立体几何100题
立体几何100题
1.如图，三角形
中，
，
是边长为l 的正方形，平面
底面
，若
分别是
的中点.
（1）求证：底面；
（2）求几何体
的体积.
2．在三棱锥P ABC -中， PAC ?和PBC ?是边长为2的等边三角形， 2AB =，
,O D 分别是,AB PB 的中点.
（1）求证： //OD 平面PAC ； （2）求证: OP ⊥平面ABC ； （3）求三棱锥D ABC -的体积.
3．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， 090BAC ∠=， 2AB AC ==，点,M N 分别
为111,A C AB 的中点.
（1）证明： //MN 平面11BB C C ；
（2）若CM MN ⊥，求三棱锥M NAC -的体积.. 4．如图，在三棱柱中，
平面，点是与
的交点，点在线段上，
平面
.
（1）求证：
；
（2）若,求点到平面的距离.
5．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，
1
,//,2
AB BC AD BC AB BC AD ⊥==
， PAD ?是正三角形， E 是PD 的中点． （1）求证： AD PC ⊥；
（2）判定CE 是否平行于平面PAB ，请说明理由．
6．如图，在四棱锥S ABCD -中，侧面SAD ⊥底面ABCD ， SA SD =， //AD BC ， 22AD BC CD ==， M ， N 分别为AD ， SD 的中点．
（1）求证： //SB 平面CMN ；（2）求证： BD ⊥平面SCM ．
7．如图，在矩形中，
，
平面
，
分别为
的中点，点
是
上一个动点．
(1) 当是
中点时，求证:平面
平面
；
(2) 当时，求的值．
8．如图，在正三棱柱111A B C ABC -中，点,D E 分别是1,A C AB 的中点． 求证： ED ∥平面11BB C C
若12AB BB =求证：A 1B ⊥平面B 1CE.
9．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中， 12,1,1AB AD A A ===.
（1）证明直线1BC 平行于平面1D AC ； （2）求直线1BC 到平面1D AC 的距离.
10．如图所示，菱形ABCD 与正三角形BCE 所在平面互相垂直， FD ⊥平面ABCD ，
且2AB =， 3FD =.
（1）求证： //EF 平面ABCD ； （2）若3
CBA π
∠=
，求几何体EFABCD 的体积.
11．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，E 是BC 的中点，求证： （Ⅰ）平面AB 1E ⊥平面B 1BCC 1； （Ⅱ）A 1C //平面AB 1E ．
12．如图，在三棱柱中，
平面
，
，
，点为
的中点. （1）证明：平面
； （2）求三棱锥
的体积.
13．如图，在多面体中，四边形是正方形，在等腰梯形中，，，，为中点，平面平面.
(1)证明：；(2)求三棱锥的体积.
14．已知三棱锥，，，为的中点，平面，，，是中点，与所成的角为，且.
（1）求证：；（2）求三棱锥的体积.
15．在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，，.
（1）设是上一点，求证：平面平面.（2）求四棱锥的体积.
-中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，16．如图，在四棱锥P ABCD
∠=，1,
ABC
60
==为PC的中点
PA PB E
.
（1）求证： //PA 平面BDE ；（2）求三棱锥P BDE -的体积.
17．如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）111ABC A B C -中，点G 是AC 的中点．
（1）求证： 1//B C 平面1A BG ；（2）若AB BC =， 12AC AA =，求证：
11AC A B ⊥．
18．如图所示，四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ， SA AD ⊥，
//AD BC ， 4
3
SA BC AB ==
24AD ==．
（1）证明：在线段SC 上存在一点E ，使得//ED 平面SAB ；
（2）若AB AC =，在（1）的条件下，求三棱锥S AED -的体积． 19．（本小题共12分）
如图，边长为3的正方形ABCD 所在平面与等腰直角三角形ABE 所在平面互相垂直，
AE AB ⊥，且2EM MD =， 3AB AN =.
（Ⅰ）求证： //MN 平面BEC ；（Ⅱ）求三棱锥E BMC -的体积.
20．如图，在四棱锥中，底面
是边长为2的正方形，
分别为
的中点，
平面
底面
.
（1）求证:
平面
；（2）若
，求三棱锥
的体积.
