二次函数各种题型汇总

二次函数各种题型汇总一、利用函数的对称性解题

（一）用对称比较大小

例1、已知二次函数y=x2-3x-4，若x

2-3/2＞3/2-x

1

＞0，比较y

1

与y

2

的大小

解：抛物线的对称轴为x=3/2，且3/2-x

1＞0，x

2

-3/2＞0，所以x

1

在对称轴的左侧，x

2

在对称

轴的右侧，

由已知条件x

2-3/2＞3/2-x

1

＞0，得：x2到对称轴的距离大于x

1

到对称轴的距离，所以y

2

＞

y

1

（二）用对称求解析式

例1、已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（－1，4），与x轴两交点间的距离为6，求此抛物线的解析式。

解：因为顶点坐标为（－1，4），所以对称轴为x=－1，又因为抛物线与x轴两交点的距离为6，所以两交点的横坐标分别为：

x 1=－1－3=－4，x

2

=－1+3=2 则两交点的坐标为（－4，0）、（2，0）；

设抛物线的解析式为顶点式：ya（x+1）+4，把（2，0）代入得a=－4/9。

所以抛物线的解析式为y=－4/9（x+1）2+4

（三）用对称性解题

例1：关于x的方程x2+px+1=0（p＞0）的两根之差为1，则p等于（）

A. 2

B. 4

C. 3

D. 5

解：设方程x2+px+1=0（p＞0）的两根为x1、x2，则抛物线y=x2+px+1与x轴两交点的坐标为（x1，0），（x2，0）。因为抛物线的对称轴为x=－p/2，所以x1=－p/2－1/2，x2=－p/2+1/2，因为x1x2=1。所以(－p/2－1/2)(－p/2+1/2=1，p2=5 因为p＞0，所以p=5例2、如图，已知抛物线y=x2 +bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（）

A．（2，3） B．（3，2） C．（3，3） D．（4，3）

解：由点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行可知，点A，B关于x=2对称。

设点B的横坐标为x

B，∵点A的坐标为（0，3），所以，（0+x

B

）/2=2，x

B

=4

∴B点坐标为（4，3）

例2 （2010，日照）如图2是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是多少

解析：由抛物线的对称性可知，抛物线与ｘ轴的另一交点为（－1，0），ax2+bx+c＜0的解集就是抛物线落在x轴下方的部分所对应的x的取值，不等式ax2+bx+c＜0的解集是－1＜x＜3．例3、（2010，）若二次函数y=－x2+2x+k的部分图象如图3所示，则关于x的一元二次方程－

x2+2x+k=0的一个解x

1=3，另一个解x

2

是多少；

解：依题意得二次函数y=-x2+2x+k的对称轴为x=1，与x轴的一个交点为（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点横坐标为1-（3-1）=-1，∴交点坐标为（-1，0）

∴关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的解为x

1=3或x

2

=－1．故填空答案：x

1

=-1

例4：如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0），则a－b+c的值为（） A. 0 B. －1 C. 1 D. 2

解法1：将P代入得：9a+3b+c=0

由对称轴得：-b/2a=1, 得b=-2a 9a+3b+c=3a+c=0

即a+2a+c=0 则 a-b+c=0

解法2：由抛物线的对称轴:x=1，及点P（3，0），可求出抛物线上点P关于对称轴x=1的对称点的坐标为Q（-1，0），由于Q在抛物线上，有（-1，0）满足关系式，因为点p，Q在x轴上所以a-b+c=0，故选A．

例5、抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-2,7），B（6,7），C（3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是_______________

解析：由点A（-2,7），B（6,7）的纵坐标相同，可知A、B关于抛物线的对称轴对称，且对称轴方程为x=（-2+6）/2=2，于是设该抛物线上纵坐标为–8的另一点的坐标为（x2,-8)，则有2=（3+x2）/2，从而得x2=1，故答案为(1,-8).

例6、已知抛物线上有不同的两点E(k+3，-k2+1)和

F(-k-1，-k2+1)．

求抛物线的解析式．

分析：关键是确定一次项系数b．观察抛物线上不同的两点E(k+3，-k2+1)和F(-k-1，-k2+1)．纵坐标相同，因此判断得点E和点F关于抛物线对称轴对称．

解：的对称轴为x=-b÷（-1/2×2）=b

因为抛物线上不同的两点E(k+3，-k2+1)和F(-k-1，-k2+1)．纵坐标相同，∴点E和点F关于抛物线对称轴对称，则b=[（k+3)+(-k-1)]÷2=1，∴抛物线的解析式为y=1/2x2+x+4

