圆锥曲线类型题

圆锥曲线类型题

一、 轨迹方程

1、（定义法）已知在ABC ?中，)0,3()0,3(B A 、-，三边长BC AB AC 、、成等差数列，求顶点C 的轨迹方程。

2、（定义法）曲线上的点到两定点

)0,5()0,5(21F F 、-距离之差的绝对值分别等于①6；②10；③12.满足条件的

曲线若存在，是什么样的曲线并求方程。若不存在，说明理由。

如果去掉“绝对值”，比如：曲线上的点到两定点)0,5()0,5(21F F 、-距离之差等于6，则曲线方程是什么

3、（定义法）一动圆与已知圆1O ：1)3(22=++y x 外切，与圆2O ：81)3(22=+-y x 内切，求动圆圆心

的轨迹方程。

4、（定义法）已知点M 与点

)0,.4(F 的距离比它到直线05=+x 的距离小1，求点M 的轨迹方程。

5、（代入法）如图，在圆

42

2=+y x 上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上

运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么

6、（建设现代化法）如图，设点

B A ,的坐标分别为()()0,5,0,5-.直线BM AM 、相交于点M ，且它们的斜

率之积是94

-

，求点M 的轨迹方程.

二、 最值问题

1、P 为椭圆

116

252

2=+y x 上任意一点，21,F F 为左右焦点， （1）若

1

PF 的中点为M, 求证;

12

15PF OM -

=， (2)若

21PF F ∠060=，求证：2

1PF PF 的值

（3）求2

1PF PF 最值 (4)求

2

2

2

1PF PF +的最值。

2、已知F 是双曲线22

1

412x y -=的左焦点，

(1,4),A P 是双曲线右支上的动点PF PA +的最小值 为 。

3 、 P为双曲线

1

16

9

2

2

=

-

y

x

的右支上一点，M,N分别是

4

)5

(2

2=

+

+y

x

和

1

)5

(2

2=

+

-y

x

上的动点，

则PM

-

PN

的最大值为

4、已知点P是抛物线

x

y2

2=

上的一个动点，则点P到点

A(0,2)

的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小

值为___________________

5、已知点A(-2,1)

，

x

y4

2-

=

的焦点是F，P是

x

y4

2-

=

上的点，为使

PF

PA+

取得最小值，P点的坐

标是_____________________

6、抛物线

2

x

y=

到直线

4

2=

-y

x

距离最近的点的坐标是____________________

三、离心率

1、正ABC

?，求以B,C为焦点，且过AB中点D的椭圆的离心率

2、已知长方形ＡＢＣＤ，ＡＢ＝４，BC＝３，则以Ａ，Ｂ为焦点，且过Ｃ，Ｄ两点的椭圆的离心率

3、已知椭圆)0

(1

2

2

2

2

>

>

=

+b

a

b

y

a

x

两个焦点为

2

1

,F

F，过

2

F作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为

P，若0

2

1

30

=

∠F

PF，求e

4、已知P为椭圆上)0

(1

2

2

2

2

>

>

=

+b

a

b

y

a

x

一点，若0

2

1

90

=

∠F

P

F，求e的取值范围。

5、已知椭圆1

5

2

2

=

+

m

y

x

的离心率为

5

10

，求m的值

6、双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为

2

1

,F

F，

2

1

MF

F

∠=0

120，则双曲线的离心率为

7、已知双曲线1

2

2

=

-

n

y

m

x e

的一条渐近线方程是x

y

3

4

=则此双曲线的离心率

8、若双曲线)0

,0

(1

2

2

2

2

>

>

=

-b

a

b

y

a

x

右支上总存在到双曲线的中心与右焦点相等的两个相异点，则双曲线的离心率的取值范围

9、设a>1，则双曲线1

)1

(2

2

2

2

=

+

-

a

y

a

x

的离心率e的取值范围

10、

如图。下面图中的多边形为正多边形，M,N 是图中①②所在边上的中点，图③的顶点，三个双曲线均以图中

12,F F 为焦点，设图中①②③中的双曲线的离心率分别为123,,e e e ，则( )

A 、 123e e e >>

B 、 123e e e <<

C 、 132e e e =<

D 、 123e e e =>

四、中点弦问题（设而不求）

解题步骤：S1 设中点(,)x y 、两端点分别为1122(,),(,)x y x y S2 将两端点坐标代入椭圆方程，两式作差

S3 整理成比例式，等式左边是斜率，右边是中点坐标的比值 S4 化简，求出轨迹方程

1、点

)1,8(P 平分双曲线4422=-y x 的一条弦，求这条弦所在的直线的方程.

