2021年高等数学不定积分讲义

第 3、4 次课 4 学时

不定积分的概念与性质

1、复习13个基本导数公式.

2、原函数与不定积分的概念.

（1）定义1在区间I上，如果可导函数()

F x的导函数为()

f x，即

对任一x I ，都有

()'()F x f x =或()dF x =?dx x f )(，

那么函数()F x 就称为()f x (或()f x dx )在区间I 上的原函数.

（2）原函数存在定理如果函数()f x 在区间I 上连续,那么在区间I 上存在可导函数()F x ,使对任一x

I 都有F

(x )

()f x .

注： 1、如果函数()f x 在区间I 上有原函数()F x ,那么()f x 就有无限多个原函数.()F x C +都是()f x 的原函数.(其中C 是任意常数)

2、()f x 的任意两个原函数之间只差一个常数,即如果

(x )和

()F x 都是()f x 的原函数,则

()()x F x C Φ-=(C 为某个常数).

简单地说就是,连续函数一定有原函数.

定义 2 在区间I 上,函数()f x 的带有任意常数项的原函数称为

()f x (或?dx x f )()在区间

I 上的不定积分.记作?dx x f )(,其中记号?称为积

分号,()f x 称为被积函数,?dx x f )(称为被积表达式,x 称为积分变量.

3、例题讲解.

例1 因为sin x 是cos x 的原函数,所以C x xdx +=?sin cos .

因为

是

21的原函数, 所以 C x dx x

+=?

21.

例2. 求函数x x f 1)(=的不定积分

解：当0x >时，(ln x )x

1=，C x dx x

+=?ln 1(0x >).

当0x <时，[ln(x )]

x x 1)1(1=-?-=，C x dx x

+-=?)ln( 1

(0x <).合并上面两式,得到C x dx x

+=?||ln 1

(x 0).

例3. 求2.x dx ?

解由于'

3x x ??= ???

，所以

33x 是2

x 的一个原函数，因此3

x x dx C =+?.

4、变式练习

5、积分曲线

函数()f x 的原函数的图形称为()f x 的积分曲线,从不

定积分的定义,即可知下述关系

=)(])([x f dx x f dx d 或?=dx x f dx x f d )(])([.

又由于()F x 是()'F x 的原函数,所以?+='C x F dx x F )()(或记作?+=C x F x dF )()(. 6、基本积分表（略）.

例4.??-=dx x dx x 331C

x C x +-=++-=+-2

1321131.

例5.?

?=dx

x dx x x

C x ++=+12512

51C x +=2772C x x +=372. 7、不定积分的性质.

性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和，即

???+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([.

这是因为, ])([])([])()(['

+'='+????dx x g dx x f dx x g dx x f f (x )g (x ).

性质 2 求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来,即

??=dx x f k dx x kf )()((k 是常数,0k ≠)

例6. ?

-=-dx

x x dx x x )5()5(21

252

C x x +?-=23

572. 例7.dx x x x dx x

x x x dx x

x )133(133)

1(222

323

-+-=-+-=-???

C x x x x dx x

dx x dx dx x +++-=-+-=????1||ln 3321113322.

8.变式练习

(1)

(2)dx -

? (3)22x x dx +?（）

(4)3)x dx -(5)4223311x x dx x +++?

(6)2

1x dx x +? (7)x dx x x x ?34134

（-+

-）2

(8)23(1dx x -+?

(9)(10)221(1)dx x x +?(11)21

x x e dx e --?(12)3x x e dx ?(13)2cot xdx ?

第5 次课 2 学时

第一类换元积分法

1、回顾旧知

（1）复习13个常见积分公式

（2）思考：cos 2sin 2xdx x C =+?对吗？ 2、第一类换元法. 设()f u 有原函数()

F u ()

u x ?=且()x ?可微那么根据复合函数

课程安排：1学期，周学时 2 , 共 48学时. 主要内容：不定积分，定积分，微分方程

本次课题：第一类换元积分法教学要求：1. 掌握第一类换元积分法重点：第一类换元积分法难点：凑微分教学手段及教具：讲授法

讲授内容及时间分配：

1. 第一类换元积分法理论（25）

2. 练习（65）

课后作业

参考资料

微分法有

''''[()]()()[()]()[()]()dF x dF u F u du F x d x F x x dx

?????====

即

)

(]

)([)()]([)()]([x u du u f x d x f dx x x f ?????=???=='()

[()C]u x F u ?=+[()]C

F x ?+

定理1设()f u 具有原函数()u x ?=可导则有换元公式

???+=+==='C

x F C u F du u f x d x f dx x x f )]([)()()()]([)()]([?????

3、讲授例题. 例11cos 2cos 2(2)2

xdx x x dx '=

???1

cos 2(2)2xd x =? 211cos sin 22

u x udu u C ===+?令1

sin 22x C + 例2dx x x dx x ??'++=+)23(23121231?++=)

23(23121x d x

32111ln ||22

u x

du u C

u =+=

=+?令C x ++=|23|ln 21

例3 ???-==x

d x dx x

x xdx cos cos 1cos sin tan =ln |cos |x C -+

例4求6sec d .x x ?