例7（2010，聊城）如图5，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（－1，0）、C（0，－3）两点，与x轴交于另一点B．

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；

（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；．

分析：（1）由点C （0，－3）知c ＝－3，只需求得a 、b 两个未知的系数，根据点A （－1,0）和对称轴x=1，利用待定系数法可求解；（2）由抛物线的对称性知，直线x=1是AB 的垂直平分线，因此MA ＝MB ，要使得MA+MC 最小，只要MC+MB 最小，所以点M 就是直线BC 与抛物线对称轴的交点．

解：（1）∵抛物线经过点C （0，－3）∴c ＝－3，∴y ＝ax2+bx-3。 又抛物线经过点A （－1，0），对称轴为x=1， 所以a-b-3=0 －b/2a=1 解得 a=1 b=-2 ∴抛物线的函数关系式为y ＝x2－2x-3

由B （3，0），C （0，－3），解得y=x-3, 由x=1, 解得y=-2. 当点M （1，-2）时，M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小

（2）∵点A （－1,0），对称轴为x=1，∴点B （3，0）．连接BC,交对称轴x=1于点M. ∵点M 在对称轴上，MA=MB ,

∴直线BC 与对称轴x=1的交点即为所求的M 点. 设直线BC 的函数关系式为y=kx+b ， 由B （3，0），C （0，－3），解得y=x-3, 由x=1, 解得y=-2. 当点M （1，-2）时，M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小

例8、二次函数图像经过A （-3，1）、B （1，1）、C （-1，3）三点，求二次函数的解析式。 分析：由观察可知点A （-3，1）、B （1，1）是抛物线上对称的两点。根据结论2，可知直线x =-1是此抛物线的对称轴，所以点C （-1，3）恰为抛物线的顶点。设二次函数的解析式为

y a x =++()132

（顶点式），所以

11131

22=++=-

a a ()，。从而可确定二次函数的解析式为

y x =-++1

213

2()。

例9. 已知抛物线

y ax bx c a =++≠2

0()经过点A （-3，-5），且b a =2。试求抛物线经过除A 点以外的另一定点的坐标。

分析：按照常规思维写出解析式

y ax bx c =++2

，再确定某一常数点，思维受阻。考虑到b a =2，从而可知对称轴为x =-1。根据结论3，A （-3，-5）关于对称轴x =-1的对称点A ’一

定在抛物线上，A ’点的坐标为（1，-5）。因而另一定点的坐标为（1，-5）。

例10、已知，抛物线22)1(t t x a y +--=（a 、t 是常数且不等于零）的顶点是A ，如图所示，抛物线

122+-=x x y 的顶点是B 。

（1）判断点A 是否在抛物线122

+-=x x y 上，为什么？

（2）如果抛物线2

2)1(t t x a y +--=经过点B ，①求a 的值；②这条抛物线与x 轴的两个交点和它的顶点A 能否构成直角三角形？若能，求出它的值；若不能，请说明理由。

解析：（1）抛物线2

2

)1(t t x a y +--=的顶点A （1+t ，2

t ），而1+=t x 当时，

222)11()1(12-+=-=+-=x x x x y ＝2t ，所以点A 在抛物线122+-=x x y 上。

（2）①顶点B （1，0），0)11(22=+--t t a ，∵0≠t ，∴1-=a ；②设抛物线2

2)1(t t x a y +--=与

x 轴的另一交点为C ，∴B （1，0），C （12+t ，0），由抛物线的对称性可知，△ABC 为等腰直角三角形，过A

作AD ⊥x 轴于D ，则AD ＝BD 。当点C 在点B 的左边时，)1(12

+-=t t ，解得1-=t 或0=t （舍）；当点C 在

点B 的右边时，1)1(2

-+=t t ，解得1=t 或0=t （舍）。故1±=t 。

例11. 如图2所示，圆O 的直径为2，AB 、EF 为互相垂直的两条直径，以AB 所在直线为y 轴，过点A 作x 轴，建立直角坐标系。

（1）写出E 、F 的坐标；

（2）经过E 、F 两点的抛物线从左至右交x 轴于C 、D 两点，若||CD =3，试判定抛物线的顶点是否在圆。 （3）若经过E 、F 两点的抛物线的顶点恰好在圆O 上，试求抛物线的解析式。

分析：（1）E 点的坐标为（-1，1），F 点的坐标为（1，1）；

（2）根据结论2可知，E 、F 关于对称轴对称，从而可知对称轴为x =0。C 、D 是抛物线与x 轴的两个交

问题图

点，根据结论1，易知C 点坐标为()

-320，。设解析式为y ax bx c =++2，建立方程组103232202=++=--+-=?

