八年级初二数学数学平行四边形的专项培优练习题(含答案

一、选择题

1．如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE BC

⊥于点E，连接OE，若50

BCD

∠=?，则OED

∠的度数是（）

A．35°B．30°C．25°D．20°

2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm，点P从点A 出发，以每秒3cm的速度沿折线A-B-C-D方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动、已知动点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，点P，Q停止运动，设运动时间为t秒，在这个运动过程中，若△BPQ的面积为20cm2，则满足条件的t的值有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，过A点作AF⊥BF，垂足为F并延长交BC于点G，D为AB中点，连接DF延长交AC于点E。若AB=12，BC=20，则线段EF的长为（）

A．2 B．3 C．4 D．5

4．如图，正方形ABCD的边长为2a，点E从点A出发沿着线段AD向点D运动(不与点A、D重合)，同时点F从点D出发沿着线段DC向点C运动(不与点D、C重合)，点E与点F 的运动速度相同．BE与AF相交于点G，H为BF中点，则有下列结论：①∠BGF是定值；

②BF平分∠CBE；③当E运动到AD中点时，GH=5

a；④当C△AGB = (2)

+时，S四边形

GEDF =1

a2，其中正确的是( )

A ．①③

B ．①②③

C ．①③④

D ．①④

5．如图，菱形ABCD 中，∠A 是锐角，E 为边AD 上一点，△ABE 沿着BE 折叠，使点A 的对应点F 恰好落在边CD 上，连接EF ，BF ，给出下列结论： ①若∠A =70°，则∠ABE =35°；②若点F 是CD 的中点，则S △ABE 1

=S 菱形ABCD 下列判断正确的是（）

A ．①，②都对

B ．①，②都错

C ．①对，②错

D ．①错，②对

6．如图，ABCD 中，对角线,AC BD 交于点O ，2BD AD =，, , E F G 分别是

,OC OD ，AB 的中点．下列结论正确的是（）

①EG EF =；②EFG GBE ≌△△；③FB 平分EFG ；④EA 平分GEF ∠；⑤四边形BEFG 是菱形．

A ．③⑤

B ．①②④

C ．①②③④

D ．①②③④⑤

7．如图，菱形ABCD 中，60BAD ∠=?，AC 与BD 交于O ，E 为CD 延长线上的一点，且CD DE =，连结BE 分别交AC ，AD 于点F ，G ，连结OG 则下列结论：①1

OG AB =

；②与EGD ?全等的三角形共有5个；③ABF S S ?>四边形ODGF ；④由点A ，B ，D ，E 构成的四边形是菱形．其中正确的是（）

A ．①④

B ．①③④

C ．①②③

D ．②③④

8．如图，矩形ABCD 中，5AD =，7AB =，点E 为DC 上一个动点，把ADE ?沿AE 折叠，点D 的对应点为D ，若D 落在ABC ∠的平分线上时，DE 的长为( )

A ．

或2 B ．

52或53

C ．

52或35

D ．

或2 9．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE =30°，AB =3 ，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（）

A ．3

B ．3

C ．2

D ．23

10．如图，在菱形ABCD 中，5AB cm =，120ADC =∠?，点E 、F 同时由A 、C 两点出发，分别沿AB 、CB 方向向点B 匀速移动（到点B 为止），点E 的速度为1/cm s ，点

F 的速度为2/cm s ，经过t 秒DEF ?为等边三角形，则t 的值为（）

A ．

B ．

C ．

D ．

二、填空题

11．如图，正方形ABCD 中，AB=4，E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，则PE+PB 的最小值为．

12．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D 是BC 边上一点且CD=1，点P 是线段

DB 上一动点，连接AP ，以AP 为斜边在AP 的下方作等腰Rt △AOP ．当P 从点D 出发运动至点B 停止时，点O 的运动路径长为_____．

13．如图，四边形ABCD ，四边形EBFG ，四边形HMPN 均是正方形，点E 、F 、

P 、N 分别在边AB 、BC 、CD 、AD 上，点H 、G 、M 在AC 上，阴影部分的面积

依次记为1S ，2S ，则12:S S 等于__________．

14．如图，正方形ABCD 中，DAC ∠的平分线交DC 于点E ，若P ，Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ+PQ 能取得最小值4时，此正方形的边长为______________．

