人教版数学九年级上册 圆 几何综合(提升篇)(Word版 含解析)
人教版数学九年级上册圆几何综合（提升篇）（Word版含解
析）
一、初三数学圆易错题压轴题（难）
1．在圆O中，C是弦AB上的一点，联结OC 并延长，交劣弧AB于点D，联结AO、BO、AD、BD．已知圆O的半径长为5，弦AB的长为8．
（1）如图1，当点D是弧AB的中点时，求CD的长；
（2）如图2，设AC=x，ACO
OBD
S
S=y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）若四边形AOBD是梯形，求AD的长．
【答案】（1）2；（2）y=
2825
5(8)
x x x
x
-+
-
（0＜x＜8）;（3）AD=
14
5
或6．
【解析】
【分析】
(1)根据垂径定理和勾股定理可求出OC的长.
(2)分别作OH⊥AB，DG⊥AB，用含x的代数式表示△ACO和△BOD的面积，便可得出函数解析式.
(3)分OB∥AD和OA∥BD两种情况讨论.
【详解】
解：（1）∵OD过圆心，点D是弧AB的中点，AB=8，
∴OD⊥AB，AC=
1
2
AB=4，
在Rt△AOC中，∵∠ACO=90°，AO=5，
∴22
AO AC
-，
∴OD=5，
∴CD=OD﹣OC=2；
（2）如图2，过点O作OH⊥AB，垂足为点H，
则由（1）可得AH=4，OH=3，
∵AC=x，
∴CH=|x﹣4|，
在Rt△HOC中，∵∠CHO=90°，AO=5，
∴22
HO HC
+22
3|x4|
+-2825
x x
-+
∴CD=OD ﹣OC=5
过点DG ⊥AB 于G ， ∵OH ⊥AB ， ∴DG ∥OH ， ∴△OCH ∽△DCG ， ∴
OH OC
DG CD
=， ∴DG=OH CD OC
?
35， ∴S △ACO =
12AC ×OH=12x ×3=32
x ， S △BOD =12BC （OH +DG ）=12（8﹣
x ）×（3
35）=3
2
（8﹣
x ）
∴y=
ACO OBD
S S
=
()32
3582x x -
（0＜x ＜8）
（3）①当OB ∥AD 时，如图3，
过点A 作AE ⊥OB 交BO 延长线于点E ，过点O 作OF ⊥AD ，垂足为点F ， 则OF=AE ， ∴S=12AB?OH=1
2
OB?AE ， AE=
AB OH OB ?=24
5
=OF ， 在Rt △AOF 中，∠AFO=90°，
AO=5，
∴75
∵OF 过圆心，OF ⊥AD ，
∴AD=2AF=14
5
．
②当OA ∥BD 时，如图4，过点B 作BM ⊥OA 交AO 延长线于点M ，过点D 作DG ⊥AO ，垂足为点G ，
则由①的方法可得DG=BM=
245
， 在Rt △GOD 中，∠DGO=90°，DO=5，
∴GO=22DO DG -=75，AG=AO ﹣GO=185
， 在Rt △GAD 中，∠DGA=90°，
∴AD=
22AG DG +=6
综上得AD=
14
5
或6．
故答案为（1）2；（2）y=()
2825x x x -+（0＜x ＜8）;（3）AD=14
5或6．
【点睛】
本题是考查圆、三角形、梯形相关知识，难度大，综合性很强.
2．在直角坐标系中，A （0，4），B （4
，0）．点C 从点B 出发沿BA 方向以每秒2个单
位的速度向点A 匀速运动，同时点D 从点A 出发沿AO 方向以每秒1个单位的速度向点O 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点C 、D 运动的时间是t 秒(t>0)．过点C 作CE ⊥BO 于点E ，连结CD 、DE ． ⑴ 当t 为何值时，线段CD 的长为4；
⑵ 当线段DE 与以点O 为圆心，半径为的⊙O 有两个公共交点时，求t 的取值范围； ⑶ 当t 为何值时，以C 为圆心、CB 为半径的⊙C 与⑵中的⊙O 相切？
【答案】(1); (2) 4-＜t≤; (3)或
．
【解析】
试题分析：（1）过点C 作CF ⊥AD 于点F ，则CF ，DF 即可利用t 表示出来，在Rt △CFD 中利用勾股定理即可得到一个关于t 的方程，从而求得t 的值；
（2）易证四边形ADEC是平行四边形，过点O作OG⊥DE于点G，当线段DE与⊙O相切
时，则OG=，在直角△OEG中，OE可以利用t表示，则OG也可以利用t表示出来，当
OG＜时，直线与圆相交，据此即可求得t的范围；
（3）分两圆外切与内切两种情况进行讨论，当外切时，圆心距等于两半径的和，当内切时，圆心距等于圆C的半径减去圆O的半径，列出方程即可求得t的值．
（1）过点C作CF⊥AD于点F，
在Rt△AOB中，OA=4，OB=4，
∴∠ABO=30°，
由题意得：BC=2t，AD=t，
∵CE⊥BO，
∴在Rt△CEB中，CE=t，EB=t，
∵CF⊥AD，AO⊥BO，
∴四边形CFOE是矩形，
∴OF=CE=t，OE=CF=4-t，
在Rt△CFD中，DF2+CF2=CD2，
∴（4-t-t）2+（4-t）2=42，即7t2-40t+48=0，
解得：t=，t=4，
∵0＜t＜4，
∴当t=时，线段CD的长是4；
（2）过点O作OG⊥DE于点G（如图2），
∵AD∥CE，AD=CE=t
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴DE∥AB
∴∠GEO=30°，
∴OG=OE=（4-t）
当线段DE与⊙O相切时，则OG=，
∴当（4-t）＜，且t≤4-时，线段DE与⊙O有两个公共交点．
∴当 4-＜t≤时，线段DE与⊙O有两个公共交点；
（3）当⊙C与⊙O外切时，t=；
当⊙C与⊙O内切时，t=；
∴当t=或秒时，两圆相切．
考点：圆的综合题．
3．如图①，一个Rt△DEF直角边DE落在AB上，点D与点B重合，过A点作二射线AC 与斜边EF平行，己知AB=12，DE=4，DF=3，点P从A点出发，沿射线AC方向以每秒2个单位的速度运动，Q为AP中点，设运动时间为t秒（t＞0）?