???

?

??

??a b c a b c b a

()

可得解析式为y x =-

+45952。易知顶点在线段AB 上。因为9

5

2<，故知抛物线顶点在圆。 （3）根据抛物线的对称性和圆的对称性可知，抛物线的顶点只能为B 点或A 点，现分两种情况讨论。（1）当B 点为顶点时，设解析式为y ax =+2

2（顶点式），所以1122

=-+a ()。解得a =-1，所以解析式为

y x =-+22。

（2）当A 点为顶点时，设解析式为y ax =2，所以112=-a ()。解得a =1，所以解析式为y x =2

。 注意：求抛物线的解析式的过程中，为避免方程组中出现相同的方程，对称的两点中，只用其中一个点的

坐标来列方程。

二、二次函数a 、b 、c 之间的关系题型及字母求值的题型

1、二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，给出下列结论：① b2－4ac>0；② 2a+b<0；③ 4a －2b+c=0；④ a ︰b ︰c= －1︰2︰3.其中正确的是

（ ）

A. ①②

B.②③

C. ③④

D.①④

解析：由图可知，对称轴为x=1，图象与x 轴有两个交点（-1，0）和（3，0），故b 2－4ac >0；a-b+c=0,2a+b=0, 所以b=-2a,c=-3a,所以a ︰b ︰c = -1︰2︰3.解答：选D ．

2、如图为二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象，则下列说法中正确的个数为（ ） ①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x ＜3时，y ＞0

A ．1

B ．2

C ．3

D ．

解：①图象开口向下，能得到a ＜0；②对称轴在y 轴右侧，x=

=1，则有﹣

=1，即2a+b=0；

③当x=1时，y ＞0，则a+b+c ＞0； ④由图可知，当﹣1＜x ＜3时，y ＞0． 故选C ．

3、已知:M 、N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线1

2y x

=上，点N 在直线y=x+3上，设点M

的坐标为（a,b ），则二次函数y = –abx 2

+(a+b)x

A . 有最大值，最大值为 –92

B . 有最大值，最大值为9

2

C . 有最小值，最小值为92

D . 有最小值，最小值为 –9

2

【解析】M (a ,b )，则N (–a ,b )，∵M 在双曲线上，∴ab =1

2

；∵N 在直线上，∴b =–a +3,即a +b =3；

∴二次函数y = –abx 2+(a+b)x= –12x 2+3x = –1

2

(x –3)2+92，∴有最大值，最大值为92，【答

案】B

4、在平面直角坐标系中，将抛物线62--=x x y 向上（下）或向左（右）平移了m 个单位，

使平移后的抛物线恰好经过原点，则m 的最小值为（ B ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．6

【解析】因为是左或右平移，所以由)2)(3(62+-=--=x x x x y 求出抛物线与x 轴有两个交点 （3,0），（-2,0）将抛物线向右平移2个单位，恰好使得抛物线经过原点，且移动距离最小． 5、二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图像的一部分如图所示，对于下列说法：①abc<0；②a-b+c<0； ③3a+c<0； ④当-10．其中正确的是__________(把正确说法的序号都填上)．

【解析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． ∵抛物线的开口向下，∴a ＜0，

∵与y 轴的交点为在y 轴的正半轴上，∴c ＞0， ∵对称轴为x =2b

a

-

=1，得2a =－b ，∴a 、b 异号，即b ＞0， 又∵c ＞0，∴abc ＜0，故①正确； ∵抛物线与x 轴的交点可以看出，

当x =－1时，y ＜0，∴a －b +c ＜0，故②正确； 当x =－1时，y ＜0，

而此时a －b +c =3a +c ，即3a +c <0；故③正确； 观察图形，显然④不正确．【答案】①②③

6、对于二次函数322

--=mx x y ，有下列说法：其中正确的说法是 ．

①它的图象与x 轴有两个公共点；

②如果当x ≤1时y 随x 的增大而减小，则1=m ；

③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则1-=m ；

④如果当4=x 时的函数值与2008=x 时的函数值相等， 则当2012=x 时的函数值为3-． 【解析】①根据函数与方程的关系解答；∵△＝4m 2－4×（－3）＝4m 2＋12＞0，∴它的图象与x 轴有两个公共点，故本选项正确；

②找到二次函数的对称轴，再判断函数的增减性；∵当x≤1时y 随x 的增大而减小（注意x 的取值包含1，一般情况下，二次函数的增减性是以对称轴为界限，但不包含对称轴，即x 的取

