2020年广州中考试卷解析

秘密★启用前

2020年广州市初中毕业生学业考试

数学

本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，满分150分，考试用时120分钟

注意事项：

1．答卷前，考生务必在答题卡第一面、第三面、第五面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自已的考生号、姓名；同时填写考场室号、座位号，再用2B铅笔把对应这两个号码的标号涂黑.

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试卷上.

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动的答案也不能超出指定的区域，不准使用铅笔，圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题共30分）

一、选择题（本大题共10题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1.广州市作为国家公交都市建设示范城市，市内公共交通日均客运量已达15233000人次，将15233000用科学记数法表示为（*）

（A）152.33?105(B)15.233?106(C)1.5233?107(D)0.15233?108

【考点】科学记数法的定义。

【解析】把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数），这种记数的方法叫做科学记数法,只有C符合，故选C.

【答案】C

2.某校饭堂随机抽去了100名学生，对他们最喜欢的套餐种类进行问卷调

查后（每人选一种），绘制了如图1的条形统计图，根据图中的信息，学

生最喜欢的套餐种类是（*）

（A）套餐一（B）套餐二（C）套餐三（D）套餐四

【考点】数据的分析与处理

【解析】图 1 是条形统计图，矩形的高度代表了数据的大小，套餐一最高，数据最大，所以套餐一最受

欢迎，故选 A.

【答案】A

3.下列运算正确的是（ * ）

(A) a + b =

（C ） x 5 ? x 6 = x 30

a +

b （B ） 2 a ? 3 a = 6 a

（D ）

（x 2） = x 10

【考点】二次根式的计算，整式的乘法。

【解析】A 选项中 a , b 不是同类项，不能合并，故 A 错；B 选项中 a × a = a ,而不是 a ,故 B 错；

C 选项中同底数幂相乘，底数不变，指数相加，不是相乘，故C 错；

D 选项幂的乘方，底数不变，指数相

乘，故 D 对。

【答案】D

4.在△ABC 中，点 D,E 分别是△ABC 的边 AB,AC 的中点，连接 DE,若∠C=68°，则∠AED=（ * ）

（A ） 22°

(B)68° (C)96° (D)112°

【考点】三角形的中位线定理，平行线的性质。

【解析】因为点 D,E 分别是△ABC 的边 AB,AC 的中点，所以 DE 是△ABC 的中位线，得到 DE∥BC;再根据

两直线平行，同位角相等，所以∠C=∠AED=68°，故选 B.

【答案】B

5. 如图 2 所示的圆锥，下列说法正确的是（ * ）

（A ）该圆锥的主视图是轴对称图形

(B) 该圆锥的主视图是中心对称图形

(C)该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形

(D) 该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形

【考点】几何体的三视图，轴对称，中心对称。

【解析】圆锥的主视图是一个等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形。

【答案】A

6.一次函数y=-3x+1的图象过点（x，y），（x+1，y），（x+2，y），则（*）

111213

（A）y＜y＜y

123（B）y＜y＜y

321

（C）y＜y＜y

213

（D）y＜y＜y

312

【考点】一次函数的图像

【解析】x的系数为负数，y随x的增大而减小。x＜x+1＜x+2,所以y＞y＞y

111123【答案】B

7.如图3，Rt?ABC中，∠C=90°，AB=5，cos A=4

，以点B为圆心，r为5

半径作?B，当r=3时，?B与AC的位置关系是（*）

（A）相离（B）相切（C）相交（D）无法确定

【考点】三角函数，圆与直线的位置关系。

【解析】可计算得BC=3,所以?B与AC相切。

【答案】B

8.往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图4所示，若水面宽AB=48cm，则水的最大深度为（*）

