中考数学二轮复习中考数学压轴题测试试题附解析

一、中考数学压轴题

1．已知四边形ABCD 是正方形，点P 在直线BC 上，点G 在直线AD 上（P ，G 不与正方形顶点重合，且在CD 的同侧），PD =PG ，DF ⊥PG 于点H ，交直线AB 于点F ，将线段PG 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PE ，连结EF ．

（1）如图1，当点P 与点G 分别在线段BC 与线段AD 上时． ①求证：DF =PG ；

②若AB =3，PC =1，求四边形PEFD 的面积；

（2）如图2，当点P 与点G 分别在线段BC 与线段AD 的延长线上时，请猜想四边形PEFD 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．

2．已知：如图，AB 为

O 的直径，弦CD AB ⊥垂足为E ，点H 为弧AC 上一点．连接

DH 交AB 于点F ，连接HA 、BD ，点G 为DH 上一点，连接AG ，HAG BDC ∠=∠． （1）如图1，求证：AG HD ⊥；

（2）如图2，连接HC ，若HC HF =，求证：HC HA =；

（3）如图3，连接HO 交AG 于点K ，若点F 为DG 的中点，HC 2HG =，求

KG

AK

的值．

3．如图，已知抛物线()2

y ax bx 2a 0=+-≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，

直线BD 交抛物线于点D ，并且()D 2,3，()B 4,0-． （1）求抛物线的解析式；

（2）已知点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B 、M 、C ，求BMC 面积的最大值；

（3）在（2）中BMC 面积最大的条件下，过点M 作直线平行于y 轴，在这条直线上是否存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

4．如图，在四边形ABCD 中，∠B=90°，AD//BC ，AD=16，BC=21，CD=13． （1）求直线AD 和BC 之间的距离；

（2）动点P 从点B 出发，沿射线BC 以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q 从点A 出发，在线段AD 上以每秒1个单位长度的速度运动，点P 、Q 同时出发，当点Q 运动到点D 时，两点同时停止运动，设运动时间为t 秒．试求当t 为何值时，以P 、Q 、D 、C 为顶点的四边形为平行四边形？

（3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使△PQD 为等腰三角形？若存在，请直接写出相应的t 值，若不存在，请说明理由．

5．问题提出

（1）如图①，在ABC 中，42,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积．

问题探究

（2）如图②，半圆O 的直径10AB =，C 是半圆AB 的中点，点D 在BC 上，且

2CD BD =，点P 是AB 上的动点，试求PC PD +的最小值．

问题解决

（3）如图③，扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，求PE EF FP ++的长度的最小值．

6．如图1，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，连接AC 、

BC ，已知点A 、C 的坐标为()2,0A -、()0,6C -．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点P 是线段BC 下方抛物线上的一动点，如果在x 轴上存在点Q ，使得以点B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，求点Q 的坐标；

（3）如图2，若点M 是AOC △内一动点，且满足AM AO =，过点M 作MN OA ⊥，垂足为N ，设AMN 的内心为I ，试求CI 的最小值．

7．对于平面直角坐标系xOy 中的图形W 1和图形W 2．给出如下定义：在图形W 1上存在两点A ，B （点A ，B 可以重合），在图形W 2上存在两点M ，N ，（点M 于点N 可以重合）使得AM=2BN ，则称图形W 1和图形W 2满足限距关系

(1)如图1，点C(1，0)，D(-1，0)，E(0，3)，点P 在线段DE 上运动(点P 可以与点D ，E 重合)，连接OP ，CP ．

①线段OP 的最小值为_______，最大值为_______；线段CP 的取值范直范围是_____； ②在点O ，点C 中，点____________与线段DE 满足限距关系；

(2)如图2，⊙O 的半径为1，直线3y x b =+(b>0)与x 轴、y 轴分别交于点F ，G ．若线段

FG 与⊙O 满足限距关系，求b 的取值范围；

(3)⊙O 的半径为r(r>0)，点H ，K 是⊙O 上的两个点，分别以H ，K 为圆心，1为半径作圆得到⊙H 和 K ，若对于任意点H ，K ，⊙H 和⊙K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．

