函数项级数致收敛关于

教案

函数项级数的一致收敛性

复旦大学数学系陈纪修金路

1．教学内容

通过讨论关于函数项级数（函数序列）的无限求和运算（极限运算）是否能与极限运算，求导运算或积分运算交换次序的问题，提出函数项级数（函数序列）的一致收敛概念与一致收敛的两个充分必要条件。

2．指导思想

（1）数学分析与初等函数的根本区别在于引入了极限运算（微分与积分的实质也是极限运算），极限运算应用到求和运算上就是级数的概念。由于有限求和运算可以与极限运算，求导运算或积分运算交换次序，所以讨论级数与极限运算，求导运算或积分运算的交换次序问题就成为级数理论的一个基本问题。

（2）函数项级数的一致收敛性是数学分析课程教学中的一个难点，也是学生最难掌握的内容之一。以往的教材往往直接引进函数项级数的一致收敛概念，然后再讲解一致收敛的函数项级数可以与极限运算，求导运算或积分运算交换次序，学生往往只能死记硬背概念，不能真正理解它的实质意义，过后很快容易忘记。我们则在教学中反其道而行之，先讨论一系列具体的函数项级数例子，指出在点态收敛的情况下，函数项级数不一定可以与极限运算，求导运算或积分运算交换次序，从而理解为了保证运算的交换，有必要引进更强的收敛概念，然后再讲解函数项级数的一致收敛概念。（3）在数学分析课程中，一致收敛概念不仅出现于函数项级数部分，还出现于含参变量积分部分（它保证了积分运算与其他运算的可交换性），可以说，一致收敛性是数学分析，乃至整个分析学中最重要的概念之一，是学好如泛函分析，偏微分方程等后继课程的必备基础。因此在函数项级数部分第一次出现一致收敛概念时，必须将问题的背景，引人一致收敛概念的意义讲清楚，使学生从本质上理解它，做到终身不忘。

3．教学安排

（1）函数项级数与函数序列收敛性的等价性：

给定函数项级数∑∞

) (

u（收敛域为集合D），设它的部分和函数序列为S n(x)：

S n(x) = ∑

)

(，x∈E，

则函数序列{S n(x)}的收敛域也是集合D，且极限函数就是∑∞

) (

u的和函数S(x)：

S(x) =

∞

→

lim S n(x)，x∈D。

反过来，给定一个函数序列{S n(x)}，只要令u1(x) = S1(x)，u n + 1(x) = S n+ 1(x)

- S n(x) (n = 1，2，...)，就可得到函数项级数∑∞

) (

u，它的部分和函数序列就

是给定的{S n (x )}，而它的收敛性与 {S n (x )}的收敛性是相同的。

由于上述函数项级数∑∞

=1)(n n x u 与函数序列{S n (x )}的收敛性在本质上是完全相

同的，在研究函数项级数的性质时，可以先讨论函数序列的性质，而所得到的结论对相应的函数项级数也是自然成立的。

（2）函数项级数(或函数序列)的基本问题：

如果函数u n (x )(或S n (x ))具有某种分析性质(例如连续性，可导性或Riemann 可积性)，那末其和函数(或极限函数)是否也保持同样的分析性质?具体地说，对于有限个连续，可导或可积函数之和，和函数仍然连续，可导或可积，并且和函数的极限，导数或积分，可以通过每个函数求极限，导数或积分后再求和来得到。但是若将这有限个函数之和换成函数项级数，是否仍然可以如上面所述的那样对和函数进行求极限，求导数或求积分的运算?

(a)设u n (x )(或S n (x ))在D 连续，∑∞

=1)(n n x u = S (x ) (或∞→n lim S n (x ) = S (x ))，我们希

望和函数(或极限函数)S (x )也在D 连续，即对于任意x 0∈D ，成立0

lim x x →S (x ) = S (x 0)。这一性质对于函数项级数而言，就是极限运算与无限求和运算能够交换次序： 0lim x x → ∑∞=1)(n n x u = ∑∞=→1)(lim 0n n x x x u ；

对于部分和函数序列而言，就是两种极限运算能交换序列：

0lim x x →∞→n lim S n (x ) = ∞→n lim 0

lim x x →S n (x ). 下面例题说明上述两等式在点态收敛的情况下不一定成立。

例1 设S n (x ) = x n ，则{S n (x )}在区间(-1，1]收敛，极限函数为

S (x ) = ∞→n lim S n (x ) = ???=<<-.1,

1,11,0x x . 虽然对一切n ，S n (x )在(-1，1]连续(也是可导的)，但极限函数S (x )在x = 1不连续 (当然更谈不上x = 1可导)。

（b ）设u n (x )(或S n (x )在D 可导，∑∞

=1)(n n x u = S (x )(或∞→n lim S n (x ) = S (x ))，我们希望

和函数(或极限函数)S (x )也在D 可导，且导函数x

d d S (x )可以通过先对u n (x )(或S n (x ))求导，再求和(或求极限)得到。这一性质对于函数项级数而言，就是求导运算与无限求和运算能够交换次序：

x d d

∑∞=1)(n n x u =

∑∞

=1)(d d n n x u x ；对于部分和函数序列而言，就是求导运算与极限运算交换次序

x d d ∞

→n lim S n (x ) = ∞→n lim x d d S n (x ). 例1说明在点态收敛情况下，和函数(或极限函数)可能不可导，下面例题将说明，即使和函数(或极限函数)可导，上述两等式也不一定成立。

例2 设S n (x ) = n nx

sin ，则{S n (x )}在(-∞，＋∞)收敛，极限函数为S (x ) = 0。

虽然极限函数S (x )处处可导，且导函数S '(x ) = 0，但导函数序列{S '(x )}，S '(x ) = n cos nx ，并不收敛于S '(x ) (例如当x = 0，S 'n (0) =n →0)。

（c ）设u n (x )(或S n (x ))在闭区间 [a ，b ] ? D 上Riemann 可积，∑∞

=1)(n n x u =

S (x )(或∞

→n lim S n (x ) = S (x ))，我们希望和函数(或极限函数)S (x )也在[a ，b ]上Riemann 可积，且积分值?b

a x x S d )(可以通过先对u n (x )(或S n (x ))求积分，再求和(再求极限)得到。这一性质对函数项级数而言，就是求积分运算与无限求和运算可以交换次序：

?∑∞=b a n n x x u d )(1 = ∑?∞=1d )(n b a n x x u

对于部分和函数序列而言，就是求积分运算与极限运算能够交换次序：

?∞→b a n lim S n (x ) d x = ∞→n lim ?b a n x S )(d x

下面例题将说明在点态收敛情况下，和函数(或极限函数)可能Riemann 不可积，且即使Riemann 可积，上述两等式也不一定成立。

例3 设

S n (x ) = ????.

