距离为______；

（2）已知一个三角形各顶点坐标为()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F ，你能判定此三角形的形状吗?说明理由．

（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x 轴上找一点P ，使PD PF +的长度最短，求出点P 的坐标及PD PF +的最短长度．

30．阅读下列材料，并解答其后的问题：

我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦?秦九韶公式”，该公式是：设△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ()()()()

a b c a b c a c b b c a +++-+-+-．

（1）（举例应用）已知△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＝4，b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为 ；

（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示，现测得AB ＝（62）m ，BC ＝5m ，CD ＝7m ，AD ＝6m ，∠A ＝60°，求该块草地的面积．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．A 解析：A 【分析】

先判断△DBE 是等腰直角三角形，根据勾股定理可推导得出2BE ，故①正确；根据∠BHE 和∠C 都是∠HBE 的余角，可得∠BHE=∠C ，再由∠A=∠C ，可得②正确；证明△BEH ≌△DEC ，从而可得BH=CD ，再由AB=CD ，可得③正确；利用已知条件不能得到④，据此即可得到选项. 【详解】

解：∵∠DBC=45°，DE ⊥BC 于E ， ∴在Rt △DBE 中，BE 2+DE 2=BD 2，BE=DE ， ∴2BE ，故①正确；

∵DE ⊥BC ，BF ⊥DC ，∴∠BHE 和∠C 都是∠HBE 的余角， ∴∠BHE=∠C ，

又∵在?ABCD 中，∠A=∠C ， ∴∠A=∠BHE ，故②正确； 在△BEH 和△DEC 中，

BHE C HEB CED BE DE ∠=∠??

∠=∠??=?

， ∴△BEH ≌△DEC ， ∴BH=CD ，

∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB=CD ，

∴AB=BH ，故③正确；

利用已知条件不能得到△BCF ≌△DCE ，故④错误， 故选A. 【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的

判定与性质等，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键.

2．D

解析：D 【解析】 【分析】

根据直角三角形的性质求出斜边长，根据勾股定理、完全平方公式计算即可。 【详解】

解：设直角三角形的两条直角边分别为x 、y ， ∵斜边上的中线为d ，

∴斜边长为2d ，由勾股定理得，x 2+y 2=4d 2， ∵直角三角形的面积为S ， ∴1

2

S xy =

,则2xy=4S ，即（x+y ）2=4d 2+4S ， ∴22x y d S +=+ ∴这个三角形周长为：(

)

22d S d ++ ，故选：D.

【点睛】

本题考查的是勾股定理的应用，直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2.

3．D

解析：D 【解析】 【分析】

连接BD ，作CF ⊥AB 于F ，由线段垂直平分线的性质得出BD=AD ，AE=BE ，得出

∠DBE=∠DAB=30°，由直角三角形的性质得出BD=AD=2DE=23，AE=BE=3DE=3，证出△BCD 是直角三角形，∠CBD=90°，得出∠BCF=30°，得出BF=12BC=12，CF=3BF=32

，求出EF=BE+BF=7

2

，在Rt △CEF 中，由勾股定理即可得出结果． 【详解】

解：连接BD ，作CF ⊥AB 于F ，如图所示：

则∠BFC=90°，

∵点E 为AB 的中点，DE ⊥AB ， ∴BD=AD ，AE=BE ，

∵∠DAB=30°，

∴∠DBE=∠DAB=30°，BD=AD=2DE=，

∵BC 2+BD 2=12+（2=13=CD 2， ∴△BCD 是直角三角形，∠CBD=90°， ∴∠CBF=180°-30°-90°=60°， ∴∠BCF=30°，∠BFC=90°， ∴∠BCF=30°，

∴BF=

12BC=12，2

， ∴EF=BE+BF=7

2

，

在Rt △CEF 中，由勾股定理得：= 故选D ． 【点睛】

本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握勾股定理和逆定理是解题的关键．

4．C

解析：C 【解析】

试题分析：根据题意得：222c a b =+=13，4×

1

2

ab=13﹣1=12，即2ab=12，则2()a b +=222a ab b ++=13+12=25，故选C ．

考点：勾股定理的证明；数学建模思想；构造法；等腰三角形与直角三角形．

5．D

解析：D 【分析】

此题要分两种情况：当5和13都是直角边时；当13是斜边长时；分别利用勾股定理计算出第三边长即可求解． 【详解】

当5和13

当1312=； 故这个三角形的第三条边可以是12． 故选：D ． 【点睛】

本题主要考查了勾股定理，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．

6．B

解析：B

【分析】

根据“在Rt△ABC中”和“沿BD进行翻折”可知，本题考察勾股定理和翻折问题，根据勾股定理和翻折的性质，运用方程的方法进行求解．

【详解】

∵∠A=90°，AB=6，AC=8，

∴，

根据翻折的性质可得A′B=AB=6，A′D=AD，

∴A′C=10-6=4．

设CD=x，则A′D=8-x，

根据勾股定理可得x2-（8-x）2=42，

解得x=5，

故CD=5．

故答案为：B．

【点睛】

本题考察勾股定理和翻折问题，根据勾股定理把求线段的长的问题转化为方程问题是解决本题的关键．

7．A

解析：A

【分析】

求出两小边的平方和、最长边的平方,看看是否相等即可.

