高中数学必修二：《解析几何初步》全章复习与巩固-基础
必修二：《解析几何初步》全章复习与巩固
【学习目标】
1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，能根据两条直线的斜率判定 这两条直线平行或垂直；
2. 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式） ， 式与一次函数的关系；
3. 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；
4. 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；
5. 掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程；
6. 掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；
7. 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系 . 【知识网络】
【要点梳理】 要点一：直线方程的几种形式
（1）直线方程的几种表示形式中，除一般式外都有其适用范围，任何一种表示形式都有其优越性， 需要根据条件灵活选用．
（ 2）在求解与直线方程有关的问题中， 忽视对斜率不存在时的直线方程的讨论是常见的错误， 别警惕．
（3）确定直线方程需要且只需两个独立条件，利用待定系数法求直线方程是常用方法． 常用的直线方程有：
① y y 0 k （x x 0） ； ② y kx b ；
22
了解斜截
应特
③ Ax By C 0（A2 B2 0）；
④ (A1x B1y C1) (A2x B2y C2) 0 (λ为参数)
要点二：两条直线的位置关系
1．特殊情况下的两直线平行与垂直．
( 1)当两条直线的斜率都不存在时，两直线的倾斜角都为 900
，互相平行；
( 2)当一条直线的斜率不存在(倾斜角为 900 )，另一条直线的倾斜角为 00
时，两直线互相垂
直。 2．斜率都存在时两直线的平行：
(1
)已知直线
l 1 : y k 1x b 1和 l 2 : y k 2x b 2 ，则 l 1 // l 2
k 1=k 2 且 b 1 b 2
2）已知直线
l 1： A 1x B 1y C 1 0和 l 2 ： A 2x B 2 y C 2 0 （ A 1B 1C 1 0, A 2B 2C 2 0） ，则
定。
3．斜率都存在时两直线的垂直：
1）已知直线
l 1 : y k 1x b 1 和 l 2 : y k 2x b 2 ，则 l 1 l 2 k 1k 2 1；
2）已知直线 l 1： A 1x B 1y C 1 0和 l 2 ： A 2x B 2 y C 2 0 ，则
l 1 l 2 A 1 A 2 B 1 B 2 0 ．
要点三：点到直线的距离公式 1．点到直线距离公式：
点 P(x 0, y 0) 到直线 l : Ax By C 0的距离为：
Ax 0 By 0 C d
A 2
B 2
2．两平行线间的距离公式
已知两条平行直线 l 1 和 l 2 的一般式方程为 l 1： Ax By C 1 0， l 2 ： Ax By C 2 0，则 l 1与
要点诠对于一般式方程表示的直线的位置的判定，可以先将方程转化为斜截
l
1∥ l
2
A
1 A
2
B 1
C 1
B
2
C
2
l 2 的距离为 d C 1 C 2
A 2
B 2
要点诠一般在其中一条直线l1上随意地取一点 M ，再求出点 M 到另一条直线l2 要点四：对称问题
1．点关于点成中心对称
点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线
因此中心对称的问题是线段中点段的中点，坐标公式的应用问题。
设P(x0,y0) ，对称中心为A(a,b) ，则 P关于 A的对称点为P (2a x0,2b
y0 ) 。 2．点关于直线成轴对称
y 。
特殊地，点
P(x 0,y 0) 关于直线 x a 的对称点为 P (2a x 0,y 0) ；点 P(x 0,y 0)关于直线 y b 的对
称点为 P (x 0,2b y 0) 。
3．两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： (1)点 (x,y) 关于 x 轴的对称点为 (x, y) ； (2)点 (x,y)关于 y 轴的对称点为 ( x,y)； (3)点 ( x, y)关于原点的对称点为 ( x, y) ； (4)点 (x,y)关于直线 x y 0的对称点为 (y,x)； (5)点 (x,y)关于直线 x y 0的对称点为 ( y, x) 。
要点五：圆的方程 求圆的方程通常果用待定系数法， 若条件涉及圆心、 半径等， 可设成圆的标准方程； 若条件涉及圆 过一些定点，则可设成圆的一般方程．运用圆的几何性质可以使运算
简便．
1．圆的标准方程
(x a)2
(y b)2
r 2
，其中 a ，b 为圆心， r 为半径 .
