角的概念的推广

4.1角的概念的推广

教学目标

1.理解并掌握正角、负角、零角的定义；理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；

2.能在0°和360°范围内，找出与此范围外每一个已知角终边相同的角，并判断其为第几象限角；能写出与任一已知角终边相同的角的集合；

3.能树立运动变化的观点，深刻理解推广后的角的概念；

4.从“射线绕着其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化的观点审视事物，用对立统一规律提示生活中的空间形式和数量关系．

教学建议

1．关于角的概念的推广的知识结构

本小节内容从角不大于周角的非负角开始扩充到任意角，使角有正角、负角、零角之分。在平面直角坐标系内建立适当的直角坐标系后，根据角的终边在哪一象限，把角划分为四个象限和特殊角等若干类，于是引入了第几象限角和终边相同的角的集合这样两个概念。再由特殊到一般进行归纳总结.

2．关于角的概念的推广的重点、难点分析

本节的重点是任意角的概念和象限角的概念；难点是把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来．

可以通过实例帮助建立任意角的概念，如用扳手拧螺母；车轮转动辐条形成的角，特别是钟表的指针转动，因为正角、负角是依据逆时针和顺时针来定义的．

建立直角平面坐标系的前提是：角的顶点和坐标原点重合，角的始边与轴的正半轴重合．在这个前提下角的终边落在第几象限就称为第几象限的角，若终边落在坐标轴上，称为坐标轴上的角．

为了加深对任意角概念的理解，应正确区分锐角、的角、小于的角．凡与角终边相同

的角均可以写作．这一条件不可少，它表明了与终边相同的角都相差

的整数倍，或者在形成角的过程中，每当射线绕原点转一圈时，就会出现一个与终边相同的角，经常使

在之间，求终边相同的角，可用此角去除以，使余数在之间．3．关于角的概念的推广的教法建议

（1）建议通过实例帮助建立任意角的概念，如用扳手拧螺母；车轮转动辐条形成的角，特别是钟表的指针转动，因为正角、负角是依据逆时针和顺时针来定义的．也就是用运动的观点来讲述角的概念的推广实际意义．

（2）正角与负角的规定是出于习惯，就和正数、负数规定一样。建议讲正角和负角的教学时对比正数、负数进行教学．

（3）角的概念推广后，建议引导学生辨别“锐角”、“的角”、“小于的角”、“第一象限角”这些容易混淆的概念．

（4）建立平面直角坐标系后，建议在教学过程中要注意正确区分轴正半轴上的角与轴上的角，轴正半轴与轴上的角，防止学生发生混淆．

（5）建议在教学过程中要认真对待本节的符号、词语，注意它们的正确使用，给学生树立一个榜样．

教学设计示例（一）

角的概念的推广

教学目标

1．理解引入大于角和负角的意义．

2．理解并掌握正、负、零角的定义．

3．掌握终边相同角的表示法．

4．理解象限角的概念、意义及其表示方法．

重点难点

1．理解并掌握正、负、零角的定义．

2．掌握终边相同角的表示法．

教学用具

直尺、投影仪

教学过程

1．设置情境

设置实例（1）用扳手拧螺母（课件）；（2）跳水运动员身体旋转（视频）．说明旋转第二周、第三周……，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。本节课将在已掌握

～角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法．

2．探索研究

（1）正角、负角、零角概念

①一条射线由原来位置，绕着它的端点，按逆时针方向旋转转到形成的角规定为正角，如图中角；把按顺时方向旋转所形成的角规定为负角，如图中的；射线没作任何旋转时，我们认为它这时

也形成了一个角，并把这个角规定为零角，与初中所学角概念一样，、，点分别叫该角的始边、终边、角顶点．

②如果把角顶点与直角坐标系原点重合，角的始边在轴的正半轴上，这时，角的终边落在第几象限，就称这个角是第几象限角，特别地，如果角的终边落在坐标轴上，就说该角不属于任何象限，习惯上称其为轴上角．