【详解】

A、12+）2=2

∴以1,故本选项正确;

B、22+32≠42

∴以2、3、4为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误;

C、12+22≠32

∴以1、2、3为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误;

D、42+52≠62

∴以4、5、6为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误;

故选A..

【点睛】

本题考查了勾股定理的逆定理应用，掌握勾股定理逆定理的内容就解答本题的关键. 8．D

解析：D

【分析】

欲判断三角形是否为直角三角形，这里给出三边的长，需要验证两小边的平方和等于最长

边的平方即可． 【详解】

①c 不一定是斜边，故错误； ②正确；

③若△ABC 是直角三角形，c 不是斜边，则a 2＋b 2≠c 2，故错误， 所以正确的只有②， 故选D. 【点睛】

本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理的内容是解题的关键.

9．D

解析：D 【分析】

由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90?即可． 【详解】 解：A 、

22251213+=，ABC ?∴是直角三角形，故能判定ABC ?是直角三角形；

B 、A B

C ∠+∠=∠，90C ∴∠=?，故能判定ABC ?是直角三角形；

C 、::2:3:5A B C ∠∠∠=，5

18090235

C ∴∠=

??=?++，故能判定ABC ?是直角三角

形；

D 、22261012+≠，ABC ?∴不是直角三角形，故不能判定ABC ?是直角三角形；

故选：D ． 【点睛】

本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．

10．A

解析：A 【分析】

先根据角平分线的性质可证CD=DE ，从而根据“HL”证明Rt △ACD ≌Rt △AED ，由DE 为AB 中线且DE ⊥AB ，可求AD=BD=3cm ，然后在Rt △BDE 中，根据直角三角形的性质即可求出BE 的长. 【详解】

∵AD 平分∠BAC 且∠C=90°，DE ⊥AB ， ∴CD=DE ， 由AD ＝AD ，

所以，Rt △ACD ≌Rt △AED ， 所以，AC=AE.

∵E 为AB 中点，∴AC=AE=1

2

AB ， 所以，∠B=30° .

∵DE 为AB 中线且DE ⊥AB ， ∴AD=BD=3cm ， ∴DE=

1

2BD=32

, ∴BE=2

2

332??-= ???

332cm. 故选A. 【点睛】

本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质,含30°角的直角三角形的性质，及勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键.

二、填空题

11．【解析】

试题分析：将台阶展开，如图，

331312,5,AC BC =?+?==222169,AB AC BC ∴=+=13,AB ∴=即蚂蚁爬行的最

短线路为13.dm

考点：平面展开：最短路径问题．

12．

53或20

3 【分析】

根据折叠后点C 的对应点H 与AC 的位置关系分类讨论，分别画出对应的图形，利用勾股定理求出各边的长，再根据折叠的性质与勾股定理列出对应的方程即可求出结论． 【详解】

解：①当折叠后点C 的对应点H 在AC 的下方时，如下图所示

∵Rt ABC 中，90A ∠=?，8AC =，6AB =， 根据勾股定理可得BC=2210AB AC +=

∵1

3CD BC =，13

CE AC =， ∴13CD BC =

=103，13

CE AC ==83

∵DE AC ⊥

根据勾股定理可得DE=222CD CE -= 由折叠的性质可得：DH=CD=10

3

，CP=PH ∴EH=DH －DE=

43

设CP=PH=x ，则EP=CE －CP=8

3

－x

在Rt △PEH 中，EP 2＋EH 2=PH 2

即（8

3－x ）2＋（43

）2=x 2

解得：x=

5

3 即此时CP=

53

； ②当折叠后点C 的对应点H 在AC 的上方时，如下图所示

根据折叠的性质可得DH=CD=10

3

，CP=PH ∴EH=DH ＋DE=

163

设CP=PH=y ，则EP= CP －CE =y －8

3

在Rt △PEH 中，EP 2＋EH 2=PH 2 即（y －83

）2＋（163

）2=y 2

解得：y=

203 即此时CP=

203

． 综上所述：CP=53或203

． 故答案为：53或203

． 【点睛】

此题考查的是勾股定理和折叠问题，掌握利用勾股定理解直角三角形、折叠的性质和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 13．2 【分析】

连接AD 、CD ，由勾股定理得：22435AB DE ==+=，224225BD =+=，

22125CD AD ==+=，得出AB ＝DE ＝BC ，222

BD AD AB +=，由此可得△ABD 为

直角三角形，同理可得△BCD 为直角三角用形，继而得出A 、D 、C 三点共线.再证明△ABC ≌△DEB ，得出∠BAC ＝∠EDB ，得出DF ⊥AB ，BD 平分∠ABC ，再由角平分线的性得出DF ＝DG ＝2即可的解. 【详解】

连接AD 、CD ，如图所示：

由勾股定理可得，

22435AB DE ==+=，224225BD =+=22125CD AD ==+，

∵BE=BC=5，∴AB=DE ＝AB ＝BC ，222BD AD AB +=， ∴△ABD 是直角三角形，∠ADB ＝90°， 同理可得：△BCD 是直角三角形，∠BDC ＝90°， ∴∠ADC ＝180°，∴点A 、D 、C 三点共线，

∴2AC AD BD ===， 在△ABC 和△DEB 中，

AB DE BC EB AC BD =??