要点诠释：( 1)如果圆心在坐标原点，这时 a 0，b 0 ，圆的方程就是 x 2
y 2
r 2
. 有关图
形特
征与方程的转化：如：圆心在 x 轴上： b=0；圆与 y 轴相切时： |a| r ；圆与 x 轴相切时：
|b| r ；与 坐标轴相切时： |a| |b| r ；过原点： a 2 b 2 r 2 .
(2)圆的标准方程 (x a)2
(y b)2
r 2
圆心为 a ，b ，半径为 r ，它显现了圆的几何特点 .
(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径 . 由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需
要 a 、 b 、 r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法 .
2．圆的一般方程
由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线” 。利用“垂直” “平分”这两个条件建 立方程组，就可求出对称点的坐标，一般情形如下：
设点 P(x 0,y 0)关于直线 y kx b 的对称点为 P (x ,y )，则有 y y 0
k 1
x x 0
，求出 x 、
y y 0 k x 0 x
b
2
当D2 E2 4F 0时，方程x2 y2 Dx Ey F 0 叫做圆的一般方程 . D, E为圆心，
22
1
D 2
E 2
4F 为半径 . 2
2 2
D E D E （1）当 D 2 E 2
4F 0时，方程只有实数解 x ,y .它表示一个点
（ ,
） .
2 2 2 2
22 （2）当 D 2 E 2
4F 0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
（3）当 D 2
E 2
4F 0时，可以看出方程表示以 D
, E
为圆心， 1
D 2
E 2
4F 为半
2 2 2
径的圆 .
要点六：点和圆的位置关系
如果圆的标准方程为 （x a ）2 （y b ）2 r 2
，圆心为 C a ，b ，半径为 r ，则有
2
2
2
（1）若点 M x 0，y 0在圆上 |CM | r x 0 a
y 0 b r 2
2
2
2
（2）若点 M x 0，y 0在圆外 |CM | r x 0 a
y 0
b r 2
2
2
2
（3）若点 M x 0，y 0在圆内 |CM | r
x 0 a y 0 b r 2
要点七：直线与圆的位置关系 1. 直线与圆的位置关系：
（ 1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （ 3）直线与圆相离，没有公共点 . 2. 直线与圆的位置关系的判定方法： （1）代数法：
判断直线 l 与圆 C 的方程组成的方程组是否有解 如果有解，直线 l 与圆 C 有公共点； 有两组实数解时，直线 l 与圆 C 相交； 有一组实数解时，直线 l 与圆 C 相切； 无实数解时，直线 l 与圆 C 相离 . （2）几何法：
设直线 l :Ax By C 0(A 2 B 2 0) ，圆C :(x a) 2 (y b) 2r (r 2
0) 线 l 的距离记为 d |Aa Bb C |
，则 : A 2 B
2
当 d r 时，直线 l 与圆 C 相交； 当 d r 时，直线 l 与圆 C 相切； 当 d r 时，直线 l 与圆 C 相离 .
要点诠释：
（1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径；求切线长，一般 要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得 .
（2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是 通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理 .
（ 3）当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来
要点诠释： 由方程 x
2 2 y 2
Dx Ey F 0 得 x D
y
E 2
22
D 2
E 2 4
F ，圆心 C （a,b ） 到直
解决.
要点八：圆与圆的位置关系
1. 圆与圆的位置关系：
（ 1）圆与圆相交，有两个公共点；
（ 2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点；
（ 3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点 .
2. 圆与圆的位置关系的判定：
（1）代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解 .
有两组不同的实数解时，两圆相交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离 .
（2）几何法：
2 2 2 2 2
圆C1:（x a1）2（y b1）2r12与圆C2 : （x 2a2）（y 22 r两圆圆心距
b ），
2
d （a2 a1）2（b2 b1）2，则：
当r1 r2 d r1 r2 时，两圆相交；
当r1 r2 d 时，两圆外切；
当r1 r2 d 时，两圆外离；
当r1 r2 d 时，两圆内切；
当r1 r2 d 时，两圆内含 .