③我们作出，及三个角，易知，它们的终边相同。还可以看出，，

的终边也是与角终边重合的，而且可以理解，与角终边相同的角，连同在内，可以构成一个集合，记作．一般地，我们把所有与角终边相同的角，连同角

在内的一切角，记成，或写成集合形式．

（2）例题分析

【例1】在～间，找出与列列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角（1）；（2）；（3）．

解：（1）∵

∴与角终边相同的角是角，它是第三象限的角；

（2）∵

∴与终边相同的角是，它是第四象限的角；

（3）

所以与角终边相同的角是，它是第二象限角．

总结：草式写在草稿纸上，正的角度除以，按通常除去进行；负的角度除以，商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1，以使余数为正值．

练习：（学生板演，可用投影给题）

（1）一角为，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_______．

（2）集合中，各角的终边都在（）

A．轴正半轴上，

B．轴正半轴上，

C．轴或轴上，

D．轴正半轴或轴正半轴上

解答：（1）（2）C

【例2】写出与下列各角终边相同的角的集合，并把中适合不等式的元素写出来：

（1）；（2）；（3）．

解：（1）

中适合的元素是

（2）

满足条件的元素是

（3）

中适合元素是

说明：与角终边相同的角，连同在内可记为，这里

（1）；（2）是任意角；

（3）与之间是“＋”连接，如应看做；

（4）终边相同角不一定相等，但相等的角终边必相同，终边相同的角有无数个，它们彼此相差的整数倍；

（5）检查两角，终边是否相同，只要看是否为整数．

练习：（学生口答：用投影给出题）

（1）请用集合表示下列各角．

①～间的角②第一象限角③锐角④小于角．

（2）分别写出：

①终边落在轴负半轴上的角的集合；

②终边落在轴上的角的集合；

③终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合；

④终边落在四象限角平分线上的角的集合．

解答（1）①；

②；

③；④

（2）①；

②；

③；

④．

说明：第一象限角未必是锐角，小于的角不一定是锐角，～间的角，根据课本约定它包括，但不包含．

【例3】用集合表示：

（1）第三象限角的集合．

（2）终边落在轴右侧的角的集合．

解：（1）在～中，第三象限角范围为，而与每个角终边相同的角可记为，，故该范围中每个角适合，，故第三象限角集合为．

（2）在～中，轴右侧的角可记为，同样把该范围“旋转”后，得，，故轴右侧角的集合为

．

说明：一个角按顺、逆时针旋转（）后与原来角终边重合，同样一个“区间”内的角，按顺逆时针旋转（）角后，所得“区间”仍与原区间重叠．

3．练习反馈

（1）与的终边相同且绝对值最小的角是______________．

（2）若角与角的终边重合，则与的关系是___________，若角与角的终边在一条直线上，则与的关系是____________．

（3）若是第四象限角，则是（）．

A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角

答案：（1）；

（2），，；

（3）C

4．总结提炼

判断一个角是第几象限角，只要把改写成，，那么在第几象限，就是第几象限角，若角与角适合关系：，，则、终边相同；若角与适合关系：，，则、终边互为反向延长线．判断一个角所有象限或不同角之间的终边关系，可首先把它们化为：，这种模式（），然后只要考查的相关问题即可．另外，数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法．课时作业

1．在到范围内，找出与下列各角终边相同角，并指出它们是哪个象限角

（1）（2）（3）（4）

2．写出终边在轴上的角的集合（用～的角表示）

3．写出与终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来．

4．时针走过3小时20分，则分钟所转过的角的度数为______________，时针所转过的角的度数为

______________．

5．写出终边在直线上的角的集合，并给出集合中介于和之间的角．

6．角是～中的一个角，若角与角有相同始边，且又有相同终边，则角．参考答案：

1．（1）（2）（3）（4）

2．

3．，或

4．，

5．，或

6．

教学设计示例（二）

角的概念的推广

教学目标

1．讨论等分角所在象限问题．

2．会表示给定区域内的角的集合．

重点难点

1．讨论等分角所在象限问题．

2．会表示给定区域内的角的集合．

教学用具

投影仪

教学过程

1．教学情境

我们都知道，是锐角，角的一半也是锐角，那么第一象限角：，

的一半是否仍在第一象限呢？

2．探索研究

（1）在上述问题中，令，，则

为了确认的终边所在位置，关键是“看”，是否为的整数倍。为此可对的奇、偶性展开讨论．

①若，，则，进而可知与角终边相同且在Ⅰ象限．

②若，，则，易知与角终边相同，都在Ⅲ象限．

综上可知，在Ⅰ或Ⅲ象限，且它的两个终边互为反向延长线。

（2）若已知：角满足，、为常数，，则所在位置如何确定？

事实上，此问题可以仿照上述问题一样处理．

∵，

∴

为了确定所在区间，需要确定“边界”，，的位置，为此又需要“看”