（1）当t=5时，连接QE，PF，判断四边形PQEF的形状；
（2）如图②，若在点P运动时，Rt△DEF同时沿着BA方向以每秒1个单位的速度运动，当D点到A点时，两个运动都停止，M为EF中点，解答下列问题：
①当D、M、Q三点在同一直线上时，求运动时间t；
②运动中，是否存在以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切？若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，说明理由．
【答案】（1）平行四边形EFPQ是菱形；（2）t=；当t为5秒或10秒时，以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切．
【解析】
试题分析：（1）过点Q作QH⊥AB于H，如图①，易得PQ=EF=5，由AC∥EF可得四边形EFPQ是平行四边形，易证△AHQ∽△EDF，从而可得AH=ED=4，进而可得AH=HE=4，根据
垂直平分线的性质可得AQ=EQ，即可得到PQ=EQ，即可得到平行四边形EFPQ是菱形；（2）①当D、M、Q三点在同一直线上时，如图②，则有AQ=t，EM=EF=，AD=12-t，DE=4．由EF∥AC可得△DEM∽△DAQ，然后运用相似三角形的性质就可求出t的值；
②若以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切，则点Q在∠ADF的角平分线上（如图③）或在∠FDB的角平分线（如图④）上，故需分两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质求出AH、DH（用t表示），再结合AB=12，DB=t建立关于t的方程，然后解这个方程就可解决问题．
试题解析：（1）四边形EFPQ是菱形．
理由：过点Q作QH⊥AB于H，如图①，
∵t=5，∴AP=2×5=10．
∵点Q是AP的中点，
∴AQ=PQ=5．
∵∠EDF=90°，DE=4，DF=3，
∴EF==5，
∴PQ=EF=5．
∵AC∥EF，
∴四边形EFPQ是平行四边形，且∠A=∠FEB．
又∵∠QHA=∠FDE=90°，
∴△AHQ∽△EDF，
∴．
∵AQ=EF=5，
∴AH=ED=4．
∵AE=12-4=8，
∴HE=8-4=4，
∴AH=EH，
∴AQ=EQ，
∴PQ=EQ，
∴平行四边形EFPQ是菱形；
（2）①当D、M、Q三点在同一直线上时，如图②，
此时AQ=t，EM=EF=，AD=12-t，DE=4．
∵EF∥AC，
∴△DEM∽△DAQ，
∴，
∴，
解得t=；
②存在以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切，此时点Q在∠ADF的角平分线上或在∠FDB的角平分线上．Ⅰ．当点Q在∠ADF的角平分线上时，
过点Q作QH⊥AB于H，如图③，
则有∠HQD=∠HDQ=45°，
∴QH=DH．
∵△AHQ∽△EDF（已证），
∴，
∴，
∴QH=，AH=，
∴DH=QH=．
∵AB=AH+HD+BD=12，DB=t，
∴++t=12，
∴t=5；
Ⅱ．当点Q在∠FDB的角平分线上时，
过点Q 作QH ⊥AB 于H ，如图④，
同理可得DH=QH=，AH=． ∵AB=AD+DB=AH-DH+DB=12，DB=t ， ∴
-+t=12，
∴t=10．
综上所述：当t 为5秒或10秒时，以点Q 为圆心的圆与Rt △DEF 两个直角边所在直线都相切．
考点：1．圆的综合题；2．线段垂直平分线的性质；3．勾股定理；4．菱形的判定；5．相似三角形的判定与性质．
4．已知圆O 的半径长为2，点A 、B 、C 为圆O 上三点，弦BC=AO ，点D 为BC 的中点，
(1)如图，连接AC 、OD ，设∠OAC=α，请用α表示∠AOD ； (2)如图，当点B 为AC 的中点时，求点A 、D 之间的距离：
(3)如果AD 的延长线与圆O 交于点E ，以O 为圆心，AD 为半径的圆与以BC 为直径的圆相切，求弦AE 的长．
【答案】（1）1502AOD α∠=?-；（2）7AD =3）
331331
22
or
【解析】 【分析】
（1）连接OB 、OC ，可证△OBC 是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOC 等于30°，OA=OC 可得∠ACO=∠CAO=α，利用三角形的内角和定理即可表示出∠AOD 的值. （2）连接OB 、OC ，可证△OBC 是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOB 等于30°，因为点D 为BC 的中点，则∠AOB=∠BOC=60°，所以∠AOD 等于90°，根据OA=OB=2,在直角三角形中用三角函数及勾股定理即可求得OD 、AD 的长.
（3）分两种情况讨论：两圆外切，两圆内切.先根据两圆相切时圆心距与两圆半径的关系，求出AD的长，再过O点作AE的垂线，利用勾股定理列出方程即可求解.
【详解】
(1)如图1：连接OB、OC.
∵BC=AO
∴OB=OC=BC
∴△OBC是等边三角形
∴∠BOC=60°
∵点D是BC的中点
∴∠BOD=1
30 2
BOC
∠=?
∵OA=OC
∴OAC OCA
∠=∠=α
∴∠AOD=180°-α-α-30?=150°-2α
(2)如图2：连接OB、OC、OD.
由（1）可得：△OBC是等边三角形，∠BOD=1
30 2
BOC
∠=?
∵OB=2，
∴OD=OB?cos30?=3
∵B为AC的中点，
∴∠AOB=∠BOC=60°
∴∠AOD=90°
根据勾股定理得：227
AO OD
+=
（3）①如图3.圆O 与圆D 相内切时： 连接OB 、OC ，过O 点作OF ⊥AE ∵BC 是直径，D 是BC 的中点 ∴以BC 为直径的圆的圆心为D 点 由（2）可得：OD=3，圆D 的半径为1 ∴AD=31+ 设AF=x
在Rt △AFO 和Rt △DOF 中，
2222OA AF OD DF -=-
即(
)
2
222331x x -=-+-
解得：331
x 4+=
∴AE=331
2AF +=
②如图4.圆O 与圆D 相外切时： 连接OB 、OC ，过O 点作OF ⊥AE
∵BC 是直径，D 是BC 的中点 ∴以BC 为直径的圆的圆心为D 点 由（2）可得：OD=3，圆D 的半径为1 ∴AD=31- 在Rt △AFO 和Rt △DOF 中，
2222OA AF OD DF -=-
即()
2
222331x x -=--+ 解得：331
x -=
∴AE=331
2AF -=
【点睛】
本题主要考查圆的相关知识：垂径定理，圆与圆相切的条件，关键是能灵活运用垂径定理和勾股定理相结合思考问题，另外需注意圆相切要分内切与外切两种情况.
