高三数学12月摸底考试试题文

山东省桓台第二中学2017届高三数学12月摸底考试试题 文

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页。满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷以及答题卡和答题纸一并交回。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在试卷、答题卡和答题纸规定的地方。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.

1．设集合{}(){}

1,0,1,2,110M N x g x M N =-=+>?=，则( ) A. {}01， B. {}012，， C. {}1,2 D. {}101-，， 2．已知复数z 满足4312i

z i

+=+，则z=( ) A. 2i +

B. 2i -

C. 12i +

D. 12i -

3．已知平面向量,a b ，1,2,25a b a b ==-=，则向量,a b 的夹角为( ) A.

6

π

B.

3π C. 4

π D.

2

π

4．下列命题中，真命题是( )

A. 2

,2x

x R x ?∈> B. ,0x

x R e ?∈<

C. 若,a b c d >>，则 a c b d ->-

D. 22ac bc <是a b <的充分不必要条件

5．已知实数,x y 满足401010x y y x +-≤??

-≥??-≥?

，则22(1)z x y =-+的最大值是( )

A ．1

B ．9

C ．2

D ．11 6．将函数sin 26y x π??

=- ??

?

图象向左平移

4

π

个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是( )

A. 12

x π

=-

B. 12

x π

=

C. 6

x π

=

D. 3

x π

=

7．执行如图所示的程序框图，输出的i 为( ) A.4

B.5

C.6

D.7

8．已知函数()()2

,14x

f x ax e f '=--=-，则函数()y f x =的零点所 在的区间是( )

1

-11-1y

o

x

A. ()3,2--

B. ()1,0-

C. ()0,1

D. ()4,5 9．若函数)(log )(b x x f a +=的大致图像如右图， 其中b a ,为常数，则函数b a x g x

+=)(的大致图 象是( )

A B C D

10．设函数()()()2log ,0112f x x a b f b f a a b =<<<=++若且，则的取值范围为( ) A. [)4,+∞

B. ()4,+∞

C. [)5,+∞

D. ()5,+∞

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题:本大题共5小题， 每小题5分，共25分. 11．设函数3(1)()3

(1)

x x b

x f x x -

≥?，若1(())92

f f =，则实数b 的值为______

12. 设θ为第二象限角，若1

tan()3

2

θπ+=

，则sin 3cos θθ+=______ 13．已知等比数列{a n }的前6项和S 6＝21，且4a 1、3

2

a 2、a 2成等差数列， 则a n =______

14．已知球的直径4PC =，,A B 在球面上，2AB =，45CPA CPB ∠=∠=?， 则棱锥P ABC - 的体积为______

15．已知函数()31

,1

,1x f x x x x ?≥?=??

，若关于x 的方程()f x x m =+有两个不同的实根，则m 的取值范

围为______

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16．（本小题满分12分）

已知向量(1,cos 2),(sin 2,3)a x b x ==-，函数()f x a b =?． （1）若26

235

f θπ

??+=

???，求cos2θ的值； （2）若0,

2x π??

∈????

，求函数()f x 的值域． 17．（本小题满分12分）

为增强市民的环保意识，面向全市征召宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示．

（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取 6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组 各抽取多少名志愿者？

（2）在（Ⅰ）的条件下，决定在这6名志愿者中 随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有 一名志愿者被抽中的概率． 18．（本小题满分12分）

已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()(2)e 2x f x x -=+- （1） 当x ＞0时，求()f x 的解析式；

（2）若[02]x ∈，时，方程()f x m =有实数根，求实数m 的取值范围． 19．（本小题满分12分）

在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧面SAD 为边长为2的正三角形，且面SAD ⊥面ABCD ，AB=2，E 、 F 分别为AD 、SC 的中点；

（1）求证：BD ⊥SC ； （2）求四面体EFCB 的体积. 20．（本小题满分13分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n S +=-（*n ∈N ）. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 21．（本小题满分14分）

设函数2()ln f x x ax ax =-+，a 为正实数．

（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）求证：1

()0f a

≤；

（3）若函数()f x 有且只有1个零点，求a 的值．

年龄 频率/组距

35 45 0．01 0．02 0．03 0．04 0．05 0．06 0．07

O

S

A

B

C

D

E

F

高三数学文科考试试题

参考答案

一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 二、填空题:

本大题共5小题， 每小题5分，共25分

11. 12

- 12. 255- 13. 321-n 14. 334

15. 39

2

3920-<<

（1）∵向量(1,cos 2),(sin 2,3)a x b x ==-， ∴()sin 23cos 22sin(2)3

f x a b x x x π

=?=-=-，

∴246(

)2sin()2sin 2

3335f ππθθ

πθ+

=+-=-=， 则3sin 5θ=-，2cos 212sin θθ=-97

122525=-?=； （2）由[0,

]2

x π∈，则22[,]3

33

x π

ππ

-∈-

，

∴3

sin(2)[,1]3

x π

-

∈-

， 则()[3,2]f x ∈-．则()f x 的值域为[3,2]-． 17．解：

（1）第3组的人数为0.3×100=30, 第4组的人数为0.2×100=20,

第5组的人数为0.1×100=10.

因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为: 第3组:

3060×6=3； 第4组:2060×6=2； 第5组:10

60

×6=1； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C

B

C

D

B

B

C

B

B

D

即应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人.

