圆锥曲线的定义考点大全

圆锥曲线定义、标准方程及性质

一．椭圆

定义Ⅰ：若F 1，F 2是两定点，P 为动点，且21212F F a PF PF >=+ （a 为常数）则P 点的轨迹是椭圆。

定义Ⅱ：若F 1为定点，l 为定直线，动点P 到F 1的距离与到定直线l 的距离之比为常数e （0

标准方程：122

22=+b

y a x )0(>>b a

取值X 围：}{a x a x ≤≤-，}{b y b x ≤≤- 长轴长=a 2，短轴长=2b

焦距：2c

准线方程：c

a x 2

±=

焦

半

径

：

)

(2

1c

a x e PF +=，

)(2

2x c

a e PF -=，2

12PF a PF -=，c a PF c a +≤≤-1等（注意：涉及焦半径时①

用点P 坐标表示，②第一定义，第二定义。）

注意：（1）图中线段的几何特征：=11F A c a F A -=22，=21F A c a F A +=12

=11F B a F B F B F B ===122221 ，222122b a B A B A +==等等。顶点与准线距离、焦点与准线

距离分别与c b a ,,有关。

（2）21F PF ?中经常利用余弦定理．．．．、三角形面积公式．．．．．．．

将有关线段1PF 、2PF 、2c ，有关角2

1PF F ∠结合起来，建立1

PF +2PF 、1

PF ?

2PF 等关系

（3）椭圆上的点有时常用到三角换元：??

?θ

=θ

=sin cos b y a x ；

（4）注意题目中椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上，请补充当焦点在y 轴上时，其相应的性质。

二、双曲线

（一）定义：Ⅰ若F 1，F 2是两定点，21212F F a PF PF <=-（a 为常数），则动点P 的轨迹是双

曲线。

Ⅱ若动点P 到定点F 与定直线l 的距离之比是常数e （e>1），则动点P 的轨迹是双曲线。

（二）图形：

（三）性质

方程：12222=-b y a x )0,0(>>b a 122

22=-b

x a y )0,0(>>b a

取值X 围：}{a x a x x ≤≥或； 实轴长=a 2，虚轴长=2b

焦距：2c

准线方程：c

a x 2

±=

焦半径：

)

(2

1c

a x e PF +=，

)

(2

2x c

a e PF -=，a PF PF 221=-；

注意：（1）图中线段的几何特征：=1AF a c BF -=2，=2AF c a BF +=1

顶点到准线的距离：c a a c a a 22+-或；焦点到准线的距离：c

a c c a c 2

2+-或 两准线间的距离=c

a 2

2

（2）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：?=-02222b y a x x a

b

y ±=

若渐近线方程为x a b

y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x

若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22

22b

y a x

（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）

（3）特别地当?=时b a 离心率2=

e ?两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，此时双曲线为等

轴双曲线，可设为λ=-2

2

y x ；

（4）注意21F PF ?中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠，将有关线段1

PF 、

2

PF 、2

1F F 和角结合起来。

（5）完成当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质。

三、抛物线

（一）定义：到定点F 与定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。

即：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比是常数e （e=1）。

（二）图形：

（三）性质：方程：焦参数-->=p p px y ),0(,22；

焦点： )0,2

(

p

，通径p AB 2=；

准线： 2p x -

=； 焦半径：,2p x CF += 过焦点弦长p x x p

x p x CD ++=+++=21212

2

注意：（1）几何特征：焦点到顶点的距离=2

p

；焦点到准线的距离=p ；通径长=p 2

顶点是焦点向准线所作垂线段中点。 （

2

）

抛

物

线

px

y 22=上的动点可设为P

),2(2

y p

y

或

或)2,2(2pt pt P P px y y x 2),(2=其中

考点一 求圆锥曲线方程

求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法.

●典例探究

［例1］某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A 、A ′是双曲线的顶点，C 、C ′是冷却塔上口直径的两个端点，B 、B ′是下底直径的两个端点，已知AA ′=14 m ，CC ′=18 m,BB ′=22 m,塔高20 m.

建立坐标系并写出该双曲线方程. 命题意图：本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力.

知识依托：待定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的坐标适合方程。 错解分析：建立恰当的坐标系是解决本题的关键。 技巧与方法：本题第一问是待定系数法求曲线方程。 解：如图，建立直角坐标系xOy ,使AA ′在x 轴上，AA ′的中点为坐标原点O ，CC ′与BB ′平行于x 轴.