21．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，E 是BC 的中点，求证： （Ⅰ）平面AB 1E ⊥平面B 1BCC 1； （Ⅱ）A 1C //平面AB 1E ．
22．如图1，四边形ABCD 为等腰梯形， 2,1AB AD DC CB ====，将ADC ?沿AC 折起，使得平面ADC ⊥平面ABC ， E 为AB 的中点，连接,DE DB .
（1）求证： BC AD ⊥； （2）求E 到平面BCD 的距离. 23．如图，四棱锥
中，底面
为菱形，
平面
，为
的中点．
（Ⅰ）证明：
平面
； （Ⅱ）设，求三棱锥
的体积． 24．如图，在多面体
中，四边形是正方形，在等腰梯形
中，
，
，
，为
中点，平面
平面
.
(1)证明：
；(2)求三棱锥
的体积.
25．如图1，在矩形中，，
，是的中点，将沿
折起，得到如图
2所示的四棱锥
，其中平面
平面
.
（1）证明：平面
；
（2）设为
的中点，在线段
上是否存在一点，使得
平面
，若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
26．如图，在四棱锥P ABCD -中， 90ABC ACD ∠=∠=， BAC ∠ 60CAD =∠=，
PA ⊥平面ABCD ， 2,1PA AB ==.设,M N 分别为,PD AD 的中点.
（1）求证：平面CMN ∥平面PAB ；（2）求三棱锥P ABM -的体积.
27．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，
12AA =， P 为棱1BB 上的一个动点.
（1）求三棱锥1C PAA -的体积；
（2）当1A P PC +取得最小值时，求证： 1PD ⊥平面PAC .
28．在三棱柱111ABC A B C -中，已知侧棱1CC ⊥底面,ABC M 为BC 的中点，
13,2,2AC AB BC CC ====.
（1）证明: 1B C ⊥平面1AMC ；（2）求点1A 到平面1AMC 的距离.
29．五边形11ANB C C 是由一个梯形1ANB B 与一个矩形11BB C C 组成的，如图甲所示，B 为AC 的中点， 128AC CC AN ===． 先沿着虚线1BB 将五边形11ANB C C 折成直二面角1A BB C --，如图乙所示．
（Ⅰ）求证：平面BNC ⊥平面11C B N ；（Ⅱ）求图乙中的多面体的体积．
30．如图1， 1AFA ?中， 11,82FA FA AA CF ===，，点,,B C D 为线段1AA 的四等分点，线段,,BE CF DG 互相平行，现沿,,BE CF DG 折叠得到图2所示的几何体，此几何体的底面ABCD 为正方形.
（1）证明： ,,,A E F G 四点共面；（2）求四棱锥B AEFG -的体积.
31．如图，三棱锥P ABC -中， PC ⊥平面ABC ， ,,F G H 分别是,,PC AC BC 的中点， I 是线段FG 上的任意一点， 22PC AB BC ===，过点F 作平行于底面ABC 的平面DEF 交AP 于点D ，交BP 于点E . （1）求证： //HI 平面ABD ；
（2）若AC BC ⊥，求点E 到平面FGH 的距离.
32．如图，已知正方体
的棱长为3，
分别是棱
、
上的点，且
.
（1）证明：
四点共面；
（2）求几何体的体积.
33．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知平面11AA C C ⊥平面ABCD ，且
3AB BC CA ===， 1AD CD ==．
（1）求证： 1BD AA ⊥；（2）若E 为棱BC 的中点，求证： //AE 平面11DCC D ． 34．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ?是等边三角形，且1AA ⊥平面ABC ,
D 为AB 的中点，
(Ⅰ) 求证：直线1//BC 平面1A CD ；
(Ⅱ) 若12,AB BB E ==是1BB 的中点，求三棱锥1A CDE -的体积； 35．如图，将菱形沿对角线折叠，分别过，作所在平面的垂线
，
，垂足分
别为，，四边形为菱形，且.
（1）求证：
平面
； （2）若
，求该几何体的体积.
36．如图，在四棱锥P ABCD -中， 1
22
PC AD CD AB ===
=， //AB DC ， AD CD ⊥， PC ⊥平面ABCD .
（1）求证： BC ⊥平面PAC ；
（2）若M 为线段PA 的中点，且过,,C D M 三点的平面与线段PB 交于点N ，确定点N 的位置，说明理由；并求三棱锥A CMN -的高.
37．如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱OB ⊥底面
ABCD ，且侧棱OB 的长是2，点,,E F G 分别是,,AB OD BC 的中点.
（Ⅰ）证明： OD ⊥平面EFG ；（Ⅱ）求三棱锥O EFG -的体积.