5．四边形ABCD 内接于⊙O ，连接AC 、BD ，2∠BDC +∠ADB ＝180°．
（1）如图1，求证：AC ＝BC ；
（2）如图2，E为⊙O上一点，AE＝BE，F为AC上一点，DE与BF相交于点T，连接
AT，若∠BFC＝∠BDC+1
2
∠ABD，求证：AT平分∠DAB；
（3）在（2）的条件下，DT＝TE，AD＝8，BD＝12，求DE的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）82
【解析】
【分析】
（1）只要证明∠CAB=∠CBA即可．
（2）如图2中，作TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L．想办法证明TL=TH即可解决问题．
（3）如图3中，连接EA，EB，作EG⊥AB，TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L，AQ⊥BD于Q．证明△EAG≌△TDH（AAS），推出AG=DH，证明
Rt△TDR≌Rt△TDH（HL），推出DH=DR，同理可得AL=AH，BR=BL，设DH=x，则AB=2x，
由S△ADB=1
2
?BD?AQ=
1
2
?AD?h+
1
2
?AB?h+
1
2
?DB?h，可得AQ=
5
2
h，再根据
sin∠BDE=sin∠ADE，sin∠AED=sin∠ABD，构建方程组求出m即可解决问题．【详解】
解：（1）如图1中，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
即∠ADB+∠BDC+∠ABC＝180°，
∵2∠BDC+∠ADB＝180°，
∴∠ABC＝∠BDC，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴AC＝BC．
（2）如图2中，作TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L．
∵∠BFC＝∠BAC+∠ABF，∠BAC＝∠BDC，∴∠BFC＝∠BDC+∠ABF，
∵∠BFC＝∠BDC+1
2
∠ABD，
∴∠ABF＝1
2
∠ABD，
∴BT平分∠ABD，
∵AE＝BE
∴∠ADE＝∠BDE，
∴DT平分∠ADB，
∵TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L．
∴TR＝TL，TR＝TH，
∴TL＝TH，
∴AT平分∠DAB．
（3）如图3中，连接EA，EB，作EG⊥AB，TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L，AQ⊥BD于Q．
∵AE＝BE
∴∠EAB＝∠EDB＝∠EDA，AE＝BE，
∵∠TAE＝∠EAB+∠TAB，∠ATE＝∠EDA+∠DAT，
∴∠TAE＝∠ATE，
∴AE＝TE，
∵DT＝TE，
∴AE＝DT，
∵∠AGE＝∠DHT＝90°，
∴△EAG≌△TDH（AAS），
∴AG＝DH，
∵AE＝EB，EG⊥AB，
∴AG＝BG，
∴2DH＝AB，
∵Rt△TDR≌Rt△TDH（HL），
∴DH＝DR，同理可得AL=AH，BR＝BL，
设DH＝x，则AB＝2x，
∵AD＝8，DB＝12，
∴AL＝AH＝8﹣x，BR＝12﹣x，AB＝2x＝8﹣x+12﹣x，∴x＝5，
∴DH＝5，AB＝10，
设TR＝TL＝TH＝h，DT＝m，
∵S△ADB=1
2
?BD?AQ=
1
2
?AD?h+
1
2
?AB?h+
1
2
?DB?h，
∴12AQ＝（8+12+10）h，
∴AQ＝5
2 h，
∵sin∠BDE＝sin∠ADE，可得h
m
＝
AP
AD
＝
AP
8
，
sin∠AED＝sin∠ABD，可得AP
m
＝
AQ
AB
＝
AQ
10
＝
5
2
10
h
，
∴AP
m
＝
5
28
10
mAP
，
解得m＝
或﹣
（舍弃），
∴DE＝2m＝
．
【点睛】
本题属于圆综合题，考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理和判定定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．
6．如图，点A在直线l上，点Q沿着直线l以3厘米/秒的速度由点A向右运动，以AQ为
边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，tan∠ABQ= 3
4
，点C在点Q右侧，CQ=1厘米，过点C作直
线m⊥l，过△ABQ的外接圆圆心O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上
取点F，使DF=1
3
CD，以DE、DF为邻边作矩形DEGF．设运动时间为t秒．
（1）直接用含t 的代数式表示BQ 、DF ； （2）当0＜t ＜1时，求矩形DEGF 的最大面积；
（3）点Q 在整个运动过程中，当矩形DEGF 为正方形时，求t 的值． 【答案】（1）BQ=5t ，DF=23t;（2）16;（3）t 的值为3
5
或3． 【解析】
试题分析：（1）AB 与OD 交于点H ，根据题中的比例关系和勾股定理可表示出BQ 的长；根据垂直于同一条直线的两直线平行和三角形的中位线定理可求得AH 的长，再根据矩形的判定定理和矩形的性质可求CD 的长，即可表示出FD ；
（2）根据题意表示出矩形的长和宽，然后构造二次函数，通过二次函数的最值可求解； （3）当矩形为正方形时，分别让其长与宽相等，列方程求解即可. 试题解析：（1）5t BQ =，2
DF=
t 3
； （2）DE=OD-OE=32t+1-52t=1-t ，()2
2211
·t 13326
S DF DE t t ??==-=--+ ???，∴当t=
12时，矩形DEGF 的最大面积为
1
6
； （3）当矩形DEGF 为正方形时，221133t t t t -=
-=或,解得3
35
t t ==或.
7．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，以D 为圆心，D 长为半径作作⊙D ．
⑴求证：AC 是⊙D 的切线.
⑵设AC 与⊙D 切于点E ，DB=1，连接DE ，BF ，EF. ①当∠BAD= 时，四边形BDEF 为菱形； ②当AB= 时，△CDE 为等腰三角形.
【答案】（1）见解析；（2）①30°，②2+1
【解析】
【分析】
(1) 作DE⊥AC于M,由∠ABC=90°，进一步说明DM=DB，即DB是⊙D的半径，即可完成证明；
（2）①先说明△BDF是等边三角形，再运用直角三角形的内角和定理解答即可；②先说明DE=CE=BD=1，再设AB=x，则AE=x，分别表示出AC、BC、AB的长，然后再运用勾股定理解答即可.
【详解】
⑴证明：如图：作DE⊥AC于M，
∵∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，
∴DE=DB.
∴DM是⊙D的半径，
∴AC是⊙D的切线；
⑵①如图：
∵四边形BDEF为菱形；
∴△BDF是等边三角形
∴∠ADB=60°
∴∠BAD=90°-60°=30°
∴当∠BAD=30°时，四边形BDEF为菱形；
②∵△CDE为等腰三角形.
∴DE=CE=BD=1，
∴DC=2
设AB=x，则AE=x
∴在Rt△ABC中，AB=x，AC=1+x，BC=1+2
∴()2
22
(12)1
x x
++=+，解得x=2+1
∴当AB=2+1时，△CDE为等腰三角形.
【点睛】
本题考查的是切线的判定、菱形的性质和判定、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理的灵活运用；熟练掌握切线的判定方法和灵活应该勾股定理是解答本题的关键.
