多刚体动力学大作业(MAPLE)

MAPLE理论力学

学号：201431206024

专业：车辆工程

姓名：张垚

导师：李银山

精品文档

题目一:

如图，由轮1，杆AB 和冲头B 组成的系统。A ，B 两处为铰链连接。OA=R,AB=l,如忽略摩擦和物体自重，当OA 在水平位置，冲压力为F 时，系统处于平衡状态。 求：（1）作用在轮1上的力偶矩M 的大小

（2）轴承O 处的约束力 （3）连接ＡＢ受的力

（4）冲头给导轨的侧压力。 解：

对冲头Ｂ进行受力分析如图2：Ｆ，ＦB ＦN 对连杆ＡＢ进行受力分析如图3：ＦB ，ＦA > restart: #清零

> sin(phi):=R/l; #几何条件

:=

()sin φR l

> cos(phi):=sqrt(l^2-R^2)/l;

:= ()cos φ - l 2R 2

l

> eq1:=F[N]-F[B]*sin(phi)=0; #冲头，

x

F ∑=0

:= eq1 = -

F N F B R l

> eq2:=F-F[B]*cos(phi)=0; #冲头，

y

F ∑=0

:= eq2 = -

F F B - l 2R 2

l

> solve({eq1,eq2},{F[N],F[B]}); #解方程

{}, =

F B F l - l 2

R

2

=

F N F R - l 2

R

2

> F[B]:=F/(l^2-R^2)^(1/2)*l;#连杆的作用力的大小

:=

F B F l - l 2

R

2

图1

图2

> F[A]:=F[B]; #连杆AB ，二力杆

:=

F A F l - l 2

R

2

> eq3:=F[A]*cos(phi)*R-M; #轮杆0=A M

:= eq3 - F R M

> eq4:=F[Ox]+F[A]*sin(phi)=0; #轮杆1

0=∑

x F := eq4 = +

F Ox F R - l 2

R

2

> eq5:=F[Oy]+F[A]*cos(phi)=0; #轮杆1

0=∑

y F

:= eq5 = + F Oy F 0

> solve({eq3,eq4,eq5},{M,F[Ox],F[Oy]});#解方程

{},, = M F R = F Oy -F = F Ox -

F R - l 2

R

2

答：（1）作用在轮１上的力偶矩Ｍ＝ＦＲ；

（2）轴承Ｏ处的约束力 = F Ox

-F R - l 2

R

2

= F Oy -F

（3）连杆ＡＢ受力 := F B

F l - l 2

R

2

（4）侧压力 = F N

F R - l 2

R

2

题目二：

如图4，图示曲线规尺的杆长OA=AB=200mm,而CD=DE=AC=AE=50mm 。如OA 杆以等角速度

s rad 5π

ω=

绕O 轴转动，并且当运动开始时，角

?=0?。

（1）求尺上D 点的运动方程。 （2）求D 点轨迹，并绘图。

> restart: #清零 > OA:=l: #OA 长度 > AB:=l: #AB 长度 > CD:=l/4: #CD 长度 > DE:=l/4: #DE 长度

图3

图4

> AC:=l/4: #AC 长度 > AE:=l/4: #AE 长度 > phi:=omega*t: #瞬时夹角 > x:=OA*cos(phi): #D 点的横坐标 > y:=(OA-2*AC)*sin(phi): #D 点的纵坐标 > eq:=X^2/l^2+Y^2/(l/2)^2=1: #解方程 > x:=evalf(subs(l=0.2,omega=Pi/5,x),4):

:= x .2()cos .6284t

> y:=evalf(subs(l=0.2,omega=Pi/5,y),4):

:= y .1000()sin .6284t

> eq:=evalf(subs(l=0.2,eq),4):

:= eq = + 25.00X 2100.0Y 2 1.

> with(plots): #绘制D 点轨迹 > implicitplot({eq},X=-0.2..2,Y=-0.1..0.1): 题目三：

如图，长0.40m l =、质量 1.00kg M =的匀质木棒，可绕水平轴O 在竖直平面内转动，开始时棒自然竖直悬垂，现有质量8g m =的子弹以200m/s v =的速率从A 点射入棒中，

A 、O 点的距离为3/4l ，如图所示。 求：（1）棒开始运动时的角速度； （2）棒的最大偏转角。 解：（1）子弹射入前，子弹角动量为： l L 4

3

mv 1?=

子弹射入后，木棒角动量为：ω2

2M 31l L = 子弹射入后，子弹角动量为：ω23)4

3

m(l L =

应用角动量守恒定律：321L L L =+

2

2313434mv l Ml m l ωω???=+ ???

解得：

3333810200448.9rad/s 191918100.4

316310mv M m l ω--???===????

+?+??? ? ?????

（2）子弹射入后，子弹角动能：221M 3121ωl E k ?=

子弹射入后，木棍角动能：222)43

m(21ωl E k =

子弹摄入后，子弹重力势能：gl E M 21

1p -=

子弹摄入后，木棍重力势能：gl E m 43

2p -=

最大偏角时，子弹重力势能：θcos M 21

3p gl E -=

最大偏角时，木棍重力势能：θcos m 4

3

4p gl E -=

应用机械能守恒定律：432121p p p p k k E E E E E E +=+++

2211333()cos cos 2342424l l l l

Ml m l Mg mg Mg mg ωθθ??+--=--???? 解得 29

3

8cos 10.07923M m

l M m g

θω+=-?=-+， 94.5θ=?

