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25 题汇编

1. 如图， AB 是⊙ O 的直径， BC 是⊙ O （ 1）求证： DC 是⊙ O 的切线；

（ 2）若 OA=2 ，求AD OC 的值。的切线，切点为B， AD 为弦， OC∥AD 。

O B

2.如图，⊙ O 是△ ABC 的外接圆，∠ B=60 °，CD 是⊙ O 的直径， P 是 CD 延长线上的一点，且 AP=AC （ 1）求证：直线AP 是⊙ O 的切线；

（ 2）若 AC=3 ，求 PD 的长。

P D O C

3.如图，已知 AB 是⊙ O 的直径， AM 和 BN 是⊙ O 的两条切线，点一点，连接 DE 并延长交 BN 于点 C，连接 OD、 BE，且 OD ∥BE。（ 1）求证： DE 是⊙ O 的切线；

（ 2）若 AD=1 ，BC=4 ，求直径AB 的长。

A D

B E 是⊙ O 上一点，点 D 是 AM 上

C N

4.如图，△ ABC 内接于⊙ O，弦 AD ⊥AB 交 BC 于点 E，过点 B 作⊙ O 的切线交 DA 的延长线于点 F，且∠ ABF= ∠ ABC 。

（ 1）求证： AB=AC ；

（ 2）若 EF=4，tan F 3

B ，求 DE 的长。

D A F

5.在△ ABC 中， AB=AC ，以 AB 为直径作⊙ O，交 BC 于点 D ，过点 D 作 DE ⊥AC ，垂足为 E。

（ 1）求证： DE 是⊙ O 的切线；

（ 2）若 AE=1 ，BD 2 5 ，求AB的长。 A

B D C

6. 如图， AB 是⊙ O 的直径， C 是⊙ O 上一点， AD 垂直于过点 C 的直线，垂足为D，且 AC 平分∠ BAD 。

（ 1）求证： CD 是⊙ O 的切线；

（ 2）若AC 2 6，AD=4 ，求 AB 的长。 C

A B

7. 如图， AB 为⊙ O 的直径， C 为⊙ O 上一点， AD 和过 C 点的切线互相垂直，垂足为点D， AD 交⊙ O 于点 E。

求证：（ 1） AC 平分∠ DAB ；

（ 2）若∠ B=60 °，CD 2 3 ，求AE的长。

A B

8. 如图，⊙ O 是△ ABC 的外接圆， AC 是⊙ O 的直径，弦 BD=BA ， AB=12 ， BC=5 ，BE ⊥ DC 交 DC 的延长线于点 E。

（ 1）求证： BE 是⊙ O 的切线；

（ 2）求 DE 的长。 B

C O A

9.如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C=90 °， CB=CA=6 ，半径为 2 的⊙ F 与射线 BA 相切于点 G，且 AG=4 ，将 Rt△ABC 绕点 A 顺时针旋转135°后得到Rt△ADE ，点 B 、 C 的对应点分别是点D、 E。

（1）求证： DE 为⊙ F 的切线；

（2）求出 Rt△ADE 的斜边 AD 被⊙ F 截得的弦 PQ 的长度。

C Q

B A G E

10. ⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，点 E 在 AB 弧上，点 D 在 AC 弧上，且 AE 弧等于 CD 弧，连

接CE 交 AB 于点 F，连接 BD 交 CE 于点 H，交 AC 于点 G，连接 AD 。（ 1）

求证： AF=CG ；

AF : BF

（ 2）若 3 : 5 ，AC=8，求AD的长。

B C

11.如图，⊙ O 是△ ABC 的外接圆，弦 BD 交 AC 于点 E，连接 CD，且 AE=DE ， BC=CE 。

（ 1）求∠ ACB 的度数；

（ 2）过点 O 作 OF⊥ AC 于点 F，延长 FO 交 BE 于点 G，DE=3 ， EG=2 ，求 AB 的长。

A D

G O

B C

12.如图，在菱形 ABCD 中， P 是对角线 AC 上的一点，且 PA=PD ，⊙ O 为△ APD 的外接圆。（ 1）求证： AB 为⊙ O 的切线；

（ 2）若⊙ O 的半径为5 5

，tan DAC

，求AC的长。

4 2

13.如图， AC 弧等于 BC 弧， D 、E 分别是半径 OA ，OB 的中点， CE 的延长线交⊙ O 于点 F。

（ 1）求证： CD=CE ；

（ 2）若 CD=2 ， CF=5，求半径 OA 的长。

A B

14.如图， AB 是⊙ O 的直径，点 C 在⊙ O 外，连接 OC， OC⊥ AB ，弦 BD 交 OC 于点 E， CD=CE 。（ 1）求证： CD 是⊙ O 的切线；

（ 2）若 AB=13 ，BD=12 ，求 DE 的长。

O E C

15. 如图，点 A 在射线 ON 上，半径为 5 的⊙ A 与射线 OM 相切于点B，交射线ON 于点 D （ OD OA ），将射线OM沿着射线ON翻折，得射线OM 。

（ 1）求证：OM为⊙ A 的切线；

（ 2）点 C 在射线 OM 上，连 CD，交⊙ A 于点 E，若MOM 90 ，tan OCD 1

，求弦 DE 7

的长。

16. 如图，∠ ABC=30 °，半径为 3 的⊙O与直线AB相切于点E， BE=1 ，将∠ ABC 沿着直线BC 翻折，得到∠ DBC 。

（1）求证：⊙ O 与 BD 相切；

（2）点 F 与点 E 关于 O 点对称，过点 F 作 GF∥ BC ，交射线 BD 于点 G，求线段 GF 的长。

C B

E O

D G F

17. 如图，在△ ABC 中， AB=10 ，BC=8 ， AC=6 ，将△ ABC 沿 AC 翻折，点 B 与 D 重合， O 是 CD 上一点， OC=3 ，以 O 为圆心， OC 为半径作⊙ O，交 CD 于另一点 E。

（1）求证：直线 AD 是⊙ O 的切线；

（2）过点 D 作⊙ O 的另一条切线，切点为点 M，连接 MC 并延长，交 AB 边于点 N，求线段 MN 的长。

B C O E D

18.如图，在⊙ O 中，弦 AB ∥弦 CD ，且 AB 、 CD 位于圆心 O 的两侧， AB=8 ， CD=6 ，AB 、 CD 之间的距离为 7，连接 OA 、OC。

（ 1）求⊙ O 的半径；

（ 2）过点 A 作⊙ O 的切线，交 DC 的延长线于点 E，求线段 CE 的长。

A B

C D

19. 如图， AB 为⊙ O 的直径， AC 、BC 为⊙ O 的弦，AC

， sin ABC

，将△ ABC 沿

AC 折叠，得到△ ADC ，点 E 在 AD 边上， AE=1 ，连接 CE。

（1）求证： CE 是⊙ O 的切线；

（2）作射线 EO，交射线 CB 于点 F，求 BF 的长。

B C D

20.△如图，以△ ABC 的 BC 边上一点O 为圆心的圆经过A,B 两点，点 D 在⊙ O 上，BD=BA, ∠ DAC=2 ∠ABC, ⊙ O 交 BC 于点 E,AD 交 BC 于点 F。