要点诠释：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小 . 也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定 . 因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法 .
要点九：求圆的切线方程的常用方法：（1）直接法：应用常见结论，直接写出切线方程；（2）待定系数法：设出切点坐标或切线斜率，由题意列出方程（组）解得切点坐标或切线斜率，写出点斜式，最后将点斜式化为一般式；
（ 3）定义法：根据直线方程的定义求出切线方程.
常见圆的切线方程：
①过圆x2 y2 r2上一点P x0,y0 的切线方程是x0x y0y r 2；
22
②过圆 x a y b r 2
上一点 P x 0 ,y 0 的切线方程是：
2
x 0 a x a y 0 b y b r .
要点十：空间直角坐标系 空间直角坐标系中坐标的求法： 过该点作两条轴所确定平面的平行平面交另一轴于一点， 交点在这 条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标． 确定简单几何体的顶点坐标是今后正确运用坐标法解题的关 键，必须要熟练且正确地掌握空间直角坐标系的建立与中点坐标的确定方法． 【典型例题】
类型一：直线方程的综合问题
例 1．已知 A （- m- 3，2），B （- 2m- 4，4），C （- m ，m ）， D （3，3m+2），若直线 AB ⊥CD ，求 m 的 值．
【思路点拨】两直线垂直
k 1k 2 1的前提条件是 k 1、 k 2 均存在且不为零，这类问题应分
斜率
存在和不存在两种情况讨论．
【答案】 1 或-1
【解析】∵ A 、B 两点纵坐标不相等， ∴ AB 与 x 轴不平行． ∵ AB ⊥CD ，
∴ CD 与 x 轴不垂直， -m ≠ 3，m ≠ - 3． ①当 AB 与 x 轴垂直时，
-m- 3＝ - 2m- 4，解得 m ＝-1．
而 m ＝- 1 时， C 、D 纵坐标均为 -1，
∴ CD ∥ x 轴，此时 AB ⊥CD ，满足题意。 ②当 AB 与 x 轴不垂直时，由斜率公式
4 2 2
k AB
，
2m 4 （ m 3） （m 1）
AB ⊥ CD，∴ k
A B k
C D 1
，
即
(m
2
1)
2(m
m
31)
1，解得 m ＝1．
综上， m 的值为 1 或 - 1． 举一反三：
变式 1】已知 l 1：3x 2ay 5 0,l 2 :(3a 1)x ay 2 0，求使 l 1//l 2的 a 的值。
1
答案】 0 或 1
6
解析】
3m 2 m 2(m 1) 3 ( m) m 3
解法一：当直线斜率不存在，即 a 0时，有 l 1:3x 5 0,l 2: x 2 0，符合 l 1//l 2；
3a 1 1 直线斜率存在时， l 1//l 2 3 3a 1 a 1
。
1 2
2a a 6
1
故使
l 1//l 2的a 的值为 0或 。 1 2
6 11 解法二：由l 1 // l 2
3 ( a) (3a 1) 2a 0,解得 a 0
或
，故使l 1//l 2的a 的值为 0或 。
66
例 2．过点 M （0,1）作直线 l ，使其夹在两直线 l 1:x 3y 10 0，和l 1:2x y 8 0 之间的线段 被 M 平分，求直线 l 的方程。
【思路点拨】求直线方程需两个条件，现已知 l 过 M （0,1） ，需再求出 l 上的一个点或
l 的斜率。
【解析】方法一：设 l 1 l P 1, l 2 l P 2 , l 1 l 2 P . 过 M 作 MQ//l 1 交 l 2于 Q 点，则 Q 为 PP 2中点， 由
x 3y 10 0
解得 x 2
，∴点 P 坐标为（ 2，4），
2x y 8 0 y 4
1
又 MQ 的方程为： y-1= （ x-0 ），即 x-3y+3=0,
3
∴ 由 x 3y 3 0 得 x 3 ，∴ Q 点坐标为（ 3，2）。 2x y 8 0 y
2
由中点坐标公式可得 P 2坐标为（ 4， 0），
x
∴ 由两点式可得直线 l 的方程为： y 1即 x+4y-4=0 。
4
方法二：由图示可得 l 的斜率存在，故设 l 的方程为 y=kx+1 ， 由 x 3y 10 0
得P 1点坐标为（
7 ，10k 1），
y kx 1 3k 1 3k 1
由
2x y 8 0
可解得 P 2点坐标为（ 7
， 8k 2
）， y kx 1 k 2 k 2 7 7 1 ∵M（0，1）是 P 1P 2 的中点，∴ 7 + 7
=0，解之得 k=- 1
， 3k 1 k 2 4
1
∴ 直线 l 的方程为： y x 1 ，即 x+4y-4=0.