15．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，∠A ＝120°，E 是AB 的中点，点F 在平行四边形ABCD 的边上，若△AEF 为等腰三角形，则EF 的长为_____．

16．如图，在平行四边形ABCD 中，AD=2AB ．F 是AD 的中点，作CE ⊥AB, 垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论：(1)∠DCF+1

∠D ＝90°；(2)∠AEF+∠ECF ＝90°；(3)BEC S

CEF

； (4)若∠B=80?，则∠AEF=50°．其中一定成立的是______ (把所有正确结

论的字号都填在横线上)．

17．如图，在菱形ABCD 中，AC 交BD 于P ，E 为BC 上一点，AE 交BD 于F ，若AB=AE ，

EAD 2BAE ∠∠=，则下列结论：①AF=AP ；②AE=FD ；③BE=AF ．正确的是______（填

序号）．

18．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 为AD 的延长线上一点，且DE ＝DC ，点P 为边AD 上一动点，且PC ⊥PG ，PG ＝PC ，点F 为EG 的中点．当点P 从D 点运动到A 点时，则CF 的最小值为___________

19．如图，在ABC 中，D 是AB 上任意一点，E 是BC 的中点，过C 作//CF AB ,交DE 的延长线于F ，连BF ,CD ，若30FDB ∠=?，45ABC ∠=?，22BC =，则

DF =_________．

20．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点D 为平面内动点，且满足AD ＝4，连接BD ，取BD 的中点E ，连接CE ，则CE 的最大值为_____．

三、解答题

21．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上的一点（不与点A ，D 重合），ABE ?沿

BE 折叠，得BEF ，点A 的对称点为点F ．

（1）当AB AD =时，点F 会落在CE 上吗？请说明理由．（2）设

()01AB

m m AD

=<<，且点F 恰好落在CE 上． ①求证：CF DE =．

②若

n AD

=，用等式表示m n ，的关系． 22．综合与探究

如图1,在ABC ?中,ACB ∠为锐角,点D 为射线BC 上一点,连接AD ,以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ,解答下列问题: （1）研究发现:如果AB AC =,90BAC ∠=?

①如图2,当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合）,线段CF 、BD 之间的数量关系为______,位置关系为_______．

②如图3,当点D 在线段BC 的延长线上时,①中的结论是否仍成立并说明理由．（2）拓展发现:如果AB AC ≠,点D 在线段BC 上,点F 在ABC ?的外部,则当

ACB =∠_______时,CF BD ⊥．

23．如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，AE =AD ，作DF ⊥AE 于点F ．（1）求证：AB ＝AF ；（2）连BF 并延长交DE 于G ． ①EG ＝DG ；

②若EG ＝1，求矩形ABCD 的面积．

24．已知在平行四边形ABCD 中，AB BC ≠，将ABC 沿直线AC 翻折，点B 落在点尽处，AD 与CE 相交于点O ，联结DE ．（1）如图1，求证：//AC DE ；

（2）如图2，如果90B ∠=?，3AB =，6=

BC ，求OAC 的面积；

（3）如果30B ∠=?，23AB =，当AED 是直角三角形时，求BC 的长．

25．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边所在直线上一动点（不与点B 、C 重合），过点B 作BF ⊥DE ，交射线DE 于点F ，连接CF ．

（1）如图，当点E 在线段BC 上时，∠BDF=α． ①按要求补全图形；

②∠EBF =______________（用含α的式子表示）； ③判断线段 BF ，CF ，DF 之间的数量关系，并证明．

（2）当点E 在直线BC 上时，直接写出线段BF ，CF ，DF 之间的数量关系，不需证明． 26．已知：在矩形ABCD 中，点F 为AD 中点,点E 为AB 边上一点，连接CE 、EF 、CF ，EF 平分∠AEC ．

(1)如图1，求证：CF ⊥EF;

(2)如图2，延长CE 、DA 交于点K, 过点F 作FG ∥AB 交CE 于点G 若，点H 为FG 上一点，连接CH,若∠CHG=∠BCE, 求证：CH=FK;

(3)如图3, 过点H 作HN ⊥CH 交AB 于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK 长.

