高2021届高2018级安徽省蚌埠二中高三第一学期理科数学周测第10周参考答案
蚌埠二中2020-2021学年第一学期周测(第10周)
高三理科数学试题
参考答案
1.B
2.D
3.B
4.A
5.B
6.A
7.D
8.C
9.D 10.B 11.D 12.D 13.5- 14.12
π
15.(
1?? 16.9
4 17.(1)2π3；(2
(1)由题意,
由正弦定理得π
sin sin sin sin(
)3C B B C B =-+. 因为(0,π)B ∈,所以sin 0B >,
所以πsin sin()3C C =-+
展开得1
sin sin 2
C C C =-+整
理得π
sin()16
C -=.
因为0πC <<,所以ππ5π666C -<-<,故ππ62C -=,即2π
3
C =
. (2)由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-,则227a b ab ++=,得2
()7a b ab +-=,故2()7972ab a b =+-=-=,
故ABC
的面积为12πsin sin 232
ab C ==
. 设AB 边上的高为h ,
有22
h =
,
故h =所以AB
. 18.()21,122,n n n a n n -?=?-?为奇数为偶数
； ()2 2
8n S n =-.
解:()
1141n n a a n ++=-,1n =,2,3?①,
()1411n n a a n -∴+=--,2n =,3,4?②
-①②得114n n a a +--=,2n =,3?
当n 为奇数,1141212n n a n +??=+-=- ???,当n 为偶数,241222n n a n ??
=+-=- ???
所以21,22,n n n a n n -?=?-?
为奇数
为偶数；
()122334452122212n n n n n S a a a a a a a a a a a a -+=-+-+?+-,
()()()21343522121n n n n S a a a a a a a a a -+=-+-+?+-
()()()
()224622424482
n n n a a a a n +-=-+++?+=-=-.
19.(1)()1,0,4x ?
?∈-∞-
+∞ ??
?(2)2,3??
+∞????
解析:(1)由21log 50x ??+> ???,得151x +>,解得()1,0,4x ?
?∈-∞-?+∞ ??
?.
(2)当120x x <<时,
22121211
11,log log a a a a x x x x ????+>++>+ ? ?????
, 所以()f x 在()0,+∞上单调递减.
函数()f x 在区间[]
,1t t +上的最大值与最小值分别为()(),1f t f t +.
()()22111log log 11f t f t a a t t ????
-+=+-+≤ ? ?+????
即()2
110at a t ++-≥,对任意1,12t ??∈????
成立.
因为0a >,所以函数()2
11y at a t =++-在区间1,12??????
上单调递增,
12t =时,y 有最小值3142a -,由31042a -≥,得23a ≥,故a 的取值范围为2,3??+∞????
.
20.
(1)函数()f x 的定义域为:()0,∞+,()'f x = 222a a x x x x
++=
①当0a ≥时,()'0f x >,所以()f x 在()0,∞+上单调递增
②当0a <时,令()'0f x =,解得x =
当0x <<,220a x +<,所以()'0f x <, 所以()f x
在? ?上单调递减；
当x >,220a x +>,所以()'0f x >,所以()f x
在?+∞???
上单调递增. 综上,当0a ≥时,函数()f x 在()0,∞+上单调递增；
当0a <时,函数()f x
在?
?
上单调递减,
在?+∞???
上单调递增. (2)当a 1=时,()2
ln f x x x =+,要证明()21f x x x ≤+-,
即证ln 1x x ≤-,即证:ln 10x x -+≤.
设()g ln 1x x x =-+,则()g'x = 1x
x -,令()0g x '=得,1x =.
当()0,1x ∈时,()0g x '>,当()1,x ∈+∞时,()0g x '<. 所以1x =为极大值点,且()g x 在1x =处取得最大值. 所以()()10g x g ≤=,即ln 10x x -+≤.故
()21f x x x ≤+-.
(3)证明:ln 1x x ≤-(当且仅当1x =时等号成立),即
1
1lnx x x
≤-,
则有2222ln +2
222222222311111
1111n 132323ln lnn n n n ??+?+<-+-+?+-=--++?+ ???
()111
n 123341n n ??<--++?+ ? ???+?
? ()()()1211111111
1n 1n 1233412121n n n n n n -+????=---+-+?+-=---=
? ?+++????
, 故:2222
ln +()()()22
22
1213321n n ln lnn n n -++?+<+ 21.(I)见解析；(II)1
4
.
试题解析:(I)BD ⊥平面ACFE {BD AC ABCD
BD AE AE ABCD
⊥??⊥?⊥菱形平面；
(II)取EF 的中点为M ,以O 为坐标原点,以OA 为x 轴,以OB 为y
轴,以OM 为z 轴,建立空间直角坐标系,则()()()()()()
,0,3,0,1,0,
,1,0,20,23,0,1,3,2B D F h E DB DE --?==,设平面
BDE 的法向量()11,,0n x y z DB n =??=和
()11102,0,1cos 3DE n n n OF h ?=?=??=
=
?= ()
()(1,0,3,1,3,2,1,3,3F BE BF ?-=-=--,设平面BEF 的法向量()22,,0n x y z BE n =??=和 ()(
)
()
2203,5,23,1,3,2,1,BF n n DE DF ?=?=---==-,设平面DEF 的法向量
()33,,0n x y z DE n =??=和()33
3
2
1
03,5,3cos 4
DF n n n n
?=?=-??=
?二面角B EF D -
-的余弦值为14.
22.(1)22
143
x y +=；(2)6.
(1)由中垂线的性质得PM PQ =,42MP NP PQ NP MN ∴+=+=>=, 所以,动点P 的轨迹是以M 、N 为焦点,长轴长为4的椭圆,
设曲线C 的方程为()22
2210x y a b a b
+=>>,则2a =,b =因此,曲线C 的方程为:22
143
x y +=；
(2)由题意,可设2l 的方程为1x ty =+,
联立方程得()
22
2213469043
1x y t y ty x ty ?+
=??++-=??=+?
,
设()11,D x y 、()22,E x y ,则由根与系数关系有122122634
934t y y t y y t ?
+=-??+???=-
?+?
,
所以
()22
12134t DE t +===+, 同理()22
12134
t AB t +=
+,1l 与2
l 的距离为d =
,
所以,四边形
ABDE 的面积为24S =
,
u =,则1u ≥,得224241313u S u u u ==
++,
由双勾函数的单调性可知,函数1
3y u u
=+在[)1,+∞上为增函数,
所以,函数
2413S u u
=
+
在[)1,+∞上为减函数, 当且仅当1u =,即0t =时,四边形ABDE 的面积取最大值为6.