数学高二-选修2-3 阶段质量评估2

第二章

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．投掷3枚硬币，至少有一枚出现正面的概率是( ) A ．3

8

B ．12

C ．58

D ．78

解析： P (至少有一枚正面)＝1－P (三枚均为反面)＝1－????123＝7

8. 答案： D

2．对于正态分布N (0,1)的概率密度函数f (x )＝12πe －x 22，下列说法不正确的是( )

A ．f (x )为偶函数

B ．f (x )的最大值为

1

2π

C ．f (x )在x >0时是单调减函数，在x ≤0时是单调增函数

D ．f (x )关于σ＝1对称

解析： X ～N (0,1)，∴曲线的对称轴为x ＝μ＝0. 答案： D

3．甲、乙、丙三位同学解一道数学题，他们做对的概率都是0.8，则甲、乙、丙都做对的概率为( )

A ．0.83

B ．0.1×0.82

C ．0.8＋0.8＋0.8

D ．1－0.22

解析： 记甲、乙、丙三位同学做对一道数学题分别为事件A 、事件B 、事件C ，则事件A 、事件B 、事件C 相互独立，所以同时发生的概率为0.83，选A ．

答案： A

4．将一颗质地均匀的骰子连掷6次，恰好3次出现6点的概率为( )

A ．C 36

????163????563 B ．C 56·16???

?565

C ．C 36

????163???

?560 D ．C 56

???

?165 解析： 易知一颗骰子连掷6次出现6点这一事件是独立重复试验，利用独立重复试验

的概率公式，知恰有3次发生的概率为C 36

????163???

?563.应选A ． 答案： A

5．设ξ是随机变量，且D (10ξ)＝40，则D (ξ)＝( ) A ．0.4 B ．4 C ．40

D ．400

解析： ∵D (10ξ)＝102Dξ＝40，∴Dξ＝0.4. 答案： A

6．设10件产品中有4件不合格，从中任意取2件，试求在所取得的产品中发现有一件是不合格品，另一件也是不合格品的概率是( )

A ．0.2

B ．0.3

C ．0.4

D ．0.5 解析： 在所取的2件产品中发现有一件不合格(另一件合格与否不管)，这个条件下的

基本事件总数为C 14C 16＋C 2

4＝30，

其中，另一件也不合格的基本事件个数是C 24＝6， ∴P ＝630＝1

5＝0.2.

答案： A

7．在4次独立重复试验中事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为65

81，

则事件A 在1次试验中出现的概率为( )

A ．13

B ．25

C ．56

D ．34

解析： 设事件A 在1次试验中出现的概率为p ，则在4次独立重复试验中事件A 至少发生1次的概率为

1－C 04p 0(1－p )4＝1－(1－p )4，

∴1－(1－p )4＝6581，解得p ＝13.

答案： A

8．设随机变量X ～B (n ，p )，且EX ＝1.6，DX ＝1.28，则( ) A ．n ＝8，p ＝0.2 B ．n ＝4，p ＝0.4 C ．n ＝5，p ＝0.32

D ．n ＝7，p ＝0.45

解析： ∵X ～B (n ，p )

∴EX ＝np ＝1.6，DX ＝np (1－p )＝1.28 ∴1.6(1－p )＝1.28， ∴p ＝0.2，n ＝1.6

0.2＝8.

答案： A

9. 已知三个正态分布密度函数f i (x )＝1

2πσi

·e －(x －μi )22σ2i (x ∈R ，i ＝1,2,3)的图像如图所示，

则( )

A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3

B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3

C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3

D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3

解析： 正态分布密度函数f 2(x )和f 3(x )的图像都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又f 2(x )的对称轴的横坐标值比f 1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图像可知，正态分布密度函数f 1(x )和f 2(x )的图像一样“瘦高”，f 3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.

答案： D

10．某中学在高二开设了数学史等4门不同的选修课，每个学生必须选修，且只能从中选一门．该校高二的3名学生甲、乙、丙对这4门不同的选修课的兴趣相同．设X 的甲、乙、丙这3个学生中选修数学史的人数，则EX 等于( )

A ． 1

2

B ． 43

C ． 34

D ．2

解析： 由题意知X 的所有取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝C 03

???? 343＝ 2764； P (X ＝1)＝C 13

???? 14???? 342＝ 2764；

P (X ＝2)＝C 23???? 142???? 34＝ 964

；

P (X ＝3)＝C 33???? 143＝ 164

. ∴X 的分布列为

∴EX ＝0×

2764＋1× 2764＋2× 964＋3× 164＝ 34

. 答案： C

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．甲、乙二人同时打靶，甲命中的概率为0.6，乙命中的概率为0.5，则靶被命中的概率为______________.