值不能包含对称轴的值，）∴函数的对称轴x ＝－2m

2－=m ，在直线x ＝1的右侧，故本选项错误；

③将m ＝－1代入解析式，求出和x 轴的交点坐标；将m ＝－1代入解析式，得y ＝x 2＋2x －3，当y ＝0时，得x 2＋2x －3＝0，即（x －1）（x ＋3）＝0，解得，x 1＝1，x 2＝－3，将图象向左平移3个单位后不过原点，故本选项错误；

④根据坐标的对称性，求出m 的值，得到函数解析式，将m ＝2013代入解析式；④∵当x ＝4

时的函数值与x ＝2008时的函数值相等，∴对称轴为x ＝4+20082＝1006，则－2m

2

－＝1006，即

m ＝1006，原函数可化为y ＝x 2－2013x －3，当x ＝2013时，y ＝20132

－2013×2013－3＝－3，故本选项正确．【答案】①④（多填、少填或错填均不给分）

7、（2013年广西市，11，3）二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1,有如下结论：①c ＜1；②2a+b=0；③b 2＜4ac ；④若方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=2，则正确的结论是（ ）A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④

解：由抛物线与y 轴的交点位置得到：c ＞1，选项①错误；

∵抛物线的对称轴为x=-a

b

2 =1，∴2a+b=0，选项②正确； 由抛物线与x 轴有两个交点，得到b 2-4ac ＞0，即b 2＞4ac ，选项③错误；

令抛物线解析式中y=0，得到ax 2+bx+c=0，∵方程的两根为x 1，x 2，且-a b

2 =1，及- a

b =2， ∴x 1+x 2=-a

b

=2，选项④正确，综上，正确的结论有②④．故选C

8、已知二次函数y=ax 2+bx+c ，且a ＜0，a-b+c ＞0，则一定有（A ）

A.有两个不相等的实根

B.有两个相等的实根

C.没有实根

D.无法确定

因为a<0所以抛物线开口向下因为a-b+c>0，可知x=-1时 ，函数值y>0，所以方程两个根分别位于-1两侧,显然这两个根不相等。

9、已知二次函数y=ax 2+bx+c ，且a ＜0，a-b+c ＞0，则一定有（ A ） A 、b 2-4ac ＞0 B 、b 2-4ac=0 C 、b 2-4ac ＜0 D 、b 2-4ac ≤0

解：∵a＜0 ∴抛物线的开口向下

∵a-b+c＞0 ∴当x=-1时，y=a-b+c＞0 抛物线与x轴有两个交点∴b2-4ac＞0 10、已知：a＞b＞c，且a+b+c=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的（）

A ．

B ．

C ．

D ．

A 、由图知a ＞0，-b/2a=1，c ＞0，即b ＜0，∵已知a ＞b ＞c ，故本选项错误；

B 、由图知a ＜0，而已知a ＞b ＞c ，且a+b+c=0，必须a ＞0，故本选项错误；

C 、图C 中条件满足a ＞b ＞c ，且a+b+c=0，故本选项正确；

D 、∵a+b+c=0， 即当x=1时a+b+c=0，与图中与x 轴的交点不符，故本选项错误．故选C ．

11、二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示，那么abc 、ac b 42-、b a +2、c b a +-24，a+b+c ， a-b+c 这几个代数式中，值为正的有（ A ） A 、6个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 解：由图知a ＞0,对称轴x=-b/2a ＞0,知b

抛物线与y 轴交于负半轴，c ＜0, 所以abc ＞0, 因为图像与x 轴有两个交点，所以b 2-4ac ＞0,

由对称轴x=-b/2a ＜1.a ＞0知-b ＜2a,即2a+b ＞0

由图知当x=1时,y=a+b+c ＜0.由图知当x=-1时,y=a-b+c ＞0.

由图知当x=-2时,y=4a-2b+c ＞0

12、二次函数c bx ax y ++=2

的图像如图所示，OA ＝OC ，则下列结论：

①abc ＜0； ②2

4b ac <； ③1-=-b ac ； ④02<+b a ； ⑤a

c

OB OA -

=?； ⑥024<+-c b a 。其中正确的有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个

解：由函数图象可以得到以下信息：

a ＞0，

b ＜0，

c ＜0，则①abc＜0,错误；（开口朝上，a ＞0，对称轴在y 轴右侧，x=-b/2a ＞0， b ＜0，抛物线与y 轴交于负半轴，c ＜0）

②抛物线与x 轴有两个交点,b 2-4ac ＞0,正确；

③∵OA=OC, ∴A 点横坐标等于c, 则ac 2

+bc+c=0, 则ac+b+1=0, ac+b=-1，故ac-b=-1,不正确； ④对称轴x=-b/2a ＞1,2a+b ＜0,正确； ⑤OAOB=|x A x B |=- c/a,故正确；

