概率统计第四章答案2
概率论与数理统计作业
班级 __________ 姓名 _____________ 学号 _____________ 任课教师 __________
第四章 随机变量的数字特征
教学要求：
一、 理解随机变量数学期望和方差的概念，掌握数学期望和方差的性质与计算方法；
二、 了解0-1分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的数学期望及方 差; 三、 了解矩、协方差、相关系数的概念及性质，并会计算
重点：数学期望与方差的概念和性质 ? 难点：相关系数. 练习一
一维随机变量的数字特征
1.填空题
(1)将三个球随机地放到
5个盒子中去，则有球的盒子数的数学期望为
B k
(2)若随机变量X 的分布律P X k A (k 0,1,2
)且E(X)
k!
(5)
设随机变量X 表示10次重复独立射击命中目标的次数， 且每次射击命中目标的概率
为 0.4,则 E(X 2) D X EX 2 6.4.
(6)
设随机变量X 服从参数为 ( 0)的泊松分布，且已知
E[(X 1)(X 2)] 1，则
1 .
2?在射击比赛中，每人射击 4次，每次一发子弹，规定
4弹全都不中得0分，只中一
弹得15分，中2弹得30分，中3弹得55分，中4弹得100分.某人每次射击的命中率为 0.6 .求他期望得多少分？
解：设X 表示射击4次得的分数，则 X 的所有可能取值为 0;15;30;55;100.且
4
1
1
3
P X 0 C? 0.6
1 0.6 0.0256, P X 15 C ： 0.6
1 0.6
0.1536,
61/25
a ，则A
(3)设随机变量 X ~ B(n, p)，且E(X) 0.5,D(X)
0.45，贝U n 5, p 0.1
(4)已知连续型随机变量 X 的概率密度为
1 f(x).
e x 2x 1
则 E(X) _J_, D(X) 1/ 2
求 E(X), E(X 2), D(X)及E 3X 2
5 .
EX 2
1
x 2
f xdx -
1
2
x
. dx
\1 x 2
2 ..——2
1
X 、1 x 0
则
c 2 1 0
4
2
D X
E X
2
EX 2
1 2
由于
4.已知随机变量 X 的概率分布律为:
-1 x 2dx
解：
E X
X j 口 i 1
2 0.4 0 0.
3 2 0.3 0.2;
2 2 E X
X i p
i 1
i
2 2 0.4 02 0.3
22 0.3
2.8
；
D X
E X 2
E X
2
2.76；
P X 30
C ： 0.6 2
1 0.6 2
0.3456, P X 55 C 3 3 1
0.6 1 0.6
0.3456
P X
100
C ： 0.6 4
1
0.6 0
0.1296,
所以
E X 0 0.0256 15 0.1536 30 0.3456 55 0.3456 100 0.1296 44.64
3 ?设随机变量 X 的概率密度为
、1 x
0,
，
X 1,求 E(X),D(X) ?
1. 解:
xf x dx
1
-dx
2
1一厂
x
1 x 2
2
E 3X 5
1
3E X2 5 3 2.8 5 13.4.
(5)设二维随机变量 X, Y 的相关系数为
XY
0.5 , X 与丫的方差分别为D(X) 4 ,
5.设随机变量 X 的概率密度为
f x
e , x 0,
求(1) Y 2X 的期望；(2) 0, x 0;
Y e 2x
的期望.
解：设球的直径为X ,球的体积为V 则V - X 3,且
6
,a x b
x b a
0, 其它；
于是
练习二
二维随机变量的数字特征
1.填空题
(1)设随机变量 X,Y 相互独立，方差分别为 6和3,则D(2X Y) 27
(2) 设随机变量 X,Y 相互独立，E(X) E(Y) O,D(X) D(Y) 1，则 E[(X Y)2]
2_.
(3) 设随机变量 X,Y 相互独立，且X ~ N(1,2),Y ~ N(0,1),则随机变量Z 2X Y 3
(4)设随机变量 X 与Y 相互独立，且 X ~U[0,2] , Y 服从参数为 3的指数分布，则
E(XY) 1 ?
3
解: (1)
E Y
g x f x dx
2xe x dx 0
2e x x 10
2
(2)
E Y
x dx
2x x .