（ 1）求证： AC 为⊙ O 的切线。

（ 2）若 AB=3,AC= 5 ,求BC长。

B C

O F E

答案：

1.解：（ 1）连接 OD ∵AB 是⊙ O 的直径∴OA=OB=OD ∵ BC C 是⊙ O 的切线，∴∠ OBC=90 °

∵OC∥AD ，∴∠ A= ∠COB ，∠ ODA= ∠ COD ，∵ OA=OD ，

∴∠ A= ∠ ODA ∴∠ COD= ∠ COB D

∵OC=OC ，∴△ COD ≌△ COB ，∴∠ ODC= ∠ OBC=90 °

∴ DC 是⊙ O 的切线。

（2）连接 BD ，∵ AB 是⊙ O 的直径，∴∠ ADB= ∠OBC=90 °，

∵∠ BOC= ∠ A ，∴△ BAD ∽△ COB A O B ∴ BA AD ∴ AD CO BA OB ∴ OA=2 ，∴ BA=2OA=4 ，

CO OB

OB=2 ∴AD CO BA OB 8

2（. 1）连接 AO ，则∠ AOC=2 ∠ B= 2 60 120 ∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA= 180 120

又∵ PA=AC ，∴∠ P=∠ ACP=30 °又∵∠ AOP= 180 120 60

2 ∴ PAO 180 30 60 90 ∴ OA ⊥AP ∴AP 是⊙ O 的切线。

（ 2）连 AD ，∵ CD 为直径，∴∠ DAC=90 °，∴AD

tan ACD tan 30 3 AD ∴ AD3

AC 3 3

又∵∠ PAD= 60 30 30 ∴∠ P=∠PAD ，∴AD PD 3

（1）证明：连接 OE，在⊙ O 中， OA=OE=OB ，∴∠ OBE= ∠ OEB ，∵ OD ∥ BE，

∴∠ AOD= ∠OBE= ∠ OEB= ∠ EOD又∵ OA=OE，OD=OD，∴△ AOD≌△EOD，∴∠ OAD=∠OED ∵AM 是⊙ O 的切线，切点为 A ，∴ BA ⊥ AM ，∴∠ OAD= ∠ OED=90 °，∴ OE⊥ DE

∵OE 是⊙ O 的半径，∴ DE 是⊙ O 的切线。

（ 2）解：过点 D 作 BC 的垂线，垂足为 H 。∵BN 切⊙ O 于点 B，∠ ABC=90 ° =∠ BAD= ∠ BHD ∴

四边形 ABHD 是矩形，∴ AD=BH=1 ， AB=DH ∴CH BC BH 4 1 3

∵AD 、CB 、 CD 分别切⊙ O 于点 A 、 B、 E，∴ AD=ED=1 ，BC=CE=4 ，∴ DC=DE+CE=1+4=5

在 Rt△DHC 中，DC2DH 2CH 2，∴AB DH5232 4

A D M

B H

C N

4.（ 1）证明：连接 BD，∵ AD ⊥ AB ，∴∠ DAB=90 °，∴ BD 为⊙ O 的直径，∵ BF 与⊙ O 切于点 B，∴∠ OBF=90 °，∴∠ OBA+ ∠ BAF=90 °，∵∠ DAB=90 °，∴∠ D+ ∠ DBA=90 ° ∴∠ D=∠ ABF

∵∠ D= ∠ C，∠ ABC= ∠ ABF ，∴∠ C= ∠ ABC ∴ AB=AC

（2）∵ AD ⊥ AB ，∴∠ AEB+ ∠ ABE= ∠ ABF+ ∠ F，∵∠ ABF= ∠ ABC ，∴∠ BEF= ∠ F，∴ BE=BF

∴ AE=EF ，∵ EF=4，∴ AF=2 ，∵∠ BAF=90 °，∴tan F AB 3

AB=3 ∵∠ DAB= ∠ BAF AF 2

∠ ABF= ∠ D，∴△ ABF ∽△ ADB ∴AB

AF 3 2 ∴ AD 9 AD AB AD 3 2

∵ AE=2 ，∴DE AD AE

D A F

5. （ 1）证明：连接OD 、AD ，∵ AB 为⊙ O 的直径，∴∠ADB=90 °，又∵ AB=AC ，∴ BD=DC

又∵ OB=OA ，∴ OD∥ AC ∴∠ ODE= ∠CED=90 °，∴ DE⊥OD ∴ DE 是⊙ O 的切线。

（ 2）解：∵∠ CED= ∠ CDA=90 °，又∵∠ C=∠ C，∴△ CED ∽△ CDA ∴ CE CD

CD CA

∴ CD 2 CE CA ∵ CD BD 2 5 ，∴ (2 5) 2 CE(CE 1) ，∴ CE=4

∴ AB=AC=5 ∴ AB=5

B D C

6.（ 1）证明：连接 OC，∵ OA=OC ，∴∠ 1=∠ 2，∵ AC 平分∠ BAD ，∴∠ 1=∠ 3，∴∠ 2=∠ 3，∴ OC∥AD ∴∠ OCD= ∠ADC ，∵ AD ⊥ DC，∴∠ ADC=90 °，∴∠ OCD=90 °，∴

CD 是⊙ O 的切线

（ 2）解：连接 BC ，∵ AB 是⊙ O 的直径，∴∠ ACB=90 °，又∵∠ ADC=90 °，∠ 1=∠ 3，

∴ cos∠ 1=cos∠ 3，即AC AD

，∴ AB AC 2 把 AC 2 6 ，AD=4 代入得，得 AB=6 AB AC AD

7.证明：（ 1）如图 1，连接 OC，∵ CD 为⊙ O 的切线，∴ OC⊥ CD，∴∠ OCD=90 °，∵ AD ⊥ CD，∴∠ ADC=90 °，∴∠ OCD+ ∠ADC=180 °，∴ AD ∥ OC，∴∠ 1=∠ 2，∵ OA=OC ，∴∠ 2=∠ 3，

∴∠ 1=∠ 3 即 AC 平分∠ DAB

（ 2）如图 2，∵ AB 为⊙ O 的直径，∴∠ ACB=90 °，又∵∠ B=60 °，∴∠ 1=∠ 3=30°，

在 Rt△ACD 中， CD 2 3 ，∴ AC 2CD 4 3 ，在Rt△ABC中， AC 4 3 ，

∴ AB

AC 4 3 8 ，连接OE，∵∠EAO=2∠3=60°，OA=OE，

CAB cos30

cos

∴△ AOE 是等边三角形，∴AE OA 1

AB 4

E C

2 2

A 3

B O

图 2 图1

AB DB

8. 解（ 1）连接 OB 、 OD ，在△ ABO 和△ DBO 中，

BO BO OA OD

，∴△ ABO ≌△ DBO ，∴∠ DBO= ∠

ABO

∵∠ ABO= ∠OAB= ∠BDC ，∴∠ DBO= ∠ BDC ，∴ OB ∥ED ，∵ BE ⊥ DC ，∴∠ BEC=90 °， ∴∠ EBO=90 °，∴ OB ⊥ BE ，∴ BE 是⊙ O 的切线。

（ 2）∵ AC 是⊙ O 的直径，∴∠ ABC=90 °，∵∠ BDE= ∠ CAB ，∠ ABC= ∠ BED=90 °， ∴△ BED ∽△ CBA ，∴

BD DE

，∵ BD=BA ， AB=12 ， BC=5 ，∴ AC122

52 13

AC AB

∴ 12

，∴ DE

144

13 12

9. （ 1）证明：过 F 点作 FM ⊥ DE 于 M ，则∠ FME=90 °， CB=CA ，∠ C=90 °，∴∠ BAC=45 °， ∵∠ CAE=135 °，∴∠ CAE+ ∠ BAC=180 °，∴点 B 、 A 、 E 在一条直线上，连接 FG ，

∵⊙ F 与射线 BA 相切于点 G ，∴ FG ⊥ AE ，∴∠ FGE=90 °，又∵∠ AED=90 °，

∴四边形 FGEM 为矩形，∴ FM=GE ，∵ AE=AC=6 ，AG=4 ，∴ GE=2，∴ FM=2 ，∴ ED 是⊙ F 的切线。（ 2）解：∵ FG=2 ，FG=GE ，∴四边形 FGEM 为正方形，连接 EF 并延长交 PQ 于点 N ，∵四边形 FGEM