,0,!,1为其他值当为整数当x n x 当x 是无理数时，对一切n ，S n (x ) = 0，因此S (x ) = ∞

→n lim S n (x ) = 0；当x 是有理数p q ，p ∈N ，q ∈Z 时，对于n ≥p ，S n (x ) = 1，因此S (x ) = ∞→n lim S n (x ) = 1。于是{S n (x )}的

极限函数S (x )就是我们所熟知的Dirichlet 函数。显然，S n (x )在任何有限区间上都是Riemann 可积的，但极限函数S (x )却Riemann 不可积。

例4 设S n (x ) = nx (1 - x 2)n ，则{S n (x )}在区间[0，1]上收敛于极限函数S (x ) = 0。显然对任意n ，S n (x )与S (x )都在[0，1]上Riemann 可积，但是

?10d )(x x S n =

?-102d )1(x x nx n = - 2n ?--1022)1d()1(x x n = )1(2+n n ─/─→ ?1

0d )(x x S (n →∞)。

上述例子说明了“点态收敛”不可能对所提出的函数项级数的基本问题给以肯定的回答，为此我们需要引进一种比“点态收敛”要求更强的收敛概念。

（3）函数项级数(或函数序列)的一致收敛性

所谓“函数序列{S n (x )}在集合D 上(点态)收敛于S (x )”是指：对于任意x 0∈

D ，数列{S n (x )}收敛于S (x 0)，用“ε－N ”语言来表示的话，就是：对任意给定的ε＞0，可以找到自然数N = N (x 0,ε)，当n ＞N 时，成立：

│S n (x 0) - S (x 0)│＜ε，

其中N (x 0,ε)不仅与ε有关，而且与x 0∈D 有关。一般来说，N (x 0,ε)随着x 0的变化而变化，这反映了S n (x )在集合D 的不同点上收敛于S (x )的速度不同。现在的问题是：能否找到与x 0无关，而仅与D 有关的N = N (ε)，使得当n ＞N 时， │S n (x ) - S (x )│＜ε

对一切x ∈D 成立?如果这样的N (ε)能够找到，则反映了{S n (x )}不仅在D 上点态收敛于S (x )，而且收敛速度在D 上具有某种整体一致性。这种收敛，我们称之为一致收敛。

定义设{S n (x )}，x ∈D ，是一函数序列，若对任意给定的ε＞0，存在仅与D 有关的自然数N (ε)，当n ＞N (ε)时，

│S n (x ) - S (x )│＜ε

对一切x ∈D 成立，则称{S n (x )}在D 上一致收敛于S (x )，记为S n (x )D

? S (x )。

符号表述：S n (x )D ?S (x ) ? ?ε＞0，? N ， ?n ＞N ，?x ∈D ：

│S n (x ) - S (x )│＜ε.

定义若函数项级数∑∞=1)(n n x u ，x ∈D ，的部分和函数序列{S n (x )}，S n (x ) =

∑=n k k x u

1)(，在D 一致收敛于S (x )，则称∑∞

)(n n x u 在D 上一致收敛于S (x )。符号表述：∑∞=1

)(n n x u 在D 上一致收敛于S (x ) ? ?ε＞0，? N ， ?n ＞N ，?x ∈D ：

│∑=n

k k x u 1)( - S (x )│ = │S n (x ) - S (x )│＜ε。

一致收敛性的几何描述：对任意给定的ε＞0，存在N ＝N (ε)，当n ＞N (ε)时，函数y = S n (x )，x ∈D ，的图象都落在带状区域

{(x ，y )│x ∈D ，S (x ) -ε ＜ y ＜ S (x ) +ε＝

之中（图象演示）。

例5 设S n = 221x

n x +，则{S n (x )}在(-∞，+∞)收敛于极限函数S (x ) = 0。

│S n (x ) - S (x )│ =

221||x n x + ≤ n 21，所以对任意的ε＞0，只要取N =［ε

21］，当n ＞N 时， │S n (x ) - S (x )│≤ n

21 ＜ε 对一切x ∈(-∞，+∞)成立，因此{S n (x )}在(-∞，+∞)上一致收敛于S (x ) = 0。从几何上看，对任意给定的ε＞0，只要取N ＝［

ε21］，当n ＞N 时，函数y = S n (x )，x ∈(-∞，+∞)，的图象都落在带状区域{(x ，y )││y │＜ε}中，这正是一致收敛的几何描述。

例6 设S n (x ) = x n (见例 10.1.2)，我们考察{S n (x )}在区间［0，1)上的一致收敛性。对任意给定的0 ＜ε＜ 1，要使

│S n (x ) - S (x )│ = x n ＜ε，

必需

n ＞

x ln ln ε 因此N = N (x ,ε)至少须取［x ln ln ε］。由于当x →1－时，x

ln ln ε → +∞，因此不可能找到对一切x ∈[0，1]都适用的N = N (ε)，换言之，{S n (x )}在［0，1］上不是一致收敛的（图像演示）。

从几何上看，对每个n ，函数 y = x n 的取值范围(即值域)都是［0，1)，因此它们的图象不可能落在带状区域{(x ，y )│x ∈[0，1]，0＜y ＜ε＝中。

注如果我们将上例中考察的区间［0，1)缩小为［0，ρ］，其中0＜ρ＜1 是任意的，则由

│S n (x ) - S (x )│ = x n ＜ρn ，

我们只要取N = N (ε) = ［ρ

εln ln ］，当 n ＞N 时， │S n (x ) - S (x )│＜ρn ＜ε

对一切x ∈[0，ρ]成立。换言之，{S n (x )}在［0，ρ］(ρ＜1＝上是一致收敛的。从图示可以看出，随着 n 的增大，函数y = x n 在区间［0，ρ］上的图象越来越接近 x 轴，从而全部落在带状区域{(x ，y )│0≥x ≥ρ，0≤y ≤ε}中。