2、已知中心在原点，一焦点为

)50,0(F 的椭圆被直线l ：23-=x y 截得的弦长的中点的横坐标为21

，求

椭圆的方程.

3、已知抛物线

x y 62=，过点)1,1(P 引一条弦，使该弦被点P 平分，求这条弦所在的直线方程.

4、椭圆22

1mx ny +=与直线1y x =-交于两点M,N ，原点与线段MN 中点的连线斜率为22，则m

n

的值为

五、弦长、面积等综合问题 弦长公式：2221212121221

(1)[()4](1)[()4]AB k x x x x y y y y k

=

++-=+

+-1、已知椭圆1

4x

22

=+y 过点

)0,2(，斜率为1的直线交椭圆A 、B 两点，求弦AB 的长.

2、已知P 是椭圆1

16252

2=+y x 上的一点，21

F F 、是两个焦点，且?=∠3021PF F ，求21F PF ?的面积。

3、一个动圆的圆心在抛物线

28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则此动圆必经过点______________

4、已知椭圆的焦点是

12,,F F P

是椭圆上的一个动点，如果延长

1F P

到Q ，使得

2PQ PF =，那么动点Q 的

轨迹是_______________________（写出曲线类型）

5、P 是双曲线)0,0(122

22>>=-b a b y a x 左支上一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则

21F PF ?的内切圆的圆心横坐标为__________________________

6、已知椭圆)0(122

22>>=+b a b y a x 的两焦点为21,F F ，椭圆上一点M ???? ??33,3

62满足0.21=→→MF MF 。

(1)求椭圆的方程

（2）若直线l: y=kx+2与椭圆恒有不同交点A,B ，且1.>→

→

OB OA （O 为坐标原点）求k 的取值范围。

7、已知椭圆的中心在原点0，其短轴长为2

2，一个焦点F 的坐标为()0,c (c>0)，一个定点A 的坐标为??

?

??-0,10c c 且→

→

=FA OF

2，过点A 的直线于椭圆相交于两点P,Q ，

（1）求椭圆方程及离心率。

（2）如果以PQ 为直径的圆过原点，求直线PQ 方程。

8、在椭圆34122

2x y +=上总有关于直线y x m =+4对称的相异两点，求 m 的取值范围。

9、设

1122(,),(,)

A x y

B x y 是椭圆

22

221(0)y x a b a b

+=>>上的两点，已知向量

1122(

,),(,)x y x y

m n b a b a

==，若0m n ?=

且椭圆的离心率e =2，O 是坐标原点。 （1）求椭圆方程；

（2）若直线AB 的斜率存在且直线AB 过椭圆的焦点(0,)F c （c 为半焦距），求直线的斜率k 的值。

10、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点3

(1,)2

，且长轴长等于4.

（1）求椭圆C 的方程

（2）12,F F 是椭圆C 的两个焦点，

o 是以12F F 为直径的圆，直线:l y kx m =+与o 相切，并与椭圆C 交

于不同的两点A,B ，若3

2

OA OB ?=-，求k 的值。

11、已知抛物线2

1:2(0)C y px p =>的焦点F 和椭圆22

222:1(0)y x C a b a b

+=>>的上下焦点及左右顶点

均在

22:1O x y +=上。

（1）求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程;

（2）过点F 的直线交抛物线1C 于两个A,B 不同点，交y 轴于点N ，12,NA AF NB BF λλ==,

求证:12λλ+为定值。

12、设椭圆22

22

:

1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，在x 轴负半轴上有一点B ，满

足1122,BF F F AB AF =⊥且.