为正方形，∴ EF 平分∠ AED ，∵△ ADE 为等腰直角三角形，∴ EN ⊥PQ

∴ PN=NQ ，

△ AEN 为等腰直角三角形，连接

FP ，由勾股定理得 EF 2 2 ，又∵ AE=6 ， ∴ EN 3 2

∴ FN

2 ，在 Rt △PFN 中， PF=2，由勾股定理得 PN

2 ，∴ PQ

2 2

Q N

10.（1）证明：∵弧 AE 等于弧 CD ，∴∠ ACF= ∠ CBG ，∵等边△ ABC ，∴ AB=AC=BC ，∠

ABC= ∠ ACB= ∠ BAC=60 °，∴△ ACF ≌△ CBG ，∴ AF=CG 。

（ 2）过 B 作 BK ⊥ AC ，垂足为 K，∵ AC=8 ，∴ AC=BC=8 ，∵AF : BF 3 : 5 ，∴AF=CG=3，AG=BF=5 ∵BK ⊥ AC ∴ AK=CK=4 ，∴GK CK CG 1 ，∵在 Rt△ BCK 中，

BKBC 2 CK 2 4 3 ，∴在Rt△BGK中， BG BK 2 GK 2 7 ，∵∠D=∠BCG，

∠ BGC= ∠ AGD ，∴△ ADG ∽△ BGC，∴AD

AG ，AD

，∴AD 40

BC BG 8 7 7

O G D

B C

11. （ 1）证明：在⊙ O 中，∠ A= ∠ D，∵∠ AEB= ∠ DEC， AE=DE ，∴△ AEB ≌△ DEC ，∴ EB=EC ，又∵ BC=CE ，∴ BE=CE=BC ，∴△ EBC 为等边三角形，∴∠ ACB=60 °。

（ 2）解：∵ OF⊥AC ，∴ AF=CF ，∵△ EBC 为等边三角形，∴∠GEF=60 °，∴∠ EGF=30 °，

∵EG=2，∴ EF=1，又∵ AE=ED=3 ，∴ CF=AF=4 ，∴ AC=8 ， CE=5，∴ BC=5 ，作 BM ⊥AC 于点 M ，∵∠ BCM=60 °，∴∠ MBC=30 °，∴CM 5 ， BM BC 2 CM 25 3

2 2

∴

AM AC CM 11 ，∴ ABAM 2 BM 2 7

2 A D

G O M

B C

12.（1）连接 OA 、 OP 、OD ，设 OP 与 AD 交于点 H ，∵ PA=PD ，OA=OD ，∴ OP 是线段 AD 的垂直平分线，∴ OP ⊥ AD ，∴∠ AHP=90 °，∵四边形 ABCD 是菱形，∴∠ DAC= ∠ BAC ，又∵ OA=OP ， ∴∠ OAP= ∠ OPA ，∵在 Rt △ AHP 中，∠ DAP+ ∠OPA=90 °，

∴∠ OAB= ∠OAP+ ∠ BAC= ∠ OPA+ ∠DAP=90 °，即 OA ⊥ AB ，∵点 A 在⊙ O 上，∴直线 AB 与⊙ O 相切。

（ 2）连接 BD 交 AC 于点 E ，则 AC ⊥BD 。设⊙ O 的半径为

r ，设 AC=4a

，∴ AE=2a ，

，∴ DE= a ， AD

5 a ， AH

5 a ，

∵

tan DAC

在 Rt △AHP 中， HP

5 不能直接使用），在 Rt △ AHO 中，由勾股定

a ，（过程详细些， 1 : 2 :

理得： AH

OH 2

OA 2

，即 ( 5

a) 2

(5 5

5 a) 2 (5 5 )2 ，

解得： a 1

2, a 2 0 （舍） ∴ AC=8

A B

13. 证明：（ 1）连接 CO ，∵ D 、 E 分别是半径 OA ， OB 的中点，又∵ OA=OB ，∴ OD=OE ， ∵ AC 弧等于 BC 弧，∴∠ AOC= ∠ BOC ，∵ OC=OC ，∴△ DOC ≌△ EOC ，∴ CD=CE 。

（ 2）延长 BO 交⊙ O 于点 G ，连接 BC ，GF ，∵∠ CBG 与∠ F 为 CG 弧所对的圆周角， ∴∠ CBG= ∠ F ，∵∠ CEB= ∠ GEF ，∴△ CEB ∽△ GEF ，∴

CE EB

，∵ CE=CD=2 ， GE=3BE ，

2 BE

∴

，∴ BE 2 2，∴ BE

2 ，∴ OA OB

2 2

3BE

5 2

14.（ 1）连接 OD，在⊙ O 中， OB=OD ，∠ B= ∠ ODB ，∵ CD=CE ，∴∠ CDE= ∠ CED，在△ BEO 中，∵OC⊥AB ，∴∠ BOE=90 °，∴∠ B+ ∠ OEB=180 °— 90° =90 °，∵∠ CED= ∠

OEB ，∴∠ ODE+ ∠ CDE= ∠ B+∠ OEB=90 °，∴ OD ⊥ CD ，∴ CD 是⊙ O 的切线。

（ 2）连接 AD ，在△ ABD 中，∵ AB 是直径，∴∠ ADB=90 °=∠ BOE，

OB DB ，∴13 12

，∴ BE 169 12 169 119

∵ cos B cos ABD 2 ，∴ DE

BE AB BE 13 24 24 24

15. .解：（ 1）连接 AB ，过 A 作 AH ⊥ OM′,垂足为点 H，

∵⊙ A 与射线 OM 相切于点 B，

∴AB ⊥ OM 由翻折知， ON 平分∠ M OM′

∴AH=AB ∴OM′为⊙ A 的切线M′（ 2）作 CG⊥ ON 于点 G， DF⊥ OM 于点 F，

AK ⊥ CD 于点 K ，

∵∠ MO M′=90°，∴∠ MON=45°

H 设OF=a，则 DF= a，

O E C

∵tan∠ OCD= 1

，∴ CF=7a， OD= 2 a， D

7 K

O F

∴O C=8a，∴ OG=GC= 4 2 a，∴ DG= 3 2 a，

∴tan∠ GDC= GC

4 DG 3

在Rt△ADK 中，设 DK=3b ，则 AK=4b ，由

勾股定理得， AD=5b ，∴ 5b =5 ，∴ b=1

∴DE=2DK=6

16..解：（ 1）连接 OE，

∵⊙ O 与直线 AB 相切于点 E， C

∴ OE⊥ BH

连接 OB ，

∵ BE=1 ， OE= 3 ，∴tan∠EBO= 3

∴∠ EBO=60°

G D

∵∠ ABC=30°，∴∠ ABD=60°，B C M

∴∠ OBD=60° ，∴∠ OBD= ∠ OBH=60°

作 ON ⊥BD 于点 D ，则 ON=OE ， ∴ BD 与⊙ O 相切

（ 2）连结 OF ，

∵点 F 与点 E 关于 O 点中心对称，∴点

E 、O 、

F 在一条直线上，

∵ GF ∥ BC ，∴∠ BGF= ∠CBD=30° ，

∴∠ EFG=360° -120 °-90 °-30 °=120°，

延长 GF ，交⊙ O 于另一点 M ，则∠ OFM=60°

连结 OM ，则 OM=OF ，∴△ OFM 为等边三角形，∴∠ FOM=60° ， ∵∠ NBE= ∠ NBO+ ∠ FBO=120° ，∴∠ EON=60° ，

∴∠ FOM+ ∠ FON= ∠ EON+ ∠ FON

=180°，点 M 、 O 、 N 也在一条直线上 ∴ MN= 2 3 ，∴ GM=2MN= 4 3

∵ FM=OM= 3 ，∴ GF=GM-FM= 3 3

17. 解：（ 1）过 O 作 OF ⊥ AD ，垂足为 F ，

∵ AB=10 ， BC=8 ，AC=6 ，∴△ ABC 是直角三角形

∴∠ ACD=90 o ， ∵∠ OFD=90 ，∠ D=∠ D ∴△ ACD ∽△ OFD.