是否为的整数倍，故讨论如下．

①若，，则，

如图，它表示单位圆中的扇形区域Ⅰ．

②若，，

则

此时，在单位圆中的区域Ⅱ中

综上知，在对顶扇形Ⅰ、Ⅱ之中．

（3）例题分析

【例1】若是第二象限角时，则，，分别是第几象限的角？

解：（1）∵是第二象限的角

∴

则，

故是第三或第四象限的角，或角的终边在轴的负半轴上．

（2）∵，

当时，是第一象限的角，

当时，，是第三象限的角，∴是第一或第三象限的角．

（3）∵，

当时，，

∴是第一象限的角，

当时，

∴是第二象限的角；

当时，，

∴是第四象限的角；综上所述是第一或第二或第四象限的角，

如图所示：

3．演练习反馈

1．设，

，

则相等的角集合为_______________．

2．如图，终边落在阴影处（包括边界）的角集合为（）

A．

B．

C．

D．

参考答案：1．，2．D

4．总结提炼

（1）欲问角在哪个象限，只需把改写成，其中，如讨论形如

所表示的角所在象限，可按，，对整数进行分类，目的是“凑”出表达：

（2）对表达式，，、为常数，它的图示为单位圆中的对顶扇形．

课时作业

1．若的终边在第一、三象限的角平分线上，则的终边在_______．

2．下列各题中，正确的是（）

A．终边和始边都相同的两个角一定相等

B．是第二象限的角

C．若，则是第一象限角

D．相等的两个角终边一定相同

3．与终边相同的角可写成（）

A．．B．．

C．．D．．

4．已知角的终边与轴的正半轴所夹的角为，且终边落在第二象限，又，求．

5．已知

．

求，．

参考答案：

1．在轴正半轴上．（注：轴正半轴上角都是吗？）

2．选D

3．选C取－2时

4．∵

∴，

5．．

．

典型例题

例1设，，，

，那么有（）．

A．B．

C．（）D．

分析：解答本题时，先应明确所给集合中角的具体含义，再逐一对照每一个选项，明辨真伪．

解：第一象限的角不一定小于（如），故A错；小于的角不一定在第一象限（如），故B错；的角，但的角，故C错；又，因此D对，应选D．说明：角的概念推广后，遇到角的问题，应根据角的范围及相关角的概念进行具体分析．如本题中的“锐角”与“小于的角”就是两个含义不尽相同的概念．

例2在～间，求出与下列各角终边相同的角，并判定它们分别是哪一个象限的角．

（1）；（2）．

分析：求解本题，其关键在于正确得到中的值，即用给出的角去除以所得到的整数部分．

解：（1）因为，

所以即为欲求的角，它在第三象限，从而也是第三象限的角．

（2）因为，

所以即为所求的角，它是第三象限的角，故也是第三象限的角．

说明：在～内求终边与给定的角的终边相同的角时，若题中给定的角是负角，在应用式子表示时，比正常除法所得整数应小一个单位，才能使余数在～内，故这里的

只能取－2，而不能－1，若取－1，则，这种形式对解本题并无作用，因为不在～之间．

例3（1）如图，终边落在位置时的角的集合是____________；线边落在位置，且在

内的角的集合是_________；终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是______________．（2）已知，