4
方法三：设 P 1坐标为（ m, n ），由 M （0，1）为 P 1P 2中点，∴ P 2点坐标为（ -m,2-n ）， ∵P 1∈ l 1, P 2∈ l 2. ∴有 m-3n+10=0, 2m+n+6=0.
由
m 3n 10 0，解得
m 4，
2m n 6 0 n 2
由两点式可得 l 方程： y 2 x 4
即 x+4y-4=0 。
1 2 0 4 【总结升华】两个条件确定直线，求直线方程可用直接法也可用待定系数法。熟练运用中点坐标公 式，灵活运用直线方程形式，对简化解题过程是十分必要
的。
举一反三：
1
【变
式 1】直线l 与直线 x=1相交于 P 点，与直线 9x+3y-1=0 相交于 Q 点，并且线段 PQ 的中点为（ 1
,
3
3），那么直线l 的斜率是（）
2 5 2 5
（A）（ B）（C）- （D）-
5 2 5 2
答案】 B
1 解析】设 P（ 1，y1），由 P，Q中点为（，3），
3
1 1 4
故 Q点横坐标为 - ，代入 9x+3y-1=0 中得 Q（ - ，），
3 3 3
14 5 所以得 P（ 1，14），∴ tan =5.
32
例 3．求直线x y 2 0 ①关于直线3x y 3 0 ②对称的直线方程．【思路点拨】求出交
点坐标，转化为求点关于直线的对称点的问题．
【答案】 7x+y+22 ＝0
【解析】由①②得交点P 5，9，取直线①上点 A（0，-2）．设 A 关于直线②的对称点为
22
A0（x0，y0），
y0 2 3 1，
x 3，
则有x
解得
x
3，3
x0 y0 2
3 0，
y
1.
22
故所求直线过点5, 9，（ 3, 1），所求直线方程为 7x+y+22 ＝ 0．
22
【总结升华】本题利用转化思想，将对称直线问题转化成对称点问题，在中学数学中，转化与化归是最基本、最重要的思想方法之一，它无处不在．
举一反三：
【变式 1】（2015 年宁夏固原模拟）光线从点A（ 2 , 3）射到 x轴上的 B点后，被x 轴反射，这
时反射光线恰好过点
C
（2 ,
3），则
光线
BC 所在直线的倾斜角为
（
）
2 5
A ．C．D．
6 3 3 6
【答案】 B
【解析】点 A关于 x轴的对称点为A （ 2 , 3），A 在直线 BC 上，
∴ 直线 BC 的斜率是k BC 2 3 （ 3） 3 33；
BC1 （ 2） 3
∴ 直线 BC 的倾斜角是．
3
故选： B ．
类型二：圆的方程的综合问题
例 4．已知直线 mx+2ny－4=0（m，n∈R），将圆x2 y2 4x 2y 4 0 分成两段相等的弧，求m+n 的值．
【答案】 2
【解析】由直线将圆分成等弧可得直线过圆心，将圆心坐标（2，1）代入直线mx+2ny－4=0，可得 2m+2n=4 ，解得： m+n=2．
举一反三：
2 2 1 3
【变式 1】直线l 被圆 C: x2 y2 2y 0所截得的弦的中点是M（ , ），求直线l 的方程。
22
【答案】：x y 2 0
【变式 2】已知直线l ：2mx y 8m 3 0 和圆C ：x2 y2 6x 12y 20 0.
