XX年湖北省三月第一次诊断考试数学试卷及答案

XX 年湖北省三月第一次诊断考试数学试卷及答案

本试卷共4页.全卷满分150分，考试时刻120分钟.

★ 祝考试顺利 ★

注意事项：

１.考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．

２.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．

３.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的)

1．设集合2{|03},{|320,}A x x B x x x x Z ==-+∈≤≤≤，则A

B 等于

A ．(1,3)-

B ．[1，2]

C ．{}0,1,2

D ．{}1,2

2．设,,l m n 表示不同的直线，αβγ，，表示不同的平面，给出下列四个命题：

①若m ∥l ，且.m α⊥则l α⊥； ②若m ∥l ，且m ∥α.则l ∥α； ③若,,l m n αββγγα===，则l ∥m ∥n ；

④若,,,m l n αββγγα===且n ∥β,则l ∥m .

其中正确命题的个数是

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

3．假如数列1a ，2

1a a ，32a a ，…，1

n n a a -，…是首项为1

，公比为5a 等于

A ．32

B ．64

C ．-32

D ．-64

4．下列命题中真命题的个数是

①“2,0x R x x ?∈->”的否定是“2,0x R x x ?∈-<”； ②若|21|1x ->，则1

01x <

<或10x

<； ③*4,21x N x ?∈+是奇数.

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

5．若实数x ，y 满足20,

,

,x y y x y x b -????-+?

≥≥≥且2z x y =+的最小值为4，则实数b 的值为 A ．0 B ．2

C ．83

D ．3

6．21()n x x

-的展开式中，常数项为15，则n 的值能够为

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，

第14题图 则输出的结果是

A ．

3 B ．3

C ．3-

D ．3-

8．已知方程：22

(1)(3)(1)(3)m x m y m m -+-=--

表示焦距为8的双曲线，则m 的值等于 A ．-30 B ．10

C ．-6或10

D ．-30或34

9．已知函数()x f x a x b =+-的零点0(,1)()x n n n Z ∈+∈，其中常数a ，b 满足23a =，32b =，则n

等于 A ．-1

B ．-2

C ．1

D ．2

10．设{}(,)|02,02,,A a c a c a c R =<<<<∈，则任取(,)a c A ∈，关于x 的方程220ax x c ++=有实根的概率为 A ．

1ln 2

2

+ B ．

1ln 2

2

- C ．

12ln 24+ D ．32ln 2

4-

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡中相应的位置)

11．已知i 是虚数单位，运算2

(2)34i i

+-的结果是 ▲ .

12．某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如图所示，

现规定不低于70分为合格，则合格人数是 ▲ ．

13．如图：已知树顶A 离地面

21

2

米，树上另一点B 离地面

112

米，某人在离地面

32

米的C 处看此树，

则该人离此树 ▲ 米时，看A 、B 的视角最大．

14．如图所示：有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移

到另一根针上．

（1）每次只能移动一个金属片；

（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在

较小的金属片上面．将n 个金属片从1号针移到3

号针最少需要移动的次数记为()f n ；

则：（Ⅰ）(3)f = ▲ (Ⅱ) ()f n = ▲

O 40 50 60 70 80 90 100 0.005

0.010 0.015

0.020 0.025

0.030 0.035

频率

组距

第12题图

第13题图

15．（考生注意：本题为选做题，请在下列两题中任选一题作答，假如都做，则按所做第（1）题计分） （1）（《几何证明选讲》选做题）.如图：直角三角形ABC 中，

∠B ＝90 o

，AB ＝4，以BC 为直径的圆交边AC 于点D ， AD ＝2，则∠C 的大小为 ▲ ．

（2）(《坐标系与参数方程选讲》选做题).已知直线的极坐标方程

为2sin()4

2π

ρθ+

=

，则点7(2,)4

A π

到这条直线的距离 为 ▲ ．

三、解答题(本大题共6个小题，共75分．解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．（本题满分12分）

已知函数()sin()(0,0,||,)2

f x A x A x R π

ω?ω?=+>><∈的图象的一部分如下图所示． （I ）求函数()f x 的解析式；

（II ）求函数()(2)y f x f x =++的最大值与最小值．

17．（本题满分12分）

形状如图所示的三个游戏盘中（图（1）是正方形，M 、N 分别是所在边中点，图（2）是半径分别为2和4的两个同心圆，O 为圆心，图（3）是正六边形,点P 为其中心）各有一个玻璃小球，依次摇动三个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏． （I ）一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少？