⑥当x=-2时,4a-2b+c ＞0,错误；故选B ．

13、若抛物线232)1(2-++-=m mx x m y 的最低点在x 轴上，则m 的值为 2 。

解：根据题型，函数抛物线的顶点在x 轴上，且开口朝上，m-1＞0，再根据顶点的y 坐标为零即可求得。

三、二次函数的平移

1、抛物线y=（x+2）2-3可以由抛物线y=x 2平移得到，则下列平移过程中正确的是（ ）

A. 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位

B. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位

C. 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位

D. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位

解析：抛物线y=x 2向左平移2个单位可得到抛物线y=（x+2）2，抛物线y=（x+2）2，再向下平移3个单位即可得到抛物线y=（x+2）2-3．故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．故选B ．答案：B

2、已知下列函数：①y=x 2， ②y= -x 2， ③y=(x-1)2+2.其中，图像通过平移可以得到函数 y= -x 2+2x-3的图像有 .

解析：只要二次项的系数相同，这类二次函数图像均可以通过平移得到. 答案：②.

3、已知0=++c b a ，a ≠0，把抛物线c bx ax y ++=2

向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（－2，0），求原抛物线的解析式。

分析：①由0=++c b a 可知：原抛物线的图像经过点（1，0）；②新抛物线向右平移5个单位，再向上平移1个单位即得原抛物线。

解：可设新抛物线的解析式为2)2(+=x a y ，则原抛物线的解析式为

1)52(2

+-+=x a y 。 又因为0=++c b a ，易知原抛物线过点（1，0）

∴

1)521(02

+-+=a ，解得41-

=a ∴原抛物线的解析式为：1

)3(41

2+--=x y

抛物线的顶点发生了怎样的移动，常见的几种变动方式有：①开口反向（或旋转1800），此

时顶点坐标不变，只是a 反号；②两抛物线关于x 轴对称，此时顶点关于x 轴对称，a 反号；③两

抛物线关于y 轴对称，此时顶点关于y 轴对称；

4、二次函数c bx x y ++=2的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到函数图像的解析式为

122+-=x x y ，则b 与c 分别等于（ c ）

A 、6、4

B 、－8、14

C 、4、6

D 、－8、－14

5、已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移

2个单位后的对称轴是y 轴，向下平移

1个单位后与x 轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为 。

解：因为二次函数的图像经过点（0，3），说明这是该函数和y 轴的交点，图象向左平移2个单位后以Y 轴为对称轴，说明该函数的对称轴为X=2的一条直线，图像向下平移1个单位后与X 轴只有一个公共点，说明顶点是（2,1），设这个二次函数图像的解析式为y=a （x-2)2+1 把点（0，3）代入得a （x-2)2+1=3 解得a=1/2，所以y=1/2（x-2）2+1=1/2x^2-2x+3 所以二次函数图像的解析式为y=1/2x^2-2x+3

6、已知二次函数的图象过点（0，3），图象向左平移2个单位以后y 轴为对称轴，图象向下平移1个单位后与x 轴只有一个公共点，则这个二次函数的解析式为（ ）

A. y=1/2x2-2x+1

B. y=1/2x2+1

C. y=1/2x2+2x+3

D. y=1/2x2-2x+3 ∵二次函数的图象过点（0，3），∴各选项中c=3的只有C ，D 两个选项．

向左平移2个单位以后y 轴为对称轴，说明原函数解析式的对称轴在y 轴的右边，而只有D 选项的对称轴在y 轴的右边．故选D

四、交点个数与字母的取值

例1、已知函数y=(x-1)2

-1(x ≤3), y=(x-5)2

-1(x>3),则使y=k 成立的x 值恰好有三个,则k 的值为（ D ） A.0 B.1 C.2 D.3

画出图像,易知当根据图象知道当y=k=3时，对应成立的x 有恰好有三个，

例2、已知函数y=|x 2-2x|,若使y=k 成立的x 值恰好有两个，则k 的值为( ) A. -1 B.0 C.1 D 以上均正确

方法一，你把A,B,C 的答案带进去。其实，A 、D 答案可以首先排掉，因为y>=0.将C 答案带

进去X 的值有3个。所以选B 。

方法二，画出y=|x 2

-2x|的图像，再用y=k 这条直线去截。只有当k=0时交点有2个。k=-1时无交点。k=1时有3个交点。交点的个数即成立的x 值的个数。

例3、函数y=|x 2-1|和函数y=x+k 的图像恰有三个交点，则k 的值是（1或5/4） 解：1.先画y=x 2-1图象.然后把x 轴下方图象翻到上面.得y=|x 2-1|图象.

