(完整版)圆锥曲线经典中点弦问题.docx
中点弦问题专题练习
一．选择题（共
8 小题）
1．已知椭圆
，以及椭圆内一点
P （ 4，2），则以
P 为中点的弦所在直线的斜率为（
）
A ．
B ．
C ． 2
D ．﹣ 2
2．已知 A （ 1， 2）为椭圆 内一点，则以 A 为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（
）
A ．x+2y+4=0
B ． x+2y ﹣ 4=0
C ． 2x+y+4=0
D ．2x+y ﹣4=0
3． AB 是椭圆
（ a ＞ b ＞ 0）的任意一条与 x 轴不垂直的弦， O 是椭圆的中心， e 为椭圆的离心率，
M 为
AB 的中点，则 K AB ?K OM 的值为（ ） C ． e 2﹣1
D ．1﹣ e 2 A ．e ﹣ 1 B ． 1﹣ e
4．椭圆 4x 2+9y 2
=144 内有一点 P （ 3， 2）过点 P 的弦恰好以 P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ）
A ．3x+2y ﹣ 12=0
B ． 2x+3y ﹣ 12=0
C ． 4x+9y ﹣ 144=0
D ．9x+4y ﹣144=0
5．若椭圆
的弦中点（ 4， 2），则此弦所在直线的斜率是（
）
A ．2
B ．﹣ 2
C ．
D ．
6．已知椭圆
的一条弦所在直线方程是
x ﹣y+3=0 ，弦的中点坐标是（﹣ 2，1），则椭圆的离心率是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．直线 y=x+1 被椭圆 x 2+2y 2
=4 所截得的弦的中点坐标是（
）
A ．（
）
B ．
（﹣ ， ）
C ．
（ ，﹣ ）
D ．
（﹣ ， ）
8．以椭圆
内一点 M （ 1， 1）为中点的弦所在的直线方程为（
）
A ．4x ﹣ 3y ﹣ 3=0
B ． x ﹣ 4y+3=0
C ． 4x+y ﹣ 5=0
D ．x+4y ﹣5=0
二．填空题（共
9 小题）
9．过椭圆
内一点 M （ 2， 0）引椭圆的动弦 AB ，则弦 AB 的中点 N 的轨迹方程是 _________ ．
10．已知点（ 1， 1）是椭圆
某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为： _________ ．
11．椭圆 4x 2+9y 2=144 内有一点
直线方程为 _________ ．
P （3，2）过点
P 的弦恰好以
P 为中点， 那么这弦所在直线的斜率为
_________
，
12．椭圆 4x 2+9y 2
=144 内有一点 P （ 3，2）过点 P 的弦恰好以 P 为中点， 那么这弦所在直线的方程为
_________ ．
13．过椭圆
=1 内一定点（ 1，0）作弦，则弦中点的轨迹方程为
_________ ．
14．设 AB 是椭圆
的不垂直于对称轴的弦， M 为 AB 的中点，O 为坐标原点， 则 k AB ?k OM = _________ ．
15．以椭圆
内的点 M （1， 1）为中点的弦所在直线方程为
_________ ．
16．在椭圆
+
=1 内以点
P （﹣ 2， 1）为中点的弦所在的直线方程为
_________
．
17．直线 y=x+2 三．解答题（共
被椭圆 x 2+2y 2=4 截得的线段的中点坐标是
13 小题）
_________
．
18．求以坐标轴为对称轴，一焦点为
且截直线 y=3x ﹣ 2 所得弦的中点的横坐标为
的椭圆方程．
19．已知
M （4， 2）是直线
l 被椭圆
x 2+4y 2=36 所截的弦
AB
的中点，其直线
l 的方程．
20．已知一直线与椭圆
4x 2+9y 2=36 相交于
A 、B
两点，弦
AB
的中点坐标为
M （ 1， 1），求直线
AB
的方程．
21．已知椭圆
，求以点 P （ 2，﹣ 1）为中点的弦 AB 所在的直线方程．
22．已知椭圆与双曲线 2x 2﹣ 2y 2
=1 共焦点，且过（ ）
（ 1）求椭圆的标准方程．
（ 2）求斜率为 2 的一组平行弦的中点轨迹方程．
23．直线 l ： x ﹣ 2y ﹣ 4=0 与椭圆 x 2+my 2
=16 相交于 A 、 B 两点，弦 AB 的中点为 P （ 2，﹣ 1）．（1）求 m 的值；（ 2）
设椭圆的中心为 O ，求 △AOB 的面积．
24． AB 是椭圆
中不平行于对称轴的一条弦， M 是 AB 的中点， O 是椭圆的中心，求证：
k AB ?k OM 为定值．
25．已知椭圆 C ：
+ =1 和点 P （ 1，2），直线 l 经过点 P 并与椭圆 C 交于 A 、B 两点，求当 l 的倾斜角变化时，
弦中点的轨迹方程．
26．已知椭圆
．
（ 1）求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程；
（ 2）过 A （ 2， 1）的直线 l 与椭圆相交，求 l 被截得的弦的中点轨迹方程；
（ 3）过点 P （）且被 P 点平分的弦所在的直线方程．
27．已知椭圆．
（ 1）求过点且被点P平分的弦所在直线的方程；
（2）求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程；
（3）过点 A （ 2， 1）引直线与椭圆交于 B、 C 两点，求截得的弦 BC 中点的轨迹方程．