8．如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点G，E是CD上一点，且BE＝DE，延长EB至点P，连接CP，使PC＝PE，延长BE与⊙O交于点F，连结BD，FD．
（1）连结BC，求证：△BCD≌△DFB；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）若tan F＝2
3
，AG﹣BG＝
5
3
3
，求ED的值．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DE
133
【解析】
【分析】
（1）由BE=DE可知∠CDB=∠FBD，而∠BFD=∠DCB，BD是公共边，结论显然成立．（2）连接OC，只需证明OC⊥PC即可．根据三角形外角知识以及圆心角与圆周角关系可知∠PEC=2∠CDB=∠COB，由PC=PE可知∠PCE=∠PEC=∠COB，注意到AB⊥CD，于是
∠COB+∠OCG=90°=∠OCG+∠PEC=∠OCP，结论得证．
（3）由于∠BCD=∠F，于是tan∠BCD=tanF=2
3
=
BG
CG
，设BG=2x，则CG=3x．注意到AB是
直径，连接AC，则∠ACB是直角，由射影定理可知CG2=BG?AG，可得出AG的表达式（用
x表示），再根据AG-BG=53
3
求出x的值，从而CG、CB、BD、CD的长度可依次得出，
最后利用△DEB∽△DBC列出比例关系算出ED的值．【详解】
解：（1）证明：因为BE＝DE，
所以∠FBD＝∠CDB，
在△BCD和△DFB中：
∠BCD＝∠DFB
∠CDB＝∠FBD
BD＝DB
所以△BCD≌△DFB（AAS）．
（2）证明：连接OC．
因为∠PEC＝∠EDB+∠EBD＝2∠EDB，
∠COB＝2∠EDB，
所以∠COB＝∠PEC，
因为PE＝PC，
所以∠PEC＝∠PCE，
所以∠PCE＝∠COB，
因为AB⊥CD于G，
所以∠COB+∠OCG＝90°，
所以∠OCG+∠PEC＝90°，
即∠OCP＝90°，
所以OC⊥PC，
所以PC是圆O的切线．
（3）因为直径AB⊥弦CD于G，
所以BC＝BD，CG＝DG，
所以∠BCD＝∠BDC，
因为∠F＝∠BCD，tanF＝2
3
，
所以∠tan∠BCD＝2
3
＝
BG
CG
，
设BG＝2x，则CG＝3x．连接AC，则∠ACB＝90°，
由射影定理可知：CG 2＝AG?BG ，
所以AG ＝229922
x C x
G x G B ==
，
因为AG ﹣BG ＝
3
，
所以
23
92x x -=
，
解得x ，
所以BG ＝2x CG ＝3x ＝
所以BC 3
=，
所以BD ＝BC ， 因为∠EBD ＝∠EDB ＝∠BCD ， 所以△DEB ∽△DBC ， 所以
B
DB DC DE
D =，
因为CD ＝2CG ＝
所以DE ＝2DB CD =
． 【点睛】
本题为圆的综合题，主要考查了垂径定理，圆心角与圆周角的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、切线的判定、射影定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等重要知识点．第（1）、（2）问解答的关键是导角，难度不大，第（3）问解答的要点在于根据射影定理以及条件当中告诉的两个等量关系求出BG 、CG 、BC 、BD 、CD 的值，最后利用“共边子母型相似”（即△DEB ∽△DBC ）列比例方程求解ED ．
9．已知：AB 为⊙O 直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ，点E 为⊙O 上一点，AE BE =，BE 与CD 交于点F ．
（1）如图1，求证：BH ＝FH ；
（2）如图2，过点F 作FG ⊥BE ，分别交AC 、AB 于点G 、N ，连接EG ，求证：EB ＝EG ； （3）如图3，在（2）的条件下，延长EG 交⊙O 于M ，连接CM 、BG ，若ON ＝1，△CMG 的面积为6，求线段BG 的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）210 ． 【解析】 【分析】
（1）连接AE ，根据直径所对圆周角等于90°及弧与弦的关系即可得解； （2）根据题意，过点C 作CQ FG CS FB ⊥⊥，，连接CE BC 、，通过证明
Rt CGQ Rt CBS ???，CBE CGE ???即可得解；
（3）根据题意，过点G 作GT CD ⊥于T ，连接CN ，设CAB α∠＝，证明
()CMG CNG AAS ???，再由面积法及勾股定理进行计算求解即可.
【详解】
解：（1）如下图，连接AE
∵AB 为直径 ∴90AEB =?∠
∵
AE BE = ∴AE BE = ∴45B ∠=? 又∵CD AB ⊥于H
∴45HFB ∠=? ∴HF HB =；
（2）如下图，过点C 作CQ FG CS FB ⊥⊥，，连接CE BC 、
九年级数学旋转几何综合专题练习(解析版)
九年级数学旋转几何综合专题练习（解析版） 一、初三数学旋转易错题压轴题（难） 1．探究：如图①和②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD 上，∠EAF=45°． （1）如图①，若∠B、∠ADC都是直角，把ABE △绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能得EF=BE+DF，请写出推理过程； （2）如图②，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系时，仍有 EF=BE+DF； （3）拓展：如图③，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长． 【答案】（1）见解析；（2）∠B+∠D=180°；（3）5 3 【解析】 【分析】 （1）根据已知条件证明△EAF≌△GAF，进而得到EF=FG，即可得到答案； （2）先作辅助线，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，根据（1），要使EF=BE+DF，需证明△EAF≌△GAF，因此需证明F、D、G在一条直线上，即 180 ADG ADF ∠+∠=?，即180 B D ∠+∠=?； （3）先作辅助线，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF，根据已知条件证明△FAD≌△EAD，设DE=x，则DF=x，BF=CE=3﹣x，然后再Rt BDF中根据勾股定理即可求出x的值，即DE的长． 【详解】 （1）解：如图， ∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG， ∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠DAG+∠DAF=45°， 即∠EAF=∠GAF=45°， 在△EAF和△GAF中 AF AF EAF GAF AE AG = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF=GF， ∵BE=DG， ∴EF=GF=BE+DF； （2）解：∠B+∠D=180°， 理由是： 如图，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，则AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG， ∵∠B+∠ADC=180°， ∴∠ADC+∠ADG=180°， ∴F、D、G在一条直线上， 和（1）类似，∠EAF=∠GAF=45°， 在△EAF和△GAF中 AF AF EAF GAF AE AG = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF=GF， ∵BE=DG， ∴EF=GF=BE+DF； 故答案为：∠B+∠D=180°； （3）解：∵△ABC中，2BAC=90°， ∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：22 AB AC +，
(完整)初三数学几何的动点问题专题练习及答案
动点问题专题训练 1、如图，已知ABC △中，10 AB AC ==厘米，8 BC=厘米，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 2、直线 3 6 4 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点 Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ △的面积为S，求出S与t之间的函数关系式； （3）当 48 5 S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四 边形的第四个顶点M的坐标． 3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k） 是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P. （1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由； （2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？ 4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4）， 点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H． （1）求直线AC的解析式； （2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出 自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC 所夹锐角的正切值． A Q C D B P x A O Q P B y