Maple 程序：

> restart: #清零

> L[1]:=3/4*m*v*l: #射入前子弹的角动量L1

> L[2]:=1/3*M*omega*l^2: #射入后木棒的角动量L2

> L[3]:=m*(3/4*l)^2*omega: #射入后子弹的角动量L3

> eq1:= L[1]= L[2]+ L[3]: #角动量守恒

> Ek[1]:=1/2*1/3*M*l^2*omega^2: #射入瞬间木棒角动能

> Ek[2]:=1/2*1/3*M*l^2*omega^2: #射入瞬间子弹角动能

> Ep[1]:=-1/2*M*g*l: #射入瞬间木棒重力势能

> Ep[2]:=-3/4*m*g*l: #射入瞬间子弹重力势能

> Ep[3]:=-1/2*M*g*l*cos(theta): #最大偏转时木棒重力势能

> Ep[4]:=-3/4*m*g*l*cos(theta): #最大偏转时子弹重力势能

> eq2:= Ek[1]+ Ek[2]+ Ep[1]+ Ep[2]= Ep[3]+ Ep[4]: #角动量守恒

> l:=0.4:M=1:m=0.008:v=200:g=9.8: #已知条件 > solve({eq1,eq2},{omega,theta}): #解方程

答案：（1）8.9rad/s ；（2）94.5?。

题目四：

如图，一根长为l 、质量为M 的匀质棒自由悬挂于通过其

上端的光滑水平轴上。现有一质量为m 的子弹以水平速度v 0射向棒的中心，并以v 0/2的水平速度穿出棒，此后

棒的最大偏转角恰为90?，则v 0的大小为多少？ 解：

设子弹射入棒子前绕O 的角速度为1ω，射出棒子后

的角速度为2ω，射出后棒子的角速度为ω，子弹绕O 点的转动惯量为1J ,棒子绕O 点的转动惯量为J 。根据角动量平衡和能量守恒列出方程如下：

11122

,1122J J J J Mg l ωωωω=+???=??? 可知：2

2211, 243l ml J m J Ml ??

=== ???

0012/2v v l l ω=

= 0021/21

/22

v v l l ωω=

==

11

1121()2J J J J

ωωωω-==

代入方程组求解：21122J Mgl ω=， 2

112J J Mgl J ω??

?= ???

，

22

114J Mgl J

ω=， 2

2

202244143

v ml l Mgl Ml ?? ???=?，Mgl M v m =?2

02163，2202

163M v gl m =

最终解得:3

40gl m M v =

Maple 程序:

> restart: #清零

> J[1]:=m*(1/2*l)^2: #子弹绕O 点的转动惯量J1

> J[2]:=1/3*M* l^2: #棒子绕O 点的转动惯量J

> omega[1]:=2*v[0]/l: #子弹射入棒子前绕O 的角速度

> omega[2]:=v[0]/l: #子弹射出棒子后绕O 的角速度

> eq1:=J[1]*omega[1]=J[1]*omega[2]+J[2]*omega; #角动量平衡

>SOL1:=solve({eq1},{omega}); #解方程求ω

>omega:=subs(SOL1,omega); #ω值

> eq2:=1/2*J*omega^2=1/2*M*g*l; #能量守恒

> solve({eq2},{v[0]}); #解方程，求v

答案：

43

M gl m

题目五：

如图所示，一轻绳跨过两个质量均为m 、半径均为R 的匀质圆盘状定滑轮。绳的两端分别系着质量分别为m 和2m 的重物，不计滑轮转轴的摩擦。将系统由静止释放，且绳与两滑轮间均无相对滑动，则两滑轮之间绳的张力为多少？

解：根据受力平衡和力矩平衡

列出方程组 11122211112222(1)(2)()(3)()

(4)

m g T m a

T m g m a

T T R J T T R J αα-=??

-=??

-=??-=?

其中，211111

1

,2

a J M R R α=

=，

2

222221,2

a J M R R α=

= 由（1）、（2）两式得：112

2()

()T m g a T m g a =-??=+?

可先求出a ，解得

1212122()2()()m m g a m m M M -=

+++ ，12112112124()

2()()m m m M M T g m m M M ++=

+++ ，12212212124()2()()m m m M M T g m m M M ++=

+++，121221

121242()()

m m m M m M T g m m M M ++=+++

将12m m =，2m m = 1212,M M m R R ===代入，得：

Maple 程序：

> restart ： #清零

> eq1:= m[1]*g-T[1] = m[2]*a; #重物1受力平衡

> eq2:= T[2]-m[2]*g = m[2]*a; #重物2受力平衡

> eq3:= (T[1]-T)*R[1] = J[1]*alpha[1]; #重物1力矩平衡

> eq4:= (T-T[2])*R[2] = J[2]*alpha[2]; #重物2力矩平衡> alpha[1] := a/R[1]： #轮1角加速度> alpha[2] := a/R[2]： #轮2角加速度> J[1]:= (1/2)*M[1]*R[1]^2： #轮1转动惯量> J[2]:= (1/2)*M[2]*R[2]^2： #轮2转动惯量

> m[1]:= 2*m：m[2] := m： M[1] := m： M[2] := m： #已知条件

R[1] := r：R[2] := r：

> SOL2:= solve({eq1, eq2, eq3, eq4}, {T, a, T[1], T[2]}); #解方程组

答案：