∵ OC=3，∴ OD=5，∴ OF=3=OC ∴直线 AD 是⊙ O 的切线

（ 2）连接 ME,

∵ AB ∥DM ，∴△ BNC ≌ △ DMC ， ∴ CN=CM

由（ 1）可知 DM=DF=4 ， DE=2 ， DC=8， ∴DM 2=DE · DC ，

∴△ DEM ∽ △ DMC. ∴

EMDM 1 -

CM DC 2

设 EM=a ，则 CM=2a ， EC=6 ，

由勾股定理得 CM=

12 5

，∴ MN=

24 5

18.解：（ 1）过点 O 作 OM ⊥AB 于点 M ，交 CD 于点 N ，

则∠ AMO=90 °， AM= 1 AB ，

∵AB ∥ CD ，∴∠ AMO+ ∠ CNO=180 ° ∴∠ CNO=90 °，∴ CN= 1

CD ，

设 OM=x ，则 ON=7-x ，

由勾股定理得： AM 2+MO 2=AO 2， CN 2+NO 2=CO 2， ∵ AB=8 ， CD=6 ，∴ AM=4 ， CN=3 ，

∴ 16+ x 2=9+(7-x) 2，解得： x=3 ∴ AO=5 ，

（ 2）在△ AOM 与△ OCN 中，

∵，

，∠ AMO= ∠ ONC=90 °，

MO CN 3

∴△ AOM ∽△ OCN ，

∴∠ AOM= ∠ OCN ，∠ MAO= ∠ NOC ， O

∴∠ AOM+ ∠ CON=90 °，

∴∠ AOC=90 °

E C N D

∵ AE 为⊙ O 的切线，∴∠ OAE=90 °， ∴∠ OAE+ ∠ COA=180 °，∴ AE ∥ CO 延长 CO ，交 AB 于点 F ，则四边形 AECF 为平行四边形，

∴ CE=AF

∵∠ AOM+ ∠ FOM= ∠OFM+ ∠ FOM=90 °，∴∠ AOM= ∠OFM ∵∠ OAM= ∠ FAO ， ∴△ AOM ∽△ AFO ， ∴ AO 2

=AM · AF ，∴ AF=

， CE=

19..解：（ 1）连接 OC 。∵△ ADC 是由 △ ABC 折叠得到。

∴∠ ACD=90. ∠ CAD=CAB.AC=

5 .

∴ AD=5. ∴ AC 2 AE AD

∵∠ CAD= ∠CAD. ∴△ ACE ∽△ ADC 。 ∴∠ ACD= ∠AEC=90

∴∠ ACE+ ∠ CAE=90. ∵OA=OC. ∴∠ OAC= ∠ OCA ∵∠ OAC= ∠EAC.

∴∠ OCA+ ∠ECA=90. ∴ CE 为⊙ O 的切线

（ 2）过 B 作 BG ∥OC ，交 OF 于 G 。

∵ OA=OB, BG ∥ OC. ∴△ AOE ≌△ BOG. ∴ BG=AE,

∴△ FBG ∽△ FOC.

∴ FB BG

FC OC .∴ FB=

20.解：（ 1）连接 AO ∵ BD=AB

∴ AB 弧 =BD 弧 ∵弧 BAE-弧 AB=弧 BDE-弧 BD ∴弧 AE=弧 DE

∴∠ ABF=∠ DBF ∵ AB=BD ∴∠ AFO=90° ∵∠ AOE=2∠ ABC ∠ DAC=2∠ABC ∴∠ DAC=∠AOE ∵∠ AOF+∠ OAF=90° ∴∠ OAF+∠FAC=90° ∴∠ OAC=90° ∴ AC 是⊙ O 的切线

（ 2）过点 C 作 AB 的垂线，交 BA 的延长线于点 G ，∵∠ OAC=90 °，∴∠ OAB+ ∠ CAG=90 °

∵∠ CAG+ ∠GCA=90 °，∴∠ GCA= ∠BAO ，∵ OA=OB ，∴∠ BAO= ∠ OBA ，∴∠ GCA= ∠ OBA ∵∠ CGA= ∠BGC ，∴△ CGA ∽△ BGC ，∵

，∴ GC 2

GA GB ，设 GA x ，

在 Rt△ACG 内，CG2 CA 2 AG 2，∴ GA GB CA 2 AG 2，∴ x(3 x) ( 5 )2 x2

解得 x 1 或x 5 （舍去），∴ CG 2 ( 5 )2 12 ，∴ CG=2 ，∵ CG=2 ， BG=4 ，∠ BGC=90 °，2

∴ BC 2 5 G

B C

O F E

中考数学分类汇编圆pdf含解析

2008～2019 北京中考数学分类(圆) 一．解答题（共12 小题） 1.在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O 到点A，B，C 的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G 于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD＝CD；（2）过点D 作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF 交图形G 于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE 与图形G 的公共点个数． 2.如图，AB 是⊙O 的直径，过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PC，PD，切点分别为C， D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；（2）连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP 的长．

3.如图，AB 是⊙O 的一条弦，E 是AB 的中点，过点E 作EC⊥OA 于点C，过点B 作⊙O 的切线交CE 的延长线于点D．（1）求证：DB＝DE；（2）若AB＝12，BD＝5，求⊙O 的半径． 4.如图，AB 为⊙O 的直径，F 为弦AC 的中点，连接OF 并延长交于点D，过点D 作 ⊙O 的切线，交BA 的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）连接CD，若OA＝AE＝a，写出求四边形ACDE 面积的思路． 5.如图，AB 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BM，弦CD∥BM，交AB 于点F，且＝，连接AC，AD，延长AD 交BM 于点E．（1）求证：△ACD 是等边三角形；（2）连接OE，若DE＝2，求OE 的长． 6.如图，AB 是⊙O 的直径，C 是的中点，⊙O 的切线BD 交AC 的延长线于点D，E 是

2015中考数学分类汇编圆综合题学生版

2015中考数学真题分类汇编圆综合题一．解答题（共30小题） 1．（2015?大连）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F．（1）求证：EF与⊙O相切；（2）若AB=6，AD=4，求EF的长． 2．（2015?潍坊）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．（1）求证：直线DF与⊙O相切；（2）若AE=7，BC=6，求AC的长． 3．（2015?枣庄）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2=CD?2OE；（3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的长． 4．（2015?西宁）如图，已知BC为⊙O的直径，BA平分∠FBC交⊙O于点A，D是射线BF上的一点，且满足=，过点O作OM⊥AC于点E，交⊙O于点M，连接BM， AM．（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若sin∠ABM=，AM=6，求⊙O的半径． 5．（2015?广元）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径． 6．（2015?北海）如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）求证：ED平分∠BEP；（3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长． 7．（2015?莆田）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC，BD交于点E，点O 在线段AE上，⊙O过B，D两点，若OC=5，OB=3，且cos∠BOE=．求证：CB是⊙O的切线．

中考数学圆综合题汇编

25题汇编 1. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为B ，AD 为弦，OC ∥AD 。（1）求证：DC 是⊙O 的切线；（2）若OA=2，求OC AD 的值。 2. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B=60°，CD 是⊙O 的直径，P 是CD 延长线上的一点，且AP=AC （1）求证：直线AP 是⊙O 的切线；（2）若AC=3，求PD 的长。 3. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，点E 是⊙ O 上一点，点D 是AM 上一点，连接DE 并延长交BN 于点C ，连接OD 、BE ，且OD ∥BE 。（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若AD=1，BC=4，求直径AB 的长。 D C B A O C B M N E D B A O