人教版七年级上册数学几何图形练习题及答案
4.1.1 立体图形与平面图形 一、单选题 1、下列说法中，正确的是（） A、用一个平面去截一个圆锥，可以是椭圆 B、棱柱的所有侧棱长都相等 C、用一个平面去截一个圆柱体，截面可以是梯形 D、用一个平面去截一个长方体截面不能是正方形 2、下列说法不正确的是（） A、球的截面一定是圆 B、组成长方体的各个面中不可能有正方形 C、从三个不同的方向看正方体，得到的都是正方形 D、圆锥的截面可能是圆 3、下列图形中，是棱锥展开图的是（） A、 B、 C、 D、 4、下面图形不能围成一个长方体的是（） A、 B、
C、 D、 5、下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（） A、 B、 C、 D、 6、下列图形中，是正方体的表面展开图的是（） A、 B、 C、 D、 7、将选项中的四个正方体分别展开后，所得的平面展开图与如图不同的是（）A、 B、
C、 D、 8、如图是一个正方体的表面展开图，这个正方体可能是（） A、 B、 C、 D、 9、一个几何体的展开图如图所示，这个几何体是（） A、棱柱 B、棱锥 C、圆锥 D、圆柱 10、在下面的图形中，不可能是正方体的表面展开图的是（）A、 B、
C、 D、 11、下列图形中，是正方体表面展开图的是（） A、 B、 C、 D、 12、下列四个图形中是如图展形图的立体图的是（） A、 B、 C、 D、 二、填空题 13、一个棱锥有7个面，这是________棱锥． 14、如果一个棱柱共有15条棱，那么它的底面一定是________边形． 15、长方体是一个立体图形，它有________个面，________条棱，________个顶点． 16、六棱柱有________个顶点，________个面，________条棱． 17、如图是由________、长方体、圆柱三种几何体组成的物体．
八年级上册数学几何部分
八年级上册数学几何部分——三角形全章复习 知识点一：1.三角形的定义：由不在同一条_____上的三条线段___________组成的图形叫做三角形． 2.三角形的分类（1）按边分类： ????????不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形__________ ______________（2）按角分类： 3.三角形三边间的关系定理：三角形任意两边之和________第三边．任意两边之差_____第三边。 即已知三角形两边的长，可以确定第三边的取值范围：设三角形的两边的长为a 、b ，则第三边的长c 的取值范围是_______________________． 基础知识训练练习1．下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（ ） A ．3cm ，12cm ，8cm B ．6cm ，8cm ，15cm C ．2.5cm ，3cm ，5cm D ．6.3cm ，6.3cm ，12.6cm 【变式1】四条线段的长分别是2cm 、4cm 、6cm 、7cm 以其中三条线段为边可构成__个三角形. 【变式2】已知三角形的两边长分别4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ） A ．13cm B ．6cm C ．5cm D ．4cm 练习2．若三角形的两边长分别是2和7，则第三边长c 的取值范围是___________． 【变式1】如果三角形的两边长分别为2和6，则周长L 的取值范围是（ ） A ．6 24.1.1 圆 知识点一圆的定义 o叫作圆圆的定义：第一种：在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点 心，线段0A叫作半径。第二种：圆心为0,半径为r的圆可以看成是所有到定点0的距离等于定长r的点的集合。 比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长， 也就确定了圆。 知识点二圆的相关概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。 （2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（ 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。 （4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。 24.1.2垂直于弦的直径 知识点一圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 知识点二垂径定理 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为CD, AB是弦，且CDLAE， C ~|M A B AM=BM 垂足为M AC=BC AD=BD D 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如 上图所示，直径CD与非直径弦AB相交于点M CDLABAM=BMAC=BC AD=BD 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。 24.1.3弧、弦、圆心角 知识点弦、弧、圆心角的关系（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相 等，所对的弦也相等。 （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。 （3）注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心 圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。 24.1.4圆周角 知识点一圆周角定理 人教版九年级数学上册 圆 几何综合（篇）（Word 版 含解析） 一、初三数学 圆易错题压轴题（难） 1．已知圆O 的半径长为2，点A 、B 、C 为圆O 上三点，弦BC=AO ，点D 为BC 的中点， (1)如图，连接AC 、OD ，设∠OAC=α，请用α表示∠AOD ； (2)如图，当点B 为AC 的中点时，求点A 、D 之间的距离： (3)如果AD 的延长线与圆O 交于点E ，以O 为圆心，AD 为半径的圆与以BC 为直径的圆相切，求弦AE 的长． 【答案】（1）1502AOD α∠=?-；（2）7AD =3） 331331 22 or 【解析】 【分析】 （1）连接OB 、OC ，可证△OBC 是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOC 等于30°，OA=OC 可得∠ACO=∠CAO=α，利用三角形的内角和定理即可表示出∠AOD 的值. （2）连接OB 、OC ，可证△OBC 是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOB 等于30°，因为点D 为BC 的中点，则∠AOB=∠BOC=60°，所以∠AOD 等于90°，根据OA=OB=2,在直角三角形中用三角函数及勾股定理即可求得OD 、AD 的长. （3）分两种情况讨论：两圆外切，两圆内切.先根据两圆相切时圆心距与两圆半径的关系，求出AD 的长，再过O 点作AE 的垂线，利用勾股定理列出方程即可求解. 【详解】 (1)如图1：连接OB 、OC. ∵BC=AO ∴OB=OC=BC ∴△OBC 是等边三角形 ∴∠BOC=60° ∵点D 是BC 的中点 ∴∠BOD=1 302 BOC ∠=? ∵OA=OC ∴OAC OCA ∠=∠=α ∴∠AOD=180°-α-α-30?=150°-2α 2013八年级上学期数学几何复习 【图形的剪拼】 1.如图，有边长为1、3的两个连接的正方形纸片，用两刀裁剪成三块，然后拼成 一个正方形，如何拼？ 2.如图，有一张长为5 ，宽为3的矩形纸片ABCD，要通过适当的剪拼，得到 一个与之面积相等的正方形 （1）正方形的边长为____________.（结果保留根号） （2）现要求只能用两条裁剪线，请你设计出一种裁剪的方法，在图中画出裁 剪线，并简要说明剪拼过程_____________. （天津市中考题）【三角形】 1.