（1）m R时，证明l 与C总相交。
（2）m取何值时，l 被C截得弦长最短，求此弦长。
【答案】（ 1）将直线l整理成点斜式方程y 3 2m（x 4），则直线l 过定点A（4, 3），斜率为k 2m.
将圆整理为标准方程（x 3）2（y 6）2 25 ，则圆心C（3, 6），半径r 5.
∵ |AC| （4 3）2（ 3 6）210 5.
∴点A（4, 3）在圆C内，故m R时，l与C总相交。
（2）由k AC 3，当l 与C垂直时，l被C截得弦长最短，
11
∴当k 2m 即m 时，弦长最短，
36
设弦端点为P、Q，则|PQ| 2 r2|AC|22 15 ，即最短弦长为2 15。类型三：直线与圆的方程的综合问题
例 5．已知⊙ C：（x 1）2（y 2）2 2，点 P（ 2， - 1），过点 P作⊙C 的切线，切点为A、B．
（ 1）求切线 PA、PB 的方程；
（2）求线段 PA 的长；
（ 3）求过 A、B 两点的直线方程；
（ 4）求弦 AB 的长．【思路点拨】用切线的几何特征、平面几何知识解题．
22
【解析】（1）∵ （2-1）2+（- 1- 2）2＝10>2，
∴ 点 P（2， -1）在⊙ C 外．由题意知过点 P 的切线的斜率存在．设所求圆的切线方程为 y+1＝k（x-2），
即 kx y 2k 1 0 ．
由圆心 C （ 1，2）到切线的距离为半径 2 ，
得
| k 3|
2
，解得 k ＝7或 k ＝-1．
得
1 k
2
故所求切线方程为7x y 15 0或x y 1 0．
（2）在 Rt△APC 中，| PA| 2＝| PC|2－| AC| 2＝8，
∴ | PA | 2 2．
（3）以 P 为圆心， |AP| 的长为半径的圆的方程为（x 2）2（y 1）2 8，线段 AB 为⊙C 与⊙P 的公共弦，由圆系方程知，公共弦 AB 所在的直线方程为x 3y 3 0 ．4）圆心 C 到弦 AB 的距离为d|1 6 3|
12
3
2
【总结升华】用圆系方程求解过 A、B 两点的直
线方程的方法值得重视．
举一反三：
【变式 1】（ 2016 湖南衡阳模拟）已知曲线 C：x2+y2+2x+4y+m=0．
（1）当 m 为何值时，曲线 C 表示圆？
（ 2）若直线 l：y=x―m 与圆 C 相切，求 m 的值．
【思路点拨】（ 1）把已知方程配方，由 5―m>0 求得 m的取值范围；
（2）利用圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得m值．
【答案】（1） m< 5；（ 2）m=±3
【解析】（ 1）由 C：x2+y2+2x+4y+m=0，
得（ x+1）2+（y+2）2=5― m，
由 5―m> 0，得 m<5．
∴当 m<5时，曲线 C 表示圆；
（2）圆 C的圆心坐标为（― 1，―2），半径为5 m ．
∵直线 l：y=x－m与圆 C 相切，
| 1 1 ( 1) ( 2) m|
5m
解得： m=±3，满足 m< 5．
∴ m=± 3．类型四：空间直角坐标系
例 6．在直三棱柱 ABC - A1B1C1中，△ ABC 是等腰直角三角形，且 AB ＝AC ＝ a， AA 1＝2a，E、F 分别是 CC1、A1B1的中点，建立适当的坐标系，写出 E、 F的坐标，并求 EF 的长度．
思路点拨】充分利用直三棱柱 ABC- A 1B1C1中的垂直关系，建立空间直角坐标系．3
答案】3 a
2
a 解析】以 A
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E( 0， a， a)，F ，0，
2a ，
2
2
a 2 2 3
0 (a 0) ( a 2a) a ．
22