4. 如图，△ABC 内接于⊙O ，弦AD ⊥AB 交BC 于点E ，过点B 作⊙O 的切线交DA 的延长线于点F ，且∠ABF=∠ABC 。（1）求证：AB=AC ；（2）若EF=4，2 3 tan = F ，求DE 的长。 5. 在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E 。（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若AE=1，52=BD ，求AB 的长。 6. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，AD 垂直于过点C 的直线，垂足为D ，且AC 平分 ∠BAD 。（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若62=AC ，AD=4，求AB 的长。 A

7. 如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为点D ，AD 交⊙O 于点E 。求证：（1）AC 平分∠DAB ；（2）若∠B=60°，32 CD ，求AE 的长。 8. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 是⊙O 的直径，弦BD=BA ，AB=12，BC=5，BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E 。（1）求证：BE 是⊙O 的切线；（2）求DE 的长。 9. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CB=CA=6，半径为2的⊙F 与射线BA 相切于点G ，且AG=4，将Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转135°后得到Rt △ADE ，点B 、C 的对应点分别是点D 、E 。（1）求证：DE 为⊙F 的切线；（2）求出Rt △ADE 的斜边AD 被⊙ F 截得的弦PQ 的长度。 A E A D

人教版_2021年中考数学试卷分类汇编解析：圆的有关性质

圆的有关性质一、选择题 1. (2021兰州，7,4分)如图，在⊙O中，点C 是的中点，∠A＝50o，则∠BOC＝（）。（A）40o（B）45o（C）50o（D）60o 【答案】A 【解析】在△OAB中，OA＝OB，所以∠A＝∠B＝50o。根据垂径定理的推论，OC 平分弦AB 所对的弧，所以OC 垂直平分弦AB，即∠BOC＝90o? ∠B＝40o ，所以答案选A。【考点】垂径定理及其推论 2. (2021兰州，10,4分)如图，四边形ABCD 内接于⊙O, 四边形ABCO 是平行四边形，则∠ADC= （）（A）45o（B) 50o (C) 60o (D) 75o 【答案】：C 【解析】：连接OB,则∠OAB＝∠OBA, ∠OCB＝∠OBC ∵四边形ABCO 是平行四边形，则∠OAB＝∠OBC ∴∠ABC＝∠OAB＋∠OBC＝∠AOC ∴∠ABC＝∠AOC＝120o ∴∠OAB＝∠OCB＝60o 连接OD，则∠OAD＝∠ODC，∠OCD＝∠ODC

由四边形的内角和等于360o可知， ∠ADC＝360o－∠OAB－∠ABC－∠OCB－∠OAD－∠OCD ∴∠ADC＝60o 【考点】：圆内接四边形 3. (2021·四川自贡)如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（） A．15°B．25°C．30°D．75° 【考点】圆周角定理；三角形的外角性质．【分析】由三角形外角定理求得∠C的度数，再由圆周角定理可求∠B的度数．【解答】解：∵∠A=45°，∠AMD=75°， ∴∠C=∠AMD﹣∠A=75°﹣45°=30°， ∴∠B=∠C=30°，故选C．【点评】本题主要考查了三角形的外角定理，圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键4. （2021·四川成都·3分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则的长为（） A．πB．πC．πD．π 【考点】弧长的计算；圆周角定理．【分析】直接利用等腰三角形的性质得出∠A的度数，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数，再利用弧长公式求出答案．【解答】解：∵∠OCA=50°，OA=OC， ∴∠A=50°，

中考数学圆的综合-经典压轴题及答案

中考数学圆的综合-经典压轴题及答案一、圆的综合 1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC．（1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线；（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【解析】（1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可；（2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案．试题解析：连接AD，OA， ∵∠ADC=∠B，∠B=60°， ∴∠ADC=60°， ∵CD是直径， ∴∠DAC=90°， ∴∠ACO=180°-90°-60°=30°， ∵AP=AC，OA=OC， ∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°， ∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°，即OA⊥AP， ∵OA为半径， ∴AP是⊙O切线．（2）连接AD，BD，

∵CD是直径， ∴∠DBC=90°， ∵CD=4，B为弧CD中点， ∴BD=BC=， ∴∠BDC=∠BCD=45°， ∴∠DAB=∠DCB=45°，即∠BDE=∠DAB， ∵∠DBE=∠DBA， ∴△DBE∽△ABD， ∴， ∴BE?AB=BD?BD=．考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质． 2．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC交直径AD于点E，过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G，垂足为F．连接OC．（1）若∠G=48°，求∠ACB的度数；（2）若AB=AE，求证：∠BAD=∠COF；（3）在（2）的条件下，连接OB，设△AOB的面积为S1，△ACF的面积为S2．若 tan∠CAF= 1 2，求1 2 S S的值．【答案】（1）48°（2）证明见解析（3）3 4

中考数学专题复习圆的综合的综合题

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PC为⊙O的切线，点C为切点，连接AC，过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交⊙O于点E． (1)如图1，求证：∠DAC=∠PAC； (2)如图2，点F（与点C位于直径AB两侧）在⊙O上，BF FA =，连接EF，过点F作AD 的平行线交PC于点G，求证：FG=DE+DG； (3)在(2)的条件下，如图3，若AE=2 3 DG，PO=5，求EF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=32．【解析】【分析】（1）连接OC，求出OC∥AD，求出OC⊥PC，根据切线的判定推出即可；（2）连接BE交GF于H，连接OH，求出四边形HGDE是矩形，求出DE=HG，FH=EH，即可得出答案；（3）设OC交HE于M，连接OE、OF，求出∠FHO=∠EHO=45°，根据矩形的性质得出 EH∥DG，求出OM=1 2 AE，设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE= 2 3 DG，DG=3a，求出ME=CD=2a，BM=2a，解直角三角形得出tan∠MBO＝ 1 2 MO BM =，tanP= 1 2 CO PO =,设 OC=k，则PC=2k，根据OP=5k=5求出k=5，根据勾股定理求出a，即可求出答案．【详解】（1）证明：连接OC， ∵PC为⊙O的切线，

∴OC⊥PC， ∵AD⊥PC， ∴OC∥AD， ∴∠OCA=∠DAC， ∵OC=OA， ∴∠PAC=∠OCA， ∴∠DAC=∠PAC；（2）证明：连接BE交GF于H，连接OH， ∵FG∥AD， ∴∠FGD+∠D=180°， ∵∠D=90°， ∴∠FGD=90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠BEA=90°， ∴∠BED=90°， ∴∠D=∠HGD=∠BED=90°， ∴四边形HGDE是矩形， ∴DE=GH，DG=HE，∠GHE=90°， ∵BF AF =， ∴∠HEF=∠FEA=1 2 ∠BEA=190 2 o ?=45°， ∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°， ∴∠HEF=∠HFE， ∴FH=EH， ∴FG=FH+GH=DE+DG；（3）解：设OC交HE于M，连接OE、OF， ∵EH=HF，OE=OF，HO=HO， ∴△FHO≌△EHO， ∴∠FHO=∠EHO=45°，

九年级数学上册圆几何综合中考真题汇编[解析版]