（A）8cm（B）10cm（C）16cm（D）20cm

【考点】垂径定理，勾股定理。

【解析】利用勾股定理可计算得O到AB的距离为10cm，所以水深为26-10=16cm

【答案】C

9.直线y=x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1=0实数解的个数是（*）

（A）0个（B）1个（C）2个（D）1个或2个

【考点】二次方程的判别式，一次函数的图像，分类讨论。

【解析】直线不经过第二象限，则a≤0,当a=0时，方程为一次方程，所以有一个实数根，当a＜0时，方程为二次方程，二次方程的判别式?=22-4a＞0，所以有两个实数根。

【答案】D

10.如图5，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD 于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（*）

（A）48322412

（B）（C）（D）5555

AD = 4 , AE =

4 =

DB =

AB ,∴ 4 =

4 + x + 1 = 【考点】矩形的性质，相似三角形。

【解析】据勾股定理及矩形性质可得 AO=5,

由已知可得 ?AOE ∽ ?ADC

∴ AO OE AE 5 OE CD = AC ,∴ 8 = 6 = AE 10

∴ O E = 15

∴ DE = 8 - 25 25

4 7

由已知得 ?DFE ∽ ?DAB

∴ DE EF 10 EF 21 6 ,∴ EF = 20

∴ O E + EF = 15 21 24

20 =

【答案】C

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）

11.已知∠A=100°，则∠A 的补角等于

°.

【考点】补角的定义

【解析】180°-100°=80°则∠A 的补角等于 80°

【答案】80

12.计算： 20 - 5 =

【考点】二次根式

【解析】

20 - 5 = 2 5 - 5 = 5

【答案】

13.方程 x 3

2 x + 2 的解是

【考点】分式方程

【解析】方程两边乘 2（ x + 1），

得：2 x =3

解得：x=

检验当x=

2时，2（x+1）≠0

所以原分式方程的解为x=

【答案】x=

14.如图6，点A的坐标为（1,3），点B在x轴上，把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，若四边形ABDC的面积为9，则点C的坐标为.

【考点】坐标与图形变化-平移、平面直角坐标系

【解析】∵S

平行四边形ABCD

=BD?y A=3BD=9

∴BD=3

∴点A向右平移3个单位得到点C

∵点A的坐标为（1,3）

∴C（4，3）

【答案】（4，3）

15.如图7，正方形ABCD中，△ABC绕点A逆时针旋转得?A'B'C',AB',AC'分别交对角线BD于E，F，若AE=4，则EF?ED的值为.

【考点】三角形相似

【解析】∵ABCD为正方形，∴∠BAC=∠ADB=45°

∵△ABC绕点A逆时针旋转得?A'B'C'

∴∠BAC=∠

B'AC=45°=∠ADB

∵在△AEF与△DEA中

度进行了 n 次测量,得到 n 个结果（单位：mm ）

x , x ,..., x ,若用 x 作为这条线段长度的近似值,当 x =

∴ AE

2 x 1 + x 2 + ... + x n

∠ EAF =∠ADE

∠AEF=∠DEA

∴△AEF∽△DEA

DE AE

∴EF ? ED= AE 2 = 42 =16

【答案】 16

16.对某条线段的长度进行了 3 次测量，得到 3 个结果（单位：mm ）9.9， 10.1， 10.0，若用 a 作为这

条线段长度的近似值，当 a =

mm 时（a - 9.9）

+ (a - 10.1)2 + (a - 10.0)2 最小.对另一条线段的长 1

mm 时 ( x - x ) 2 + ( x - x ) 2 + + ( x - x ) 2 最小.

1 2

【考点】方差、求二次函数最小值

【解析】解：设 y = ( x - x ) 2 + ( x - x ) 2 + + ( x - x ) 2

1 2

= x 2 - 2x x + x 2 + x 2 - 2xx + x 2 + + x 2 - 2xx + x 2

1 1

= nx 2 - 2( x + x + ... + x ) x + ( x 2 + x 2 + ... + x 2 )

1 2 n 1 1 n

当 x =- - 2( x 1 + x 2 + ... + x n ) = 时，y 最小，所以 x 所取的值与平均数有关

2n n

所以当 a =（9.9+10.1+10.0）÷3=10.0 时 (a - 9.9) 2 + (a -10.1)2 + (a -10.0) 2 最小

【答案】 10.0， x 1 + x 2 + ... + x n

三解答题（共 102 分）

17.(本小题满分 9 分)