（2）记第3组的3名志愿者为1A ,2A ,3A ,第4组的2名志愿者为1B ,2B ,第5组的1名志愿者为1C .则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:

( 1A ,2A ), (1A ,3A ),( 1A ,1B ),( 1A ,2B ),( 1A ,1C ), ( 2A ,3A ),( 2A 1B ),( 2A ,2B ), ( 2A ,1C ), ( 3A ,1B ), 3A ,2B ), (3A ,1C ),

( 1B ,2B ),( 1B ,1C ),( 2B ,1C ),共有15种.

其中第4组的2名志愿者1B ,2B 至少有一名志愿者被抽中的有:

( 1A ,1B ),( 1A ,2B ),( 2A 1B ),( 2A ,2B ), ( 3A ,1B ), (3A ,2B ),( 1B ,2B ), ( 1B ,1C ),( 2B ,1C ),共有9种, 所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为93

155

= 18．解：

(1) 当x ≤0时，()(2)e 2x f x x -=+-，

当x ＞0时，则－x ＜0时，()(2)e 2x f x x -=-+-， 由于()f x 奇函数，则()()[(2)e 2]x f x f x x =--=--+-， 故当x ＞0时，()(2)e 2x f x x =-+． (2) 当0x =时， (0)0f =．

当02x <≤时，()(2)e 2x f x x =-+，()(1)e x f x x '=-，由()0f x '=，得1x =，

当01x <<时，()0f x '<，当12x <<时，()0f x '>，则()f x 在(0,1)上单调递减；在(1,2) 上单调递增．则()f x 在1x =处取得极小值(1)2e f =-， 又(0)0f =，(2)2f =，故当02x <≤时，()[2e 2]f x ∈-，． 综上，当[02]x ∈，时，()[2e 2]f x ∈-，， 所以实数m 的取值范围是[2e 2]-，． 19．解：

（1）证明：连接BD ，设BD ∩CE=O 易证：△CDE ∽△BCD ∴∠DBC=∠ECD ∵∠DBC+∠BDC=90 ∴∠ECD +∠BDC=90∴∠COD=90∴BD ⊥CE

∵△SAD 为正三角形，E 为AD 中点∴SE ⊥AD 又∵面SAD ⊥面ABCD ，且面SAD ∩面ABCD=AD ∴SE ⊥面ABCD ∵BD 面ABCD ∴SE ⊥BD

∵BD ⊥CE ，SE ⊥BD ，CE ∩SE=E ，∴BD ⊥面SEC SC 面SEC ∴BD ⊥SC （2）∵F 为SC 中点 ∴V F-EBD =1

2

V S-EBC

连接SE ，面SAD ⊥面ABCD ∵△SAD 为正三角形∴SE ⊥AD 又∵面SAD ⊥面ABCD ∴SE ⊥面ABCD SE= 3 S △EBC =1

2

×2×2= 2

∴V F-EBD =12V S-EBD =12×13×2×3=6

6

20．解：

(1)由122n n S +=-， 当1n =时，21222a =-=， 当2n ≥，122n n S -=-，

则1122(22)2n n n n n n a S S +-=-=---=，当n=1时，12a =满足上式，所以2n n a =． (2) 由(Ⅰ)，2n n n b na n ==?． 则1212222n n T n =?+?+

+?，

所以231212222n n T n +=?+?++?，

则2

1

2222

n

n n T n +-=++

+-?12(12)

212

n n n +-=-?-1(1)22n n +=--．

所以1(1)22n n T n +=-+． 21．解：

（1）当2a =时，2()ln 22f x x x x =-+，则1

'()42f x x x

=

-+， 所以'(1)1f =-，又(1)0f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=． （2）因为111()ln

1f a a a =-+，设函数()ln 1g x x x =-+，则11'()1x

g x x x

-=-=

， 令'()0g x =，得1x =，列表如下：

极大

值

所以()g x 的极大值为(1)0g =．所以111

()ln

10f a a a

=-+≤． （3）2121

'()2ax ax f x ax a x x

--=-+=-，0x >，

令'()0f x >，得228844a a a a a a x a a -+++<<，因为

2804a a a

a -+<， 所以()f x 在28(0,

)4a a a a ++上单调增，在28(,)4a a a

a

+++∞上单调减． 所以28()(

)4a a a

f x f a

++≤． 设2084a a a

x a

++=，因为函数()f x 只有1个零点，而(1)0f =，

所以1是函数()f x 的唯一零点．

当01x =时，()(1)0f x f =≤，()f x 有且只有1个零点，

此时

281a a a

++=，解得1a =． 下证，当01x ≠时，()f x 的零点不唯一．

若01x >，则0()(1)0f x f >=，此时

281a a a ++>，即01a <<，则1

1a

>． 由（2）知，1

()0f a <，又函数()f x 在以0x 和1

a

为端点的闭区间上的图象不间断， 所以在0x 和

1

a

之间存在()f x 的零点，则()f x 共有2个零点，不符合题意； 若01x <，则0()(1)0f x f >=，此时

2814a a a a ++<，即1a >，则1

01a

<<． 同理可得，在

1

a

和0x 之间存在()f x 的零点，则()f x 共有2个零点，不符合题意． 因此01x =，所以a 的值为1．