8．如图1，△ABC 内接于⊙O ，直径AD 交BC 于点E ，延长AD 至点F ，使DF ＝2OD ，连接

FC 并延长交过点A 的切线于点G ，且满足AG ∥BC ，连接OC ，若cos ∠BAC ＝1

3

，BC ＝8． （1）求证：CF 是⊙O 的切线； （2）求⊙O 的半径OC ；

（3）如图2，⊙O 的弦AH 经过半径OC 的中点F ，连结BH 交弦CD 于点M ，连结FM ，试求出FM 的长和△AOF 的面积．

9．如图，直角三角形ABC ?中，90460ACB AC A ∠?=∠?＝，，＝，O 为BC 中点，将

ABC ?绕O 点旋转180?得到DCB ?．一动点P 从A 出发，以每秒1的速度沿

A B D →→的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM AC ⊥．

（1）当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A B D →→的路线运动，且在AB 上以每秒1的速度匀速运动，在BD 上以每秒2的速度匀速运动，过Q 作直线QN 使

//QN PM ，设点Q 的运动时间为t 秒，(0

图形的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值．

（2）当点P 开始运动的同时，另一动点R 从B 处出发沿B C D →→的路线运动，且在

BC 上以每秒

3

2

的速度匀速运动，在CD 上以每秒2的速度匀度运动，是否存在这样的P R 、，使BPR ?为等腰三角形？若存在，直接写出点P 运动的时间m 的值，若不存在请

说明理由．

10．如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线1

22

y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点,C 抛物线2

y ax bx c =++的对称轴是直线3

,2

x =与x 轴的交点为点,A 且经过点B C 、两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M 为抛物线对称轴上一动点，当BM CM -的值最小时，请你求出点M 的坐标；

（3）抛物线上是否存在点N ，过点N 作NH x ⊥轴于点,H 使得以点、、B N H 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 11．定义：两个相似等腰三角形，如果它们的底角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”．如图，在ABC ?与AED ?中，,BA BC EA ED == ，且

,ABC

AED ??所以称ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”，设它们的顶角为α，连接

,EB DC ，则称

DC

EB

会为“关联比"． 下面是小颖探究“关联比”与α之间的关系的思维过程，请阅读后，解答下列问题： [特例感知]

()1当ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”，且90α?

=时，

①在图1中，若点E 落在AB 上，则“关联比”

DC

EB

=

②在图2中，探究ABE ?与ACD ?的关系，并求出“关联比”

DC

EB

的值．

[类比探究]

()2如图3，

①当ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”，且120a ?=时，“关联比”

DC

EB

= ②猜想：当ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”，且n α=?时，“关联比”DC

EB

= (直接写出结果，用含n 的式子表示) [迁移运用]

()3如图4， ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”．若90,4,ABC AED AC ?∠=∠==点

P 为AC 边上一点，且1PA =，点E 为PB 上一动点，求点E 自点B 运动至点P 时，点

D 所经过的路径长．

12．如图所示，在平面直角坐标系中，点(),C m m 在一三象限角平分线上，点(),0B n 在x 轴上，且m=2n -+2n -+4，点A 在y 轴的正半轴上；四边形AOBC 的面积为6 （1）求点A 的坐标；

（2）P 为AB 延长线上一点，//PQ OC ，交CB 延长线于Q ，探究OAP ∠、ABQ ∠、

Q ∠的数量关系并说明理由；

（3）作AD 平行CB 交CO 延长线于D ，BE 平分CBx ∠，BE 反向延长线交CO 延长线于，若设ADO α∠=，F β∠=，试求2αβ+的值．

13．如图，一张半径为3cm 的圆形纸片，点O 为圆心，将该圆形纸片沿直线l 折叠，直线

l 交O 于A

B 、两点．

（1）若折叠后的圆弧恰好经过点O ，利用直尺和圆规在图中作出满足条件的一条直线l

（不写作法，保留作图痕迹），并求此时线段AB 的长度． （2）已知M 是

O 一点，1cm OM =．

①若折叠后的圆弧经过点M ，则线段AB 长度的取值范围是________． ②若折叠后的圆弧与直线OM 相切于点M ，则线段AB 的长度为_________cm ． 14．（1）（发现）如图1，在ABC 中，//DE BC 分别交AB 于D ，交AC 于E ．已知