九年级数学上册圆几何综合中考真题汇编[解析版] 一、初三数学圆易错题压轴题（难） 1．在直角坐标系中，A（0，4），B（4，0）．点C从点B出发沿BA方向以每秒2个单位的速度向点A匀速运动，同时点D从点A出发沿AO方向以每秒1个单位的速度向点O 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点C、D运动的时间是t秒(t>0)．过点C作CE⊥BO于点E，连结CD、DE． ⑴当t为何值时，线段CD的长为4； ⑵当线段DE与以点O为圆心，半径为的⊙O有两个公共交点时，求t的取值范围； ⑶当t为何值时，以C为圆心、CB为半径的⊙C与⑵中的⊙O相切？【答案】(1); (2) 4-＜t≤; (3)或．【解析】试题分析：（1）过点C作CF⊥AD于点F，则CF，DF即可利用t表示出来，在Rt△CFD中利用勾股定理即可得到一个关于t的方程，从而求得t的值；（2）易证四边形ADEC是平行四边形，过点O作OG⊥DE于点G，当线段DE与⊙O相切时，则OG=，在直角△OEG中，OE可以利用t表示，则OG也可以利用t表示出来，当 OG＜时，直线与圆相交，据此即可求得t的范围；（3）分两圆外切与内切两种情况进行讨论，当外切时，圆心距等于两半径的和，当内切时，圆心距等于圆C的半径减去圆O的半径，列出方程即可求得t的值．（1）过点C作CF⊥AD于点F，在Rt△AOB中，OA=4，OB=4，

∴∠ABO=30°，由题意得：BC=2t，AD=t， ∵CE⊥BO， ∴在Rt△CEB中，CE=t，EB=t， ∵CF⊥AD，AO⊥BO， ∴四边形CFOE是矩形， ∴OF=CE=t，OE=CF=4-t，在Rt△CFD中，DF2+CF2=CD2， ∴（4-t-t）2+（4-t）2=42，即7t2-40t+48=0，解得：t=，t=4， ∵0＜t＜4， ∴当t=时，线段CD的长是4；（2）过点O作OG⊥DE于点G（如图2）， ∵AD∥CE，AD=CE=t ∴四边形ADEC是平行四边形， ∴DE∥AB ∴∠GEO=30°， ∴OG=OE=（4-t）当线段DE与⊙O相切时，则OG=， ∴当（4-t）＜，且t≤4-时，线段DE与⊙O有两个公共交点．∴当 4-＜t≤时，线段DE与⊙O有两个公共交点；（3）当⊙C与⊙O外切时，t=；当⊙C与⊙O内切时，t=；

中考数学试题分类汇编圆

中考数学试题分类汇编圆 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】

中考数学试题及答案分类汇编圆一、选择题 1．如图，⊙O的直径AB=2，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75° 2．如图，在⊙O中， =，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（） A．50°B．40°C．30°D．25° 3．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（） A．55°B．60°C．65°D．70° 4．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB且相交于点E，则下列结论中不成立的是（） A．∠A=∠D B． =C．∠ACB=90°D．∠COB=3∠D 5．如图，AB为⊙O直径，已知∠DCB=20°，则∠DBA为（） A．50°B．20°C．60°D．70° 6．如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD=52°，则∠BCD等于（） A．32°B．38°C．52°D．66° 7．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50° 8．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A=72°，则∠BCO的度数为（） A．15°B．18°C．20°D．28° 9．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（） A．30°B．45°C．60°D．70° 10．如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（） A．80°B．90°C．100°D．无法确定 11．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100°D．80°或100°

初中数学圆的真题汇编及答案解析

初中数学圆的真题汇编及答案解析一、选择题 1．如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，则侧面积为（） A．2πB．3πC．6πD．8π【答案】B 【解析】【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【详解】解：圆锥的侧面积为：1 2 ×2π×1×3＝3π，故选：B．【点睛】此题考查圆锥的计算，解题关键在于掌握运算公式. 2．如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD，以BD为直径作圆，交于AB于E，交CD于F，若BD=12，AD：AB=1：2，则图中阴影部分的面积为（） A．123B．1536π -πC．30312π -D．48336π -π【答案】C 【解析】【分析】易得AD长，利用相应的三角函数可求得∠ABD的度数，进而求得∠EOD的度数，那么一个阴影部分的面积=S△ABD-S扇形DOE-S△BOE，算出后乘2即可．【详解】连接OE，OF． ∵BD=12，AD：AB=1：2， ∴AD=43，AB=83，∠ABD=30°， ∴S△ABD=33,S扇形=60361 6,63393 3602 OEB S π π ? ==?= V

∵两个阴影的面积相等， ∴阴影面积=()224369330312ππ?--=- . 故选：C 【点睛】本题主要是理解阴影面积等于三角形面积减扇形面积和三角形面积． 3．如图，已知AB 是⊙O 是直径，弦CD ⊥AB ，AC =22，BD =1，则sin ∠ABD 的值是( ) A ．2 B ．13 C 22 D ．3 【答案】C 【解析】【分析】先根据垂径定理，可得BC 的长，再利用直径对应圆周角为90°得到△ABC 是直角三角形，利用勾股定理求得AB 的长，得到sin ∠ABC 的大小，最终得到sin ∠ABD 【详解】解：∵弦CD ⊥AB ，AB 过O ， ∴AB 平分CD ， ∴BC =BD ， ∴∠ABC =∠ABD ， ∵BD =1， ∴BC =1， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB =90°，由勾股定理得：AB ()22222213AC BC +=+=，

中考数学试题分类汇编圆[1]

中考数学试题分类汇编圆 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案

中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案一、选择题 1．（北京市西城区）如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（）（A ） 15 （B ） 30 （C ） 45 （D ） 60 2．（北京市西城区）如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的 41，那么这个圆柱的侧面积是（）（A ）100π平方厘米（B ）200π平方厘米（C ）500π平方厘米（D ）200平方厘米 3．（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝寸，求直径CD 的长”．依题意，CD 长为（）（A ）2 25寸（B ）13寸（C ）25寸（D ）26寸 4．（北京市朝阳区）已知：如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于（）（A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）214 5．（北京市朝阳区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘米，那么此圆锥的底面半径的长等于（）（A ）2厘米（B ）22厘米（C ）4厘米（D ）8厘米 6．（天津市）相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为10厘米和17厘米，则这两圆的圆心距为（）（A ）7厘米（B ）16厘米（C ）21厘米（D ）27厘米 7．（重庆市）如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于（）

人教中考数学圆的综合综合题汇编及详细答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D ，点E 在OD 上DCE B ∠=∠．（1）求证：CE 是半圆的切线；（2）若CD=10，2 tan 3 B = ，求半圆的半径．【答案】（1）见解析；(2)413 【解析】分析: （1）连接CO ，由DCE B ∠=∠且OC=OB,得DCE OCB ∠=∠,利用同角的余角相等判断出∠BCO+∠BCE=90°，即可得出结论；（2）设AC=2x ，由根据题目条件用x 分别表示出OA 、AD 、AB ，通过证明△AOD ∽△ACB ，列出等式即可. 详解：（1）证明：如图，连接CO . ∵AB 是半圆的直径， ∴∠ACB =90°. ∴∠DCB =180°-∠ACB =90°. ∴∠DCE+∠BCE=90°. ∵OC =OB , ∴∠OCB =∠B. ∵=DCE B ∠∠， ∴∠OCB =∠DCE . ∴∠OCE =∠DCB =90°. ∴OC ⊥CE . ∵OC 是半径， ∴CE 是半圆的切线. （2）解：设AC =2x ，