2.y=x+k 是一个平行直线系.特点是斜率不变(不同直线系特点不同,还有的恒过某一定点).纵轴截距随k 的变化而变化.

3.平移直线.从下往上试.比如说与y=|x 2-1|交于(1,0),正好是一个交点.然后继续往上平移,可以得到两个交点.不久就发现了,当与y=|x 2-1|交于(-1,0)时,恰有3个交点.得k=1. 然后继续向上平移一点,得到4个交点.在平移一点,当与y=|x 2-1|中间突起部分相切时,也是恰 好个交点.下面通过运算求这个切点.

只考虑突起这部分函数.是y=-x 2+1.让它与y=x+k 联立,消去y 得-x 2+1=x+k. 即x 2+x+k-1=0.只有一个交点,判别式为0.即1-4*(k-1)=0.得k=5/4. 例4、已知二次函数y=ax2-2ax-3a （a ＞0）．

（1）求此二次函数图象与x 轴交点A 、B （A 在B 的左边）的坐标； （1）令ax2-2ax-3a=0（1分）解得x1=-1，x2=3（2分） 所以A （-1，0），B （3，0）．（1分）

例5、已知二次函数y=kx 2-7x-7的图像与x 轴有交点，求k 的取值围

因为二次函数y=kx2-7x-7的图像与x 轴有交点，所以△≥0。即（-7）^2-4×k×(-7)≥0, k≥-7/4.且k≠0。

例6、已知关于x 的二次函数y=(m+6)x2+2(m-1)x+m+1的图象与x 轴总有交点,(1)求m 的取值围 (2)当函数图象与x 轴两交点横坐标倒数和等于-4时，求m 值

（1）Δ=4(m -1)2-4（m+1）（m+6）≥0， （2） 得到m≤-5/9。

（2）x1+x2=-b/a=-2（m-1）/(m+6)， x1x2=c/a=(m+1)/(m+6）,

1/x1+1/x2=(x1+x2)/x1x2=(-2m+2)/(m+1)=-4, 得到m=-3

例7、抛物线234y x x =--+ 与坐标轴的交点个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0

方法1：抛物线解析式234x x --+，令x=0，解得：y=4，∴抛物线与y 轴的交点为（0，4），令

y=0，得到2340x x --+=，即2340x x +-=，分解因式得：(34)(1)0x x +-= ，解得：14

3

x =- ,

21x =:。

方法2：抛物线解析式234x x --+，令x=0，解得：y=4，∴抛物线与y 轴的交点为（0，4），判断△＞0，则抛物线与x 轴有两个交点

∴抛物线与x 轴的交点分别为（4

3

-，0），（1，0），综上，抛物线与坐标轴的交点个数为3．【答

案】选A

五、二次函数的对称轴及顶点。

1、二次函数

542

+-=mx x y ，当2-x 时，y 随x 的增大而增大。则当1-=x 时，y 的值是 7 。

2、已知抛物线n mx x m y +--=4)2(22的对称轴是2=x ，且它的最高点在直线12

1

+=

x y 上，则它的顶点为 ，n ＝ 。

六、函数与几何图形

1、如图，已知△ABC 中，BC ＝8，BC 边上的高4=h ，D 为BC 上一点，EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F （EF 不过A 、B ），设E 到BC 的距离为x ，△DEF 的面积为y ，那么y 关于x 的函数图像大致是（ ）

3题图 3题图

解：过点A 向BC 作AH ⊥BC 于点H ，所以根据相似比可知：EF/BC=(4-X)/4，即EF/8=(4-X)/4

解得：EF=2（4-x ），所以△DEF 的面积为：y=1/2×2（4-x ）x= -x 2

+4x 因此选D 2、若抛物线2

ax y =与四条直线1=x ，2=x ，1=y ，2=y 围成的正方形有公共点，则a 的取值围是（ ）

A 、

41≤a ≤1 B 、21≤a ≤2 C 、21≤a ≤1 D 、4

1

≤a ≤2 解：根据题意得，抛物线的开口向上，a ＞0，a 越大，抛物线的开口越小，它与正方形的临界关系有两种种，第一经过点(2，1)，第二经过点(1，2)，其中经过点(1，2)的时候a 取最大值，带入得a=2；其中经过点(2，1)的时候a 取最小值，带入得a=1/4，所以得到1/4≤a≤2