28．已知某椭圆的焦点是 F（1﹣ 4，0）、F（24，0），过点 F2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为 B ，且 |F1B|+|F2B|=10 ，椭圆上不同的两点 A （ x1122222
，y ）、 C（ x， y）满足条件： |F A|、 |F B| 、 |F C|成等差数列．
（Ⅰ ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）求弦 AC 中点的横坐标．
29．（ 2010?永春县一模）过椭圆内一点M（1，1）的弦AB．
（1）若点 M 恰为弦 AB 的中点，求直线 AB 的方程；
（2）求过点 M 的弦的中点的轨迹方程．
30．已知椭圆 C 方程为，直线与椭圆C交于A、B两点，点，
（1）求弦 AB 中点 M 的轨迹方程；
（2）设直线 PA、 PB 斜率分别为 k1、 k2，求证： k1+k 2为定值．
2014 年 1 月 panpan781104 的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8 小题）
1．已知椭圆，以及椭圆内一点P（ 4，2），则以P 为中点的弦所在直线的斜率为（）
A ．
B ．C． 2 D ．﹣ 2
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：利用中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”即可得出．
解答：解：设以点P 为中点的弦所在直线与椭圆相交于点 A （ x1， y1）， B （x2， y2），斜率为 k．则，，两式相减得，又 x1+x 2=8， y1+y 2=4，，
代入得，解得 k=．
故选 A ．
点评：熟练掌握中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”是解题的关键．
2．已知 A （ 1， 2）为椭圆内一点，则以 A 为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（）
A ．x+2y+4=0
B ． x+2y﹣ 4=0C． 2x+y+4=0 D ．2x+y ﹣4=0
考点：直线的一般式方程．
专题：计算题．
分析：首先根据题意设出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程，然后结合题意与跟与系数的关系得到答案．
解答：解：设直线的方程为y﹣ 2=k （x﹣ 1），
联立直线与椭圆的方程代入可得：（ 4+k 2
） x
2
+2k（ 2﹣ k） x+k
2
﹣ 4k﹣ 12=0
因为 A 为椭圆的弦的中点，
所以，解得 k= ﹣2，
所以直线的方程为2x+y ﹣ 4=0．
故选 D．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握直线与椭圆的位置关系的判定，以及掌握弦中点与中点弦问题．
3． AB 是椭圆
（ a ＞ b ＞ 0）的任意一条与 x 轴不垂直的弦， O 是椭圆的中心， e 为椭圆的离心率， M 为
AB 的中点，则 K AB ?K OM 的值为（ ）
C ． e 2
﹣1
D ．1﹣ e
2
A ．e ﹣ 1
B ． 1﹣ e
考点 ： 椭圆的简单性质．
专题 ： 综合题．
分析： 设出弦 AB 所在的直线方程，与椭圆方程联立消去
y ，根据韦达定理求得 x 1+x 2，的表达式，根据直线方程
求得 y 1+y 2 的表达式，进而根据点 M 为 AB 的中点，表示出 M 的横坐标和纵坐标，求得直线 OM 的斜率，
进而代入 k AB ?k OM 中求得结果．
解答： 解：设直线为： y=kx+c
联立椭圆和直线
消去 y 得
b 2x 2+a 2（ kx+
c ） 2﹣ a 2b 2
=0，即
（ b 2+k 2a 2） x 2+2a 2kcx+a 2 （c 2﹣ b 2
）=0
所以： x 1+x 2=﹣
所以， M 点的横坐标为： M x = （ x 1+x 2）=﹣ 又： y 1=kx 1 +c
y 2=kx 2+c
所以 y 1+y 2=k （ x 1+x 2）+2c=
所以，点 M 的纵坐标 M y =
（ y 1+y 2） =
所以： Kom=
= =﹣
所以：
k AB ?k OM =k ×（﹣
）=﹣
=e 2﹣ 1
点评： 本题主要考查了椭圆的应用．涉及弦长问题，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，
利用差分法较为简便．
4．椭圆 4x 2+9y 2=144 内有一点 P （ 3， 2）过点 A ．3x+2y ﹣ 12=0
B ． 2x+3y ﹣ 12=0
P 的弦恰好以 P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（ C ． 4x+9y ﹣ 144=0 D ．9x+4y ﹣144=0
）
考点 ： 直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程．
专题 ： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 利用平方差法：设弦的端点为
A （ x 1， y 1），
B （ x 2， y 2），代入椭圆方程，两式作差，利用中点坐标公式及