38．如图，多面体ABCDEF 中， //,AD BC AB AD ⊥, FA ⊥平面,//ABCD FA DE ，且222AB AD AF BC DE =====.
（Ⅰ）M 为线段EF 中点，求证： //CM 平面ABF ； （Ⅱ）求多面体ABCDEF 的体积.
39．在如图所示的几何体中，四边形11BB C C 是矩形， 1BB ⊥平面ABC ，
1111//,2,A B AB AB A B E =是AC 的中点.
（1）求证： 1//A E 平面11BB C C ；
（2）若AC BC =， 12AB BB =，求证平面1BEA ⊥平面11AA C .
40．如图，四边形ABCD 为梯形， AB CD ， PD ⊥平面ABCD ，
90BAD ADC ∠∠==?， 22DC AB a ==， 3DA a =， E 为BC 中点.
（1）求证：平面PBC ⊥平面PDE ；
（2）线段PC 上是否存在一点F ，使PA 平面BDF ？若有，请找出具体位置，并进行证明：若无，请分析说明理由.
41．已知四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形， 60BAD ∠=?，
5,7SA SD SB ===，点E 是棱AD 的中点，点F 在棱SC 上，且
SF
SC
λ=， SA //平面BEF ．
（Ⅰ）求实数λ的值；（Ⅱ）求三棱锥F EBC -的体积．
42．在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=BC=CA=AA 1=2，侧棱AA 1⊥平面ABC ，且D ，E 分别是棱A 1B 1，AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且AF=
1
4
AB 。 （1）求证：EF∥平面BDC 1；（2）求三棱锥D-BEC 1的体积。
43．如图2，四边形为矩形，⊥平面，,作如图3折叠，折痕，其中点分别在线段上，沿折叠后点叠在线段上的点记为，并且⊥.（1）证明：⊥平面; （2）求三棱锥的体积.
44．由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD
A O∥平面B1CD1;
（1）证明：
1
（2）设M是OD的中点,证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.
-中，底面ABCD为菱形，45．如图，四棱锥P ABCD
PD AD DAB PD
=∠=⊥底面ABCD.
,60,
⊥（2）求PA与平面PBC所成角的正弦值.
（1）求证:AC PB
46．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，各棱长均为2，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，A 1C 1的中点．
（Ⅰ）证明EF∥平面A 1CD ；
（Ⅱ）若三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1为直棱柱， 求三棱锥
的体积．
47．如图所示，四棱锥A BCDE -，已知平面BCDE ⊥平面ABC ，
,,26,43,30BE EC DE BC BC DE AB ABC ⊥===∠=．
（I ）求证： AC BE ⊥；（II ）若45BCE ∠=，求三棱锥A CDE -的体积．
48．在四棱锥P ABCD -中， PAD ?为正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ， //AB CD ， AB AD ⊥， 224CD AB AD ===.
（Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求三棱锥P ABC -的体积；
（Ⅲ）在棱PC 上是否存在点E ，使得//BE 平面PAD ?若存在，请确定点E 的位置并证明；若不存在，说明理由． 49．如图，已知多面体
的底面是边长为2的正方形，底面，
，且．
（Ⅰ）求多面体的体积；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）记线段
的中点为，在平面
内过点作一条直线与平面
平行，要求
保留作图痕迹，但不要求证明．
50．如图，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 为正方形，侧面11BB C C 为菱形，
160CBB ∠=， 1AB B C ⊥.
（Ⅰ）求证：平面11ABB A ⊥ 11BB C C ；
（Ⅱ）若2AB =，求三棱柱111ABC A B C -的体积.
51．在三棱柱111ABC A B C -中， 2AC BC ==， 120ACB ∠=?， D 为11A B 的中点.
（1）证明： 1
//AC 平面1BC D ； （2）若11A A A C =，点1A 在平面ABC 的射影在AC 上，且侧面11A ABB 的面积为
23，求三棱锥11A BC D -的体积.
52．如图： ABCD 是平行四边行， AP ⊥平面ABCD , BE // AP , 2AB AP ==，
1BE BC ==， 60CBA ∠=。
（1）求证： EC //平面PAD ；（2）求证：平面PAC ⊥平面EBC ；
53．如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，
//AB CD ， 223AB DC ==，，且PAD ?与ABD ?均为正三角形， E 为AD 的中
点， G 为PAD ?重心.