∵在Rt △ACB 中，2 tan 3 AC B BC ==, ∴BC =3 x . ∴()() 22 2313AB x x x = +=. ∵OD ⊥AB , ∴∠AOD =∠A CB=90°. ∵∠A =∠A ， ∴△AOD ∽△ACB . ∴ AC AO AB AD =. ∵1132OA AB x = =，AD =2x +10, ∴ 1 132210 13x x x = +. 解得 x =8. ∴13 8413OA = ?=. 则半圆的半径为413. 点睛：本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形. 2．如图，在平面直角坐标系xoy 中，E （8,0），F(0 , 6)．（1）当G(4，8)时，则∠FGE= ° （2）在图中的网格区域内找一点P ，使∠FPE=90°且四边形OEPF 被过P 点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形．要求：写出点P 点坐标，画出过P 点的分割线并指出分割线（不必说明理由，不写画法）．【答案】（1）90；（2）作图见解析，P （7，7），PH 是分割线．【解析】试题分析：（1）根据勾股定理求出△FEG 的三边长，根据勾股定理逆定理可判定△FEG 是直角三角形，且∠FGE="90" °．（2）一方面，由于∠FPE=90°，从而根据直径所对圆周角直角的性质，点P 在以EF 为直径

数学九年级上册圆几何综合中考真题汇编[解析版]

数学九年级上册圆几何综合中考真题汇编[解析版] 一、初三数学圆易错题压轴题（难） 1．如图，以A （0，3）为圆心的圆与x 轴相切于坐标原点O ，与y 轴相交于点B ，弦BD 的延长线交x 轴的负半轴于点E ，且∠BEO ＝60°，AD 的延长线交x 轴于点C ．（1）分别求点E 、C 的坐标；（2）求经过A 、C 两点，且以过E 而平行于y 轴的直线为对称轴的抛物线的函数解析式；（3）设抛物线的对称轴与AC 的交点为M ，试判断以M 点为圆心，ME 为半径的圆与⊙A 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）点C 的坐标为（－3，0）（2）2343333 y x x =++3）⊙M 与⊙A 外切【解析】试题分析：（1）已知了A 点的坐标，即可得出圆的半径和直径，可在直角三角形BOE 中，根据∠BEO 和OB 的长求出OE 的长进而可求出E 点的坐标，同理可在直角三角形OAC 中求出C 点的坐标；（2）已知了对称轴的解析式，可据此求出C 点关于对称轴对称的点的坐标，然后根据此点坐标以及C ，A 的坐标用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（3）两圆应该外切，由于直线DE ∥OB ，因此∠MED=∠ABD ，由于AB=AD ，那么 ∠ADB=∠ABD ，将相等的角进行置换后可得出∠MED=∠MDE ，即ME=MD ，因此两圆的圆心距AM=ME+AD ，即两圆的半径和，因此两圆外切. 试题解析：（1）在Rt△EOB 中，3 cot60232EO OB =??==， ∴点E 的坐标为（－2，0）．在Rt△COA 中，tan tan60333OC OA CAO OA =?∠=??==， ∴点C 的坐标为（－3，0）．（2）∵点C 关于对称轴2x =-对称的点的坐标为F （－1，0），点C 与点F （－1，0）都在抛物线上．设()()13y a x x =++，用(03A ，代入得 ()()30103a =++，

2019年中考数学试题分类汇编28：圆的基本性质

一、选择题 1. （2019滨州，6，3分）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（） A．60°B．50°C．40°D．20° 【答案】B 【解析】如图，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵∠A和∠BCD都是弧BD所对的圆周角，∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°－40°=50°．故选B．【知识点】圆周角定理及其推论 2. (2019聊城,8,3分)如图,BC是半圆O的直径,D,E是BC上两点,连接BD,CE并延长交于点A,连接OD,OE, 如果∠A＝70°,那么∠DOE的度数为 A.35° B.38° C.40° D.42° 第8题图【答案】C 【解析】∵∠A＝70°,∴∠B+∠C＝110°,∴∠BOE+∠COD＝220°,∴∠DOE＝∠BOE+∠COD－180°＝40°,故选C. 【知识点】三角形角和定理,圆周角定理 3. （2019省潍坊市，11，3分）如图，四边形ABCD接于⊙O，AB为直径，AD=CD．过点D作DE⊥AB

于点E．连接AC交DE于点F．若sin∠CAB=3 5 ，DF=5，则BC的长为（） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【思路分析】连接BD，先证明∠DAC=∠ACD=∠ABD=∠ADE，从而可得AF=DF=5，根据sin∠CAB=3 5 ，求得EF和AE的长度，再利用射影定理求出BE的长度从而得到直径AB，根据sin∠CAB=3 5 求得BC的长度．【解题过程】连接BD． ∵AD=CD， ∴∠DAC=∠ACD． ∵AB为直径， ∴∠ADB=∠ACB=90°．∴∠DAB+∠ABD=90°．∵DE⊥AB， ∴∠DAB+∠ADE=90°．∴∠ADE=∠ABD． ∵∠ABD=∠ACD， ∴∠DAC=∠ADE． ∴AF=DF=5．在Rt△AEF中， sin∠CAB= 3 5 EF AF ∴EF=3，AE=4．∴DE=3+5=8．

中考数学圆的综合综合经典题及详细答案

中考数学圆的综合综合经典题及详细答案一、圆的综合 1．如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于D ，延长AO 交O 于E ，连接CD ，CE ，若CE 是⊙O 的切线，解答下列问题：（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC 的面积．【答案】（1）证明见解析（2）24 【解析】试题分析：（1）连接OD ，求出∠EOC=∠DOC ，根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可；（2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解．试题解析：（1）证明：连接OD ， ∵OD=OA ， ∴∠ODA=∠A ， ∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OC ∥AB ， ∴∠EOC=∠A ，∠COD=∠ODA ， ∴∠EOC=∠DOC ，在△EOC 和△DOC 中， OE OD EOC DOC OC OC =?? ∠=∠??=? ∴△EOC ≌△DOC （SAS ）， ∴∠ODC=∠OEC=90°，即OD ⊥DC ， ∴CD 是⊙O 的切线；（2）由（1）知CD 是圆O 的切线， ∴△CDO 为直角三角形， ∵S △CDO = 1 2 CD?OD ，又∵OA=BC=OD=4，

∴S△CDO=1 2 ×6×4=12， ∴平行四边形OABC的面积S=2S△CDO=24． 2．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）．（1）求⊙M的半径；（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH．（3）在（2）的条件下求AF的长．【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4．【解析】【分析】（1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长；（2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论；（3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】（1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM， ∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径， ∴BT=TC=1 2 3 ∴124 ；（2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB， ∴∠HBC+∠BCH=90°

圆中考真题精选汇编二A

圆中考真题精选汇编二 1、（2010苏州）如图1，已知A 、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C 的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值是（） A 、2 B 、1 C 、222- D 、22- 2、（2010临沂）如图2，直径AB 为6的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 到了点B '，则图中阴影部分的面积是（） A 、6π B 、5π C 、4π D 、3π 3、（2010陕西）如图3，点A 、B 、P 在⊙O 上，且50APB ∠=。若点M 是⊙O 上的动点，要使△ABM 为等腰三角形，则所有符合条件的点M 有（） A 、 1个 B 、 2个 C 、 3个 D 、 4个 ~ 4、（2010上海）已知圆O 1、圆O 2的半径不相等，圆O 1的半径长为3，若圆O 2上的点A 满足AO 1 = 3，则圆O 1与圆O 2的位置关系是（） A 、相交或相切 B 、相切或相离 C 、相交或内含 D 、相切或内含 5、（2010武汉）如右图，⊙O 的直径AB 的长为10，弦AC 长为6，ACB ∠的平分线交⊙O 于D ，则CD 长为（） A 、7 B 、72 C 、82 D 、 9 6、（2010年山西）如图6是以AB 为直径的半圆形纸片，AB ＝6cm ，沿着垂直于AB 的半径OC 剪开，将扇形OAC 沿AB 方向平移至扇形O ’A ’C ’ ．如图2，其中O ’是OB 的中点．O ’C ’交BC ⌒ 于点F ，则BF ⌒ 的长为_______cm 。 B ' 第1题第2题 |