（5）关于一致收敛的两个充分必要条件

定理 1 设函数序列{S n (x )}在集合D 上点态收敛于S (x )，定义

d (S n ，S ) = D

∈x sup │S n (x ) - S (x )│，

则{S n (x )}在D 上一致收敛于S (x )的充分必要条件是：

∞

→n lim d (S n ，S ) = 0。证设{S n (x )}在D 上一致收敛于S (x )，则对任意给定的ε＞0，存在N ＝N (ε)，

当n ＞N 时，

│S n (x ) - S (x )│＜

2ε 对一切x ∈D 成立，于是对n ＞N ，

d (S n ，S ) ≤

ε ＜ε，这就说明

∞→n lim d (S n ，S ) = 0。反过来，若∞

→n lim d (S n ，S ) = 0，则对任意给定的ε＞0，存在N ＝N (ε)，当n ＞N 时，

d (S n ，S )＜ε，

此式表明

│S n (x ) - S (x )│＜ε

对一切x ∈D 成立，所以{S n (x )}在D 上一致收敛于S (x )。

证毕

对于例5中的S n (x ) =221x

n x + ，x ∈(-∞，+∞)，由于 │S n (x ) - S (x )│ =

221||x n x + ≤ n 21，等号成立当且仅当x = ±n

1，可知 d (S n ，S ) =

n 21 → 0 (n →∞)。对于例6中的S n (x ) = x n ，x ∈[0，1)，由于

d (S n ，S ) = 1

0sup ≤≤x x n = 1 ─/→ 0 (n →∞)，

所以{S n (x )}在［0，1］上不是一致收敛的。

例7 设S n (x ) = 2

21x n nx +，则{S n (x )}在(0，+∞)上收敛于S (x ) = 0，由于 │S n (x ) - S (x )│ =

21x n nx + ≤ 21，等号成立当且权当x =n 1，可知

d (S n ，S ) = 2

1 ─/→ 0 (n →∞)，因此{S n (x )}在(0，+∞)上不是一致收敛的（图像演示）。从几何上看(图4)，对每个n ，函数y = 2

21x n nx +在x = n 1取到最大值，因此它们的图象不可能落在带状区域{(x ，y )│0＜x ＜ +∞，│y │＜ε＜

21}中。事实上，{S n (x )}在任意包含x = 0或以x = 0为端点的区间上都不是一致收敛的。注若考虑上例中{S n (x )}在区间［ρ，A ］(0＜ρ＜A ＜ +∞)?上的一致收敛性，则由│S n (x ) - S (x )│ =2

21x n nx +及 (221x n nx +)' =2

2222)1()1(x n x n n +-，可以知道当n ＞ρ

1时， d (S n ，S ) = 2

21ρ+ρn n ─→ 0 (n →∞)，这说明 {S n (x )}在［ρ，A ］上是一致收敛于S (x ) = 0，也就是说，{S n (x )} 在包含于(0，+∞)内的任意闭区间上是一致收敛的，我们称{S n (x )}在(0，+∞)内闭一致收敛。

回忆例 6，对S n (x ) = x n ，{S n (x )}在［0，1)上不一致收敛，但在任意的［0，ρ］?［0，1］上一致收敛，因此称{S n (x )}(S n (x ) = x n )在［0，1)内闭一致收敛。显然，在区间D 上一致收敛的函数序列一定在D 内闭一致收敛，但反过来却不一定成立。

例8 设S n (x ) = (1 - x )x n ，则{S n (x )}在［0，1］上收敛于S (x ) = 0。由

│S n (x ) - S (x )│ = (1 - x ) x n ，

及

[(1 - x )x n ] ' = 1-n x [n - (n + 1)x ］，

容易知道│S n (x ) - S (x )│在x =

1+n n 取到最大值，从而 d (S n ，S ) = (1 -

1+n n )(1+n n )n = (1+n n )／(1 + n

1)n → 0 (n →∞)，这就说明{S n (x )}在［0，1］一致收敛于S (x ) = 0.

定理2 设函数序列{S n (x )}在集合D 上点态收敛于S (x )，则{S n (x )}在D 上

一致收敛于S (x )的充分必要条件是：对任意数列{x n }，x n ∈D ，成立

∞

→n l i m (S n (x n ) - S (x n )) = 0. 证设{S n (x )}在D 上一致收敛于S (x )，则

d (S n ，S ) = D

∈x sup │S n (x ) - S (x )│→0 (n →∞).

于是对任意数列{x n }，x n ∈D ，成立

│S n (x n ) - S (x n )│≤ d (S n ，S ) → 0 (n →∞).

关于充分性，我们采用反证法，也就是证明：若{S n (x )}在D 上不一致收敛于S (x )，则一定能找到数列{x n }，x n ∈D ，使得S n (x n ) - S (x n ) ─/→ 0(n →∞)。我们已经知道，命题“{x n }在D 上一致收敛于S (x )”可以表述为 ?ε＞0，? N ， ?n ＞N ，?x ∈D ：│S n (x ) - S (x )│＜ε. 于是它的否定命题“{S n (x )}在D 上不一致收敛于S (x )”可以表述为：

?0ε＞0，? N ＞0，? n ＞N ，? x ∈D ：│S n (x ) - S (x )│≥0ε

于是下述步骤可以依次进行：

取 N 1＝1， ?n 1＞1， ?1n x ∈D ：│1n S (1n x ) - S (1n x )│≥0ε，取 N 2＝n 1， ?n 2＞n 1， ?2n x ∈D ：│2n S (2n x ) - S (2n x )│≥0ε， ……

取 N k ＝N k -1， ?N k ＞N k -1，?k n x ∈D ：│k n S (k n x ) - S (k n x )│≥0ε， ……

对于m ∈N + \{n 1，n 2，...n k ，...}，可以任取x m ∈D ，这样就得到数列{x n }，x n ∈D ，由于它的子列k n x 使得

│k n S (k n x ) - S (k n x )│≥0ε，

显然不可能成立

∞

→n lim (S n (x n ) - S (x n )) = 0 。证毕

定理2 常用于判断函数序列的不一致收敛性。例如对例6中的 S n (x ) = x n ，x ∈[0，1)，我们可以取x n = 1 - n 1∈[0，1)，则S n (x ) - S (x ) = (1 -n 1)n →e

1 (n →∞)，这说明{S n (x )}在［0，1)上不一致收敛于S (x ) = 0；对于例 10.1.8 中的S (x ) = 221x

n nx +，x ∈(0，+∞)，我们可以取x n = n 1，则S n (x n ) - S (x n ) = 21同样也说明{S n (x )}在(0，+∞)不一致收敛于S (x ) = 0.