CD BE ⊥，3CD =，5BE =，求BC DE +的值．

思考发现，过点E 作//EF DC ，交BC 延长线于点F ，构造BEF ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．

请回答：BC DE +的值为______．

（2）（应用）如图3，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AD 与BC 不平行且

AD BC =，对角线AC BD ⊥，垂足为O ．若3CD =，5AB =，DAB CBA ∠=∠，

求AC 的长．

（3）（拓展）如图4，已知平行四边形ABCD 和矩形ABEF ，AC 与DF 交于点G ，

FD FB =，且30BFD ∠=?，60EBF ∠=?，判断AC 与DF 的数量关系并证明．

15．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线(2)()y a x x m =++与x 轴交于点

A C 、（点A 在点C 的左侧），与y 轴正半轴交于点

B ，24O

C OB ==． （1）如图1，求a m 、的值；

（2）如图2，抛物线的顶点坐标是M ，点D 是第一象限抛物线上的一点，连接AD 交抛物线的对称轴于点N ，设点D 的横坐标是t ，线段MN 的长为d ，求d 与t 的函数关系式；

（3）如图3，在（2）的条件下，当15

4

d =时，过点D 作DE x 轴交抛物线于点E ，点

P 是x 轴下方抛物线上的一个动点，连接PE 交x 轴于点F ，直线2

11

y x b =+经过点D 交EF 于点G ，连接CG ，过点E 作EH CG 交DG 于点H ，若3CFG EGH S S =△△，求点

P 的坐标．

16．在菱形ABCD 中，P 为直线DA 上的点，Q 为直线CD 上的点，分别连接PC ，

PQ ，且PC PQ =．

（1）若60B ∠=?，点P 在线段DA 上，点Q 在线段CD 的延长线上，如图①，易证：

DQ PD AB +=（不需证明）；

（2）如图②，若∠B ＝120°，点P 在线段DA 上，点Q 在线段CD 的延长线上，如图③，猜想线段DQ ，PD 和AB 之间有怎样的数量关系？请直接写出对图②，图③的猜想，并选择其中一种情况给予证明．

17．已知抛物线y=﹣x 2﹣2x+3交x 轴于点A 、C （点A 在点C 左侧），交y 轴于点B ．

（1）求A ，B ，C 三点坐标；

（2）如图1，点D 为AC 中点，点E 在线段BD 上，且BE=2DE ，连接CE 并延长交抛物线于点M ，求点M 坐标；

（3）如图2，将直线AB 绕点A 按逆时针方向旋转15°后交y 轴于点G ，连接CG ，点P 为△ACG 内一点，连接PA 、PC 、PG ，分别以AP 、AG 为边，在它们的左侧作等边△APR 和等边△AGQ ，求PA+PC+PG 的最小值，并求当PA+PC+PG 取得最小值时点P 的坐标（直接写出结果即可）．

18．已知：矩形ABCD 内接于⊙O ，连接 BD ，点E 在⊙O 上，连接 BE 交 AD 于点F ，∠BDC+45°=∠BFD ，连接ED ． （1）如图 1，求证：∠EBD=∠EDB ；

（2）如图2，点G 是 AB 上一点，过点G 作 AB 的垂线分别交BE 和 BD 于点H 和点K ，若

HK=BG+AF ，求证：AB=KG ；

（3）如图 3，在（2）的条件下，⊙O 上有一点N ，连接 CN 分别交BD 和 AD 于10点 M 和点 P ，连接 OP ，∠APO=∠CPO ，若 MD=8，MC= 3，求线段 GB 的长．