在△ABC中，∠ACB=90°，直线MN经过点C且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E （1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE （2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE （3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系并证明。 2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2,0），以OA为边在第四象限做 等边△AOB，点C为x轴正半轴一动点（OC > 2），连接BC，以BC为边在第 四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E． （1）试问△OBC与△ABD全等吗？并证明你的结论； （2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点 E的坐标；若有变化，请说明理由． 3.如图，△ABC中AB=AC，∠ABC=36°，D、C为BC上的点，且 ∠BAD=∠DAE=∠EAC，则图中的等腰三角形有（）个。 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，D为BC的中点． （1）若E、F分别是AB、AC上的点，且AE=CF，求证：△AED≌△CFD； （2）当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设△DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式； （3）在（2）的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式 （4）当x的值为多少事，S△DEF能最大化？ 图一图二 5.M为△ABC中BC中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN，已知AB=10， BC=15，MN=3 （1）求证：BN=DN （2）求△ABC周长 6.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，DA=DB，CD为直角边作等腰直角 三角形CDE，∠DCE=90° （1）求证：△ACD≌△BCE （2）若AC=3cm，则BE = ________ cm . 7.已知：△ABC为等边三角形，ED=EC，探究AE与DB的大小关系 4e d c 经典难题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． A P C D B A F G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 N F E C D P C G F B Q A D E 经典难题（二） 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形 CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二） 经典难题（三） 1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二） · A D H E M C B O · G A O D B E C Q P N M · O Q P B D E C N M · A A F D E N M F E D C B A 知识点一（几何图形初步） 【知识梳理】 一、填空题。 1.下列四个平面图形中，不能折叠成无盖的长方体盒子的是（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 2.有一个正方体木块，它的六个面上分别标有数字1～6，图1是这个正方体从不同方向所观察到的数字情况，则数字1和5对面的数字是（ ） Ａ．4，3 Ｂ．3，2 Ｃ．3，4 Ｄ．5，1 3. 如图2，直线AB 与CD 相交于点O ，12=∠∠，若140AOE =∠，则AOC ∠的度数为（ ） Ａ．40 Ｂ．60 Ｃ．80 Ｄ．100 4．已知点A B C ，，在同一直线上，若20cm AB =，30cm AC =，则BC 的长是（ ） Ａ．10cm Ｂ．50cm Ｃ．25cm Ｄ．10cm 或50cm 5.如图，把一张长方形的纸片沿着EF 折叠，点C 、D 分别落在M 、N 的位置， 且∠MFB= 1 2 ∠MFE.则∠MFB=（ ） A.30° B.36° C.45° D.72° 6.一个无盖的正方体盒子的平面展开图可以是下列图形中的（ ） A.只有图① B.图①、图② C.图②、图③ D.图①、图③ 7.如图，∠AOB=180°，OD 、OE 分别是∠AOC 和∠BOC 的平分线，则与线段OD 垂直的射线是（ ） A.OA B.OC C.OE D.OB 二、画图与说理 8.如图，已知点C 、点D 分别在AOB ∠的边上，请根据下列语句画出图形： （1）作AOB ∠的余角AOE ∠； （2）作射线DC 与OE 相交于点F ； （3）取OD 的中点M ，连接CM . 9.如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OP 是∠BOC 的平分线，OE ⊥AB ， OF ⊥CD. （1）图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对： ① ；② . （2）如果∠AOD ＝40°． ①那么根据 ，可得∠BOC ＝ 度． ②因为OP 是∠BOC 的平分线，所以∠C OP=2 1 ∠ = 度. ③求∠BOF 的度数． O P F E D C B A （第9题图） O D C B A O B E C D A 专项训练六 圆 一、选择题 1．如图，∠O ＝30°，C 为OB 上一点，且OC ＝6，以点C 为圆心，半径为3的圆与OA 的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．相切 D ．均有可能 第1题图 第3题图 第4题图 2．(贺州中考)已知圆锥的母线长是12，它的侧面展开图的圆心角是120°，则它的底面圆的直径为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 3．(兰州中考)如图，在⊙O 中，若点C 是AB ︵ 的中点，∠A ＝50°，则∠BOC 的度数为( ) A ．40° B ．45° C ．50° D ．60° 4．(杭州中考)如图，已知AC 是⊙O 的直径，点B 在圆周上(不与A 、C 重合)，点D 在AC 的延长线上，连接BD 交⊙O 于点E ，若∠AOB ＝3∠ADB ，则( ) A ．DE ＝E B B.2DE ＝EB C.3DE ＝DO D ．DE ＝OB 第5题图 第6题图 第7题图 5．如图，⊙O 的半径是2，AB 是⊙O 的弦，点P 是弦AB 上的动点，且1≤OP ≤2，则弦AB 所对的圆周角的度数是( ) A ．60° B ．120° C ．60°或120° D ．30°或150° 6．(德州中考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”( ) A ．3步 B ．5步 C ．6步 D ．8步 7．(山西中考)如图，在?ABCD 中，AB 为⊙O 的直径，⊙O 与DC 相切于点E ，与AD 相交于 点F ，已知AB ＝12，∠C ＝60°，则FE ︵ 的长为( ) A.π3 B.π 2 C ．π D ．2π 8．(滨州中考)如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，且OC ∥BD ，AD 分别与BC ，OC 相交于点E ，F ，则下列结论：①AD ⊥BD ；②∠AOC ＝∠AEC ；③CB 平分∠ABD ；④AF ＝DF ；⑤BD ＝2OF ；⑥△CEF ≌△BED ，其中一定成立的是( ) A ．②④⑤⑥ B ．①③⑤⑥ C ．②③④⑥ D ．①③④⑤ 第8题图 第9题图 第10题图 二、填空题 九年级数学几何模型压轴题中考真题汇编[解析版] 一、初三数学旋转易错题压轴题（难） 1．探究：如图①和②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD 上，∠EAF=45°． （1）如图①，若∠B、∠ADC都是直角，把ABE △绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能得EF=BE+DF，请写出推理过程； （2）如图②，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系时，仍有 EF=BE+DF； （3）拓展：如图③，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长． 【答案】（1）见解析；（2）∠B+∠D=180°；（3）5 3 【解析】 【分析】 （1）根据已知条件证明△EAF≌△GAF，进而得到EF=FG，即可得到答案； （2）先作辅助线，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，根据（1），要使EF=BE+DF，需证明△EAF≌△GAF，因此需证明F、D、G在一条直线上，即 180 ADG ADF ∠+∠=?