（1）求椭圆C 的离心率;

（2）若过A,B,2

F 三点的圆恰好与直线:30l x -=相切，求椭圆C 的方程;

（3）在(2)的条件下，过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M,N 两点，在x 轴上是否存在点(,0)P m ，使得以,PM PN 为邻边的平行四边形是菱形；如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，说明理由。

13、椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>与直线10x y +-=相交于,P Q 两点，且OP OQ ⊥（O 为原点）

（1）求证：

22

11a b +等于定值

（2

）若椭圆的离心率e ∈，求椭圆长轴长的取值范围。

14、已知抛物线2

:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线

l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时，ADF ?为正三角形.

（Ⅰ）求C 的方程；

（Ⅱ）若直线1//l l ，且1l 和C 有且只有一个公共点E ， （ⅰ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；

（ⅱ）ABE ?的面积是否存在最小值若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

15、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>的一个焦点与抛物线2

4y x =的焦点F 重合，且椭圆短轴的两个三等

分点与焦点F 构成正三角形。 （1）求椭圆C 的方程；

（2）若椭圆在第一象限的一点P 的横坐标为1，过点P 作倾斜角互补的两条不同的直线,PA PB 分别交椭圆于另外两点A,B ，求证：直线AB 的斜率为定值。

16、已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线2

4x y =的焦点，离心率5

e =，过椭圆的右焦点

F 作与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆于A,B 两点。 （1）求椭圆的方程；

（2）设点(,0)M m 是线段OF 上的一个动点，且)MA MB AB +⊥（，求m 的取值范围；

（3）设点C 是点A 关于x 轴对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C,B,N 三点共线若存在，求出定点N 的

坐标；若不存在，请说明理由。

17、过轴上动点引抛物线

的两条切线、

，、

为切点，设切线，

的斜率分别为

和

.

(1)求证：

;

(2) 试问：直线是否经过定点若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.

18、已知椭圆的离心率为其左、右焦点分别为，点P是坐标平面内一点，且（O为坐标原点）。

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点且斜率为k的动直线交椭圆于A 、B 两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB 为直径的圆恒过这个点若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由。19、已知椭圆：，分别为左，右焦点，离心率为，点在椭圆上，

，，过与坐标轴不垂直的直线交椭圆于两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）在线段上是否存在点,使得以线段为邻边的四边形是菱形若存在,求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．

20、已知定点，B是圆（C为圆心）上的动点，AB的垂直平分线与BC交于点E.（1）求动点E的轨迹方程；

（2）设直线与E的轨迹交于P，Q两点，且以PQ 为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：OPQ面积的最大值及此时直线的方程. 21、已知实轴长为，虚轴长为的双曲线的焦点在轴上，直线是双曲线的一条渐近线，且原点、点和点）使等式成立.

（I）求双曲线的方程；

（II ）若双曲线上存在两个点关于直线对称，求实数的取值范围.

22、已知点是椭圆的右焦点，点、分别是轴、轴上的动点，且满足．若点满足．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线分别交于点、（为坐标原点），试判断是否为定值若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

23、已知点P（4，4），圆C：与椭圆E：有一个公共点A

（3，1），F1．F2分别是椭圆的左．右焦点，直线PF1与圆C相切．（1）求m的值与椭圆E的方程；

（2）设Q为椭圆E上的一个动点，求的范围．24、如图，椭圆方程为，为椭圆上的动点，为椭圆的两焦点，当点不在轴上时，过作的外角平分线的垂线,垂足为，当点在轴上时，定义与重合。

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）已知、，试探究是否存在这样的点：点是轨迹内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且的面积若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由。

25、如图所示，椭圆C：的一个焦点为F(1,0)，且过点(2,0)．

(1)求椭圆C的方程; (2)已知A、B为椭圆上的点，且直线AB垂直于轴，直线：＝4与轴交于点N，直线AF与BN交于点M。

(ⅰ)求证：点M恒在椭圆C上；

(ⅱ)求△AMN面积的最大值．

26、已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．

v1.0 可编辑可修改

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值．

27、过抛物线C:上一点作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交于A、B 两点。（1）求证：直线AB的斜率为定值；

