河南大学之云南大学期末考试试卷之第十二讲

3．基变换与坐标变换

设 V 是n 维线性空间，n ααα,...,,21与n βββ,...,,21是 V 的两个基。设

⎪⎪

⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n

nn n n n n n n n a a a a a a a a a αααβαααβαααβ (22112222112212211111)

令

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A

212222111211

则上式可写为

[][]A n n αααβββ,...,,,...,,2121=

称A 是基 n ααα,...,,21到基 n βββ,...,,21的过渡矩阵。称上面两式为基 n ααα,...,,21到基 n βββ,...,,21的基变换公式。

例 已知 3

R 的一组基

)

1,0,1(),0,1,1(),1,2,1(321-=-==βββ

求 3R 的自然基 321,,εεε到基 321,,βββ的过渡矩阵。

解 因为

3

132123211 2εεβεεβεεεβ-=-=++= ，

故

A

],,[],,[321321εεεβββ=

其中

10101211

1⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=A

是自然基 321,,εεε到基 321,,βββ的过渡矩阵。

性质

(1) 过渡矩阵是唯一确定的;

)2( 过渡矩阵是可逆矩阵；

)3( 若A 是 m ααα,,,21 到 m

βββ,,,21 的过渡矩阵，则1

-A

是m βββ,,,21 到

m ααα,,,21 的过渡矩阵。

定理 设 V 是m 维线性空间，

m ααα,...,,21与m βββ,...,,21是 V 的两个基，m ααα,...,,21到 ,,21ββm β..., 的过渡矩阵为 A 。任取 V ∈α，设 α关于基 m ααα,...,,21的坐标为 ),...,,(21m x x x ，关于基,1βm ββ,...,2的坐标为 ),...,,(21m y y y ，则

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-m m x x x A y y y 21121 称上式为基 m ααα,...,,21到基 m βββ,...,,21的坐标变换公式。

例3.2.9 已知 3R 的两组基

）

，，（021 ),1,1,0( ),1,0,1()1,0,0( ),1,1,0( ),1,1,1(321321=-=====βββααα

)1( 求 321,,ααα到 321,,βββ的过渡矩阵；

)2( 求 ），，（0 0 1=α关于基 321,,βββ的坐标。

解 )1(（法一）设 A 为所求过渡矩阵，则

A

],,[],,[321321αααβββ=

把i i αβ ,均写成列向量，则 ],,[321ααα是3阶可逆矩阵。于是

]

,,[],,[3211321βββααα-=A

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-221111101

0112101011110110011

； （法二）取 3

R 的自然基 321,,εεε，易得

P ],,[],,[321321εεεααα=，

Q ],,[],,[321321εεεβββ=，

其中

⎪⎪

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011210101 ,111011001Q P

∵ 1321321],,[],,[-=P αααεεε

∴ Q

P 1

321321],,[],,[-=αααβββ

⇒ 所求过渡矩阵为

Q P A 1

-=

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-221111101

0112101011110110011

)2( 设 332211βββαy y y ++=

∵ Q ],,[],,[321321εεεβββ=

⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=001],,[321εεεα

∴ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-1220011321Q y y y

即 α关于 321βββ，，的坐标为 )1,2,2(-。

例3.2.8 已知向量空间 3

F 的一个基

)0,1,1(),1,0,1(),1,1,0(321===βββ

求向量 )3,1,2(-=α关于基 321,,βββ的坐标。

解（法一）令 332211βββαx x x ++=，则

⎪⎩⎪

⎨⎧=+-=+=+3122

13132x x x x x x 解得 1,3,0321-===x x x 。所以，α关于基 ,1β

,2β3β的坐标为)1 ,3 ,0(-。

（法二）取3

F 的自然基321,,εεε，容易得出

2

133123

21εεβεεβεεβ+=+=+= ，

写成矩阵形式有

⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=011101110],,[],,[321321εεεβββ

因此，从基321,,εεε到基321,,βββ的过渡矩阵为

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛011101110

已知

α关于自然基

321,,εεε的坐标为)3,1,2(-

所以，根据坐标变换公式，α关于基 ,,21ββ3β的坐标为

⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1303120111011101

例 3.4.10 在4][x F 中,求自然基到基

3

2

32

2101,1,1,1x x x g x x g x g g +++=++=+==

的过渡矩阵. 已知多项式)(x h 关于基3

210,,,g g g g 的坐标为T )2,8,0,7(-,求)(x h 关于自然基的坐标.

例 把2

R 视为建立了直角坐标系Oxy 的平面

上全体有向线段的集合，则2

R 即为平面空间。此

时，2

R 的自然基

(1,0)，(0,1)

分别对应

x 轴和

y 轴上两

条起点在原点O 方向指向

坐标轴正向、长为1的有

向线段→

i 和→

j 。由于→i 和→

j

不共线，且平面上任一有向线段→a 均可由→i 和→

j 线性表出，所以→i 、→

j 构成平面空间的一个基。

把坐标系Oxy 逆时针旋转ϕ角，得到新坐标

系y x O ''。在新坐标

轴上也取两条起点

在原点O 、方向指向

坐标轴正向、长为1的有向线段→'i 和→

'j ，

则→'i 、→

'j 也构成平面空间的一个基。

不难得到，平面空间的这两个基→i 、→j 和→

'i 、

→

'j 之间具有下列关系

⎪⎩⎪⎨⎧+-='+='→

→→→

→

→ϕ

ϕϕ

ϕcos sin sin cos j i j j i i

上式可改写为

⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡-=''→

→→

→ϕϕ

ϕϕcos sin sin cos ],[],[j i j i

这就是从基→i 、→j 到基→'i 、→

'j 的基变换公式，而

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡-ϕϕϕϕcos sin sin cos

即为从基→i 、→j 到基→

'i 、→

'j 的过渡矩阵。

任取平面上的一条有向线段→

a ，设

,→

→→→→→''+''==+=j y i x a j y i x a

则由坐标变换公式得

⎩⎨

⎧+-='+='ϕ

ϕϕ

ϕcos sin sin cos y x y y x x

上式即为平面直角坐标系的转轴公式。

小结：1）重点；2）难点；3）注意点。

作业：1）预习“§3.3”

2）习题：P163 7, 8,13, 48, 50

恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！

北京理工大学系列考试试卷

恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！

恭祝各位考生金榜题名！