，即180 B D ∠+∠=?； （3）先作辅助线，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF，根据已知条件证明△FAD≌△EAD，设DE=x，则DF=x，BF=CE=3﹣x，然后再Rt BDF中根据勾股定理即可求出x的值，即DE的长． 【详解】 （1）解：如图， ∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG， ∵∠BAD=90°，∠EAF=45°， ∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠DAG+∠DAF=45°， 即∠EAF=∠GAF=45°， 在△EAF和△GAF中 AF AF EAF GAF AE AG = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF=GF， ∵BE=DG， ∴EF=GF=BE+DF； （2）解：∠B+∠D=180°， 理由是： 如图，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，则AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG， ∵∠B+∠ADC=180°， ∴∠ADC+∠ADG=180°， ∴F、D、G在一条直线上， 和（1）类似，∠EAF=∠GAF=45°， 在△EAF和△GAF中 AF AF EAF GAF AE AG = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF=GF， ∵BE=DG， ∴EF=GF=BE+DF； 故答案为：∠B+∠D=180°； （3）解：∵△ABC中，2BAC=90°， ∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：22 AB AC +， 几何图形初步 一、本节学习指导 本节知识点比较简单，都是基础，当看书应该就能理解。 二、知识要点 1、几何图形 从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。 立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。比如：正方体、长方体、圆柱等 平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。比如：三角形、长方形、圆等 2、点、线、面、体 （1）几何图形的组成 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。 面：包围着体的是面，分为平面和曲面。 体：几何体也简称体。 （2）点动成线，线动成面，面动成体。 3、生活中的立体图形 4、棱柱及其有关概念： 棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。 侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。 n棱柱有两个底面，n个侧面，共（n+2）个面；3n条棱，n条侧棱；2n个顶点。 棱柱的所有侧棱长都相等，棱柱的上下两个底面是相同的多边形，直棱柱的侧面是长方形。棱柱的侧面有可能是长方形，也有可能是平行四边形。 5、正方体的平面展开图：11种 6、截一个正方体：用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。 7、三视图，如： 、 物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。 主视图：从正面看到的图，叫做主视图。 左视图：从左面看到的图，叫做左视图。 俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。 三、经验之谈 本节知识比较重要的是我们要对常见的立体图形有个概念性的认识，很多图形在小学就学习过，我们要巩固其相关求法。其次画立体图形的三视图的时候要小心，多在脑子里形成空间想象。 1、已知如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，DE 垂直平分仙于D ，交BC 于E 点．求证：CE=2BE ． 2、如图，在直角坐标系xOy 中，直线y=kx+b 交x 轴正半轴于A(-1,0),交y 轴正半轴于B,C 是x 轴负半轴上一点，且CA= 4 3CO,△ABC 的面积为6。 （1）求C 点的坐标。 （2）求直线AB 的解析式。 （ 3、已知如图，射线CB ∥OA ，∠C=∠OAB=100 ,E 、F 在CB 上，且满足∠FOB=∠AOB ，OE 平分∠COF. （1）求∠EOB 的度数； （2）若平行移动AB ，那么∠OBC ∶∠OFC 的值是否随之变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值； 4．如图Ⅰ—8，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D ．求证：(1)AE ＝CD ；(2)若AC ＝12 cm ，求 A B C O x y F O E C B A BD 的长． 5、如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于点F ，交AC 的平行线 BG 于点G ，DE ⊥GF 交AB 于点E ，连接EG 。 （1）求证：BG=CF ；（2）请你判断BE+CF 与EF 的大小关系，并证明。 6．已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且B E A C ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的 中点，连结DH 与BE 相交于点G ． （1）求证：BF AC =； （2）求证：12 CE BF =； （3）CE 与BG 的大小关系如何？试证明你的结论 A F C D B G E 如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，D 为AC 上一点（与点A ，C 不重合），连接BD ，过点A 作AE ⊥BD 的 延长线于E （1）①在图中作出△ABC 的外接圆⊙O ，并用文字描述 圆心O 的位置 ②连接OE ，求证：点E 在⊙O 上 （2）①延长线段BD 至点F ，使EF =AE ，连接CF ,根据题 意补全图形 ②用等式表示线段CF 与AB 的数量关系，并证明 2 丰台 如图，△ABC 是等边三角形，D ，E 分别是AC ，BC 边上的点，且AD = CE ，连接BD ，AE 相交于点F （1）∠BFE 的度数是 （2）如果2 1 =AC AD ，那么 =BF AF （3）如果n AC AD 1 =时，请用含n 的式子表示AF ，BF 的数量关系，并证明 A B C D E A D B F 已知在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，直线l 经过点A （不经过点B 或点C ），点C 关于直线l 的对称点为点D ，连接 BD ，CD （1）如图1 ①求证：点,,B C D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上 ②直接写出∠BDC 的度数（用含α的式子表示）为___________ （2）如图2，当α=60°时，过点D 作BD 的垂线与直线l 交于点E ，求证：AE =BD （3）如图3，当α=90°时，记直线l 与CD 的交点为F ，连接BF ．将直线l 绕点A 旋转，当线段BF 的长取得最大值时，直接写出tan FBC ∠的值 4 怀柔 在菱形ABCD 中，∠ADC=60°，BD 是一条对角线，点P 在边CD 上（与点C ，D 不重合），连接AP ，平移ADP ?，使点D 移动到点C ，得到BCQ ?，在BD 上取一点H ，使HQ=HD ，连接HQ ，AH ，PH （1） 依题意补全图1 （2）判断AH 与PH 的数量关系及∠AHP 的度数，并加以证明 （3）若141AHQ ∠=?，菱形ABCD 的边长为1，请写出求DP 长的思路（可以不写出计算结果．．．．．．．．．） B B A B C D P A B C D 七年级上册几何知识总结 一、知识清单 1、【立体图形与平面图形】 (1)、把 的各种图形统称为几何图形。几何图形包括立体图形和平面图形。 各部分不都在同一平面内的图形是 图形；如 各部分都在同一平面内的图形是 图形。如 ▲会画出同一个物体从不同方向（正面、上面、侧面）看得的平面图形（视图）[1]. ▲知道并会画出常见几何体的表面展开图. (2)、点、线、面、体组成几何图形，点是构成图形的 基本元素。点、线、面、体之间有如图所示的联系： ▲ 知道由常见平面图形经过旋转所得的几何体的形状。 2、【直线、射线、线段】、 (1)直线公理：经过两点有一条直线， 一条直线。简述)为： . ·两条不同的直线有一个 时，就称两条直线相交， 这个公共点叫它们的 。 ·射线和线段都是直线的一部分。 (2)、直线、射线、线段的记法【如下表示】 (3)、线段的中点——把一条线段分成相等的两条线段的点，叫做线段的中点。 