解 6222sec d (tan 1)sec x x x xdx =+??? 4、变式练习.

１）dx x ?-3)23( ２）?-332x

３）dt t

t ?sin ４）?

)

ln(ln ln x x x dx

５）?

x dx

sin cos

６）?

-+x

x e

e dx

７）dx x x )cos(2

８）dx x

x ?-4

13 第 6 次课 2 学时

第一类换元积分法

1、复习旧知.

（1）13个常见的积分公式.

（2）第一类换元积分法. 2、例题讲解（较难的积分）.

例1. ???=xdx x xdx sin sin sin 23?--=x d x cos )cos 1(2

??+-=x xd x d cos cos cos 2C

x x ++-=3cos 3

1cos

例2. dx

x xdx ??+=22cos

1cos 2)2cos (21??+=xdx dx ??+=x xd dx 22cos 4121C x x ++=2sin 4

121

例

3. ??=dx x xdx sin 1csc ?=dx x

x 2

cos 2sin 21C x x x

d x x x d +===??|2tan |ln 2tan 2tan 2cos 2tan 22 ln |csc x

cot x | C

即?xdx

csc ln |csc x

cot x |

例 4. ??+=dx x xdx )2csc(sec π

x x ++-+=|)2

cot()2 csc(|ln ππln |sec x tan x |

即?xdx

sec ln |sec x tan x | C

3、变式练习.

1）dx x x

3cos sin 2）dx x

x ?--2491 3）?

-1

x dx

4）dx x ?3cos

5)?xdx x 3cos 2sin 6)?xdx x sec tan 3

7) dx x x ?+239 8)dx x

x ?+22sin 4cos 31

9)dx x

x ?

-2

arccos 2110 10)dx x x x ?

1(arctan

4、小结

（1）分项积分：利用积化和差; 分式分项;2

1sin cos x x =+等；

（2）降低幂次：利用倍角公式 , 如22

1122cos (1cos 2);sin (1cos 2)x x x x =+=-.

（3）统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法. （4）巧妙换元或配元

第 7 次课 2 学时

第二类换元积分法

1、复习第一类换元积分法.

2、第二类换元法. （1）定理1设x ()t ?是单调的、可导的函数

并且?

()

t 0又

设f [?()t ]?

()t 具有原函数F ()

t 则有换元公式

x F t F dt t t f dx x f +=='=-??)]([)()()]([)(1???

课程安排：1学期，周学时 2 , 共 48学时. 主要内容：不定积分，定积分，微分方程

本次课题：第二类换元积分法教学要求：1. 理解第二类换元积分法重点：第二类换元积分法难点：第二类换元积分法教学手段及教具：讲授法

讲授内容及时间分配：

1. 第二类换元积分法理论（25）

2. 练习（65）

课后作业

参考资料

其中t

-()x 是

x ?

()t 的反函数

这是因为

)

()]([1)()]([)(})]([{1x f t f dt

dx t t f dx

dt t F x F =='='='-????

3、例题讲解. 例1. 求dx x a ?

-22(a >0)

解: 设sin x a x =，2

2 ππ<<-t 那么

22x a -t a t a a cos sin 222=-=

cos dx a tdt

=于是??

?=-tdt a t a dx x a cos cos 22C

t t a tdt a ++==?)2sin 4

121(cos 222

因为a

x t arcsin =, a

x a a

x t t t 222cos sin 22sin -?

==所以

x a ?

-2

C t t a ++=)2sin 4

121(2C x a x a x a +-+=22221arcsin 2. 例2 求2

.49

x +

解原式2212(2)3x =+21ln 2492

x x C =++. 例3 求.1x

解 1x e t +=，则2ln(1),x t =-221

dx dt t =

-.所以 111

ln 111

x x t e C C t e -+-=+=++++.

4、变式练习.

１）dx x

x ?+2

２）dx x ?sin

３）dx x x ?-42 ４）?>-)0(,222

a dx x

a x

５）?+3

1(x dx ６）?

dx 21

７）?

-+2

x dx ８）?

-+2

11x

第 8 次课 2 学时

分部积分法

1、提出问题：求解x xe dx （让学生试着求解）.

2、分部积分公式.

设函数u u (x )及v v (x )具有连续导数.那么,两个函数乘积的导

数公式为

课程安排：1学期，周学时 2 , 共 48学时. 主要内容：不定积分，定积分，微分方程

本次课题：分部积分法1 教学要求：1. 掌握分部积分法重点：分部积分法难点：分部积分法教学手段及教具：讲授法

讲授内容及时间分配：

1. 分部积分法理论（25）

2. 练习（65）

课后作业

参考资料

(uv )u v uv ,移项得uv (uv )u v.