??=?

＝，∴△ABC ≌△DEB(SSS)，∴∠BAC ＝∠EDB ， ∵∠EDB+∠ADF ＝90°，∴∠BAD+∠ADF ＝90°， ∴∠BFD ＝90°，∴DF ⊥AB ， ∵AB=BC ，BD ⊥AC ，∴BD 平分∠ABC ， ∵DG ⊥BC ，∴DF ＝DG ＝2. 【点睛】

本题考查全等三角形的性质与判定以及勾股定理的相关知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理和过股定理的逆定理.

14．

258 【分析】 先根据勾股定理求出AC 的长，再根据DE 垂直平分AC 得出FA 的长，根据相似三角形的判定定理得出△AFD ∽△CBA ，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论． 【详解】

∵Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴

=5； ∵DE 垂直平分AC ，垂足为F ， ∴FA=

1

2AC=52

，∠AFD=∠B=90°， ∵AD ∥BC ，∴∠A=∠C ， ∴△AFD ∽△CBA ， ∴

AD AC =FA BC ，即AD 5=2.54，解得AD=258；故答案为258

． 【点睛】

本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．

15

【解析】 【分析】

过A 点作BC 的垂线，E 点作AC 的垂线，构造全等三角形，利用对应角相等计算得出

∠DAM=15°，在AM 上截取AG=DG ，则∠DGM=30°，设DM=a,通过勾股定理可得到DG=AG=2a ，GM=3a,AM=BM=(32)a +，BD=(

31)a +，AB=2(31)a +,代入计算即可. 【详解】

过A 点作AM ⊥BC 于M 点，过E 点EN ⊥AC 于N 点. ∵∠BCA ＝30°，AE=EC

∴AM=

12AC ，AN=12AC ∴AM=AN 又∵AD=AE

∴R t?ADM ? R t?AEN (HL) ∴∠DAM=∠EAN

又∵∠MAC=60°，AD ⊥AE ∴∠DAM=∠EAN=15°

在AM 上截取AG=DG ，则∠DGM=30° 设DM=a,则 DG=AG=2a ， 根据勾股定理得：GM=3a, ∵∠ABC ＝45° ∴AM=BM=(32)a +

∴BD=(31)a +，AB=2(32)a +,

∴(

)

(

)

62262

31a

AB

BD

a ++==

+ 故答案为：

62

2

+

【点睛】

本题主要考查等于三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，关键是能根据已知条件构建全等三角形及构建等腰三角形将15°角转化为30°角，本题有较大难度.

16．

120

13 【解析】

∵AB=AC ，AD 是角平分线，

∴AD⊥BC，BD=CD，

∴B点，C点关于AD对称，

如图，过C作CF⊥AB于F，交AD于E，

则CF=BE+FF的最小值，

根据勾股定理得，AD=12，

利用等面积法得：AB?CF=BC?AD，

∴CF=BC AD

AB

?

=

1012

13

?

=

120

13

故答案为120 13

.

点睛：本题主要考查的是翻折的性质、垂线段最短、勾股定理的应用及三角形面积的等积法.明确当CF⊥AB时，CF有最小值是解题的关键.

17．6

【解析】

∵AB=AC，AD是角平分线，

∴AD⊥BC，BD=CD，

∴B点，C点关于AD对称，

如图，过C作CQ⊥AB于Q，交AD于P，

则CQ=BP+PQ的最小值，

根据勾股定理得，AD=8，

利用等面积法得：AB?CQ=BC?AD，

∴CQ=BC AD

AB

?

=

128

10

?

=9.6

故答案为：9.6.

点睛：此题是轴对称-最短路径问题，主要考查了角平分线的性质，对称的性质，勾股定理，等面积法，用等面积法求出CQ是解本题的关键.

18．39或639

【分析】

通过计算E到AC的距离即EH的长度为3，所以根据DE的长度有两种情况：①当点D在

H 点上方时，②当点D 在H 点下方时，两种情况都是过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，利用含30°的直角三角形的性质和勾股定理求出AH,DH 的长度，进而可求AD 的长度，然后利用角度之间的关系证明AG GE =，再利用等腰三角形的性质求出GQ 的长度，最后利用2DGF

AED

AEG

S S

S

=-即可求解．

【详解】

①当点D 在H 点上方时，

过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，

12AB = ，点E 是AB 中点，

1

62

AE AB ∴=

= ． ∵EH AC ⊥， 90AHE ∴∠=? ． 30,6A AE ∠=?=，

1

32

EH AE ∴=

= ， 22226333AH AE EH ∴=-=-=． 32DE =，

2222(32)33DH DE EH ∴=-=-= ， DH EH ∴=，333AD AH DH =-=，

45EDH ∴∠=?，

15AED EDH A ∴∠=∠-∠=? ．

由折叠的性质可知，15DEF AED ∠=∠=?，