1 3x 1
g x f e e dx
e
3
3
6?对球的直径做近似测量，设其值均匀分布在区间 (a, b)内，求球的体积的均值.
E V
b 1
1
x 3 1 dx
1
a 6
b a
24
a b (a 2 b 2)
的概率密度 —2
2 32
D(Y) 9，则 D(2X 3Y)
61
2
2 2
D(X), D(Y), E(XY)和 E(X Y ) ?
求 E(XY) ?
解：由于随机变量X,Y 相互独立，则
y 1e 5y
5
f 6 4.
4.随机变量X 1,X 2, ,X n 相互独立，并服从同一分布，数学期望为
2?设随机变量（X,Y ）的概率密度为f x, y
12y 2, 0,
y x 1,
其它；
求 E(X),E(Y),
解:
1 x
2
dx x 12y dy
0 0 1
4x 4dx
0 1 x
2
dx y 12y dy
0 0
1
3x 4dx
EX 2
1 x
dx 0 0
2 2
x 12y dy
1
4x 5
dx
16 25
2 75
EY 2
EY 2
x
dx y 2
0 0
12y 2
dy
12 5
x 0 5 dx
9 25
1 25
；
E XY 1 x
2
dx xy 12y dy
0 0 1
3x 5dx 0
EX 2
2
2
2 2 2 Y 2
E X 2
E Y 2
3 5 4
15
3 ?设随机变量 X ,Y 相互独立，概率密度分别为
2x, 0x1, 0, 其它；
f Y (y)
e 5y 0,
5, 5
；
E XY E X
E Y xf X x dx yf Y y dy
2x 2
dx
5
5 y
I
ye dy
,方差为
于是由性质得
EX i
i 1
综合练习题
解：
由于
E X 0 0.4 1 0.3
2 0.2
3 0.1 1 , E Y 0 0.3 1 0.5 2 0.2 3 0
0.9
则甲机床生产中的次品数的均值大于乙机床生产中的次品数，所以乙机床较好。
求这些随机变量的算术平均值 X
1
X i 的数学期望及方差.
n i 1
解：由于随机变量X i , X 2,
,X n 相互独立，且
E X i
2?
,1
1,2,3,…,
D 1
n n
X i
i 1 1
~2
n i 1
n
D X i
5 .设连续型随机变量
X,Y 相互独立，且均服从
解: 设Z X Y ,由于X,Y 相互独立,
N （og ）,求 E （X Y ）.
且均服从 N （0,扌）,则Z 也服从正态分布，且
0,
1,
0,1于是
z 2
T
dz
ze z 2
T
dz
e T
1.甲乙两台机床生产同一种零件，
在一天生产中的次品数分别记为
X ,Y ,已知X ,Y 的
D(X).
解：设射击次数为X ,则X 的分布律为
P X
k 1
k 1 p p , k 1,2,3, ?-
?;其中p 0.8
F 是
E X ― k1
1 1 k 1 p p
k 1
p
0.8
1.25.
(提示：利用求幕级数
n 1
nx 的和函数的方法求数项级数的和)
n 0
求 E(X),E(Y),D(X),D(Y) , Cov(X,Y)和
2.已知随机变量
X 的概率密度为f (x)
,(
),求E(X)及
解:
xf x dx
x
xe dx
xe x dx
X 2
x 2 2e x dx
x 2e x dx
x 2 2x 2 2.
3?某人每次射击命中目标的概率都是
标为止，求射击次数的期望.
0.8，现连续向一目标射击，直到第一次命中目
4.设随机变量 X,Y 的概率密度为f x, y 1
8x y ， 0,
0 x 2,0 y 2,
其它，
2 2
1
1 解：
E X dx x
x y dy
0 0 8
8
2 2
1
1 E Y
dx y
x
y dy
0 0
8
8
2 2
2
D X
E X
E X 2
dx 2 x
0 0
2
2
2 2 2
7
x 2
dx dy
xdx ydy
；
0 0
0 0
6
2 2
2 2
2
7 xdx ydy
dx y
dy
a ；
0 0
0 0
6
2
2
1
7 5 7 11 x y dy
— —
—
8
6
3
6
36