例9 设S n (x ) = nx (1 - x 2)n ，x ∈[0，1](见例4)，则{S n (x )}在［0，1］收敛

于S (x ) = 0。我们取x n = n

1，则 S n (x n ) - S (x n ) = (1 - 2

1n ) n → 1 (n →∞)，这说明{S n (x )}在［0，1］上不一致收敛于S (x ) = 0。

4．注意点

（1）由于函数项级数与函数序列的收敛性在本质上是一致的，所以在举例时，

我们都选择函数序列的例子，而所得到的结论对函数项级数也是成立的。

（2）由于函数的连续性与可求导性是函数的局部性质，因此对于函数项级数与

极限运算和求导运算的交换问题，只需要内闭一致收敛的概念即可。通过学习，不仅要求学生掌握内闭一致收敛的概念，而且要求学生会判断何时需要函数项级数在整个区间上的一致收敛的条件，何时只需要内闭一致收敛的条件就够了。

（3）定理2的充分性条件的证明中，用到如何对一个命题的否定命题作分析表述，这在

极限论部分的教学中已经作过讲述，这里应该再次强调，加以巩固。

（4）函数项级数与函数序列的一致收敛性是很抽象的概念，学生不容易掌握，

在讲课时必须结合图象演示，提高直观性，使学生更好地理解点态收敛与一致收敛的区别，一致收敛与内闭一致收敛的区别。

函数项级数的一致收敛性共8页word资料

第三节函数项级数的一致收敛性本节将讨论函数项级数有关性质。定义 1 设 )(1x u ，)(2x u ，……，)(x u n ，……，是集合E 上的函数列，我们称形为 )(1x u +)(2x u +……+)(x u n +…… 为E 上的函数项级数，简记为∑∞ =1 )(n n x u 。其中)(x u n 称为第n 项. )(x u k +)(1x u k ++……+)(x u n +……也记为∑∞ =k n n x u )(. 记号中n 可以用其它字母代之. 同研究常数项级数一样，我们类似可以定义其收敛性。定义 2 设∑∞ =1)(n n x u 是集合E 上的函数项级数，记 ∑==n i i n x u x S 1 )()(=)(1x u +)(2x u +……+)(x u n ，它称为级数∑∞ =1 )(n n x u 的部分和函数（严格地说是前n 项部分和函数）. {})(x S n 称为∑∞ =1 )(n n x u 的部分和函数列。如果{})(x S n 在0x 点收敛，我们也说∑∞ =1 )(n n x u 在0x 点收敛或称0x 为该级数的收敛点。如果|)(|1 ∑∞ =n n x u 在0x 点收敛，我们称∑∞ =1 )(n n x u 在0x 点绝对收敛。非常容易证明绝对收敛一定收敛。 {})(x S n 的收敛域也称为该级数的收敛域。如果{})(x S n 在0x 点不收敛，

我们说∑∞ =1 )(n n x u 在0x 点发散。如果{})(x S n 在D 上点态收敛于)(x S ，我们称∑∞ =1 )(n n x u 在D 上点态收敛于 )(x S . )(x S 称为该级数的的和函数。)()()(x S x S x R n n -=称为该级数关于前 n 项部分和的余项. {})(x R n 称为该级数的余项函数列. 如果{})(x S n 在D 上一致收敛于)(x S ，我们称∑∞ =1)(n n x u 在D 上一致收敛于 )(x S ，或∑∞ =1 )(n n x u 在D 上一致收敛. 如果{})(x S n 在D 上内闭一致收敛于)(x S ，我们称∑∞ =1 )(n n x u 在D 上内闭一致收敛. 用N -ε的进行叙述将是：设∑∞ =1)(n n x u 是D 上函数项级数，)(x S 是D 上函数。若对任意ε>0，总存在一个正数正数N （只能依赖于ε，绝对不依赖于x ），当N n >时，对一切的D x ∈，总有 ε<-∑=|)()(|1x S x u n i i ，则称该函数项级数在D 上一致收敛于)(x S . 同样一致收敛一定点态收敛. 例 1 定义在（—∞，+∞）上的函数项级数（几何级数） ΛΛΛΛ+++++=∑∞ =-n n n x x x x 21 1 1 的部分和函数是x x x S n n --=11)( .显然当|x |<1时

函数项级数的一致收敛性精选

函数列与函数项级数 §1. 函数项级数的一致收敛性 1. 讨论下列函数序列在所示区域的一致收敛性： ⑴ ()n f x =(,);x ∈-∞+∞ ⑵ ()sin ,n x f x n = i) (,),x l l ∈- ii) (,);x ∈-∞+∞ ⑶ (),1n nx f x nx = + (0,1);x ∈ ⑷ 1(),1n f x nx =+ i) [,),0,x a a ∈+∞> ii) (0,);x ∈+∞ ⑸ 22 33(),1n n x f x n x =+ i) [,),0,x a a ∈+∞> ii) (0,);x ∈+∞ ⑹ (),1n nx f x n x =++ [0,1];x ∈ ⑺ (),1n n n x f x x =+ i) [0,],1,x b b ∈< ii) [0,1];x ∈ iii) [,),1;x a a ∈+∞> ⑻ 2(),n n n f x x x =- [0,1];x ∈ ⑼ 1(),n n n f x x x +=- [0,1];x ∈ ⑽ ()ln ,n x x f x n n = (0,1);x ∈ ⑾ 1()ln(1),nx n f x e n -=+ (,);x ∈-∞+∞

⑿ 2 ()(),x n n f x e --= i) [,],x l l ∈- ii) (,)x ∈-∞+∞ . 2. 设()f x 定义于(,)a b ，令 [()]()n nf x f x n = (1,2,)n =???. 求证：{()}n f x 在(,)a b 上一致收敛于()f x . 3. 参数α取什么值时， (),nx n f x n xe α-= 1,2,3,n =??? 在闭区间[0,1]收敛？在闭区间[0,1]一致收敛？使10lim ()n n f x dx ->∞?可在积分号下取极限？ 4. 证明序列2()nx n f x nxe -=(1,2,)n =???在闭区间[0,1]上收敛，但 1 1 00lim ()lim ().n n n n f x dx f x dx ->∞->∞≠?? 5. 设{()}n f x 是[,]a b 上的连续函数列，且{()}n f x 在[,]a b 一致收敛于()f x ；又 [,]n x a b ∈(1,2,)n =???，满足0lim n n x x ->∞=，求证 0lim ()().n n n f x f x ->∞ = 6. 按定义讨论下列函数项级数的一致收敛性： ⑴ 0 (1), [0,1];n n x x x ∞=-∈∑ ⑵ 12 21(1), (,)(1) n n n x x x -∞=-∈-∞+∞+∑. 7. 设()n f x (1,2,)n =???在[,]a b 上有界，并且{()}n f x 在[,]a b 上一致收敛，求证： ()n f x 在[,]a b 上一致有界. 8. 设()f x 在(,)a b 内有连续的导数()f x '，且 1()[()()],n f x n f x f x n =+- 求证：在闭区间[,]αβ()a b αβ<<<上，{()}n f x 一致收敛于()f x '. 9. 设1()f x 在[,]a b 上黎曼可积，定义函数序列