求与．

分析：本题可借助数形结合的思想方法求解．

解：（1）由图形直观可得：终边落在位置时角的集合是；终边落

在位置，且在内的角的集合是；终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是

．

（2）分别在直角坐标平面上画出表示集合、的示意图（为横线部分，为竖线部分）（如图）再由图形直观得出：

说明：求角值的集合的交集或并集时，借助数形结合是最简便的方法．

例4已知是第二象限的角，试求

（1）角所在的象限；（2）角所在的象限．

分析：对于本题，如若不进行较深入地推演，则很容易得到一个较明显而又错误的结论，即认为角在第一象限；角在第四象限，而事实上是不尽然的．

解：（1）因为是第二象限的角，

所以，

从而有．

由上知，当为偶数时，角是第一象限的角；当为奇数时，角是第三象限的角．

综上可知，角是第一或第三象限的角．

（2）由（1）可知，角的范围是．

故角是第三象限，或第四象限，或是轴负半轴上的角．

说明：依照（1）中的方法，可得到以下规律：当分别是第一、二、三、四象限时，则可能顺次是

第一或三、一或三、二或四、二或四象限的角．仿此，还可进一步考虑的情形，有兴趣的读者不妨一试；另外，应注意，在（2）中，不可把角答成是第三象限或第四象限的角，因为终边在轴负半轴上的角（）也是它的一个解，而此角不属于任何象限．

探究活动

经过5小时又25分钟，时钟的分针、时针各转多少度？

参考答案：

5小时25分钟折合成325分钟．60分钟对应360°，所以325分钟对应，因为顺时针旋转，所以分针转－1950°．

5小时25分钟折合成小时，1小时对应．所以小时对应，所以顺时针转－162.5°．

习题精选

一．填空题

1．与终边相同的角的集合是___________，它们是第____________象限的角，其中最小的正角是___________，最大负角是___________．

2．已知的终边在轴上的上方，那么是第__________象限的角．

3．已知角的终边落在第一、四象限及轴正半轴，则角的集合为____________；终边在坐标轴上的角的集合为____________．

4．若角与的终边关于轴对称，则与的关系是__________；若角与的终边互相垂直，则与的关系是___________．

5．给出下列命题：

①和的角的终边方向相反；

②和的角的终边相同；

③第一象限的角和锐角终边相同；

④与的终边相同；

⑤设，

，则．

其中所有正确命题的序号是______________．

二．选择题

6．下列命题中，正确的是（）．

A．始边和终边都相同的两个角一定相等

B．是第二象限的角

C．若，则是第一象限角

D．相等的两个角终边一定相同

7．与角终边相同的角可写成（）（）．

A．B．

C．D．

8．经过3小时35分钟，时针与分针转过的度数之差是（）．

A．B．C．D．

9．若两角、的终边关于原点对称，那么（）．

A．

B．

C．

D．

10．设，且的终边与轴非负半轴重合，则这样的角最多有（）．

A．二个B．三个C．四个D．五个

三．解答题

11．求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：（1）；（2）．

12．求，使与角的终边相同，且．

13．如图所示，写出图中阴影部分（包括边界）的角的集合，并指出是否是该集合中的角．

14．已知角是第三象限的角，试判断、所在的象限．

15．若角的终边经过点，试写出角的集合，并求出集合中绝对值最小的角．

16．写出终边在函数的图象上的角的集合，并指出其中在内的角．

参考答案：

一．填空题

1．，三，，

2．一、三

3．，

4．，

5．②、④、⑤

二．选择题

6．D7．C8．C9．D10．D

三．解答题

11．（1），其中的最小正角为，最大负角为；

（2），其中的最小正角为，最大负角为．

12．由，知符合条件的角为，，，，．

13．阴影部分角的集合为，是该集合中的角．因为．

14．在第二、四象限；在第一、三、四象限．

15．所求集合为，集合中绝对值最小的角为．

16．，，，，．

提示：先由可知所求角在的值为或，由此即可写出集合．

4.2弧度制

教学目标

1.使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；

2.了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应的关系；

3.掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度解决某些简单的实际问题；

4.在理解弧度制定义的基础上，领会弧度制定义的合理性；

5.通过学习，理解并认识角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辩证统一的.