（II ）用随机变量ξ表示一局游戏后，小球停在阴影部分的事件数与小球没有停在阴影部分的事

件数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

18．（本题满分12分）

一个四棱椎的三视图如图所示： （I ）求证：PA ⊥BD ；

（II ）在线段PD 上是否存在一点Q ，

使二面角Q -AC -D 的平面角为

30o

？若存在，求

DQ DP

的值；若不存在，说明理由． 19．（本题满分12分）如图:

O 方程为224x y +=，点P 在圆上，点D 在x 轴上，点M 在DP 延长

A

B

C

D

第15题（1）图

y

1 1

2 －2

－1 －1 0 2 3 4 5 6

7

x

第18题图

第17题图

(1) (2) (3)

线上，

O 交y 轴于点N ，//DP ON .且3

.2

DM DP =

（I ）求点M 的轨迹C 的方程；

（II

）设12(0,F F 、，若过F 1的直线交（I ）中

曲线C 于A 、B 两点，求22F A F B 的取值范畴．

20．（本题满分13分）已知函数()ln 3()f x a x ax a R =--∈． （I ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；

（II ）若函数()y f x =的图象在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45，问：m 在什么范畴取值时，

关于任意的[1,2]t ∈，函数32()[

()]2

m

g x x x f x '=++在区间(,3)t 上总存在极值？ 21．（本题满分14分）

顶点在坐标原点，开口向上的抛物线通过点0(1,1)A ，过点0A 作抛物线的切线交x 轴于点B 1，过

点B 1作x 轴的垂线交抛物线于点A 1，过点A 1作抛物线的切线交x 轴于点B 2，…，过点(,)n n n A x y 作抛物线的切线交x 轴于点11(,0)n n B x ++． （I ）求数列{ x n }，{ y n }的通项公式()n N *∈；

（II ）设11111n n n a x x +=

+

+-，数列{ a n }的前n 项和为T n ．求证：1

22

n T n >-； （III ）设21log n n b y =-，若关于任意正整数n ，不等式

11(1)(1)b b +

+ (1)

(1)b +≥成立，求正数a 的取值范畴．

数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题：（每小题5分，10小题共50分）

1.D

2.B

3.A

4.C

5.D

6.D

7.B

8.C

9.A 10.C 二、填空题：（每小题5分，满35分）

11．7242525

i -

+ 12．600 13．6 14．7（3分） 21n -（2分） 15．(1)30o

三、解答题:(本大题共6小题，共75分)

16．（I ）由图象，知A ＝2，

2π

8ω

=,

∴π4ω=

，得π

()2sin()4

f x x ?=+, ………………………………………2分 当1x =时，有ππ

142

??+=,

∴π

4

?=．…………………………………………………………………………4分

∴ππ

()2sin()44f x x =+．……………………………………………………… 6分

（II ）ππππ

2sin()2sin[(2)]4444y x x =++++

ππππ

2sin()2cos()4444x x =+++……………………………………………8分

ππ

sin()42x =+

π

4

x =…………………………………………………………………10分

∴max y =

min y =-12分 17．（I ）“一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分”分别记为事件A 1、A 2、A 3，由题意知，

A 1、A 2、A 3互相独立，且P (A 1)12=，P (A 2)1

4

=，P (A 3)13=， …3分

P (A 1 A 2 A 3)= P (A 1) P (A 2) P (A 3)12=×14×131

24

=………………………………6分

（II ）一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的事件数可能是0，1，2，3，相应的小

球没有停在阴影部分的事件数可能取值为3，2，1，0，因此ξ可能的取值为1，3，则

P (ξ=3)= P (A 1 A 2 A 3)+ P (123A A A )=P (A 1) P (A 2) P (A 3)+ P (1A )P (2A )P (3A )

12=×14×13+ 12×34×237

24=，

P (ξ=1)=1－724=17

24

． …………………………………………………………8分

数学期望E ξ=1×

24+3×24=12

． ………………………………………12分 18．（I ）由三视图可知P -ABCD 为四棱锥，底面ABCD 为正方形，且PA ＝PB ＝PC ＝PD ，

连接AC 、BD

交于点O ，连接PO ． ……………………………………………3分 因为BD ⊥AC ，BD ⊥PO ，因此BD ⊥平面PAC ，

即BD ⊥PA ．…………………………………………………………………………6分

（II ）由三视图可知，BC ＝2，PA ＝，假设存在如此的点Q ，

因为AC ⊥OQ ，AC ⊥OD ，

因此∠DOQ 为二面角Q -AC -D 的平面角， ……………………………………8分

…………10分

在△POD 中，PD ＝22，OD ＝2，则∠PDO ＝60o

，

在△DQO 中，∠PDO ＝60o ，且∠QOD ＝30o

．因此DP ⊥OQ ． ……………10分 因此OD ＝2，QD ＝2

． 因此

1

4

DQ DP =． …………………………………………12分 19．（I ）设()00(,),,p x y M x y ，

00

00233

322y y y y DM DP x x x x

===??==??