函数项级数一致收敛的几个判别法及其应用

函数项级数一致收敛性判别法及其应用栾娈 20111101894 数学科学学院数学与应用数学11级汉班指导老师：吴嘎日迪摘要:本文证明了常用的函数项级数一致收敛性的判别法,并通过例题给出了它的应用.另外,仿照极限的夹逼原理,得到函数项级数一致收敛的夹逼判别法. 关键词:一致收敛,函数项级数,和函数 1.函数列与一致收敛性 (1)函数项级数一致收敛性的定义:设有函数列{S n （x ）}(或函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 的部分和序列)。若对任给的0>ε，存在只依赖于ε的正整数N （ε），使n > N （ε）时，不等式 ε<-)()(x S x S n 对X 上一切x 都成立，则称{S n （x ）}（∑∞ =1 )(n n x u ）在X 上一致收敛于S （x ）. 一致收敛的定义还可以用下面的方式来表达：设 =-S S n X x ∈s u p )()(x S x S n -，如果 0lim =-∞ →S S n n 就称S n （x ）在X 上一致收敛于S(x ). 例1 讨论 = +=X x n nx x S n 在2 2 1)([0，1]的一致收敛性由于S （x ）=0, 故 2 11)(m a x 1 = ?? ? ??==-≤≤n S x S S S n n x o n ，不收敛于零，故在[0，1]上非一致收敛 (2)函数项级数一致收敛的几何意义:函数列{f n }一致收敛于的f 几何意义：对任给的正数ε ，存 N ，对一切序号大于N 的曲线y=f n (x )都落在以曲线y= f (x )+ε与y=f (x )-ε为上，下边界的带形区域内. 2.函数列一致收敛的判别准则（充要条件）

函数项级数一致收敛性的判别法

函数项级数一致收敛性的判别法摘要函数项级数是数学分析中的重点和难点,因此讨论和分析它的性质和判别方法显得尤为重要,本文给出了函数项级数的定义以及函数项级数一致收敛性的判别定理，并用之来解决函数项级数一致收敛性的一些问题比较容易. 关键词函数项级数；一致收敛性；判别法. 中图分类号 O173.1 Function Seies Convergence Criterion Abstrac t ：Function is a mathematical analysis of series of focus and difficult, so the discussion and analysis of its nature and it is particularly important to identify methods.In this paper, the definition of Function series and uniform convergence of Function series of discriminant theorem,and used to solve the series of uniform convergence of Function of some of the problems is easier. Key words ：Function series; Uniform convergence of; Discriminance 1 引言及预备知识如果函数项级数具有一致收敛性,函数项级数的和函数或余和易于求得,判别它的一致收敛性可应用一致收敛定义,如果很难求得它的和函数或余和，就根据函数自身的结构,找到判别一致收敛性的判别法. 定义1.1[1] 设()12(),,u x u x …()n u x ,…是一列定义在D 上的函数,把这些函数的各项用加号连接起来的表达式 ()()12u x u x ++…+()n u x +…或()1n n u x ∞ =∑, (1) 称为函数项级数.a D ?∈ 函数级数在a 对应一个数值级数 1 ()U n a ∞ =∑ =12()()u a u a ++...+()n u a +. (2) 它的敛散性可用数值级数敛散性的判别法判别,若级数(2)收敛,则称a 是函数级数(1)的收敛点;若级数(2)发散,则称a 是函数级数(1)的发散点. 定义 1.2[1] 函数项级数(1)的收敛点的集合,称为函数项级数(1)的收敛域,若收敛域是一个区间,则称此区间是函数项级数的收敛区间. 定义 1.3[1] 设数集E 为函数项级数()1 n n u x ∞ =∑的收敛域,则对每个x E ∈记S(x)= ()1 n n u x ∞=∑称S(x)为函数项级数()1 n n u x ∞ =∑的和函数.

关于数项级数敛散性的判定

关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1数项级数收敛的定义数项级数 ∑∞ =1 n n u 收敛?数项级数 ∑∞ =1 n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S . 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{} n S 的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少. 2.2数项级数的性质（1）若级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛，则对任意常数c,d, 级数 ∑∞ =+1 )(n n n dv cu 亦收敛，且 ∑∑∑∞ =∞ =∞ =+=+1 1 1)(n n n n n n n v d u c dv cu ;相反的，若级数∑∞ =+1 )(n n n dv cu 收敛，则不能够推出级数∑∞ =1 n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛. 注：特殊的，对于级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v ，当两个级数都收敛时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 必收敛；当其中一个收敛，另一个发散时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 一定发散；当两个都发散时，∑∞ =±1 )(n n n v u 可能收敛也可能发散. 例1 判定级数∑∞ =+1)5131(n n n 与级数∑∞ =+1)21 1(n n n 的敛散性. 解：因为级数∑∞ =131n n 与级数∑∞=15 1n n 收敛，故级数∑∞ =+1)51 31(n n n 收敛.

函数项级数的一致收敛性与非一致收敛性判别法归纳

函数项级数的一致收敛性与非一致收敛性判别法归纳一定义引言设函数列{}n f 与函数f 定义在同一数集D 上，若对任给的正数ε，总存在某一正数N ，使得当N n >时，对一切D x ∈，都有 ()()ε<-x f x f n 则称函数列{}n f 在上一致收敛于()x f ，记作 ()()x f x f n →→ ()∞→n ，D x ∈ 设()x u n 是定义在数集E 上的一个函数列，表达式 ()()(),21 ++++x u x u x u n E x ∈ ) 1(称为定义在E 上的函数项级数,简记为()x u n n ∑∞ =1 或()x u n ∑；称 ()()x u x S n k k n ∑==1 , E x ∈, ,2,1=n )2( 为函数项级数)1(的部分和函数列．设数集D 为函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 的收敛域，则对每个D x ∈，记∑∞ ==1 )()(n n x u x S ，即 D x x S x S n n ∈=∞ →),()(lim ，称)(x S 为函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 的和函数，称) ()()(x S x S x R n n -=为函数项级数∑)(x u n 的余项．定义1]1[ 设{})(x S n 是函数项级数∑)(x u n 的部分和函数列，若{})(x S n 在数集D 上一致收敛于函数)(x S ，或称函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛于)(x S ，或称∑)(x u n 在D 上一致收敛．由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来确定，所以可以根据函数列一