设双曲线方程为2222b

y a x -=1(a ＞0,b ＞0),则a =21

AA ′=7

又设B (11,y 1),C (9,x 2)因为点B 、C 在双曲线上，所以有

1

7

9

,1

7

11

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

=

-

=

-

b

y

b

y

由题意，知y2－y1=20,由以上三式得：y1=－12,y2=8,b=72

故双曲线方程为

98

49

2

2y

x

-=1.

［例2］过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为

2

2

的椭圆C相交于A、B两点，

直线y=

2

1

x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.

命题意图：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强.

知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题.

错解分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误.恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键.

技巧与方法：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式.解法二，用韦达定理.

解法一：由e=

2

2

=

a

c

,得

2

1

2

2

2

=

-

a

b

a

,从而a2=2b2,c=b.

设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.

则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12－x22)+2(y12－y22)=0,.

)

(2

2

1

2

1

2

1

2

1

y

y

x

x

x

x

y

y

+

+

-

=

-

-

设AB中点为(x0,y0),则k AB=－

2y

x

,又(x0,y0)在直线y=

2

1

x上，y0=

2

1

x0,于是－

2y

x

=

－1,k AB=－1,设l的方程为y=－x+1.

右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),

?

?

?

-

='

='

?

?

?

??

?

?

+

+'

-

=

'

=

-'

'

b

y

x

b

x

y

b

x

y

1

1

1

2

2

1

解得

则

由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)2=2b2,b2=

8

9

,

16

92

=

a.

∴所求椭圆C的方程为2

2

9

16

9

8

y

x

+=1,l的方程为y=－x+1.

解法二：由e =21

,222

22=-=a

b a a

c 得,从而a 2=2b 2,c =b . 设椭圆C 的方程为x 2+2y 2=2b 2,l 的方程为y =k (x －1),

将l 的方程代入C 的方程，得(1+2k 2

)x 2

－4k 2

x +2k 2

－2b 2

=0,则x 1+x 2=2

2

214k

k +,y 1+y 2=k (x 1－1)+k (x 2－1)=k (x 1+x 2)－2k =－

2

212k

k

+. 直线l ：y =21

x 过AB 的中点(2,22121y y x x ++),则2

222122121k k k

k +?=+-,解得k =0，或k = －1.

若k =0,则l 的方程为y =0,焦点F (c ,0)关于直线l 的对称点就是F 点本身，不能在椭圆C 上，所以k =0

舍去，从而k =－1，直线l 的方程为y =－(x －1),即y =－x +1,以下同解法一.

［例3］如图，已知△P 1OP 2的面积为4

27

，P 为线段P 1P 2的一个三等分点，求以直线OP 1、OP 2为渐近线且过点P 的离心率为

2

13

的双曲线方程.

命题意图：本题考查待定系数法求双曲线的方程以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力. 知识依托：定比分点坐标公式；三角形的面积公式；以及点在曲线上，点的坐标适合方程. 错解分析：利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是本题的关键，正确地表示出 △P 1OP 2的面积是学生感到困难的.

技巧与方法：利用点P 在曲线上和△P 1OP 2的面积建立关于参数a 、b 的两个方程，从而求出a 、b 的值.

解：以O 为原点，∠P 1OP 2的角平分线为x 轴建立如图所示的直角坐标系.

设双曲线方程为22

22b

y a x -=1(a ＞0,b ＞0)

由e 2

=2222)213()(1=+=a b a

c ，得23=a b .

∴两渐近线OP 1、OP 2方程分别为y =23x 和y =－2

3

x 设点P 1(x 1,

23x 1),P 2(x 2,－2

3

x 2)(x 1＞0,x 2＞0),则由点P 分21P P 所成的比λ=21PP P P =2,得P 点坐标为

(22,

322121x x x x -+),又点P 在双曲线22

2294a y a x -=1上，所以2

22122219)2(9)2(a x x a x x --+=1, 即(x 1+2x 2)2－(x 1－2x 2)2=9a 2,整理得8x 1x 2=9a 2①

,

427

131241321sin ||||2113

124

91232tan 1tan 2sin 2

1349||,21349||212121*********

21212

1121=??=??=∴=+?

=

+==+==+

=?x x OP P OP OP S Ox P Ox P OP P x x x OP x x x OP OP P 又 即x 1x 2=

2

9② 由①、②得a 2=4,b 2=9

故双曲线方程为9

42

2y x -

=1. ●思路方法

一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤. 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.

定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n ＞0).

定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小. ●考点一训练 一、选择题

1已知直线x +2y －3=0与圆x 2+y 2+x －6y +m =0相交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则m 等于( )

A.3

B.－3

C.1

D.－1

2中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为2

1

，

则椭圆方程为( )

12575 D. 17525C.125

2752 B. 1752252A.22222222=+=+=+=+y x y x y x y x

二、填空题