19．已知：AB 为⊙O 的直径，点C 为弧AB 的中点，点D 为⊙O 上一点，连接CD ，交AB 于点M ，AE 为∠DAM 的平分线，交CD 于点E ．

（1）如图1，连接BE ，若∠ACD=22°，求∠MBE 的度数；

（2） 如图2，连接DO 并延长，交⊙O 于点F ，连接AF ，交CD 于点N ． ①求证：DM 2+CN 2=CM 2；

②如图3，当AD=1，AB=10时，请直接写出．．．．

线段ME 的长． 20．如图，平面直角坐标系中，抛物线2

28y ax ax a =--与x 轴交于B 、C 两点（点B 在

点C 右侧），与y 轴交于点A ，连接AB ，25AB =．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P 在第二象限的抛物线上，连接PB 交y 轴于D ，取PB 的中点E ，过点E 作

EH x ⊥轴于点H ，连接DH ，设点P 的横坐标为t .ODH 的面积为S ，求S 与t 的函数

关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，作PF y ⊥轴于F ，连接CP 、CD ，CP CD =，点S 为PF 上一点，连接BS 交y 轴于点T ，连接BF 并延长交抛物线于点R .SBC FBO 45∠+∠=?，在射线CS 上取点Q.连接QF ，QF RF =，求直线TQ 的解析式．

21．如图，已知ABF 为等腰直角三角形，90BAF ∠=?，D 、C 为直线AF 上两点，且满足DF AC =，连接BD 、BC ，过点A 作AE BD ⊥于点E ，交BF 于点H ，连接

CH ．

（1）若30BAE ∠=?，1BE =，求DE 的长；

（2）若点M 是线段BF 上的动点，连AM 并延长交BD 于N ，当M 在线段BF 的什么位置上时，AH BN =？请说明理由；

（3）在（2）的结论下，判断线段CH 、AH 、BD 的数量关系．请说明理由． 22．如图，在⊙O 中，直径AB ＝10，tanA ＝33

． （1）求弦AC 的长；

（2）D 是AB 延长线上一点，且AB ＝kBD ，连接CD ，若CD 与⊙O 相切，求k 的值； （3）若动点P 以3cm/s 的速度从A 点出发，沿AB 方向运动，同时动点Q 以3

2

cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为t （0＜t ＜10

3

），连结PQ ．当t 为何值时，△BPQ 为Rt △？

23．在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第七题选择题（2）如图 1，如果 AB ∥CD ∥EF ，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF ＝（ ） A ．180° B ．270° C ．360° D ．540° （1）请写出这道题的正确选项；

（2）在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，AB ∥EF ，请直接写出∠BAD ，∠ADE ，∠DEF 之间的数量关系．

（3）善于思考的龙洋同学想：将图1平移至与图2重合（如图3所示），当AD ，ED 分别平分∠BAC ，∠CEF 时，∠ACE 与∠ADE 之间有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需

要证明．

（4）彭敏同学又提出来了，如果像图4这样，AB ∥EF ，当∠ACD=90°时，∠BAC 、∠CDE 和∠DEF 之间又有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需要证明．

24．如图1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，矩形OACB 的顶点A 、B 分别在x 轴和

y 轴上，已知OA=5，OB=3，点D 的坐标是（0，1），点P 从点B 出发以每秒1个单位的

速度沿折线BCA 的方向运动，当点P 与点A 重合时，运动停止，设运动的时间为t 秒．

（1）点P 运动到与点C 重合时，求直线DP 的函数解析式；

（2）求△OPD 的面积S 关于t 的函数解析式，并写出对应t 的取值范围；

（3）点P 在运动过程中，是否存在某些位置使△ADP 是不以DP 为底边的等腰三角形，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