（1）求证： //GF 平面PDC ；（2）求三棱锥G PCD -的体积.
54．如图，边长为2的正方形ABFC 和高为2的直角梯形ADEF 所在的平面互相垂直，
AF BC O ?=， 2DE =， //ED AF 且90DAF ∠=.
（1）求证： DE ⊥平面BCE ；
（2）过O 作OH ⊥平面BEF ，垂足为H ，求三棱锥A BCH -的体积.
55．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=BC=BB 1， 11AB A B E ?=，D 为AC 上的点，
B 1
C ∥平面A 1B
D ；
（1）求证：BD ⊥平面11A ACC ；（2）若1,AB =且1AC AD ?=，求三棱锥A-BCB 1的体积．
56．如图，四边形ABCD 为菱形， G 为AC 与BD 的交点， BE ⊥平面ABCD ．
（1）证明：平面AEC ⊥平面BED ；
（2）若0
120,ABC AE EC ∠=⊥，三棱锥E ACD -的体积为6
3
，求该三棱锥的侧面积（平面ACD 为底面）．
57．已知球内接正四棱锥P ABCD -的高为3,,AC BD 相交于O ，球的表面积为169π
9
，若E 为PC 中点.
(1)求异面直线BP 和AD 所成角的余弦值；(2)求点E 到平面PAD 的距离. 58．如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，点为棱
的中点.
（1）证明：
面
；（2）证明
；（3）求三棱锥
的体积．
59．在四棱锥P ABCD -中， 90ABC ACD ∠=∠=，
60,BAC CAD PA ∠=∠=⊥平面,ABCD E 为PD 的中
点， 22PA AB ==.
(1)求四棱锥P ABCD -的体积V ；(2)若F 为PC 的中点，求证PC ⊥面AEF . 60．在三棱柱111ABC A B C -中， 12AB BC CA AA ====，侧棱
1AA ⊥平面ABC ，且D ， E 分别是棱11A B ， 1AA 的中点，点F 棱
AB 上，且1
4
AF AB =
． （1）求证： //EF 平面1BDC ；（2）求三棱锥1D BEC -的体积．
61．如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ⊥平面P AB ，AP ⊥AB ．
（1）求证：CD ⊥AP ； （2）若CD ⊥PD ，求证：CD ∥平面P AB ；
62．如图，已知三棱锥P ABC -中， PA AC ⊥， PC BC ⊥， E 为PB 的中点， D 为AB 的中点，且ABE 为正三角形.
（Ⅰ）求证： BC ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）请作出点B 在平面DEC 上的射影H ，并说明理由.若3BC =， 12
5
BH =，求三棱锥P ABC -的体积.
63．如图，在三棱锥P ABC -中， 2PA PB AB ===， 3BC =， 90ABC ∠=?，平面PAB ⊥平面ABC ， D ， E 分别为AB ， AC 中点．
（1）求证： //DE 平面PBC ；（2）求证： AB PE ⊥； （3）求三棱锥P BEC -的体积．
64．如图，在四棱锥E ABCD -中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE ，AB⊥平面ADE ，CD=DA=6，AB=2，DE=3．
（1）求B 到平面CDE 的距离
（2）在线段DE 上是否存在一点F ，使AF BCE 平面？若存在，求出EF
ED
的值；若不存在，说明理由．
65
．
在
如
图
所
示
的
多
面
体
中
，
DE ⊥平面
0,//,//,,60ABCD AF DE AD BC AB CD ABC =∠=， 244BC AD DE ===．
（1）在AC 上求作点P ，使//PE 平面ABF ，请写出作法并说明理由； （2）求三棱锥A CDE -的高．
66．如图，直角梯形ABCD 中， 1
,2
AB CD AB CD =
, AB BC ⊥,平面ABCD ⊥平面BCE , BCE ?为等边三角形， ,M F 分别是,BE BC 的中点， 1
4
DN DC =.
(1)证明： EF ⊥ AD ;(2)证明： MN 平面ADE ; (3)若1,2AB BC ==,求几何体ABCDE 的体积.
67．如图，正三棱柱中，为
中点，为
上的一点，
.
（1）若平面，求证：
.
（2）平面
将棱柱
分割为两个几何体，记上面一个几何体的体积为，下面一个几何体的体积为，求
.
68．如图，将边长为的正六边形沿对角线
翻折，连接
、
，形成如图所示的
多面体，且
.