河北省石家庄市行唐县三中、正定县三中、正定县七中2020届高三数学12月联考试题理

行唐县第三中学、正定县第三中学、正定县第七中学2020学年第一

学期12月联考试卷高三数学（理科）

时间:120分钟满分:150分

第I卷

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分?在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.

1.已知集合A= {x|x2—2x —3>0}, B= {x| —2< x v 2}，则A A B=（）

A. [ —2, —1]

B. [ —1,2) C . [ —1,1] D ? [1,2)

2?设z = + i，则| z| =( )

A； B. -2 C. —3 D . 2

2 2 2

3?设向量a, b 满足| a+ b| = ■_ 10, | a —b| = 6,贝U a ? b=( )

A. 1

B.2 C . 3 D . 5

4 ?抛物线y2= 8x的焦点到直线x —3y：=0的距离是（）

A. 2 3 B . 2 C.,3 D? 1

5 .设m, n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面（)

A ?若ml n, n〃a,贝U mla

B ?若m^3,3±a，贝U mla

C ?若m±3, n 丄B, n丄a,贝U mla

D.若ml n, n丄B,B丄a,贝U mla

周日都有同学参加

6. 4 位冋学各自在周八、周日两天中仕选一天参加公益活动，则周

公益活动的概率为（）

1357

A- B. c.- D.—

8888

x + y w 8,

7 ?若变量x ,y满足约束条件

2y —x< 4,

且z = 5y—x的最大值为a，最小值为b,则a —x> 0,

y > 0,

b的值是（)

A. 48 B . 30 C . 24 D.16

n n

&将函数y= 3sin 2x+ y的图象向右平移—个单位长度，所得图象对应的函数（）n 7 n

A.在区间12，石上单调递减

n 7 n

b. 在区间12,刁2上单调递增

”、n n 、，

c. 在区间—,—上单调递减

6 3

n n

D.在区间—,瓦上单调递增

9.设等差数列｛a n｝的前n项和为S,若S—1 = —2, S m= 0,务1 = 3,贝U m=（）

A. 3

B.4 C . 5 D. 6

10.由曲线y = .：x:，直

线

y = x —2

及

y轴所围成的图形的面积为（)

1016

B.4

C.T

D.6

11 .已知抛物线C:y2= 8x的焦点为F,准线为1,P是1上一点，Q是直线PF与C的一个

交点，若!',则|QF=()

A- B.

2 2

C.3

D.2

12. 已知函数f(x) = ax3—3x2+ 1,若f(x)存在唯一的零点x o,且x o> 0,则a的取值范围为

( )

A. (2 ,+^) B . ( —a, —2) C . (1 ,+^) D . ( —a, —1)

第n卷

、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13. ______________________________________________________________ 直线x + 2y—5 +寸5= 0被圆x2+ y2—2x —4y= 0截得的弦长为 ________________________ .

14. 在厶ABC中，内角A, B, C所对的边分别是a, b, c.已知b—c= 4a,

2sin B = 3sin C，贝U cos A 的值为__________ .

2 1

15. 若数列｛a n｝的前n项和S = gn+ 3，则｛a n｝的通项公式是

a n= _______ . ______

16. 已知三棱锥S-ABC勺所有顶点都在球O的球面上，△ ABC是边长为1的正三角形,

SC为球0的直径，且SC= 2,则此棱锥的体积为 _________________ .

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. (12 分)C的内角，,C所对的边分别为a , b , c .向量人a,3b

与n cos,sin平行.

（i）求；

(ll )若a", b 2求C的面积.

18. （12 分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA!平面ABCD E为PD的中点.

(1)证明：PB//平面AEC

⑵设二面角 D -AE-C为60°, AP= 1, AD^ 3,求三棱锥E-ACD的体积.

19. (12分)端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，

肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。

(1)求三种粽子各取到1个的概率；

(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学

期望

2 2 f3

20. (12分)已知点A(0，- 2)，椭圆E: a + y2 = 1(a>b>0)的离心率为飞,F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为23~，O为坐标原点.

(1) 求E的方程；

(2) 设过点A的动直线I与E相交于P, Q两点?当△ OPQ勺面积最大时，求I的方程.

c 2

3x + ax

21. (12 分)设函数f(x) = x一(a€ R).

(1) 若f(x)在x= 0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y = f(x)在点(1 , f(1))处的切线方

程；

(2) 若f (x)在［3 ,+^)上为减函数，求a的取值范围.

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请

写清题号

22. (10分)选修4 —4 :坐标系与参数方程

x = 4+ 5cos t ,

已知曲线G的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点，x轴的

y = 5+ 5si n t ,

正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p= 2sin 0 .

(1) 把C的参数方程化为极坐标方程；

(2) 求C与C交点的极坐标(p> 0,0 <0< 2n ).

23. (10分)选修4 —5:不等式选讲

已知函数 f (x ) = |2X — 1| + |2X + a | , g (x ) = x + 3. ⑴当a = — 2时，求不等式f (x )

a 1

—2，2时，f (x ) w g (x )，求a 的取值范围.

高三数学理科答案

1?解析：选 A A ={x | x w — 1 或 x >3}，故 A n B = [ — 2,— 1] 1

1 — i

1 — i 1 1

2 .解析：选 B z =

+ i =

+ i =+3 i ,贝U | z | =

1 + i

( 1 + i ) ?( 1 — i )

2 2 2 1 1

抛物线y 2= 8x 的焦点F(2 , 0)到直线x — 3y = 0的距离是d = 选项A 、B 、D 中m 均可能与平面 a 平行、垂直、斜交或在平面 n

8 . 解析：选B 将y = 3sin 2x + — 的图象向右平移—个单位长度后得到y = n n 2n_ n 2 n n

3sin 2 x —

+"—，即 y = 3sin 2x — 丁的图象，令一—+ 2k nW 2x — — w~^ + 2k n,

7 n 2 n

k €乙化简可得x € 12+ k n, 12 + k n (k € Z)，即函数y = 3sin 2x — ^ 的单调递增区

n 7 n

一

2 n n 7 n

间为[石+ k n, 冠+ k n ](k € Z)，令k = 0,可得y = 3sin 2x — 丁在区间匚，石上单调递增. 9.解析：选 C 由 S 1-1 = — 2, &= 0, S +1 = 3，得 a m = S — S — 1= 2, a m +1 = S +1 — &= 3,所以等差数列的公差为 d = a n +1 — a m = 3 — 2 = 1,

⑵设a > — 1,且当x €

由条件可得，(a + b ) 2= 10, ( a — b ) 2= 6，两式相减得 4a ? b =4，所以 a ? b

4.解析:

5.解析:

6.解析:

由题知所求概率P =

守=7

x + y w 8,

7.解析:

2y — x w 4,

约束条件

表示以(0 , 0) , (0 , 2) , (4 , 4) , (8 ,

x > 0,

0)为顶点的

四边形区域, y > 0

检验四个顶点的坐标可知，当x = 4, y = 4时，a = Z max = 5X 4— 4= 16;当x = 8,

y = 0 时，b = Z min = 5 X 0 —

8 =— 8,「. a — b = 24 =1.