25．如图，射线AM 上有一点B ，AB ＝6．点C 是射线AM 上异于B 的一点，过C 作CD ⊥AM ，且CD ＝

4

3

AC ．过D 点作DE ⊥AD ，交射线AM 于E . 在射线CD 取点F ，使得CF ＝CB ，连接AF 并延长，交DE 于点G ．设AC ＝3x ．

（1） 当C 在B 点右侧时，求AD 、DF 的长．(用关于x 的代数式表示) （2）当x 为何值时，△AFD 是等腰三角形．

（3）若将△DFG 沿FG 翻折，恰使点D 对应点'D 落在射线AM 上，连接'FD ，'GD ．此时x 的值为 （直接写出答案）

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、中考数学压轴题

1．E

解析：（1）①详见解析；②8；（2）（2）四边形PEFD是菱形，证明详见解析

【解析】

【分析】

（1）①根据四边形ABCD为正方形得AD=CD ，然后证明△ADF≌△CDP，则DF=DP，得到DF=PG；

②先判断四边形PEFD是菱形，然后求出22

+=P作PM⊥AD于点

3110

M，则四边形CDMP是矩形，则△DHG∽△PMG，根据相似三角形的性质，即可求出答案；

（2）根据四边形ABCD为正方形得AD=AB，由四边形ABPM为矩形得AB=PM，则

AD=PM，再利用等角的余角相等得到∠GDH=∠MPG，于是可根据“ASA”证明

△ADF≌△MPG，得到DF=PG，加上PD=PG，得到DF=PD，然后利用旋转的性质得

∠EPG=90°，PE=PG，所以PE=PD=DF，再利用DF⊥PG得到DF∥PE，于是可判断四边形PEFD为平行四边形，加上DF=PD，则可判断四边形PEFD为菱形．

【详解】

解：（1）①证明∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=CD ，∠A= ∠C=∠ADC=90°，

∵DF⊥PG，

∴∠DHG=90°，

∴∠HGD+∠ADF=90°，∠CDP+∠PDG=90°，

∵ PD=PG ，

∴∠PGD=∠PDG，

∴∠ADF=∠CDP，

∴△ADF≌△CDP（ASA），

∴DF=DP ， ∵ PD=PG ，

∴DF=PG ；

②∵线段PG 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PE ∴∠GPE=∠DHG=90°， PG=PE=DF= PD ∴PE ∥DF

∴四边形PEFD 是菱形

在Rt △DCP 中，AD=AB=3，PC=1，PG=DP=223110+= 过点P 作PM ⊥AD 于点M ，则四边形CDMP 是矩形

∴DM=MG=PC=1，DG=2DM=2， ∠PMG=∠DHG=90°，∠DGH=∠PGM ∴△DHG ∽△PMG ∴

DG GH

PG MG = 即=110

GH ∴GH=

10

， PH=PG-GH=410 由（1）DF=DP=10

∴四边形PEFD 的面积是DF PH ?=10×410

=8 ； （2）四边形PEFD 是菱形 ； 作PM ⊥DG 于M ，如图2，

∵四边形ABCD 为正方形， ∴AD=AB ，

∵四边形ABPM 为矩形，

∴AB=PM ， ∴AD=PM ， ∵DF ⊥PG ， ∴∠DHG=90°， ∴∠GDH+∠DGH=90°， ∵∠MGP+∠MPG=90°， ∴∠GDH=∠MPG ， 在△ADF 和△MPG 中

FAD PMG AD MP ADF MPG ∠=∠??

=?

?∠=∠?

， ∴△ADF ≌△MPG （ASA ）， ∴DF=PG ，而PD=PG ， ∴DF=PD ，

∵线段PG 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PE ， ∴∠EPG=90°，PE=PG ， ∴PE=PD=DF 而DF ⊥PG ， ∴DF ∥PE ，且DF =PE ， ∴四边形PEFD 为平行四边形， ∵DF=PD ，

∴四边形PEFD 为菱形． 【点睛】

本题考查了四边形的综合题：熟练掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定与性质是解题的关键；同时会运用等腰三角形的性质和旋转的性质；会利用三角形全等解决线段相等的问题．

2．A

解析：（1）详见解析；（2）详见解析；（3）1

5

KG AK = 【解析】 【分析】

（1）根据同弧所对的圆周角相等，进行角度计算，得90AHG HAG ∠+∠=?，进而得到

90AGH ∠=?，即可证明AG HD ⊥；

（2）连接AC 、AD 、CF ，根据同弧所对的圆周角相等，进行角度计算，得

HFA HAF ∠=∠，进而得到HF HA =，再根据已知HC HF =，得到HC HA =； （3）在DH 上截取DT HC =，过点C 作CM HD ⊥于点M ，通过证明