对这个等式两边求不定积分

得??'-='vdx

u uv dx v u 或??-=vdu

uv udv

这个公式称为分部积分公式

思路分析：严格按照“‘反、对、幂、三、指’顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。”的原则进行分部积分的练习。

3、例题讲解.

例1 求x xe dx ?.

解设,,x u x dv e dx ==那么,.x du dx v e ==于是

x x x x x x xe dx xde xe e dx xe e C ==-=-+???

. 例2 求 ln d .x x x ?

解令'ln ,,u x v x ==则'21

1,2

u v x x

==. 原式222

111ln d ln 2

224

x x x x x x x C =-

=-+?. 例3 求sin d .x e x x ?

解设sin ,.x u x v e '==cos ,x u x v e '==.则原式sin cos d x x e x e x x =-?. 再令cos ,x u x v e '==.则sin ,x u x v e '=-=. 故原式sin cos sin d x x x e x e x e x x =--?.

故12sin d (sin cos )x x

e x x e x x C

=-+?. 说明: 也可设,x u e v '=为为三角函数 , 但两次所设类型必须一致 . 注：(1)'()f x dx udv uv vdu uv vu dx -=-????凑微分公式.

(2)'

vu dx ?

应较

()f x dx ?易积分.

(3)熟悉了分部积分的步骤后，可以不明确写出,u dv ，而是直接用公

式来做.

例5 求cos x xdx ?.

解 cos sin sin sin xdx xd x x x xdx ==-??sin cos x x x C =-+. 例6 求2x x e dx ?.

解 22222222x x x x x x x x x e dx x de x e e dx x e xe dx x e xde ==-=-=-?????

()222x e x x C =-++. 4、变式练习.

１）inxdx xs ? ２）?xdx arcsin ３）?xdx x ln 2 ４）dx x e x ?-2

sin 2 ５）?xdx x arctan 2 ６）?xdx x cos 2 ７）?xdx 2ln ８）dx x x 2

cos 22?

第 9 次课 2 学时

分部积分法

1、复习分部积分法.

2、例题讲解.

例1 求xdx

e x sin ?

解因为???-==x d e x e xde xdx e x x x x sin sin sin sin ??-=-=x x x x xde x e xdx e x e cos sin cos sin

?--=xdx

e x e x e x x x sin cos sin

所以C x x e xdx e x x +-=?)cos (sin 2

1sin

例2求?xdx

3sec

解因为???=?=x xd xdx x xdx tan sec sec sec sec 23?-=xdx x x x 2tan sec tan sec

?-++=xdx

x x x x 3sec |tan sec |ln tan sec

教学要求：1. 会应用分部积分法求积分重点：分部积分法难点：分部积分法教学手段及教具：讲授法

讲授内容及时间分配：

1. 习题（90）

课后作业

参考资料

所以?xdx

3sec C x x x x +++=|)tan sec |ln tan (sec 2

例3??-=x

xd x x xdx arccos arccos arccos dx x x

x x ?-+=211arccos )1()1(2

1arccos 221

2x d x x x ---=?-

x x x +--=21arccos

解题技巧：选取u 及v 的一般方法：

把被积函数视为两个函数之积，按“反对幂三指”的顺序，前者为

u 后者为v .

例4??=2arctan 21arctan xdx xdx x ?+?-=dx x x x x 2221121arctan 21?+--=dx x x x )111(21arctan 2122 C

x x x x ++-=arctan 2

121arctan 212

例5 求?

+=n

n a x dx

I )(22

其中n 为正整数

解C a x a

a x dx I +=+=?arctan 1221

当n 1时，用分部积分法有

dx a x x n a x x a x dx n n n ??+-++=+--)()1(2)()(222122122dx a x a a x n a x x n

n n ?+-+-++=--])()(1[)1(2)(2221221

即))(1(2)

(211

221n n n n I a I n a x x

I --++=---

于是

])32()([)1(2111

222---++-=

n n n I n a x x n a I

以此作为递推公式并由C a

x a

I +=arctan 11即可得n I

例6 求dx e

解令x t 2则dx 2tdt 于

dx e

x e C t e dt te x t t +-=+-==?)1(2)1(22

C x e C e

e x x x

+-=+-=)1(222

例7 22d (0).x a x a +> 解设221,u x a v '=+=则22x a u v x +'=

22222d x a x x a x a x a +=+++.

所以原式222

221ln ()22

a x x a x x a C =+++++.

注：（第一换元法与分部积分法的比较）共同点是第一步都是凑微分

??=')

()]([)()]([x d x f dx x x f ????u

x =)(?令?du

u f )(

??=')()()()(x dv x u dx x v x u ?-=)

()()()( x du x v x v x u

3、变式练习.

１）

?-dx e xe x

12)?+x x dx sin 2)2sin(３）dx e e x

x ?2arctan

４）

x x ?

351

５）dx x x x ?+-185６）dx x x x

x ?+cos sin cos sin