函数项级数一致收敛性

函数项级数一致收敛性有关问题的讨论函数项级数是微积分的主要内容之一，是数学分析研究的重点．用函数项级数(或函数列)来表示(或定义)一个函数，判断其一致收敛性是关键．从函数项级数一致收敛的定义及性质出发，下面主要讨论函数项级数(或函数列)一致收敛性的判别及其应用． 1 函数项级数一致收敛的相关定义定义1.1 []1(31) P 设函数列{})(x S n 是函数项级数 ∑∞ =1 )(n n x u 的部分和函数列，若,0>?ε 存在正整数)(εN ，当n >)(εN 时，不等式 ∑=-n k k x S x u 1 )()(=)()(x S x S n -<ε 对I 上一切x 都成立，则称 ∑∞ =1 )(n n x u 在I 上一致收敛于()S x ．一致收敛的定义还可以用下面的方式来表达：定义1.1[]2(67) ' P 函数列{})(x S n (或 ∑∞ =1 )(n n x u )在I 上一致收敛于()S x ?∞ →n lim I x ∈sup )(x R n =0)()(sup lim =-∈∞→x S x S n I x n ，其中)(x R n =()()n S x S x -称为函数项级数 ∑∞ =1 )(n n x u 的余项．定义1.2 函数列{})(x S n 在I 上非一致收敛于()S x ?00>?ε，0>?N ，N n >?0，I x ∈?0，使得)()(000x S x S n -≥0ε．定义 1.3 函数列{})(x S n 在区间()b a ,内的任一闭区间上一致收敛时，称{})(x S n 在区间()b a ,内闭一致收敛． 2 一致收敛函数项级数的性质[] 3(417430) P - 定理2.1（逐项取极限）设级数 ∑∞ =1)(n n x u 在0x 的某个空心邻域0U (0x )={}δ<-<||0:0x x x 内一致收敛，0 lim x x →()n n u x c =．则 ∑∞ =1 n n c 收敛，且

第十章函数项级数

1 第十章函数项级数 § 1 函数项级数的一致收敛性(1) 一、本次课主要内容点态收敛，函数项级数收敛的一般问题。二、教学目的与要求使学生理解怎样用函数列（或函数项级数）来定义一个函数，掌握如何利用函数列（或函数项级数）来研究被它表示的函数的性质。三、教学重点难点函数列一致收敛的概念、性质四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。五、作业与习题布置 P68 1（5）（7）

2 一．函数列及极限函数：对定义在区间I上的函数列，介绍概念：收敛点，收敛域（注意定义域与收敛域的区别），极限函数等概念. 1.逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“ ”定义. 例1 对定义在内的等比函数列, 用“”定义验证其收敛域为 , 且例2 .用“”定义验证在内. 例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: . （1）. . （2）. （3）设为区间上的全体有理数所成数列. 令 , . （4）. , . （5）有, , . （注意 .）二. 函数列的一致收敛性:

3 问题: 若在数集D上, . 试问: 通项的解析性质是否必遗传给极限函数能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但 . 的一种手段. 对这种函数, 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果. 定义( 一致收敛 ) 一致收敛的几何意义. 在数集D上一致收敛, Th1 (一致收敛的Cauchy准则 ) 函数列 , . ( 介绍另一种形式.) 证 ( 利用式) ,……,有. 易见逐点收敛. 设令，推论1 在D上 , ，. D , 使推论2 设在数集D上, . 若存在数列在数集D上非一致收敛 . 应用系2 判断函数列 ―在数集D上的最值点. . 证明函数列在R内一致收敛. 例4

关于函数项级数的收敛性

关于函数项级数的收敛性作者： xxx 指导老师：xxx 摘要：级数是表示初等函数的一种工具，其核心问题是级数的和（或和函数），即收敛问题，包括收敛和一致收敛，本文试图对函数项级数的收敛、一致收敛、非一致收敛的常用判别方法进行了较为系统的和总结，并对其中几种收敛性的判断方法作了重点讨论。关键词：函数项级数收敛一致收敛判别方法 1 引言作为数项级数的推广，函数项级数项级数的收敛性问题一直是数学分析中级数的重点和难点，在实际应用中也比较广泛。在这篇文章中，本文先对函数项级数的收敛给出本质说明，由于函数项级数的收敛与数项级数的收敛本质都是逐点收敛，因此这篇论文重点是论述函数项级数一致收敛的定义以及类似于数项级数收敛的判别方法或相关定理，并对某些定理的适用范围作出归纳。. 2 函数项级数一致收敛的定义我们知道，所谓函数项级数 ()n u x ∑在某区间I 收敛，是指它逐点收敛.意即：对I 中每固定一点x I ∈，作为数项级数，1 n u x n ∞ =∑（）总是收敛的，因此对于收敛性，可以用数项级数的各种判别法逐点进行判断。定义1 ：函数序列{()}n S x 在集合D 上点态收敛于是指对于任意的0x D ∈，数列0()n S x 收敛于0()S x ，用” N ε-”语言来表示的话，就是：对任意给定的0ε>，可以找到N ,当n>N 时，成立：0|()()|n S x S x ε-< 一般来说，这里的N 应理解为0(,)N x ε,即N 不仅与ε有关，而且随着0x 的变化而变化。这意味着在D ，{()}n S x 的收敛速度可能大相径庭。如果{()}n S x 不仅在D 上点点收敛，而且在D 上的收敛速度具有某种整体一致性，也即此时的N 仅与ε有关而与0x 无关. （充要条件）设｛n S ｝是函数项级数()n u x ∑的部分和函数列，若｛()n S x ｝在数集D 上一致收敛于 ()S x ,则称函数项级数 ()n u x ∑一致收敛于函数()S x ,或称()n u x ∑在 D 上一致收敛.