AHC ≌ATD 得到AH AT =，进而得到HG CH GD +=，再根据F 为DG 中点，得到GF DF =，通过勾股定理逆用，证明90HCF ∠=?，再通过解ACE △得

1

tan 3CAB ∠=

，解△CDH 得1tan 2

CDF ∠=，求得OF 、OH ，逆用勾股定理证明90HOF ∠=?，易求1

tan 2

KHG ∠=，1tan 3

HAG ∠=，最后求得

KG

AK

的值． 【详解】

（1）证明：如图，设HAG ∠为α，

∵HAG BDC ∠=∠， ∴HAG BDC α∠=∠=， ∵CD AB ⊥，

∴90BDC DBE ∠+∠=? ∴90DBE α∠=?-，

∵AHG ∠与ABD ∠为同对弧AD 所对的圆周角， ∴90AHG ABD α∠=∠=?-， ∴90AHG HAG ∠+∠=?，

∴18090AGH AHG HAG ∠=?-∠-∠=? ∴AG HD ⊥

（2）如图，连接AC 、AD 、CF ，

∵AB 为直径，AB CD ⊥， ∴CE DE =， ∴AB 垂直平分CD ， ∴AC AD =，FC FD =，

∴ACD ADC ∠=∠，FCD FDC ∠=∠，

∴ACD FCD ADC FDC ∠-∠=∠-∠，即ACF ADF ∠=∠， 设FCD FDC α∠=∠=，ACF ADF β∠=∠=，

∵ADH ∠与ACH ∠为同对弧AH 所对的圆周角， ∴ADH ACH β∠=∠=， ∴2HCF HCA ACF β∠=∠+∠=， ∵HFC FCD FDC ∠=∠+∠， ∴2HFC α∠=， ∵HC HF =， ∴HCF HFC ∠=∠， ∴22αβ=， ∴αβ=， ∵AB 为直径， ∴90ADB ∠=?， ∴90HDB β∠=?-，

∵HAB ∠与为HDB ∠同对弧BH 所对的圆周角， ∴90HAB HDB β∠=∠=?-， ∵AB CD ⊥，

∴9090BFD αβ∠=?-=?-， ∵9090HFA BFD αβ∠=∠=?-=?-， ∴HFA HAF ∠=∠， ∴HF HA =， ∴HC HA =；

（3）如图，在DH 上截取DT HC =，

∵ADH ∠与ACH ∠同对弧AH 所对的圆周角， ∴ADH ACH ∠=∠， ∵AB 为直径，且AB CD ⊥ ∴AC =AD ， ∴AC AD =， ∴AHC ≌ATD ， ∴AH AT =， ∵AG HT ⊥， ∴HG TG =，

∴HG CH GT DT GD +=+=， 设2HG k =，则4CH k =，GD 6k =， ∵F 为DG 中点， ∴3GF DF k ==，

∴5HF HG GF k =+=，FD =CF =3k ，

在HCF 中，由勾股定理逆定理得90HCF ∠=?， 过点C 作CM HD ⊥于点M ， 由△HCF 面积，可求CM =

12

5k ，

∴9

5

MF k =

， ∴1

tan 2

CM CM CDF MD MF FD ∠=

==+， 解ACE △得1tan 3

CAB ∠=， 易求OF ，OH ，

由勾股定理逆定理得90HOF ∠=?， 易求1tan 2KHG ∠=，1tan 3

HAG ∠=， ∴

1

5

KG AK =． 【点睛】

本题考查圆与三角形综合，主要考查知识点有同弧所对的圆周角相等，垂径定理，三角形全等的判定与性质，勾股定理的逆用，解直角三角形，锐角三角函数等，知识点跨度大，计算量多；熟练掌握圆的性质和三角形相关知识是解决本题的关键．

3．B

解析：（1）213

y x x 222

=+-；（2）4；（3）存在，Q 的坐标为()2,4-或()2,1-- 【解析】 【分析】

()1根据题意将()D 2,3、()B 4,0-的坐标代入抛物线表达式，即可求解；

()2由题意设点M 的坐标为2

13x,x x 222??+- ??

