解三角形中的范围(最值)问题的求解策略

解三角形中的范围（最值）问题的求解策略

与解三角形相关的最值（范围）问题在高中数学中经常遇见.由于它涉及的知识面广,灵活性大,综合性强,因而利于培养学生的思维能力和创新意识.本文举例说明此类问题几种常见的解题策略,供大家参考.

一．转化为三角函数的有界性求解

例1：（2018?汉中二模）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若

，A=3

π，则b +c 的最大值为（ ） A ．4 B ．

C ．

D ．2

【分析】利用正弦定理表示出b 与c ，问题转化为角的正弦函数，利用三角函数恒等变换化简为一角一函数的形式，再利用三角函数的单调性与值域即可得出．

解：由正弦定理可得：2sin sin sin 3

b c B C π

===, ∴b +c=2sinB +2sinC=2sinB +2sin 2()3

B π- =2sinB +

21sin )2

B B +=3sinB

sin ()3B π

+≤，当且仅当B=3

π时取等号． ∴b +c 的最大值为

C ．

【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、三角函数的单调性与值域，解决这类问题的思路是利用正弦定理把边转化为角，再利用三角函数的性质求出范围或最值。

同步训练题：（2018?三明二模）在△ABC 中，∠BAC 的平分线交BC 边于D ，若AB=2，AC=1，则△ABD 面积的最大值为（ ）

A ．12

B ．23

C ．34

D ．1 解析：根据∠BAC 的平分线交BC 边于D ，可得△A BD 和△ACD 以D 为顶点的高相等．可得△ABD 面积与△ACD 面积之比为AB ：AC=2：1，则△ABD 面积为

23S △ABC ．由题意，△ABD 面积为23S △ABC ，∵S △ABC =12bcsinA ，即12

×2×1×sinA ，

那么，△ABD 面积为

23sinA ．∵0＜A ＜π，∴sinA ∈（0，1]，∴△ABD 面积的最大值为23

，故选：B ． 二．利用基本不等式求解

例2（2018?太原二模）已知点O 是△ABC 的内心，∠BAC=60°，BC=1，则△BOC 面积的最大值为 ．

【分析】先根据O 是△ABC 的内心，求出∠BOC=120°，再根据余弦定理和基本不等式求出OC?OB ≤13

，最后根据三角形的面积公式计算即可 解：∵是△ABC 的内心，∠BAC=60°，∴∠BOC=180°﹣00

0180601202

-=， 由余弦定理可得BC 2=OC 2+OB 2﹣2OC?OB?cos120，

即OC 2+OB 2=1﹣OC?OB ，又OC 2+OB 2≥2OC?OB ，∴OC?OB ≤13

，

∴S △BOC =12

OC?OB?sin120°BOC ． 点评：本题考查了余弦定理和三角形的面积公式以及基本不等式，解决本题的关键是求得OC.OB 的最大值，再利用三角形的面积公式求得面积的最值。

同步训练题：（2018?嵊州市二模）在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a 2+b 2+ab=1，c=1，则C= ，△ABC 的面积最大值为 ．

解：∵a 2+b 2+ab=1，c=1，∴a 2+b 2﹣c 2=﹣ab ，

∴cosC=2221222a b c ab ab ab +--==-，∴由C ∈（0，π），可得：C=23

π， ∵由余弦定理c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，可得：1=a 2+b 2+ab ≥2ab +ab=3ab ，即：ab 13

≤，（当且

仅当a=b 时等号成立），∴S △ABC =12

absinC ≤1123?=，即△ABC 的面积最大值为

．故答案为：23

π 三．利用二次函数的性质求解

例3（2018?湛江二模）己知△ABC 中，AB=2，BC ，则△ABC 面积的最大值是 ．

【分析】设出BC 长度是x ，利用三角形的面积公式以及余弦定理得到关于x 的二次函数，再利用二次函数的性质求出面积的最大值。

解：设BC=x ，则△ABC 面积 1.sin B sin 2

S AB BC x B ===,又因为cosB=22222

2222BC AB AC BC x BC BC x

+---==．

即=≤ 【点评】本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．通过余弦定理与面积公式转化为关于x 的函数，利用配方和二次函数的性质求得最值。

例4. （2018?盐城一模）在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 2+b 2+2c 2=8，则△ABC 面积的最大值为 ．

【分析】由三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理可求S 2=14a 2b 2﹣22(83)16c -，进而利用基本不等式，从而可求S 2≤22458()5165

c --,从而利用二次函数的性质可求最值．

解：由三角形面积公式可得：S=12

absinC ， 可得：S 2=14a 2b 2（1﹣cos 2C ）=14

a 2

b 2[1﹣（2222a b

c ab +-）2]， ∵a 2+b 2+2c 2=8，∴a 2+b 2=8﹣2c 2，可得：a 2+b 2=8﹣2c 2≥2ab ，解得：ab ≤4﹣c 2，当且仅当a=b 时等号成立，∴S 2=14a 2b 2[1﹣（222

2a b c ab +-）2]=14a 2b 2[1﹣（2832c ab -）2]=14

a 2

b 2﹣22(83)16

c -≤14（4﹣c 2）2﹣22(83)16c -=﹣42516c c +=22458()5165

c --，当且仅当a=b 时等号成立，

∴当2

85c =时，-42516c c +取得最大值45，S 的最大值为5．故答案为：5． 【点评】本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式，二次函数的最值的综合应用，考查了运算能力和转化思想，难度中等．

同步训练题（2018?泸州模拟）在等腰△ABC 中，AB=AC ，AC 边上的中线BD 长为6，

则当△ABC 的面积取得最大值时，AB 的长为 ．

解：在等腰△ABC 中，设AB=AC=2x ，AD=x ．设三角形的顶角为θ，则由余弦定理得

cosθ=225364x x -，∴

所以S=12absinθ=1.2.22x x =

当 x 2=20时，三角形面积有最大值，即

所以答案为：