类似的，把线段分成相等的三条线段的点，叫线段的三等分点。把线段分成相等的n 条线段的点，叫线段的n 等分点。 (4)、线段公理：两点的所有连线中，线段最短。 简述为： 之间， 最短。 ·两点之间的距离的定义：连接两点之间的 ，叫做这两点的距离。 ▲会结合图形比较线段的大小；会画线段的“和”“差”图[2]。 ▲会根据几何作图语句画出符合条件的图形[3]，会用几何语句描述一个图形。 点 线 面点 体点 动 交 交 交 动 动 3、【角】的定义 (从构成上看)Ⅰ: 有 的两条 组成的图形叫做角。 (从形成上看)Ⅱ: 由一条射线 而形成的图形叫做角。 (1)、角的表示方法[4] （1）用三个大写英文字母表示任意一个角； （2）用一个大写英文字母表示一个独立的角（在一顶点处只有一个角）； （3）加弧线、标数字表示一个角 （在一个顶点处有两个以上角时，建议使用此法）； （4）加弧线、标小写希腊字母表示一个角。 (2)、角的度量 ●1个周角=2个平角=4个直角=360° ●1°=60′=3600″ ●用一副三角尺能画的角都是15°的整数倍。 (3)、角的平分线 ——从一个角的 出发，把这个角分成 的两个角的 ，叫做这个角的平分线。 的n 条线段的点，叫线段的n 等分点。 (4)、角的比较与运算 ●会结合图形比较角的大小[5] 。●进行角度的四则运算[6]。 (5)、互余、互补 （1）如果两个角的和为90o，那么这两个角互为余角。·锐角α的余角是 （2）如果两个角的和为180o，那么这两个角互为补角。· 角α的补角是 。 （3）互余、互补的性质同角（或等角）的余角（或补角）相等。 (6)、用角度表示方向：一般以正北、正南为基准，用向东或向西旋转的角度表示方向，如图所示，OA 方向可表示为北偏西60o 。 二、冲刺练习 〖直线、射线、线段〗 1． 判断下列说法是否正确 （1）直线AB 与直线BA 不是同一条直线（ ） （２）用刻度尺量出直线AB 的长度 （ ） （3）直线没有端点，且可以用直线上任意两个字母来表示（ ） 图形语言 60o 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. O B A 第4题图 D C O 第5题图 C B A 第8题图 O E D C B A 圆测试题 一、选择题： 1、下列命题：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧；④弧是半圆.其中真命题有（ ）。 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、如图4，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于点P ，且点P 是半径OB 的中点，CD ＝6cm ，则直径AB 的长是（ ）。 A 、 cm B 、4cm C 、2cm D 、4cm 3、如图5， 点A 、B 、C 在⊙O 上，AO ∥ BC ，∠OAC ＝ 20°， 则∠AOB 的度数是（ ）。 A 、 10° B 、20° C 、 40° D 、70° 4、如图6，△ABC 三顶点在⊙O 上，∠C ＝45°，AB ＝4，则⊙O 的半径是（ ）。 A 、 B 、2 C 、4 D 、2 5、如图8，AB 是⊙O 的直径，⊙O 过BC 的中点D ，DE ⊥AC 于E ，连结AD ，则下列结论正确的个数是 。 ①AD ⊥BC ；②∠EDA ＝∠B ；③OA ＝AC ；④DE 是⊙O 的切线。 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 6、从⊙O 外一点P 向⊙O 作两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B.下列结论：①PA ＝PB ；②OP 平分∠APB ；③AB 垂直平分OP ； ④△AOP ≌△BOP ； 其中正确结论的个数是 。 A 、5 B 、4 C 、3 D 、2 7、若两圆的半径之比为1∶2，当两圆相切时，圆心距为6cm ，则大圆的半径为 。 A 、12cm B 、4cm 或6cm C 、4cm D 、4cm 或12cm 8、正六边形的边长、外径、边心距的比是 。 A 、1∶2∶ B 、1∶1∶ C 、2∶2∶ D 、4∶4∶3 九年级数学旋转几何综合中考真题汇编[解析版] 一、初三数学旋转易错题压轴题（难） 1．在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE． (1) 如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，求证：PC＝PE； (2) 如图2，把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转，当点E落在边CA的延长线上时，探索PC与PE的数量关系，并说明理由． (3) 如图3，把图2中的△AEF绕着点A顺时针旋转，点F落在边AB上．其他条件不变，问题(2)中的结论是否发生变化？如果不变，请加以证明；如果变化，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）PC＝PE，理由见解析；（3）成立，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可； （2）先判断△CBP≌△HPF，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半； （3）先判断△DAF≌△EAF，再判断△DAP≌△EAP，然后用比例式即可； 【详解】 解：（1）证明：如图： ∵∠ACB＝∠AEF＝90°， ∴△FCB和△BEF都为直角三角形． ∵点P是BF的中点， ∴CP＝1 2BF，EP＝ 1 2 BF， ∴PC＝PE． （2）PC＝PE理由如下： 如图2，延长CP，EF交于点H， ∵∠ACB＝∠AEF＝90°， ∴EH//CB， ∴∠CBP＝∠PFH，∠H＝∠BCP， ∵点P是BF的中点， ∴PF＝PB， ∴△CBP≌△HFP(AAS)， ∴PC＝PH， ∵∠AEF＝90°， ∴在Rt△CEH中，EP＝1 2 CH， ∴PC＝PE． （3）(2)中的结论，仍然成立，即PC＝PE，理由如下： 如图3，过点F作FD⊥AC于点D，过点P作PM⊥AC于点M，连接PD， ∵∠DAF＝∠EAF，∠FDA＝∠FEA＝90°， 在△DAF和△EAF中， DAF, , , EAF FDA FEA AF AF ∠=∠ ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴△DAF≌△EAF(AAS)， ∴AD＝AE， 在△DAP≌△EAP中， , , , AD AE DAP EAP AP AP = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴△DAP≌△EAP (SAS)， ∴PD＝PF， ∵FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC， ∴FD//BC//PM， ∴DM FP MC PB =， 1．如左图：AB=CD，AD=CB，E，F是BD上两点，BE=DF，若∠AEB=100°，∠DBC=30°，则∠BCF=_________。 2．如右图：AB=AC，∠BAC=90°，延长BA到E，连结CE，BF⊥CE于F交AC于D，若AE=2，BE=7，则DC=___________。 3．已知：如图：B在AC上，∠BDC=∠BEA，DN=CN=EM=AM。 求证：BA=BC 4.已知：如图：AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°。M是BE中点， 求证：AM⊥DC。 5.已知如图，E.F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF,求证：AC与BD互相平分. A O F B E 6.如图所示，∠BAC=∠ABD,AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点.试判断OE和AB的位置关系,并给出证明. 7．已知：如图17，△ABC是等边三角形，延长BC至D，延长BA到E，使AE＝BD，连结CE、DE 求证：CE＝DE （提示：过D作AC的平行线或者过E作AC的平行线或者过E作CD的垂线） C D 8. 如图，△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2。 求证：AB＝AC＋CD 9. 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD交BD的延长线于E，证明：BD＝2CE。 10. 已知：如图，∠1＝∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB＋BC＝2BD。 求证：∠BAP＋∠BCP＝180° 11.如图8所示，已知 ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连结CE、DE。人教版九年级数学上册圆知识点归纳及练习含答案
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