函数项级数的一致收敛性及其应用

函数项级数的一致收敛性及其应用摘要：随着科学技术的发展，初等函数已经满足不了人们的需要.自柯西给出了无穷级数的定义后，随着人们对级数的深入研究，无穷级数的理论得到了飞速的发展.有了无穷级数，函数项级数应运而生.函数项级数在数学科学本身及工程技术领域里有广泛的应用,函数项级数的一致收敛性在应用中起着至关重要的作用,因此研究函数项级数的一致收敛性及其判定就成了应用中重要的环节.本文介绍函数项级数一致收敛的相关概念，对函数项级数一致收敛性的判定方法进行梳理、归纳，并举例说明，以一类最简单的函数项级数幂级数为例，说明函数项级数在计算方面的应用. 关键词：函数项级数；一致收敛；幂级数 Uniformly Convergence Series of Functions and Application Abstract: With the development of science and technology, elementary function has failed to meet the needs of the people. Since the Cauchy gives the definition of infinite series, the theory of series has been developed rapidly with the in-depth study of it. With the infinite series, series of functions came into being. Series of functions has a wide application in mathematics and engineering science. The uniformly convergence of series of functions plays an important role in application. During the application, the uniformly convergence of series of function and its judgment become important. This article describes the concept of the uniformly convergence of series of functions, to sum up the judgment of the uniformly convergence of series of functions. We give many examples and take the series of powers to illustrate the application in calculation of series of functions. Key words: series of functions; uniformly convergence; series of powers

函数项级数

第十章函数项级数一、内容简介本章主要介绍函数项级数的收敛域和一致收敛性的判别、和函数的性质以及初等函数的幂级数展开。二、学习要求 1. 了解用多项式来逼近函数的思想； 2. 正确理解函数项级数的收敛域、一致收敛性以及和函数的性质； 3. 掌握函数项级数的一致收敛性的Weierstrass 判别法和A-D 判别法，幂级数的收敛半径及和函数的计算。三、学习的重点和难点重点：函数项级数的一致收敛性, 初等函数的幂级数展开; 难点：含参数数项级数的条件收敛性和函数项级数一致收敛性的判别, 四、研究级数的目的 1．借助级数表示很多有用的非初等函数。 2．解微分方程。 3．利用多项式来逼近一般的函数。 4．实数的近似计算。 §１一致收敛性一．点收敛的收敛域函数项级数： 1 ()n n u x ∞ =∑．定义１设()n u x (1,2, ,)n =在E 上有定义，0x E ∈．若数项级数01 ()n n u x ∞ =∑收敛，则称函数项级数在0x 点收敛，称0x 是 1 ()n n u x ∞=∑的收敛点．收敛点全体D 称为1 ()n n u x ∞ =∑的收敛域．其和()S x 是定义在D 上的函数称为其和函数．例：（１） 1 ()1n n x S x x ∞ === -∑ (1,1)x ∈-．（２）1 n p n x n ∞ =∑ 1p >　，收敛域为［－１，１］；01p <≤，收敛域为［－１，１］； 0P ≤，收敛域为（－１，１）．（３） 1sin p n x n ∞ =∑ 0p >时，(,)-∞∞．

例：nx e - 收敛域为(0,)∞．部分和函数列：{()}n S x ． 1 ()n n u x ∞ =∑在D 上收敛?{()}n S x 在D 上收敛．二．函数序列的一致收敛性 {()}n S x ．lim ()().n n S x S x →∞ = x D ∈． 00 lim(lim ())lim(lim ())lim ()n n x x n n x x x x S x S x S x →→∞ →∞→→==．即逐项求极限．是否逐项求导，求积分？一般否．反例：例：()n n S x x = 收敛域(1,1]D =- 0(1,1)()11 x S x x ∈-?=? =?　． 1lim ()0x S x - →= 1 lim lim ()lim11n n n x S x - →∞→∞ →==。例：()0n S x = →．(,)D =-∞+∞ ()0S x = ()n S x nx '==．例：1!()0n n x S x ∈?=? ? 其他． x ＝无理数时，()0n S x =；x ＝有理数 q p 时，n p >时，!q n p 整数，()1n S x =． ()n S x 在任何区间[,]a b 上可积，而()S x 不可积．定义２设lim ()().n n S x S x →∞ = x D ∈．若0,()0.N n N εε?>?>?>及x D ?∈，有： ()()n S x S x ε-<成立，则称在D 上{()}n S x 一致收敛于()S x ，记为()().D n S x S x ? 若级数 1 ()n n u x ∞=∑的部分和函数列在D 上一致收敛于()S x ，则称1 ()n n u x ∞ =∑一致收敛于 ()S x ．例１：22 ()1n x S x n x =+． 1 ()n n S x ∞ =∑ 0x =时，()00n S x =→；0x ≠时，()0n S x →．

§13.1函数列与函数项级数一致收敛性解析

第十三章函数列与函数项级数 §1 一致收敛性 (一) 教学目的：掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (二) 教学内容：函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．基本要求： 1）掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． 2、教学基本要求：理解并掌握函数列与函数项级数的概念及一致收敛的概念和性质；掌握函数项级数的几个重要判别法，并能利用它们去进行判别；掌握一致收敛函数列与函数项级数的极限与和函数的连续性，可积性，可微性，并能应用它们去解决问题。 3、教学重点难点：重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛性的概念、判别及应用。 (三) 教学建议： (1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． ————————————————————一函数列及其一致收敛性

对定义在区间I 上的函数列E x x f n ∈},)({，设 E x ∈0，若数列 })({0x f n 收敛，则称函数列})({x f n 在点0x 收敛，0x 称为函数列})({x f n 收敛点；若数列 })({0x f n 发散，则称函数列})({x f n 在点0x 发散。使函数列})({x f n 收敛的全体收敛点集合称为函数列})({x f n 收敛域（注意定义域与收敛域的区别）。若函数列})({x f n 在数集E D ?上每一点都收敛，则称函数列})({x f n 在数集D 上收敛，这时D 上每一点x ，都有函数列的一个极限值 )()(lim x f x f n n =∞ → 与之对应，由这个对应关系所确定的函数，称为函数列})({x f n 的极限函数。逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“N -ε”定义. 例1 对定义在) , (∞+∞-内的等比函数列)(x f n =n x , 用“N -ε”定义验证其收敛域为] 1 , 1 (-, 且 ∞→n lim )(x f n = ∞ →n lim n x =?? ?=<. 1 , 1 , 1 || , 0 x x 例2 )(x f n = n nx sin . 用“N -ε”定义验证在) , (∞+∞-内∞→n lim )(x f n =0. 函数列的一致收敛性：设函数列 })({x f n 在E 上收敛于 )(x f ，若对任意的0>ε ，存在自然数 )(εN N =，当 N n >时，对E 中一切 x 都有 ε<-)()(x f x f n 则称函数列)}({x f n 在E 上一致收敛于)(x f 。注意这里的 N 只与ε有关，与x 无关，这一点是一致收敛与逐点收敛的本质区别。一致收敛的几何意义对任给的ε-带 }|)(|;),({ε<-x f y y x ，总存在一个N ，N n >时，)(x f n 的图形全部落入这个ε-带内。