【总结升华】正确建立坐标系是用坐标法解几何问题的关键．
举一反三：
【变式 1】空间直角坐标系中，在平面xoy内的直线x y 1上确定一点 M ，使它到点 N(6，
5，1)
的距离最小，求出最小值。
【思路点拨】注意在平面xoy内的直线x y 1 上的点的特点。
【解析】设点M(x,1 x,0) ，则|MN | (x 6)2(1 x 5)2(0 1)22(x 1)251，
当x 1时，|MN |min 51，此时，点 M(1，0，0)。
【巩固练习】
1．经过点 P （ 2， -1），且在 y 轴上的截距等于它在 x 轴上的截距的 2倍的直线 l 的方程是（ ）
A ． 2x+y ＝2
B ．2x+y ＝4
C ．2x+y ＝3
D ．2x+y ＝3或 x+2y ＝ 0
2．已知 A （ 3， 2）和 B （ -1， 4）两点到直线 mx+y+3 ＝0的距离相等，则 m 的值为（ ）
1
1
1 1
1
A ．0 或
B ． 或-6
C ．
或
D ．0或
2 2
2 2 2
3．直线 l 的方程为 Ax+By+C ＝0，若l 过原点和第二、四象限，则有（ ）
A ．C ＝0且 B>0
B ．
C ＝0且 B>0，A>0 C ．C ＝0且 A ·B<0
D ．C ＝0且A ·B>0
4．经过圆 x 2
（y 1）2
1 的圆心 C ，且与直线 2x+3y －4=0 平行的直线方程为（ ）
A ．2x+3y+3=0
B ．2x+3y －3=0
C ．2x+3y+2=0
D ． 3x －2y －2=0
5．若圆心在 x 轴上、半径为 5 的圆 C 位于 y 轴左侧，且与直线 x+2y ＝ 0相切，则圆 C 的方程是（ ）
22
ax+y ― 1=0与圆 C ：（x ―1）2
+（y+a ）2
=1相交于 A ，B 两点，且
△ ABC 为等 ） C ．1 或― 1 D ．1
2 2 2 2
7．圆 x 2
y 2
4x 6y 0和圆 x 2
y 2
6x 0交于 A ，B 两点，则线段 AB 的垂直平分线的方程是
（）
A ． x+y+3 ＝0
B ． 2x-y-5 ＝ 0
C ．3x-y-9 ＝0
D ． x-3y+7 ＝ 0
8．由直线 y ＝x+1 上的一点向圆（ x-3）2+y 2
＝1 引切线，则切线长的最小值为（ ）
A ．1
B ． 2 2
C ． 7
D ． 3
22
9．（ 2015 秋 江苏如皋市期中）已知圆 x 2 y 2
4 上存在两点到点（ m ， m ）（ m> 0）的距离为 1，则实 数 m 的取值范围为 ．
10． 过点 P （ 2， 1）且与圆 x 2＋y 2
－2x ＋2y ＋1＝0 相切的直线的方程为 ． 11． 若直线 x ＝1 与直线 a 2
x y 1 0 垂直，则 a ＝ _______ ．
3
12． 若圆 x
2＋y 2＝4 与圆 x 2＋y 2
＋4x －4y ＋4＝ 0关于直线 l 对称，则直线 l 的方程是 ____ ． 13．（2016 湖北随州期末）设直线 l 的方程为 （a+1）x+y+2－ a=0（ a ∈R ）． （1）若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程； （2）若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围．
B ． (x 5)2 y 2
5
22
C ． (x 5)2
y 2
5 22
D ． (x 5)2 y 2
5
6．（ 2016 兰州模拟）已
知直线
腰三角形，则实数 a 的值
为（
1
14．（2015 年云南一模）已知圆 C的圆心在直线l1:x y 1 0上，与直线l2 :4x 3y 14 0相切，
且截得直线l3:3x 4y 10 0 所得弦长为 6，求圆 C的方程．