2020中考数学圆试题分类汇编

一、选择题 1、（2020最新模拟山东淄博）一个圆锥的高为33，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（）B （A ）9π （B ）18π （C ）27π （D ）39π 2、（2020最新模拟四川内江）如图（5），这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一副图案，它是一扇形图形，其中AOB ∠为120o ，OC 长为8cm ，CA 长为12cm ，则阴影部分的面积为（） A ．264πcm B ．2112πcm C ．2144πcm D ．2152πcm 解：S ＝ 212020360 π?－ 21208360 π?＝2112πcm 选（B ）。 3、（2020最新模拟山东临沂）如图，在△ABC 中， AB ＝2，AC ＝1，以AB 为直径的圆与AC 相切，与边 BC 交于点D ，则AD 的长为（）。A A 、55 2 B 、 554 C 、35 2 D 、354 4、（2020最新模拟浙江温州）如图，已知ACB ∠是O e 的圆周角，50ACB ∠=?，则圆心角AOB ∠是（）D A ．40? B. 50? C. 80? D. 100? 5、（2020最新模拟重庆市）已知⊙O 1的半径r 为3cm ，⊙O 2的半径R 为4cm ，两圆的圆心距O 1O 2为1cm ，则这两圆的位置关系是（）C （A ）相交（B ）内含（C ）内切（D ）外切 A C O B 图（5）

6、（2020最新模拟山东青岛）⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（）．C A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．内含 7、（2020最新模拟浙江金华）如图，点A B C ，，都在 O e 上，若34 C o ∠，则AOB ∠的度数为（）D A ．34o B ．56o C ．60o D ．68o 8、（2020最新模拟山东济宁）已知圆锥的底面半径为1cm ，母线长为3cm ，则其全面积为（）。C A 、π B 、3π C 、4π D 、7π 9、（2020最新模拟山东济宁）如图所示，小华从一个圆形场地的A 点出发，沿着与半径OA 夹角为α的方向行走，走到场地边缘B 后，再沿着与半径OB 夹角为α的方向折向行走。按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB 上，此时∠AOE ＝56°，则α的度数是（）。A A 、52° B 、60° C 、72° D 、76° 10、（2020最新模拟福建福州）如图2，O e 中，弦 AB 的长为6cm ，圆心O 到AB 的距离为4cm ，则O e 的半径长为（） A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm C 11、（2020最新模拟双柏县）如图，已知PA 是⊙O 的切线，A 为切点，PC 与⊙O 相交于B 、C 两点，PB ＝2 cm ，BC ＝8 cm ，则PA 的长等于（） A ．4 cm B ．16 cm O C B A O B A 图2 A ·O P C B

中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练附详细答案

中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练附详细答案一、圆的综合 1．如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PC为⊙O的切线，点C为切点，连接AC，过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交⊙O于点E． (1)如图1，求证：∠DAC=∠PAC； (2)如图2，点F（与点C位于直径AB两侧）在⊙O上，?? BF FA =，连接EF，过点F作AD 的平行线交PC于点G，求证：FG=DE+DG； (3)在(2)的条件下，如图3，若AE=2 3 DG，PO=5，求EF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=32．【解析】【分析】（1）连接OC，求出OC∥AD，求出OC⊥PC，根据切线的判定推出即可；（2）连接BE交GF于H，连接OH，求出四边形HGDE是矩形，求出DE=HG，FH=EH，即可得出答案；（3）设OC交HE于M，连接OE、OF，求出∠FHO=∠EHO=45°，根据矩形的性质得出 EH∥DG，求出OM=1 2 AE，设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE= 2 3 DG，DG=3a，求出ME=CD=2a，BM=2a，解直角三角形得出tan∠MBO＝ 1 2 MO BM =，tanP= 1 2 CO PO =,设 OC=k，则PC=2k，根据OP=5k=5求出k=5，根据勾股定理求出a，即可求出答案．【详解】（1）证明：连接OC， ∵PC为⊙O的切线，

∴OC⊥PC， ∵AD⊥PC， ∴OC∥AD， ∴∠OCA=∠DAC， ∵OC=OA， ∴∠PAC=∠OCA， ∴∠DAC=∠PAC；（2）证明：连接BE交GF于H，连接OH， ∵FG∥AD， ∴∠FGD+∠D=180°， ∵∠D=90°， ∴∠FGD=90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠BEA=90°， ∴∠BED=90°， ∴∠D=∠HGD=∠BED=90°， ∴四边形HGDE是矩形， ∴DE=GH，DG=HE，∠GHE=90°， ∵?? BF AF =， ∴∠HEF=∠FEA=1 2 ∠BEA=190 2 o ?=45°， ∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°， ∴∠HEF=∠HFE， ∴FH=EH， ∴FG=FH+GH=DE+DG；（3）解：设OC交HE于M，连接OE、OF， ∵EH=HF，OE=OF，HO=HO， ∴△FHO≌△EHO， ∴∠FHO=∠EHO=45°，

圆中考试题整理汇编(附规范标准答案)

圆中考试题一、选择题 1．（北京市西城区）如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（）（A ）ο 15 （B ）ο 30 （C ）ο 45 （D ）ο 60 2．（北京市西城区）如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的4 1 ，那么这个圆柱的侧面积是（）（A ）100π平方厘米（B ）200π平方厘米（C ）500π平方厘米（D ）200平方厘米 3．（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝10寸，求直径CD 的长”．依题意，CD 长为（）（A ） 2 25 寸（B ）13寸（C ）25寸（D ）26寸 4．（北京市朝阳区）已知：如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于（）（A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）214 5．（北京市朝阳区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘米，那么此圆锥的底面半径的长等于（）（A ）2厘米（B ）22厘米（C ）4厘米（D ）8厘米 6．（天津市）相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为10厘米和17厘米，则这两圆的圆心距为（）（A ）7厘米（B ）16厘米（C ）21厘米（D ）27厘米 7．（重庆市）如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ο 90，AO 的延长线交 BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于（）

2017年江苏省中考数学真题《圆》专题汇编(解)

2017年江苏省中考数学真题《圆》专题汇编（解答） 1．（2017·南京第22题）“直角”在初中几何学习中无处不在．如图，已知 AOB .请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断AOB 是否为直角（仅限用直尺和圆规）． 2．（2017·南京第24题）如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点．连接AO 并延长，交PB 的延长线于点C ．连接PO ，交⊙O 于点D ．（1）求证：PO 平分APC ．（2）连结DB ．若 30C ，求证DB ∥AC ．小丽的方法如图，在OA 、OB 上分别取点C 、D ，以C 为圆心，CD 长为半径画弧，交 OB 的反向延长线于点 E.若OD OE ，则 90AOB . （第1题图）（第2题图）

3．（2017·无锡第24题）如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：（1）作△ABC的外心O；（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F，点H分别在边BC 和AC上．（第3题图） 4．（2017·无锡第27题）如图，以原点O为圆心，3为半径的圆与x轴分别交于A，B两点（点B在点A的右边），P是半径OB上一点，过P且垂直于AB的直线与⊙O分别交于C，D两点（点C在点D的上方），直线AC，DB交于点E．若AC：CE=1：2，求点P的坐标．（第4题图）

5．（2017·常州第28题）如图，已知一次函数 4 4 3 y x的图像是直线l，设直线l分别与y轴、x轴交于点A B 、．（1）求线段AB的长度；（2）设点M在射线AB上，将点M绕点A按逆时针方向旋转90°到点N，以点N为圆心，NA的长为半径作N． ①当N与x轴相切时，求点M的坐标； ②在①的条件下，设直线AN与x轴交于点C，与N的另一个交点为D，连接MD交x 轴于点E，直线m过点N分别与y轴、直线l交于点P Q 、，当APQ与CDE相似时，求点P的坐标．（第5题图）