3、如图，一次函数b kx y +=与二次函数c bx ax y ++=2的大致图像是（ C ）

3题图

3题图

3题图

3题图

A B C D 4、如图，一次函数y=ax+b 与二次函数c bx ax y ++=2的大致图像是（ C ）

第3题图 F E D C

B A

3题图

3题图

3题图

A B C D 七、解决实际问题：

1、已知函数m x m x y +--=)2(2

的图像过点（－1，15），设其图像与x 轴交于点A 、B ，点C 在图像上，

且1=?ABC S ，求点C 的坐标。

2、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程。下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S （万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系）。根据图象提供的信息，解答下列问题：

（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S （万元）与时间t （月）之间的函数关系式； （2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元； （3

O O

3、抛物线2

x y =，22

1x y -=和直线a x =（a ＞0）分别交于A 、B 两点，已知∠AOB ＝900

。

（1）求过原点O ，把△AOB 面积两等分的直线解析式； （2）为使直线b x y +=

2与线段AB 相交，那么b 值应是怎样的围才适合？

4、如图，抛物线t ax ax y ++=42

与x 轴的一个交点为A （－1，0）。

（1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；

（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；

（3）E 是第二象限到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧。问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

答案：1、C （23+

，1）或（23-，1）、（3，－1）

2、（1）t t S 2212-=

；（2）10月；（3）5.5万元 3、（1）x y 4

2=；（2）－3≤b ≤0

4、（1）B （－3，0）；（2）342++=x x y 或342

---=x x y ；

（3）在抛物线的对称轴上存在点P （－2，

2

1

），使△APE 的周长最小。 八、函数与一元二次方程

【例1】已抛物线1)2()1(2

--+-=x m x m y （m 为实数）。

（1）m 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点？

（2）如果抛物线与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且△ABC 的面积为2，求该抛物线的解析式。 分析：抛物线与x 轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根m 应满足的条件。

略解：（1）由已知有??

?>=?≠-0

012

m m ，解得0≠m 且1≠m

（2）由0=x 得C （0，－1） 又∵1

-=?=

m m a AB ∴2112121=?-?=??=?m m

OC AB S ABC ∴34=m 或5

4=m ∴132312--=

x x y 或15

6

512---=x x y 【例2】已知抛物线)6(2)8(2

2

2

+++-=m x m x y 。

（1）求证：不论m 为任何实数，抛物线与x 轴有两个不同的交点，且这两个点都在x 轴的正半轴上；

（2）设抛物线与y 轴交于点A ，与x 轴交于B 、C 两点，当△ABC 的面积为48平方单位时，求m 的值。 （3）在（2）的条件下，以BC 为直径作⊙M ，问⊙M 是否经过抛物线的顶点P ？

解析：（1）0)4(22>+=?m ，由08221>+=+m x x ，0)6(22

21>+=m x x 可得证。

（2）)6(8)8(4)(2222122121+-+=-+=

-=m m x x x x x x BC ＝42+m

)6(22

+=m OA 又∵48=?ABC S ∴

48)6(2)4(2

1

22=+?+?m m 解得22=m 或122

-=m （舍去） ∴2±=m

（3）16102

+-=x x y ，顶点（5，－9），6=BC ∵69>- ∴⊙M 不经过抛物线的顶点P 。

评注：二次函数与二次方程有着深刻的在联系，因此，善于促成二次函数问题与二次方程问题的相互转化，是解相关问题的常用技巧。 探索与创新：

【问题】如图，抛物线4

)(2

2

c x b a x y ++-=，其中a 、b 、c 分别是△ABC 的∠A 、∠B 、∠C 的对边。

（1）求证：该抛物线与x 轴必有两个交点；

（2）设有直线bc ax y -=与抛物线交于点E 、F ，与y 轴交于点M ，抛物线与y 轴交于点N ，若抛物线的对称轴为a x =，△MNE 与△MNF 的面积之比为5∶1，求证：△ABC 是等边三角形；

（2）当3=

?ABC S 时，设抛物线与x 轴交于点P 、Q ，问是否存在过P 、Q 两点且与y 轴相切的圆？若存

在这样的圆，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由。

解析：（1）))(()(2

2

c b a c b a c b a -+++=-+=? ∵0>++c b a ，0>-+c b a ∴0>? （2）由

a b

a =+2

得b a = 由??

???-=+

+-=bc

ax y c x b a x y 4)(22

得：0432=++-ac c ax x 设E （1x ，1y ），F （2x ，2y ），那么：a x x 321=+，ac c x x +=4

2

21 由MNE S ?∶MNF S ?＝5∶1得：215x x = ∴215x x =或215x x -=

由021>?x x 知215x x -=应舍去。

由???==+2

12153x x a x x 解得22a

x =

∴ac c a +=??