27．在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交CD边于点E．点F在BC边上，且FE⊥AE．

（1）如图1，①∠BEC=_________°；

②在图1已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；

（2）如图2，FH∥CD交AD于点H，交BE于点M．NH∥BE，NB∥HE，连接NE．若AB=4，AH=2，求NE的长．

28．如图，在平行四边形 ABCD中，AD=30 ，CD=10，F是BC 的中点，P 以每秒1 个单位长

→→→路径以每秒3个度的速度从 A向 D运动，到D点后停止运动；Q沿着A B C D

单位长度的速度运动，到D点后停止运动．已知动点 P，Q 同时出发，当其中一点停止后，另一点也停止运动．设运动时间为 t秒，问：

（1）经过几秒，以 A，Q ，F ，P 为顶点的四边形是平行四边形

（2）经过几秒，以A ，Q ，F ， P为顶点的四边形的面积是平行四边形 ABCD面积的一半？

29．如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG如图放置，连接AG，AE．

（1）求证：AG AE

⊥于P，交AB、AD于M、N，交AE、AG于P、Q，交BC于（2）过点F作FP AE

H，．求证：NH=FM

∠的平分线交BC于点E，交DC的延长线于30．如图，在平行四边形ABCD中，BAD

、为邻边作平行四边形ECFG。

F，以EC CF

（1）证明平行四边形ECFG是菱形；

（2）若ABC 120?∠=，连结BG CG DG 、、，①求证：DGC BGE ≌；②求BDG ∠的度数；

（3）若ABC 90?∠=，8AB =，14AD =，M 是EF 的中点，求DM 的长。

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【解析】【分析】

根据直角三角形的斜边中线性质可得OE BE OD ==，根据菱形性质可得

652

DBE ABC ?∠=

∠=，从而得到OEB ∠度数，再依据90OED OEB ?∠=-∠即可．【详解】

解：∵四边形ABCD 是菱形，50BCD ?∠=， ∵O 为BD 中点，1

652

DBE ABC ?∠=

∠=． DE BC ⊥，

∴在 Rt BDE ?中，OE BE OD ==，

65OEB OBE ?∴∠=∠=．

906525OED ???∴∠=-=．

故选：C ．【点睛】

本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质，解决这类问题的方法是四边形转化为三角形．

2．B

解析：B 【解析】【分析】

过A 作AH ⊥DC ，由勾股定理求出DH 的长．然后分三种情况进行讨论：即①当点P 在线段AB 上，②当点P 在线段BC 上，③当点P 在线段CD 上，根据三种情况点的位置，可以确定t 的值．【详解】