解不等式组： ?2 x -1 ≥ x + 2

?x + 5 < 4 x -1

【考点】一元一次不等式组的解法。

【解析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集。

?∠BAC = ∠BAC

【答案】 2 x -1≥x + 2

① x + 5 < 4 x -1

②

解：解不等式①，得： x ≥3

解不等式②，得： x ＞2

所以原不等式的解集为： x ≥3 。

18.(本小题满分 9 分）

如图 8，AB=AD ，∠BAC=∠DAC=25°，∠D=80，求∠BCA 的度数.

【考点】三角形的全等判定方法

【解析】全等三角形的判定（SAS ）

【答案】∵∠BAC=∠DAC=25°，∠D=80°

∴∠DCA=180°-25°-80°=75°

∵AB=AD

∴在 Δ ABC 和 Δ ADC 中

? A B = AD ?

AC=AC

∴ ? ABC≌ ? ADC （SAS ）

又∴∠BCA=∠DCA=75°

19.（本小题满分 10 分)

已知反比例函数 y= k

点的图象分别位于第二、第四象限，

化简： k 2 16

- + (k + 1)2 - 4k

k - 4 k - 4

19. 【考点】绝对值的非负性、平方差公式

【解析】该多项式先公因数和平方差公式 a 2 - 2ab + b 2 = (a - b )2 化简，再根据 k 的取值范围求值。

【答案】∵反比例函数在二、四象限

∴ k < 0

∴原式=

k216

-+(k+1)2-4k k-4k-4

=(k-4)(k+4)

+(k-1)2 k-4

=k+4+1-k

20.(本小题满分10分)

为了更好地解决养老问题，某服务中心引入优质社会资源为甲，乙两个社区共30名老

人提供居家养老服务，收集得到这30名老人的年龄(单位：岁）如下：

甲社区676873757678808283848585909295

乙社区666972747578808185858889919698

根据以上信息解答下列问题：

(1)求甲社区老人年龄的中位数和众数；

(2)现从两个社区年龄在70岁以下的4名老人中随机抽取2名了解居家养老服务

况，求这2名老人恰好来自同一个社区的概率。

【考点】统计与分析用样本估计总体；中位数；众数．

【解析】（1）第一问注意排列大小根据定义得出答案

（2）画出树状图，即可得出结果

【答案】1甲社区老人年龄的中位数是82

甲社区老人年龄的众数是85

设发生事件为A

设甲社区为甲

1和甲

,乙社区的为乙

和乙

共有12种等可能的情况，符合题意的有4种,

P(A)=1 3

【点评】此题主要考查了列表法与树状图法，以及中位数及其众数的应用，要熟练掌握．21.(本小题满分12分)

如图9,平面直角坐标系xOy中，?OABC的边OC在x轴上，对角线AC,OB交于点M,函数y=图象经过点A（3,4）和点M.

(1)求k的值和点M的坐标.

(2)求?OABC的周长.k

(x>0)的

【考点】反比例函数、中点坐标、勾股定理、平行四边形性质

【解析】(1)把点A（3,4）代入y=k

(x>0)，得

4=k

3，解得k=12

∴y=12 x

∵四边形OABC为平行四边形∴M为AC的中点

∴y=

M 4+0

2=2

当y=2时，2=，解得x=6

∴M（6，2）

(2)作AD⊥OC于点D

∵A（3,4）

∴OD=3，AD=4

在Rt?OAD中，OA=32+42=5∵A（3,4），M（6，2）

∴x=6?2-3=9，即C（9，0）C

∴OC=9

∴C=(5+9)?2=28

平行四边形OABC

22.（本小题满分12分）

粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标。某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场。今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降50%.