?

??42522

，即04522=--c ac a

∴ c a =或05=+c a （舍去）

∴ c b a ==

∴△ABC 是等边三角形。 （3）3=

?ABC S ，即

34

32

=a ∴2=a 或2-=a （舍去）

∴2===c b a ，此时抛物线142

+-=x x y 的对称轴是2=x ，与x 轴的两交点坐标为P （32-，

0），Q （32+，0）

设过P 、Q 两点的圆与y 轴的切点坐标为（0，t ），由切割线定理有：OQ OP t ?=2

∴1±=t

故所求圆的圆心坐标为（2，－1）或（2，1）

评注：本题（1）（2）问与函数图像无关，而第（3）问需要用前两问的结论，解题时千万要认真分析前因后果。同时，如果后一问的解答需要前一问的结论时，尽管前一问没有解答出来，倘能会用前一题的结论来解答后一问题，也是得分的一种策略。 跟踪训练： 一、选择题：

1、已知抛物线m x m x y +-+=)1(52

与x 轴两交点在y 轴同侧，它们的距离的平方等于

25

49

，则m 的值为（ ）

A 、－2

B 、12

C 、24

D 、－2或24

2、已知二次函数c bx ax y ++=2

1（a ≠0）与一次函数m kx y +=2（k ≠0）的图像交于点A （－2，4），B

（8，2），如图所示，则能使21y y >成立的x 的取值围是（ ）

A 、2-

B 、8>x

C 、82<<-x

D 、2-x

第2题图

第4题图

3、如图，抛物线c bx ax y ++=2

与两坐标轴的交点分别是A 、B 、E ，且△ABE 是等腰直角三角形，AE ＝BE ，

则下列关系：①0=+c a ；②0=b ；③1-=ac ；④2

c S ABE =?其中正确的有（ ）

A 、4个

B 、3个

C 、2个

D 、1个

4、设函数1)1(22

++-+-=m x m x y 的图像如图所示，它与x 轴交于A 、B 两点，线段OA 与OB 的比为1∶3，则m 的值为（ ） A 、

31或2 B 、3

1

C 、1

D 、2 二、填空题：

1、已知抛物线23)1(2

----=k x k x y 与x 轴交于两点A （α，0），B （β，0），且172

2

=+β

α，则k

＝ 。

2、抛物线m x m x y 2)12(2

---=与x 轴的两交点坐标分别是A （1x ，0），B （2x ，0），且12

1

=x x ，则m 的值为 。 3、若抛物线12

12

-++-

=m mx x y 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，且∠ACB ＝900，则m ＝ 。 4、已知二次函数1)12(2

--+=x k kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x )(21x x <，则对于下列结论：①当2

-=x 时，1=y ；②当2x x >时，0>y ；③方程1)12(2

--+x k kx ＝0有两个不相等的实数根1x 、2x ；④11-

12->x ；⑤k

k x x 2

1241+=-，其中所有正确的结论是 （只填写顺号）。

三、解答题：

1、已知二次函数c bx ax y ++=2

（a ≠0）的图像过点E （2，3），对称轴为1=x ，它的图像与x 轴交

于两点A （1x ，0），B （2x ，0），且21x x <，102

221=+x x 。

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）在（1）中抛物线上是否存在点P ，使△POA 的面积等于△EOB 的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

2、已知抛物线42)4(2

++-+-=m x m x y 与x 轴交于点A （1x ，0），B （2x ，0）两点，与y 轴交于点C ，且21x x <，0221=+x x ，若点A 关于y 轴的对称点是点D 。

（1）求过点C 、B 、D 的抛物线解析式；

（2）若P 是（1）中所求抛物线的顶点，H 是这条抛物线上异于点C 的另一点，且△HBD 与△CBD 的面积相等，求直线PH 的解析式；

3、已知抛物线m mx x y 22

3

212--=

交x 轴于点A （1x ，0），B （2x ，0）两点，交y 轴于点C ，且210x x <<，112)(2+=+CO BO AO 。

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x 轴的下方是否存在着抛物线上的点，使∠APB 为锐角、钝角，若存在，求出P 点的横坐标的围；若不存在，请说明理由。

参考答案

一、选择题：CDBD 二、填空题：

1、2；

2、2

1

；3、3；4、①③④ 三、解答题：

1、（1）322

++-=x x y ；（2）存在，P （131+，－9）或（131-，－9） 2、（1）862

+-=x x y ；（2）103-=x y

3、（1）22

3

212--=x x y ；（2）当30<