群论与能带结构

波矢群与波矢星

取空间群的点群0G 的0g 个群元{R}，分别作用在波矢k 上，得到0g 个波矢Rk 。由于k 与k+G h 是等价的，可把他们看作是相同的波矢，所以，0g 个波矢Rk 就不一定都是不相同的了。跟据这种考虑，可以将

点群0G 的群元分成两类，其中一类元满足

Rk=k+G h （1） 式中的G h 是倒格矢（可为零矢量）。另一类满足

Rk ≠k+G h （2） 空间群的点群0G 中所有满足（1）式的群元，构成一个群，这个群称

作波矢群0G （k ）。

显然波矢群0G （k ）是空间群的点群0G 的子群，因而也是简单空间群

G 的子群。将点群0G 按子群0G （k ）作陪集分解，得

000(){'0}()G G k R G k =++

若以0g （k ）表示波矢群0G （k ）的阶，那么，上式中的陪集代表元的

个数就应该是

m(k)= 0g /0g （k ）

式中的m （k ）个陪集代表元{'0}j R 是属于群0G 而不属于波矢群0G （k ）的，所以，以它们作用于波矢k 上，满足（2）式或写成 'j j h R k k k =+

其中k j ≠k ，我们将m （k ）个陪集代 表元作用于k 上，得到m （k ）个与k 不等价的波矢，这些波矢的集合就称为波矢星（包含k ）。

例：二维正方格子布里渊区

取其任意一点的波矢k，以C4v群的八个元素分别作用其上，除R1k=k 外，其它七个元素均满足（2）式，则波矢群仅由恒等元组成，波矢

星由八个波矢组成。

取k y上的一点k，波矢群

G（k）为{R1，R8}，波矢星由四个波矢构

成。

由此得，布里渊区中不同的点的波矢星中的波矢数是不同的。当波矢

星中的波矢数较大时，相应的波矢群

G（k）的阶就越小（由前述可

得

g（k）*m（k）=0g），即这点的对称性性较低。为此可定义布里0

渊区中的一般点，对称点，对称轴和对称面。

一般点：布里渊区中某一点k的波矢群

G（k）仅包含一个恒等元

（

G（k）为平庸群）。

对称点：此点的波矢群

G（k）不是平庸群，波矢群0G（k）的阶0g越

大，这个对称点的对称性就越高。

对称轴：布里渊区中的某一线上所有的点都具有相同的非平庸波失群

G（k）。

对称面：略。

E（k）的对称性

对于对称操作E n(Rk)=E n(k)

即对于某一k，经对称操作后得到的新k的E n值相等（Rk与k在同一能带中）。即若知道某一点k的En值，则由对称操作所得到的新k （Rk）k’的E n值也可获得。

如果在简约布里渊区中划出一个体积为简约布里渊区体积的1/

g的

区域（

g为0G的阶即对称操作元素的个数），而且在这个区域中没有0

两个以上的波矢是在同一个波矢星中的。那么，当我们知道这么一个“基本区域”内的能带结构时，利用上式就可以得到整个布里渊区内的能带结构。

如二维正方晶格：点群为C4v群，有八个元素，则可将简约布里渊区分割成8个等价区域，只需讨论其中一个，就可以得到全部。此“基本区域”称为简约布里渊区的不可约体积。

E(k)的简并度

K是一般点：此处的能级是非简并的。

K为对称点：此处的能级简并度取决于其波矢群的不可约表示的维数（维数决定基函数个数，即波函数个数）。

如二维正方晶格Γ点波失群为C4v群，其有一维和二维的不可约表示，则Γ点可能有能带二重简并发生。

K为对称线或对称面上的点：略。

简并度与相容性

在BZ中，随着波矢的变化，例如，由Γ点经Δ轴到x点。波矢群

G

0（k）不同，能量E(k)的简并度不同；作为波矢准连续函数的本征函数Ψ（r），随着波矢的变化，本征波函数Ψ（r）对称性也变化。

在不同波矢k处，波函数对称性之间的相互关系，用相容性来描述：称。。。是相容的。

例如：简立方晶体，波矢由由Γ到Δ轴变化。（讨论能量E（k）的分裂和本征函数Ψ（r）的相容性）。

O群（上标为这个空间群在某一定同形点群中的序简单立方体群为1h

O ）。列号码，最终号码表明属于同一点群有多少个同形空间群(110)

h

Γ点：

G（k）=O h，O h有10个不可约表示；

Δ轴：

G（k）=C4v，C4v有5个不可约表示；

由表可得Γ点的简并度可为1、2、3. Δ轴上的点简并度可为1、2. 若Γ点简并度为3，然而Δ轴上的点简并度最高为二，

则当波矢由Γ点变化到Δ轴，对称性降低，能级必然分裂;

如p带的Γ15（T1u态）为三度简并，由特征表可知，Γ15分裂为一个A1（Δ1）及一个E(Δ5), 我们称这两种情况下的波函数对称性是相容的。也可说C4v群的不可约表示Δ1与Δ5，与O h群的不可约表示Γ15是相容的。记作Γ15=Δ1 Δ5

这表明在Γ点处属于Γ15的能级与属于Δ1及Δ5的能级有相同的值，但当k沿带轴变化，而逐渐靠近x点时，能带就会分裂为具有Δ1及Δ5对称性的两支（如图）

.

但究竟哪一支能量高，则要通过计算才能知道，

相容性的概念与前面讨论过的由于晶格场对称性连续下降而简并度连续减少的概念是相同的。

可跟据k沿着不同方向对称性的变化作出相容性表。

K沿着Σ轴变化时，Σ轴的波矢群为C2v，这个群有四个一维表示；K沿着Λ轴变化时，波矢群为C3v，有两个一维表示和一个二维表示。跟据这些群的不可约表示的特征标，可求出它们的约化系数，就可以得到相应的相容性关系（下表）。

表

K 沿着对称轴方向增加而达到布里渊区边界时，其对称性会突然增加，原因是两个相差一个倒格矢的波矢k 是等价的。如当沿着Δ轴改变k 到达边界上的x 处时，x k a π=与'x k a π=-处的波矢等价，于是波矢

群就突然扩大为包含有垂直x 轴的镜面反射的对称操作，所以波矢群就从C 4v 扩大为D 4h 群。D 4h 群有16个共分10类。用上面的方法可以求得在X 处D 4h 群的不可约表示X i 与在Δ轴处C 4v 群的不可约表示Δi 之间的相容性关系。（也可查阅相关文献）

如果将布里渊区各对称点的E （k ）及各对称点之间的相容性关系求出来，利用E （k ）的连续性，就可画出能带的大致性状。