（2）已知两点均在抛物线：上，若△的面积的最大值为6，求抛物线的方程。

28、是双曲线上一点，M,N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM,PN的斜率之积为．

（1）求双曲线的离心率；

（2）过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足,求的值．29、在直角坐标系xOy中，椭圆C1：的左、右焦点分别为F 1、F2．F2也是抛物线C 2：的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且．

(Ⅰ)求C 1的方程；

(Ⅱ)平面上的点N满足，直线l∥MN，且与C1交于A、B两点，若·=0，求直线l的方程．

30、（2010·襄阳五中）已知动圆过定点(,0)

2

p

，且与直线2

p

x=-

相切，其中

p>

（1）求动圆圆心的轨迹方程C；

（2）设A B

、是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线O A和O B的倾斜角分别为α和β，

当α，β变化且αβ

+为定值()

θθπ

<<

时，直线A B恒过定点，并求出该点的坐标．

31、（2013届浙江重点中学摸底）在直角坐标系x o y上取两个定点

12

(2,0),(2,0)

A A

-,再取两个动

点

1

(0,),

N m

2

(0,)

N n,且3

m n=.

（Ⅰ）求直线

11

A N与

22

A N交点的轨迹M的方程；

（Ⅱ）已知点(1,)

A t(0

t>)是轨迹M上的定点，E,F是轨迹M上的两个动点，如果直

线A E的斜率

A E

k与直线A F的斜率

A F

k满足0

A E A F

k k

+=，试探究直线E F的斜

率是否是定值若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.

32、（2012·孝感二统）已知椭圆C 的离心率32

e =，长轴的左右端点分别为12

(2,0),(2,0)A A -. (I )求椭圆C 的方程；

(I I )设直线1x m

y =+与椭圆c 交于P,Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点S ，试问：当m 变化时，点S 是否恒在一条定直线上若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.

33、（2011年湖北重点中学高二期末）已知椭圆：()0

12222>>=+b a b

y

a x 的两个焦点分别为21F F 、,斜率为k 的直线l 过左焦点F 1且与椭圆的交点为A 、B ，与y 轴交点为C ，若B 为线段CF 1

的中点，若2

14

≤k ，求椭圆离心率e 的取值范围

（3）若B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点。

第36题图

36、（2012届湖北八市3月）如图:

O 方程为224x y +=，点P 在圆上，点D 在x 轴上，点M 在

DP 延长线上，

O 交y 轴于点N ，//D P O N

.且3

.2

D M D P = （I ）求点M 的轨迹C 的方程；

（II ）设12

(0,5)(,5F F -、，若过F 1的直线交（I ）中曲线C 于A 、B 两点，求22FAFB 的取值范围．

37、（2012届武汉2月）已知A （-2，0）、B （2，0）为椭圆C 的左、右顶点，F （1，0）为其右焦点．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）过点A 的直线l 与椭圆C 的另一个交点为P （不同于A ，B ），与椭圆在点B 处的切线交于点D ．当直线l 绕点A 转动时，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．

38、 如图，已知直线:4()l x m y m R =+∈与x 轴交于点P ，交抛物线)0(22

>=a ax y 于

B A ,两点，坐标原点O 是PQ 的中点，记直线BQ AQ

,的斜率分别为21,k k . （Ⅰ）若P 为抛物线的焦点，求a 的值，并确定抛物线的准线与以A B 为直径的圆的位置关系. （Ⅱ）试证明：12k k +为定值.

39、已知椭圆C ：)0(1y x 22

22>>=+b a b

a 的离心率为36，F 为椭圆在x 轴正半轴上的焦点，M 、

N 两点在椭圆C 上，且)0(>=λλFN ，定点A(-4，0)

（1） 求证：当AF ⊥=时，

1λ （2） 若当3

106

1=

?=AN 时，λ,求椭圆C 的方程。 （3） 在（2）的条件下，GH 是过F 点的弦，且当36tan 的值为GAH AG AH ∠??时，求出直

线GH 的方程。