22
15．已知方程 x2＋y2－2x－4y＋ m＝ 0．
（1） 若此方程表示圆，求 m 的取值范围；
（2）若（ 1）中的圆与直线 x ＋2y －4＝0相交于 M 、N 两点，且 OM ⊥ON （O 为坐标原点） ，求 m ； （3）在（ 2）的条件下，求以 MN 为直径的圆的方程．
16． 已知圆 C ：x 2＋y 2
－2x ＋4y －4＝ 0．是否存在斜率是 1 的直线 l ，使 l 被圆 C 截得的弦 AB ，且以 AB 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由． 【答案与解析】 1．【答案】 D
【解析】当直线不过原点时，设直线方程为 x y 1，将 P 点代入可得 a 3
，即直线方程为 2x+y
a 2a 2
＝3；当直线过原点时直线方程为 x+2y ＝0． 2．【答案】 B
4 2 1 【解析】若 A 、B 在直线同侧，则有 m ，解得 m ；若 A 、B 在直线异侧，可求得其中点 1 3
2
（1， 3），代入直线方程得 m+3+3 ＝0，得 m ＝ -6． 3．【答案】 D
A
【解析】由直线过原点，知 C ＝0，过第二、四象限知 0，即 A ·B>0．
B
4．【答案】 A
【解析】设所求直线的方程为 2x+3y+c=0，把圆心 C （0，－ 1）代入， 可得 0－ 3+c=0 ，解得 c=3，
故所求的直线的方程为 2x+3y+3=0， 故选： A ． 5．【答案】 D
∴a ± 1， 故选 C ． 7．【答案】 C
【解析】 公共弦的垂直平分线为两圆的连心线， 两圆心分别为 （ 2，-3），（ 3，0），可得直线方程为 3x-y-9 ＝0． 8．【答案】 C 【 解 析 】 设 满 足 条 件 的 点 为 （ a ， a+1 ） ， 则 切 线 长
解析】设圆心为 a ，0）（a<0）．因为直线 x+2y ＝0 与圆相切，所以
|a 2 0| 12 22 5，即
5
5 ，
解得 a 5．所以圆 C 的方程为 （x 5）2 y 2
5 ．
6．【答案】 C
【解析】由题意可得△ ABC 是等腰直角三角形，∴圆心 C
1，― a ）到直线 ax+y ― 1=0 的距离等于 r sin45 2
，
2
再利用点到直线的距离公式可得
12
l （a 3）2（a 1）21 2a24a 9 2（a 1）27，当 a＝1时，l
min 7．
9．【答案】2a 3 2 22
【解析】由题意得，点（ m， m）到圆心（ 0， 0）的距离大于 1 小于 3，即1 m2m23 ，
2 3 2 ∴a，
2 2
故答案
为： 2 3 2 a．
22
10．【答案】x＝ 2 或 3x－4y－2＝0
解析】圆的标准方程为（ x－1）2＋（ y＋1）2＝1，当切线斜率不存在时，率存在时，可设直线方程为 y－1＝ k（ x－ 2），利用圆心到直线的距离等于半径，
3
＝1，得 k＝，∴ 切线方程为 3x－ 4y－ 2＝0．
4
11．【答案】2
3
2
【解析】 x＝1 斜率不存在，若要垂直，则 a x+y+1＝0 的斜率为 0．
3
12．【答案】 x－ y+2＝0
【解析】由已知得两圆的圆心坐标分别为（0，0）和（－ 2，2）．所以直线 l
1）．所以直线 l 的方程是 y－ 1＝ x＋ 1，即 x－ y+2＝ 0．
13．【答案】（1）3x+y=0 或 x+y+2=0；（2）（―∞，－ 1] ．
a2
【解析】（ 1）令 x=0，得 y= a－ 2．令 y=0，得x （a≠－ 1）．
a1 a2
∵ l 在两坐标轴上的截距相等，∴ a 2 ，得 a=2 或 a=0．
a1
∴所求的直线 l 方程为 3x+y=0 或 x+y+2=0 ．
5