?

，则点1

K x,x 22

??-- ??

?

，BMC

1

S

MK OB 2

=

??，即可求解； ()3由题意和如图所示可知，1tan QHN 2

∠=，在Rt

QNH 中，QH m 6=+，

QN OQ ===QN sin QHN

QH

m 6∠=

==+，进行分析

计算即可求解． 【详解】

解：()1将()D 2,3、()B 4,0-的坐标代入抛物线表达式得：4223

16420a b a b +-=??--=?

，解得：

1

23

2

a b ?

=????=??

， 则抛物线的解析式为：213

y x x 222

=

+-； ()2过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点K ，

将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y k'x b'=+得：04''

'2k b b =-+??

=-?

，解得：

1'2'2

k b ?

=-?

?

?=-?， 则直线BC 的表达式为：1

y x 22

=--， 设点M 的坐标为213x,

x x 222??+- ???，则点1K x,x 22??-- ???

， 22BMC

1113S

MK OB 2x 2x x 2x 4x 2222??

=

??=----+=-- ???

， a 10=-<，BMC S

∴有最大值，

当b

x 22a

=-

=-时， BMC

S

最大值为4，

点M 的坐标为()2,3--；

()3如图所示，存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆，切点为N ，

过点M 作直线平行于y 轴，交直线AC 于点H ，

点M 坐标为()2,3--，设：点Q 坐标为()2,m -， 点A 、C 的坐标为()1,0、()0,2-，OA 1

tan OCA OC 2

∠=

=， QH //y 轴， QHN OCA ∠∠∴=， 1

tan QHN 2∠∴=

，则sin QHN 5

∠= 将点A 、C 的坐标代入一次函数表达式：y mx n =+得：0

2m n n +=??=-?

，

则直线AC 的表达式为：y 2x 2=-，

则点()H 2,6--，

在Rt QNH 中，QH m 6=+，222QN OQ (2)m m 4==-+=

+

2QN m 4

sin QHN QH

m 65∠+===

+， 解得：m 4=或1-，

即点Q 的坐标为()2,4-或()2,1--． 【点睛】

本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到解直角三角形、圆的基本知识，本题难点是()3，核心是通过画图确定圆的位置，本题综合性较强．

4．A

解析：（1）12；（2）5s 或373s ；（3）163s 或685

s 或72s 【解析】 【分析】

（1）AD与BC之间的距离即AB的长，如下图，过点D作BC的垂线，交BC于点E，在RtDEC中可求得DE的长，即AB的长，即AD与BC间的距离；

（2）四边形QDCP为平行四边形，只需QD=CP即可；

（3）存在3大类情况，情况一：QP=PD，情况二：PD=QD，情况三：QP=QD，而每大类中，点P存在2种情况，一种为点P还未到达点C，另一种为点P从点C处返回．

【详解】

（1）如下图，过点D作BC的垂线，交BC于点E

∵∠B=90°，AD∥BC

∴AB⊥BC，AB⊥AD

∴AB的长即为AD与BC之间的距离

∵AD=16，BC=21，

∴EC=5

∵DC=13

∴在Rt DEC中，DE=12

同理，DE的长也是AD与BC之间的距离

∴AD与BC之间的距离为12

（2）∵AD∥BC

∴只需QD=PC，则四边形QDCP是平行四边形

QD=16－t，PC=21－2t或PC=2t－21

∴16－t=21－2t或16－t=2t－21

解得：t=5s或t=37 3

s

（3）情况一：QP=PD

图形如下，过点P作AD的垂线，交AD于点F

∵PQ=PD，PF⊥QD，

∴QF=FD

∵AF∥BP，AB∥FP，∠B=90°

∴四边形ABPF是矩形，