教学建议

一、关于弧度制的知识结构

二、关于弧度制的重点、难点分析

重点是理解弧度的意义，能正确地进行角度制与弧度制的换算；难点是弧度制的概念与角度的关系。

（1）要弄清1弧度的意义。弧度制与角度制一样，只是度量角的一种方法，但由于学生有先入为主的想法，所以学起来有一定的困难，首先必须清楚1弧度的概念，它与所在圆的半径大小无关。其次弧度制与角度制相比有一定的优点，一是在进位上角度制在度、分、秒上是60进制，而弧度制却是十进制，其二在

弧长和扇形的面积的表示上弧度制也比角度制简单：

（2）两种制度的转换。利用它们的意义在弧度制下圆周角为rad，而角度制下圆周角为，所以rad＝，进而得到rad rad.

1rad

三、关于弧度制的教法建议

（1）建议教学用实例来讲述1弧度的含义，这样便于学生概念的理解；

（2）建议在教学时，通过弧度制与角度制对比来分析、说明应用弧度制的度量比应用角度制的度量方法是否具有优越性；

（3）关于弧度与角度二者的换算，教学时应抓住：

弧度弧度

这个关键，来引导学生；

（4）教学应注意强调在同一式中，所采用的单位必须一致；

（5）通过例3的教学，应让学生知道，无论是利用角度制还是弧度制，都能在已知弧长和半径的情况下推出扇形面积公式，但利用弧度制来推导要简单中些．

教学设计示例（一）

弧度制

教学目标：

1．明确引入弧度制的必要性，理解新单位制意义．

2．熟练掌握角度制与弧度制的换算．

教学重点：理解弧度制引入的必要性，掌握定义，能熟练地进行角度制与弧度制的互化．

教学难点：弧度制定义的理解．

教学用具：投影仪．

教学过程

1．设置情境

在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？本节课就来尝试选择这种新单位．

2．探索研究

（1）复习角度制

我们在平面几何中研究角的度量，当时是用度做单位来度量角，的角是如何定义的？

规定把周角的作为1度的角．

我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？

（2）弧度制定义

我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，如图1，弧的长等于半径，所对的圆心角就是1弧度的角，弧度制的单位符号是，读作弧度．

图1

的弧度数的弧度数

提问：若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？若弧是一个整圆呢？

因为半圆的弧长，其圆心角的弧度数是，同理，若弧是一个整圆，其圆心角的弧度数是．

在到的角的弧度数必然适合不等式，角的概念推广后，弧的概念也随之推广，任一正角的弧度数都是一个正数．如果圆心角表示一个负角，且它以所对的弧长，则这个圆心角的

弧度数是，由此我们给出弧度制的定义：一般地，可以得到：正角的弧度数是一个正数，

负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0；角的弧度数的绝对值，其中是以

角作为圆心角时所对的弧长，是圆的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制．

提问：为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆的半径大小无关呢？

如图2，设为的角，圆弧和的长分别为和，点和到点的距离（即圆半径）分别为和，由初中学过的弧长公式可得：，，于是

．上式表明，以角为圆心角所对的弧长与其半径的比值，由的大小来确定，与所取的半径大小无关，仅与角的大小有关．

因，可以得到，那弧长等于圆弧所对圆心角的弧度数的绝对值与半径的积，这个公式比采用角度制时相应公式要简单．

（3）角度制与弧度制的换算

用“弧度”与“度”去度量每一个角时，除了零角以外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度量同一个角的结果，二者就可以相互换算．我们已经知识若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧度数是，而在角度制里它是，因此，两边除以2．

得等式两边同除180

得

同理，把弧度换成角度．

【例1】把化成弧度．

解：∵

∴

【例2】把化成度．

解：

同学们在进行角度制与弧度制互化时要抓住弧度这个关键．

下面请大家写出一些特殊角的弧度数．

角度

弧度

按从左至右顺序其答案是：0、、、、、、、、、、．今后我们用弧度制表示角的时候，“弧度”二字或“”通常省略不写，而只写相应的弧度数．例如：角就

表示是的角，就表示的角的余弦，即．

（4）角度制与弧度制的比较

引进弧度制后，我们应将它与角度制进行比较，同学们应明确：①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制度；②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大

小，而是圆的所对的圆心角（或该弧）的大小；③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值．

【例3】计算：

（1）；（2）．

解：（1）∵∴

（2）∵

练习（用投影仪）

1．把下列各角化成的形式：

（1）；（2）；

（3）．