解：过A 作AH ⊥DC ，∴AH =BC =8cm ，DH =22AD AH - =10064-=6．

i ）当P 在AB 上时，即10

t ≤≤时，如图，1110382022

BPQ

S BP BC t =

?=-?=（），解得：5

t =

；

ii ）当P 在BC 上时，即

＜t ≤6时，BP =3t -10，CQ =16-2t ，113101622022

BPQ

BP CQ t t =

?=-?-=（）（），化简得：3t 2-34t +100=0，△=-44＜0，∴方程无实数解．

iii ）当P 在线段CD 上时，若点P 在线段CD 上，若点P 在Q 的右侧，即6≤t ≤34

，则有PQ =34-5t ，13458202BPQ

t =-?=（），295

t =＜6（舍去）；若点P 在Q 的左侧时，即34

t ≤＜，则有PQ =5t -34，1

5348202

BPQ

S t =-?=（）； t =7.8．

综上所述：满足条件的t 存在，其值分别为15

t =

，t 2=7.8．

故选B ．【点睛】

本题是平行四边形中的动点问题，解决问题时，一定要变动为静，将其转化为常见的几何问题，再进行解答．

3．C

解析：C 【解析】【分析】

由直角三角形的性质可求得DF=BD=1

AB ，由角平分线的定义可证得DE ∥BC ，利用三角形中位线定理可求得DE 的长，则可求得EF 的长．【详解】

解:∵AF ⊥BF ，D 为AB 的中点，

∴DF=DB=

AB=6， ∴∠DBF=∠DFB ， ∵BF 平分∠ABC ， ∴∠DBF=∠CBF ， ∴∠DFB=∠CBF ， ∴DE ∥BC ，

∴DE 为△ABC 的中位线， ∴DE=

BC=10， ∴EF=DE?DF=10?6=4，故选：C. 【点睛】

本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理.根据直角三角形斜边上的中线是斜边是斜边的一半可得△DBF 为等腰三角形，通过角平分线的性质和等角对等边可得DF//BC ，即DE 为△ABC 的中位线，从而计算出DE ，继而求出EF.

4．A

解析：A 【解析】【分析】

根据题意很容易证得△BAE ≌△ADF ，即可得到AF=BE ，利用正方形内角为90°，得出AF ⊥DE,即可判断①，②无法判断，③根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解. ④根据△BAE ≌△ADF ，即可得到S 四边形GEDF ,

ABG S 即可求解.

【详解】

①证明：∵E 在AD 边上(不与A.D 重合),点F 在DC 边上(不与D.C 重合). 又∵点E.F 分别同时从A. D 出发以相同的速度运动， ∴AE =DF ，

∵四边形ABCD 是正方形，

∴,90AB DA BAE D =∠=∠=，在△BAE 和△ADF 中，

90AE DE

BAE ADF AB AD =??

∠=∠=??=

， ∴△BAE ≌△ADF (SAS )， ∴∠1=∠2， ∵2390∠+∠= ∴1390∠+∠= 即90AGB ∠=

90,BGF ∠=

∠BGF 是定值；正确.

②无法判断GBF ∠与CBF ∠的大小， BF 平分∠CBE ；错误. ③当E 运动到AD 中点时，点F 运动到CD 中点，

CF CD a ==

225,BF BC CF a =+=

GH=15,2BF =

=正确. ④△BAE ≌△ADF, 则S 四边形GEDF ,ABG

S =

当C △AGB =

)

62a 时，

6,AG GB a +=

()

22226,AG GB AG AG GB GB a +=+?+=

22224,AG BG AB a +== 222,AG GB a ∴?=

211

,22

ABG

AG GB a =

S 四边形GEDF =12

a 2 ，故S 四边形GEDF =1

6a 2 ，错误.

故选A. 【点睛】

考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.

5．A

解析：A 【解析】【分析】

只要证明BF BC =，可得ABF BFC C 70∠∠∠===，即可得出ABE 35∠=；延长EF 交BC 的延长线于M ，只要证明DEF ≌CMF ，推出EF FM =，可得

EMB BCDE S S

=四边形，BEF

MBE 1S

S 2

=，推出ABE

ABCD 1

S 3

菱形=．【详解】

①∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，∠C=∠A=70°． ∵BA=BF=BC ，∴∠BFC=∠C=70°，∴∠ABF=∠BFC=70°，∴∠ABE 1