（1)求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元；

（2)求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆。

【考点】一元一次方程的应用

【解析】（1）解：50×（1-50%）=25（万元）

答：明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是25万元

（2）设明年改装的无人驾驶出租车x辆,则

50（260-x)+25x=9000

解之得：x=160

答：明年改装的无人驾驶出租车160辆.

23.（本小题满分12分）

如图10，?ABC中，∠ABD=∠ADB.

（1）作点A关于BD的对称点C;

（2）在（1）所作的图中，连接BC，DC，连接AC，交BD于点O.

①求证：四边形ABCD是菱形；

②取BC的中点E，连接OE，若OE=13

2BD=10，求点E到AD的距离。

【考点】尺规作图，轴对称的性质，菱形的证明，中位线定理，勾股定理，面积法。

【解析】第（1）步，作对称点有两种方法，方法一，过点A作BD的垂线，交BD于点O，然后在垂线上截取AO=CO,C即为所求。方法二，根据菱形的对称性，构造菱形，即分别以BD为圆心，以AB长为半径画弧，两弧交于一点，即为C点。（下面的答案是按第二种方法作的）

第二步，菱形的证明，用到了等角对等边，轴对称的性质来说明四条边相等，所以是菱形。第二步，用到了三角形中位线定理，勾股定理，先求出三角形ABD的面积，然后根据等面积法求出点B到AD的距离，也就是点E到AD的距离。

【答案】（1）如下图，C即为所求。

(2)①证明：如图，∵∠ABD=∠ADB∴AB=AD

∵A、C关于BD对称，∴AB=BC,AD=DC

∴AB=AD=BC=DC

∴四边形ABCD是菱形。

②如图所示，

∵ABCD为菱形，∴O为BD的中点

又∵E为BC的中点，∴OE为?BDC的中位线

∴DC=2OE=2?13

=13 2

∵BD=10,∴DO=5

∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD,∴∠DOC=90°

在Rt?DOC中，OC=DC2-DO2=132-52=12

∴S

?BDC =

BD?OC=?10?12=60 22

根据对称性，S

?ABD

=60

作BG⊥AD,∴S

?ABD =

11120

BD?BG=?13?BG=60,∴BG=

2213

120120

作EH⊥AD交AD的延长线于点H,则EH=BG=,所以点E到AD的距离为.

1313

24.（本小题满分14分）

如图11，⊙0为等边△ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧AB上运动(不与点A,B重合)，连接DA,DB,DC.

(1)求证：DC是∠ADB的平分线；

(2)四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗？如果是，求出函数解

析式；如果不是，请说明理由；

(3)若点M,N分别在线段CA,CB上运动(不含端点)，经过探究发现，点D运

动到每一个确定的位置，△DMN的周长有最小值t,随着点D的运动，t的值

会发生变化，求所有t值中的最大值.

【考点】考查角平分线的判定、旋转作图、以及求将军饮马求最值

【解析】（1）根据等边三角形得出三边相等，利用弦相等得出圆周角相等

（2）利用旋转作图，将四边形ADBC的面积转化为三角形ADC与旋转后的三角形面积的和，即是新的等边三角形DCE的面积，即可求出面积（关系式），还有要求出相应的X的取值范围

（3）利用将军饮马的模型，找到要求的三角形的周长是D'D''，（原理：两点之间线段最短），此时D'D''是最小值，只有在这时且C，O，D三点共线（即CD是直径时最长），t有最大值。