解析： 设“甲命中”为事件A ，“乙命中”为事件B ，“靶被命中”为事件C ，则P (C )＝1－P (A B )＝1－P (A )P (B )

＝1－(1－0.6)(1－0.5)＝1－0.2＝0.8. 答案： 0.8

12．已知A 、B 、C 相互独立，如果P (AB )＝ 16，P (B C )＝ 18，P (AB C )＝ 1

8，则P (A

B )＝____________.

解析： 依题意得?????

P (AB )＝

1

6

P (B C )＝ 1

8，

P (AB C )＝ 18

，

解得P (A )＝ 13，P (B )＝ 1

2.

∴P (A B )＝ 23× 12＝ 1

3.

答案： 1

3

13．由正态分布N (1,8)对应的曲线可知，当x ＝____________时，函数f (x )有最大值，为____________.

解析： 由正态密度曲线的性质，可知此正态曲线关于直线x ＝μ对称，在x ＝μ时曲线

位于最高点，所以，当x＝1时，f(x)有最大值，且f(x)max＝

1

2π8

e－

(1－1)2

2×8

＝

1

4π

.

答案：1

1 4π

14．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：

请小牛同学计算ξ的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案Eξ＝____________.

解析：设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为1－2x，

则Eξ＝1·x＋2×(1－2x)＋3x＝x＋2－4x＋3x

＝2.

答案： 2

三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(本小题满12分)设甲、乙两家灯泡厂生产的灯炮寿命(单位：小时)X和Y的分布列分别为：

试问哪家工厂生产的灯泡质量较好？

解析：由期望的定义，得

EX＝900×0.1＋1 000×0.8＋1 100×0.1＝1 000，

EY＝950×0.3＋1 000×0.4＋1 050×0.3＝1 000.

两家灯泡厂生产的灯泡寿命的期望值相等，需进一步考查哪家工厂灯泡的质量比较稳定，即比较其方差．

由方差的定义，得

DX＝(900－1 000)2×0.1＋(1 000－1 000)2×0.8＋(1 100－1 000)2×0.1＝2 000，

DY ＝(950－1 000)2×0.3＋(1 000－1 000)2×0.4＋(1 050－1 000)2×0.3＝1500.∵DX >DY ， ∴乙厂生产的灯泡质量比甲厂稳定， 即乙厂生产的灯泡质量较好．

16．(本小题满12分)某班从6名班干部(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加学校的义务劳动．

(1)设所选3人中女生人数为X ，求X 的分布列； (2)求男生甲或女生乙被选中的概率；

(3)设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，求P (B )和P (A |B )． 解析： (1)X 的所有可能取值为0,1,2，依题意得

P (X ＝0)＝C 34C 36＝15，P (X ＝1)＝C 24C 1

2

C 36＝35.

P (X ＝2)＝C 14C 22C 36＝1

5

.

∴X 的分布列为

(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C ， 则P (C )＝C 34

C 36＝420＝15

；

∴所求概率为P (C )＝1－P (C )＝1－15＝4

5.

(3)P (B )＝C 25C 36＝1020＝12；P (AB )＝C 14

C 36＝15.

P (A |B )＝

P (AB )P (B )＝2

5

. 17．(本小题满12分)有一种精密零件，其尺寸X (单位：mm)服从正态分布，即X ～N (20,4)．若这批零件共有5 000个．试求：

(1)这批零件中尺寸在18 mm ～22 mm 间的零件所占的百分比．

(2)若规定尺寸在24 mm ～26 mm 间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？

解析： (1)∵X ～N (20,4)，∴μ＝20，σ＝2. ∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22.

于是零件尺寸X在18 mm～22 mm间的零件所占百分比大约是68.3%.

(2)μ－3σ＝20－3×2＝14，μ＋3σ＝20＋3×2＝26，

μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，

∴零件尺寸X在14 mm～26 mm间的百分比大约是99.7%.

而零件尺寸X在16 mm～24 mm间的百分比大约是95.4%.

∴零件尺寸X在24 mm～26 mm间的百分比大约是99.7%－95.4%

2＝2.15%.

因此尺寸在24 mm～26 mm间的大约有

5 000×2.15%≈108(个)．

18．(本小题满14分)袋中装着标有数字1,2,3,4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．

(1)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；

(2)用X表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量X的分布列和均值．

解析：(1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，

则P(A)＝C34·C13·C13·C13

C312＝

27

55.

(2)由题意X所有可能的取值为：1,2,3,4.

P(X＝1)＝

1

C312＝

1

220；

P(X＝2)＝C23·C13＋C23·C13＋C33

C312＝

19

220；

P(X＝3)＝C26·C13＋C16·C23＋C33

C312＝

64

220＝

16

55；

P(X＝4)＝C29·C13＋C19·C23＋C33

C312＝

136

220＝

34

55.

所以随机变量X的分布列为

随机变量X的均值为

1

220＋2×19

220＋3×

16

55＋4×

34

55＝

155

44.

E(X)＝1×