=∠ABF=35°，故①正确；

②如图，延长EF 交BC 的延长线于M ，

∵四边形ABCD 是菱形，F 是CD 中点，∴DF=CF ，∠D=∠FCM ，∠EFD=∠MFC ，∴△DEF ≌△CMF ，∴EF=FM ，∴S 四边形BCDE =S △EMB ，S △BEF 12=S △MBE ，∴S △BEF 1

=S 四边形BCDE ，∴S △ABE 1

S 菱形ABCD ．故②正确，故选A ．【点睛】

本题考查了菱形的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

6．B

解析：B 【分析】

由中点的性质可得出//EF CD ，且12

CD BG ，结合平行即可证得②结论成立，由

2BD BC =得出BO BC =，即而得出BE AC ⊥，由中线的性质可知//GP BE ，且

BE ，AO EO =，通过证APG EPG 得出AG EG EF 得出①成立，再证

GPE

FPE 得出④成立，此题得解．

【详解】

解：令GF 和AC 的交点为点P ，如图

E 、

F 分别是OC 、OD 的中点，

//EF CD ∴，且1

EF CD =

，四边形ABCD 为平行四边形，

//AB CD ∴，且AB CD =， //AB EF ∴

FEG

BGE （两直线平行，内错角相等），点G 为AB 的中点，

112

AB CD FE ，

在EFG ?和GBE ?中，

BG FE

FEG BGE GE

， ()EFG

GBE SAS ，即②成立，

EGF

GEB ，FE

BG ，

//GF BE （内错角相等，两直线平行），

2BD BC =，点O 为平行四边形对角线交点，

BD BC ，

E 为OC 中点， BE OC ∴⊥， GP AC ，

APG

EPG

//GP BE ，G 为AB 中点，

P ∴为AE 中点，即AP PE =，且1

BE ，

在APG ?和EGP ?中，

AP EP

APG EPG GP

， ()APG

EPG SAS ，

AB ， EG EF ∴=，即①成立，

//EF BG ，//GF BE ， ∴四边形BGFE 为平行四边形， GF BE ∴=，

BE GF ， GP FP ， GF

AC ，

GPE

FPE

在GPE 和FPE ?中，

GPE FPE EP

EP ， ()GPE

FPE SAS ，

GEP

FEP ，

EA ∴平分GEF ∠，即④成立，综上所述，正确的有①②④，故选：B ．【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、中位线定理以及平行线的性质定理，解题的关键是利用中位线，寻找等量关系，借助于证明全等三角形找到边角相等．

7．A

解析：A 【分析】

连结AE ，可说明四边形ABDE 是平行四边形，即G 是BE 的中点；由有题意的可得O 是BD 的中点，即可判定①；运用菱形和平行四边形的性质寻找判定全等三角形的条件，找出与其全等的三角形即可判定②；证出OG 是△ABD 的中位线，得出OG//AB ，OG=

AB ，得出△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，由相似三角形的性质和面积关系得出S 四边形0DGF =S △ABF .即可判定③；先说明△ABD 是等边三角形,则BD=AB,即可判定④．【详解】

解：如图：连结AE ．

DE CD AB ==，//CD AB ， ∴四边形ABDE 是平行四边形，

G ∴是BE 的中点，

∵O 是BD 的中点

OG DE AB ∴=

=，①正确；有BGA ?，BGD ?，AOD ?，COD ?，COB ?，AOB ?，共6个，②错误； ∵OB=OD ，AG=DG ，

∴OG 是△ABD 的中位线，

∴OG//AB，OG=1

AB ，

∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，

∵△GOD 的面积=1

△ABD 的面积，△ABF 的面积=△OGF 的面积的4倍，AF:OF=2:1，

∴△AFG 的面积=△OGF 的面积的2倍，

又∵△GOD 的面积=△A0G 的面积=△B0G 的面积，

.∴=ABF S S ?四边形ODGF ；不正确；③错误；

60AB AD

BAD =??

∠=??

ABD ∴?是等边三角形．

BD AB ∴=，

ABDE ∴是菱形，④正确．

故答案为A ．【点睛】

本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识；考查知识点较多、难道较大，解题的关键在于对所学知识的灵活应用．

8．B

解析：B 【分析】

连接BD′，过D′作MN ⊥AB ，交AB 于点M ，CD 于点N ，作D′P ⊥BC 交BC 于点P ，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE ．【详解】

如图,连接BD ′,过D ′作MN ⊥AB ,交AB 于点M ,CD 于点N ,作D ′P ⊥BC 交BC 于点P

∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，

∴MD′=PD′，

设MD′=x,则PD′=BM=x，

∴AM=AB?BM=7?x，

又折叠图形可得AD=AD′=5，

∴x2+(7?x)2=25，解得x=3或4，

即MD′=3或4.

在Rt△END′中,设ED′=a，

①当MD′=3时,AM=7?3=4,D′N=5?3=2，EN=4?a，∴a2=22+(4?a)2，

解得a=5

,即DE=

，

②当MD′=4时,AM=7?4=3,D′N=5?4=1，EN=3?a，∴a2=12+(3?a)2，

解得a=5

,即DE=

故选B.