解答：（1）∵等边△ABC∴AC=BC

∴∠BDC=∠ADC

∴DC是∠ADB的平分线

（2）将△BCD绕点C顺时针旋转60°得△ACE，即DC=EC，∠BDC=∠AEC，∠DCE=60°，

四边形ADBC

=S 四边形ADBC

四边形ADBC =

(23

∠EAC=∠DBC

∵△ABC为等边三角形，∠ADB＋∠ACB=180°∴∠ADB=180°-∠ACB=120°

由（1）可知，CD是∠ADB的平分线

∴∠BDC=∠ADC=1

2∠ADC=60°，即∠ADC=∠AEC=60°

又∵∠DBC+∠DAC=180°，∴∠EAC＋∠DAC=180°

∴D、A、E三点共线∵∠EDC=∠DEC=∠DCE=60°∴△DEC是等边三角形

∵S

△BDC

＋S

△ADC

∴S＋S

△AEC△ADC

△DCE

∵DC=x,设DC上的高为h，利用三角函数可求h=3

x 2

∴S

133 DC.h=x.x=x2 2224

即S 3x

（3）作D关于AC的对称点D'',关于BC的对称点D',连D'D''交AC于DM，BC于N，此时∠D'C D''=120o D,D',D''在以点C为圆心的圆上且∠D'C D''=120o

∴当CD为直径取最大值，此时CD过点O，

∴OD=OC=2

∴OD''=23

∴D'D''=43

即t max=43

（2）对称轴 x = -

2a 2a a a 2

BE ? 3 = (m - x )? 3, S = S = CE ? 3 = (x - m )? 3 2 2 2 2

S - S = ? = (m - x )? 3 - (x - m )? 3 2 2 2 2

25.（本小题满分 14 分）

平面直角坐标系 xoy 中，抛物线 G: y = ax 2 + bx + c(0 < a < 12) 过点 A(1, c - 5a) ， B( x ,3) ， c( x ,3) ,

顶点 D 不在第一象限，线段 BC 上有一点 E ，设△OBE 的面积为 S ,△OCE 的面积为 S ， S = S +

1 2 1 2

（1）用含 a 的式子表示 b ；

（2）求点 E 的坐标；

（3）若直线 DE 与抛物线 G 的另一个交点 F 的横坐标为 6 a

+ 3 ，求 y = ax 2 + bx + c 在1 < x < 6 时的取值

范围（用含 a 的式子表示）

【解析】（1）

二次函数过 A(1,c - 5a) ，将 A 代入

∴c - 5a = a + b + c

∴b = -6a

-6a b -6a

=- = 3 ， x + x =- =- = 6

1 2

a ＞0 ，顶点在第一象限，即开口向上，顶点在第四象限

又 S - S = 3

设 E (m ,3 ), B (x ,3 ), C (x ,3 )

1 2

①当 B 在 C 左边时，如图 1

S = S 1

?BOE = 1 1 1 1 1

2 ?COE 2

3 3 1 1

1 2 1 2

BE ? 3 = (x - m )? 3, S = S = CE ? 3 = (m - x )? 3 2 2 2 2

? = (x - m )? 3 - (m - x )? 3

2 2 2 2

∴ E 点坐标为（ ,3）或（ ,3） ∴ D(3, c - 9a), E ( ,3), E ( ,3), F （ +3,y ） 1 2 2 2 a

a a

m - x - (x - m ) = 1

2 2m = 1 + (x + x ) = 7 1 2

m =

∴ E ( ,3)

②当 B 在 C 右边时，如图 2

S = S 1

?BOE

1 1 1 1 1

2 ?COE 2

3 3 1 1 S - S = 1 2 1 2 x - m - (m - x ) = 1

2m = x + x - 1 = 5

m =

2 5

∴ E ( ,3)

7 5 2 2

（3）直线 DE 与抛物线 G 的另一个交点 F 的横坐标为

y = ax 2 - 6ax + c = a( x - 3)2 - 9a + c

将 x = 3，即y =c - 9a,

5 7

6 F

6 36

y =a( + 3 - 3)2 - 9a + c = - 9a + c

+ 3 则 E 在对称轴右侧，

过D(3, c - 9a), E ( ,3)

直线DE : y = (18a + 6 - 2c)( x - ) + 3

将x = +3代入，y =108 - 9a + - + c = - 9a + c

a a a a

2 2

6 36 12c 36

F 即9a = c

y = ax 2 - 6ax + 9a

= a( x - 3)2

由1 < x < 6

则 0 ≤ y < 9a