???

?????由于 ……………………………3分 代入2

2

004x y +=得22

149

x y += …………………………………………5分 （II ）①当直线AB 的斜率不存在时，明显224F A F B =-； ……………………6分

②当直线AB 的斜率存在时，不妨设AB 的方程为：5y kx =+

22225,(94)8516014

9y kx k x kx x y ?=+?

?++-=?+=??由

不妨设11122()()A x y B x y ，，，， 则：

122

1228594 1694k x x k x x k ?-+=??+?

-?=?+?

2211221122(,5)(,5)(,25)(,25)F A F B x y x y x kx x kx =++=++

212121212(25)(25)(1)25()20x x kx kx k x x k x x =+++=++++…8分

2222222

16(1)809616200

2020494949494k k k k k k k -+---++=+=-+++++ ……10分

222

200200

09940949

k k k ∴+∴<+≤≤≤ 22164

49

F A F B -<≤ ……………………………………………………11分 综上所述22F A F B 的范畴是1644,9??

-????

………………………………………12分 20．()(0)a

f x a x x

'=

-> ……………………………………………………………1分 （I ）当1a =时，11()1x

f x x x

-'=-=， ……………………………………2分

令()0f x '>时，解得01x <<，因此()f x 在（0，1）上单调递增；………4分 令()0f x '<时，解得1x >，因此()f x 在（1，+∞）上单调递减．…………6分

O

Q

（II ）因为函数()y f x =的图象在点（2，(2)f ）处的切线的倾斜角为45o

， 因此(2)1f '=．

因此2a =-，2

()2f x x

-'=

+． ………………………………………………7分 322()[2]2m g x x x x =++- 32(2)22m

x x x =++-，

2

()3(4)2g x x m x '=++-， ……………………………………………………9分

因为任意的[1,2]t ∈，函数32()[()]2

m

g x x x f x '=++在区间(,3)t 上总存在极值，

因此只需(2)0,

(3)0,g g '?

…………………………………………………………11分

解得37

93

m -

<<-． ……………………………………………………………13分 21．（I ）由已知得抛物线方程为2,2y x y x '==． ………………………………………2分

则设过点(,)n n n A x y 的切线为2

2()n

n n y x x x x -=-． 令0,2n x y x ==

，故12

n n x

x +=． 又01x =，因此12n n x =，1

4

n n y =． ……………………………………………4分

（II ）由（1）知1

()2n n x =．

因此1

1111221121211()1()

22n n n n n n n a +++=+=+

+-+- 21121n n +-=++1

121121n n ++-+-1121n

=-++1+11

21

n +- 12(

21n =--

+11

21

n +-) ．……………………………………………6分 由11212n n <+，1111212n n ++>-， 得121n -+1121n +-12n <-112

n +． 因此n a 12(21n =--+1

121n +-)12(2n >--11

2

n +)．…………………………7分 从而122231111111

[2()][2()][2()]222222n n n n T a a a +=+++>--+--++--

2231111111

2[()()]()]222222n n n +=--+-++-

1111

2()2222n n n +=-->-，

即n T >1

22n -．…………………………………………………………………9分

（III ）由于1

4

n n y =，故21n b n =+．

对任意正整数n

，不等式1

2

111

(1)(1)

(1)n

b b b +++

≥ 即a 12

111

(1)(1)(1)

n

b b b +

++

恒成立． 设()f n 12

11

1

(1)(1)(1)n

b

b b +++

，………………………………10分 则(1)f n +=12

1

1111

(1)(1)(1)(1)n n b b b b ++

++

+． 故

(1)

()

f n f n +=

11

(1)n b ++2423n n ++=

523

n + 1>

因此(1)()f n f

n +>，故()f

n 递增．…………………………………………12分

则min 4()(1)3f

n f === 故0a <．…………………………………………………………………14分