【点睛】

本题考查翻折变换（折叠问题）, 矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理与折叠问题.解决本题的关键是依据题意分别表示Rt△AMD′ 和Rt△END′的三边，利用勾股定理解直角三角形.

9．B

解析：B

【解析】

试题分析：由三角函数易得BE，AE长，根据翻折和对边平行可得△AEC1和△CEC1为等边三角形，那么就得到EC长，相加即可．

解：连接CC1.

在Rt△ABE中,∠BAE=30°,AB3

∴BE=AB×tan30°=1,AE=2,∠AEB1=∠AEB=60°，

∵四边形ABCD是矩形

∴AD∥BC，

∴∠C1AE=∠AEB=60°，

∴△AEC1为等边三角形，

同理△CC1E也为等边三角形，

∴EC=EC1=AE=2，

∴BC=BE+EC=3，

故选B.

10．D

解析：D

【分析】

连接BD，证出△ADE≌△BDF，得到AE=BF，再利用AE=t，CF=2t，则BF=BC-CF=5-2t求出时间t的值．

【详解】

解：连接BD，

∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°，

∴AB=AD，∠ADB=1

∠ADC=60°，

∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD，

又∵△DEF是等边三角形，∴∠EDF=∠DEF=60°，

又∵∠ADB=60°，

∴∠ADE=∠BDF，

在△ADE和△BDF中，

AD BD

A DBC

ADE BDF

∠=∠

?∠=∠

∴△ADE≌△BDF(ASA)，∴AE=BF，

∵AE=t，CF=2t，

∴BF=BC?CF=5?2t，

∴t=5?2t

∴t=5

，

故选：D.

【点睛】

本题考查全等三角形，等边三角形，菱形等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质为解题关键．

二、填空题

11．25

【详解】

由于点B与点D关于AC对称，所以如果连接DE，交AC于点P，那PE+PB的值最小．在Rt△CDE中，由勾股定理先计算出DE的长度，即为PE+PB的最小值．连接DE，交AC于点P，连接BD．

∵点B与点D关于AC对称，

∴DE的长即为PE+PB的最小值，

∵AB=4，E是BC的中点，

∴CE=2，

在Rt△CDE中， DE=25．

考点：(1)、轴对称-最短路线问题；(3)、正方形的性质．

12．2

【解析】

分析：过O点作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，连接CO，如图，易得四边形OECF为矩形，由△AOP为等腰直角三角形得到OA=OP，∠AOP=90°，则可证明△OAE≌△OPF，所以

AE=PF，OE=OF，根据角平分线的性质定理的逆定理得到CO平分∠ACP，从而可判断当P 从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径为一条线段，接着证明

CE=1

（AC+CP），然后分别计算P点在D点和B点时OC的长，从而计算它们的差即可得

到P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长．

详解：过O点作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，连接CO，如图，

∵△AOP为等腰直角三角形，

∴OA=OP，∠AOP=90°，

易得四边形OECF为矩形，

∴∠EOF=90°，CE=CF，

∴∠AOE=∠POF，

∴△OAE≌△OPF，

∴AE=PF，OE=OF，

∴CO平分∠ACP，

∴当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径为一条线段，∵AE=PF，

即AC-CE=CF-CP，

而CE=CF，

∴CE=1

（AC+CP），

∴2

2（AC+CP），

当AC=2，CP=CD=1时，OC=

×（2+1）=

，

当AC=2，CP=CB=5时，OC=

×（2+5）=

，

∴当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长7232

2．

故答案为2

点睛：本题考查了轨迹：灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定轨迹的几何特征，然后进行几何计算．也考查了全等三角形的判定与性质．

13．4:9

【分析】

设DP＝DN＝m，则PN2m，PC＝2m，AD＝CD＝3m，再求出FG=CF=1

BC=

m，分

别求出两个阴影部分的面积即可解决问题．

【详解】

根据图形的特点设DP＝DN＝m，则PN22

m m

2m，