斜率公式可求得直线斜率，再用点斜式即可求得直线方程．
解答：解：设弦的端点为 A （ x1， y1）， B（ x2， y2），
则x1+x 2=6， y1+y 2=4，
把 A 、B坐标代入椭圆方程得，，，
两式相减得，4（﹣） +9（﹣ y22）=0，即4（ x1+x 2）（x1﹣ x2） +9（ y1+y 2）（ y1﹣ y2） =0 ，
所以=﹣=﹣=﹣，即k AB =﹣，
所以这弦所在直线方程为：y﹣ 2=﹣（x﹣3），即2x+3y﹣12=0．
故选 B ．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线方程的求解，涉及弦中点问题常运用平方差法，应熟练掌握．
5．若椭圆的弦中点（4， 2），则此弦所在直线的斜率是（）
A ．2
B ．﹣ 2C． D ．
考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：设此弦所在直线与椭圆相交于点 A （ x1， y1）， B（ x2，y2）．利用中点坐标公式和“点差法”即可得出．
解答：解：设此弦所在直线与椭圆相交于点 A （ x1，y1）， B（ x2， y2）．
则，，两式相减得=0．
∵，，．
代入上式可得，解得 k AB =．
故选 D．
点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式和“点差法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．6．已知椭圆的一条弦所在直线方程是x﹣y+3=0 ，弦的中点坐标是（﹣2，1），则椭圆的离心率是（）A ． B ．C． D ．
考点：椭圆的简单性质．
专题：计算题．
分析：设出以M为中点的弦的两个端点的坐标，代入椭圆的方程相减，把中点公式代入，可得弦的斜率与
a， b 的关系式，从而求得椭圆的离心率．
解答：解：显然M（﹣ 2， 1）在椭圆内，设直线与椭圆的交点 A （ x1， y1）， B （x2， y2），
则
+ =1， + =1，相减得： =0，
整理得： k=﹣
=1，
又弦的中点坐标是（﹣
2， 1），
∴
，
∴
，
则椭圆的离心率是
e= = = ．
故选 B ．
点评： 本题考查椭圆的标准方程和简单性质，中点公式及斜率公式的应用，以及直线方程，属于基础题．本题解题
中直接利用点差法巧妙用上了中点坐标公式与弦的斜率，方法极为巧妙，此方法即为通常所说的点差法，研究弦中点问题时经常采用此方法
7．直线 y=x+1 被椭圆 x 2+2y 2
=4 所截得的弦的中点坐标是（ ）
A ．（ ）
B ． （﹣ ， ）
C ． （ ，﹣ ）
D ．
（﹣ ， ）
考点 ： 直线与圆锥曲线的关系．
专题 ： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
2 2
分析：
将直线
y=x+1
代入椭圆
x +2y =4
中，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得结论．
解答： 解：将直线 y=x+1 代入椭圆 x 2+2y 2=4 中，得 x 2+2（x+1 ） 2
=4
∴ 3x 2
+4x ﹣2=0
∴ 弦的中点横坐标是 x=
=﹣ ，
代入直线方程中，得
y=
∴ 弦的中点是（﹣
， ）
故选 B ．
点评： 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于基础题．
8．以椭圆
内一点 M （ 1， 1）为中点的弦所在的直线方程为（
）
A ．4x ﹣ 3y ﹣ 3=0
B ． x ﹣ 4y+3=0
C ． 4x+y ﹣ 5=0
D ．x+4y ﹣5=0
考点 ： 直线与圆锥曲线的关系． 专题 ： 计算题． 分析：
设直线方程为
y ﹣ 1=k （ x ﹣1），代入椭圆 化简，根据 x 1+x 2= =2，求出斜
率 k 的值，即得所求的直线方程．
解答：解：由题意可得直线的斜率存在，设直线方程为y﹣ 1=k （ x﹣ 1），代入椭圆化简可得，
（4k 2
+1） x
2
+8 （ k﹣ k
2
） x+4k
2
﹣ 8k﹣ 12．
∴由题意可得 x1 2
=2，∴ k=﹣，
+x =
故直线方程为y﹣ 1=﹣（x﹣1），即x+4y ﹣ 5=0，
故选 D．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，中点公式的应用，求出直线的斜率，是解题的关键．
二．填空题（共9 小题）
9．过椭圆内一点M（2，0）引椭圆的动弦
AB ，则弦 AB 的中点 N 的轨迹方程是．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．
专题：综合题．
分析：设出N，A，B的坐标，将 A ，B 的坐标代入椭圆方程，结合N 为 AB 的中点，求出AB 的斜率，再利用动
弦AB 过点 M（ 2， 0），弦 AB 的中点 N，求出 AB 的斜率，从而可得方程，化简即可．解
答：解：设 N（ x，y）， A （ x1， y1）， B （x2， y2），则
① ，②
① ﹣② ，可得：
∴
∵动弦 AB 过点 M （ 2，0），弦 AB 的中点 N，
当M 、 N 不重合时，有
∴
∴
∴，（m≠2）
当 M 、 N 重合时，即M 是 A 、 B 中点， M（ 2， 0）适合方程，
则 N 的轨迹方程为，