高中数学：不等式解法教案

不等式的解法

【教学内容】不等式的解法

【课型】复习习题课

【教学目标】（1）会解整式不等式、分式不等式、绝对值不等式

（2）能从指数、对数的单调性的深化的角度求解指数对数不等式。【重点难点】

重点：指数、对数不等式的解法

难点：含参数不等式中参数的讨论

【教学方法】讲解启发

【教学过程】

一、基本知识

（引导学生自己回忆说出来）

1、不等式同解原理、一元二次不等式的解法、绝对值不等式的解法

①a>b?a+c>b+c；c>0时，a>b?ac>c；c<0 时a>b?ac

②设a>0，方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 (x1> x2)，则

不等式ax2+bx+c>0的解集为{x| x>x1, 或x< x2}

不等式ax2+bx+c<0的解集为{x| x2< x

③设a>0，则不等式｜x|>a的解集为｛x|x>a,或x<-a｝；

不等式｜x|

要注意这些基本知识的应用条件，若条件不满足，它就是一个分类的标准。

2、指数函数、对数函数的单调性

①函数y=a x, 当a>1时为增函数，当0

②函数y=log a x, 当a>1时为增函数，当0

解指数、对数不等式时往往要根据它们的单调性把指数、对数不等式转化为整式不等式，要注意到定义域和底；在解含参数的不等式的时候，底a也是一个最重要的分类标准。

3、分式不等式高次不等式——数轴标根法

注意变量前面的系数为正，将各因子的根在数轴上排序，从右上方画起。

二、典型例题

例1（1）关于x的不等式ax>b的解集为一切实数，则ab2＝

分析：关键是对不等式ax>b的解集为一切实数的理解，要满足条件，则必有a=0, b<0, 从而ab2=0。

（2）已知不等式ax2+bx+c>0的解集为｛x|αα>0，

则不等式cx2+bx+a<0的解集为

分析：要确定cx2+bx+a<0的解集，则必须知道c的符号，及方程cx2+bx+a=0

的根，还要注意比较两根的大小。

事实上，由形式可知，a<0，又αβ=0>c

a ，故c<0。将方程两边同除以x 2得，0)1()1(2=++c x

b x a ，则x 1=α或β，从而两个根为α

1和β1，故解集为：),1()1,(+∞-∞α

β 说明：以上是处理倒数方程的常见手法。

（3）已知关于x 的不等式x 2-x+a>0的解集为一切实数，则函数y=ax 在[-1，1]上的值域为

分析：由题意知：△=1-4a<0→a>4

1, 从而所求的值域为：[-a, a] 注意：第一句话仅仅是为了确定a 的符号，不应该把a 的范围代入。

（4）不等式04

)1)(2()1(2<++--x x x x 的解集为 分析：分式不等式和高次不等式一般用序轴标根法求解 “系数为正、右上下笔、奇穿偶回”。答案：())2,1()1,1(4, --∞-

例2解不等式：（1）0)1lg(<-x

x （2）|x-5|-|2x+3|<1 分析：（1）要结合函数的单调性，注意函数的定义域；（2）最需解决的问题是如何去掉绝对值符号，以零点分类讨论。

解：（1）原不等式等价于110<-

x →原不等式的解集为：)5

51,1()251,1(+-- （2）原不等式等价于：

???<≥13-2x -5-x 5x 或?????<<<-13-2x -x -5 523x 或?????<++-≤1

32x x -5 23x 从而得原不等式的解集为：),3

1()7,(+∞--∞

例3对任意实数x ，不等式|x+1|+|x-2|>a 恒成立，求实数a 的取值范围。

分析：经过分析转化，实质上就要求|x+1|+|x-2|的最小值，a 应比最小值小。 解： 由绝对值不等式：|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3，当且仅当(x+1)(x-2)≤0, 即

21≤≤-x 时取等号。故a<3

说明：转化思想在解中有很重要的作用，比如：恒成立问题、定义域为R 等问题都可转化为求最大、最小值问题。（在这些问题里我们要给自己提问题，怎样把一般性的问题转化到某个特殊的值的问题，常问的问题是：要使……，只要……）

例4解关于x 的不等式12

)1(>--x x a 分析：若将原不等式移项、通分整理可得：

02)2()1(>----x a x a ?0)2)](2()1[(>----x a x a

显然，现在有两个问题：（1）a-1的符号怎样？（2）

12--a a 与2的大小关系怎样？这也就是本题的分类标准所在。

解： 原不等式与不等式0)2)](2()1[(>----x a x a 同解。

1、 当a-1>0，即a>1时，原不等式与不等式0)2)(1

2(>----x a a x 同解，此时因为12--a a <2, 所以原不等式的解集为),2()1

2,(+∞---∞ a a 2、 当a=1时，即x-2>0，其解集为),2(+∞

3、 当a<1时，原不等式与不等式0)2)(1

2(<----

x a a x 同解 （1）当12--a a >2, 即0

2,2(--a a （2）当a=0时，解集为Φ

（3）当a<0时，原不等式的解集为)2,1

2(--a a 说明：（1）解题时标准要明确，书写条理要清晰。

（2）常见的分类标准：Φ、0、1、根

例5若关于x 的方程x 2-x-(m+1)=0在[-1，1]上有解，求m 的取值范围。 分析：这是一个根的分部的问题，要求方程在[-1，1]上有解，这要注意：有几解？

解：设f(x)= x 2-x-(m+1)

1. 若原方程在(-1,1)上有两解，则

???

????<<->+-+=->+--=≥++=? 12110)1(11)1( 0)1(11)1( 0)1(41m f m f m →145-<≤-m 2、若原方程在(-1,1)上有一解，则

f(1)f(-1)<0, 即： (-m-1)(1-m)<0→-1

3、若f(1)=0, 则m=-1, 若f(-1)=0,则m=1

综上得：m 得取值范围为[1,45-]

说明：1、从以上解法可以看出，此题从正面考虑情况比较多，这时我们可以从反面去考虑，我们求使方程在[-1, 1]上无解的m 的取值范围：这时只有两种情况，（1）方程本身无解；（2）方程有解，但解都不在[-1，1]上。最后取补集即可。

2、此问题还可看为函数m=x 2-x-1，在[-1,1]上的取值范围，即为[1,45-]

三、课堂小结

本节课主要复习了不等式的解法，要注意以下内容：

（1） 序轴标根法 系数为正、右上下笔、奇穿偶回

（2） 分类讨论 抓住标准： Φ、0、1、根

（3） 结合单调性，注意定义域

（4） 正难则反

四、课后作业

1、解下列关于x 的不等式

（1）3182042≥++-x x x （2）3|9|2+≤-x x

（3）ax 2-(a+1)x+1<0，其中a>0

2、定义R 上的减函数f(x)，如果不等式组???-+>-+>-+)

1()13( )2()1(22x kx f kx f k f x kx f 对任何]1,0[∈x 都成立，求实数k 的取值范围。