函数项级数的一般概念

一、函数项级数的一般概念 1.定义： . 1 2 0 +++=∑∞=x x x n n 例如级数 ∑∞ =++++=121)()()()(n n n x u x u x u x u {}上的函数列，称是定义在区间设 )( I x u n 上的为定义在区间 I 函数项(无穷)级数。

2.收敛点与收敛域：如果I x ∈0,数项级数∑∞ =10)(n n x u 收敛, 则称0x 为级数 )(1x u n n ∑∞=的收敛点,否则称为发散点.函数项级数)(1x u n n ∑∞ =的所有收敛点的全体称为收敛域, . )(:1??????∈=∑∞ =收敛n n x u R x K

3.和函数: {}为函数项级数的称记 )( , )()( 1x s x u x s n n k k n ∑== 部分和数列。).( , )(lim , 000x s x s K x n n 记为存在则设∞ →∈函数项级数的和函数： . , )()(1K x x u x s n n ∈=∑∞ =

解：由达朗贝尔判别法，)()(1x u x u n n +x n n +?+=111)(11∞→+→n x ,111)1(<+x 当, 2 0时或即-<>x x 原级数绝对收敛. , 11>+?x 例1. )11()1( 1的收敛域求函数项级数n n n x n +-∑∞=二、典型例题板书

,111)2(>+x 当,11<+?x , 02时即<<-x 原级数发散. , 0时当=x ; )1(1收敛级数∑∞=-n n n , 2时当-=x . 11发散级数∑∞=n n ). ,0[)2,(+∞--∞ 故级数的收敛域为,1|1|)3(=+x 当, 2 0-==?x x 或板书

函数项级数的一致收敛性及其应用之令狐文艳创作

函数项级数的一致收敛性及其应用令狐文艳摘要：随着科学技术的发展，初等函数已经满足不了人们的需要.自柯西给出了无穷级数的定义后，随着人们对级数的深入研究，无穷级数的理论得到了飞速的发展.有了无穷级数，函数项级数应运而生.函数项级数在数学科学本身及工程技术领域里有广泛的应用,函数项级数的一致收敛性在应用中起着至关重要的作用,因此研究函数项级数的一致收敛性及其判定就成了应用中重要的环节.本文介绍函数项级数一致收敛的相关概念，对函数项级数一致收敛性的判定方法进行梳理、归纳，并举例说明，以一类最简单的函数项级数幂级数为例，说明函数项级数在计算方面的应用. 关键词：函数项级数；一致收敛；幂级数 Uniformly Convergence Series of Functions and Application Abstract:With the development of science and technology, elementary function has failed to meet the needs of the people. Since the Cauchy gives the definition of infinite series, the theory of series has been developed rapidlywith the in-depth study of it. With the infinite series, series of functions came into

being.Series of functions has a wide application in mathematics and engineering science. The uniformly convergence of series of functions plays an important role in application. During the application, the uniformly convergence of series of function and its judgment become important. This article describes the concept of the uniformly convergence of series of functions, to sum up the judgment of the uniformly convergence of series of functions. We give many examples and take the series of powers to illustrate the application in calculation of series of functions. Key words:series of functions; uniformly convergence;series of powers 目录 1 引言…………………………………………………………………… (1) 2 函数项级数的相关概念介绍…………………………………………………………………… (2) 2.1 函数列及其一致收敛性…………………………………………………………………… …2

函数项级数与幂级数

第四讲函数项级数与幂级数【教学内容】 1. 函数项级数的概念; 2. 幂级数的收敛性及其运算。【教学目的与要求】 1. 理解函数项级数的收敛域、和函数的概念; 2. 熟练掌握幂级数的收敛半径、收敛区间求法; 3.了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质, 会应用这些性质求和函数。【教学重点与难点】重点: 幂级数收敛半径和收敛区间的求法; 难点: 求和函数。【教学过程】一、函数项级数与幂级数的概念定义1 形如 n n n n n x a x a x a x a a ∑∞ == ++++0 2 210 的级数，称为关于x 的幂级数，其中 ,,,,,210n a a a a 都是常数，称为幂级数的系数．形如 +-+-+-+n n x x a x x a x x a a )()()(0202010 的级数，称为关于0x x -的幂级数．将0x x -换成x ，这个级数就变为 n n n x a ∑∞ =0 ．下面将主要研究形如 n n n x a ∑∞ =0 的幂级数．幂级数 n n n x a ∑∞ =0 当x 取某个数值0x 后，就变成一个相应的数项级数00 n n n a x ∞ =∑，可利用数项级数敛散性的判别法来判断其是否收敛．定义2 若 n n n x a ∑∞ =0 在点0x 处收敛，称0x 为它的一个收敛点；若n n n x a ∑∞ =0 在点0x 处发散，称0x 为它的一个发散点；n n n x a ∑∞ =0 的全体收敛点的集合，称为它的收敛域；全体发散点的集合称为它的发散域．例1 判断幂级数 +++++n x x x 21的敛散性．解：由第一节例3可知，当1

函数列与函数项级数

§3.2 函数列与函数项级数一、主要知识点和方法 1、基本概念函数列收敛域极限函数设{()}n f x 是定义在数集E 上的函数列，若存在x E '∈，使得数列 {()}f x '收敛，则称函数列{()}n f x 在点x '收敛。所有收敛点的集合称为收敛域，记为D 。 {()}n f x 在D 上每点的极限（是D 上的函数），称为极限函数，记为()f x 。于是对任意x D ∈有lim ()()n n f x f x →∞ =，或记为 ()()D n f x f x ??→，称{()} n f x 在D 上收敛于()f x 。函数列一致收敛性若0ε?>，N ?，当n N >时，对任意x D ∈都有()()n f x f x ε-<，则称{()}n f x 在D 上一致收敛于()f x ，记为()()D n f x f x ???→一致。函数列一致有界性若存在常数0M >，使得对任意的自然数n 以及任意的x D ∈有()n f x M ≤，则称{()} n f x 在D 上一致有界。函数项级数和函数设{()}n u x 是E 上的函数列，称 1 ()n n u x ∞ =∑为E 上的函数项级数。若其部分和函数列{()}n S x 在D 上收敛于收敛于极限函数()S x ，则称1 () n n u x ∞ =∑在D 上收敛于和函数()S x ，记为 1 ()()n n u x S x ∞ == ∑。函数项级数级数一致收敛性设{()}n S x 是 1 ()n n u x ∞ =∑的部分和函数列，若()()D n S x S x ??? →一致，则称级数在D 上一致收敛（于()S x ）。