本科：1009离散数学
一、单项选择题
1．设P ：a 是偶数，Q ：b 是偶数。R ：a + b 是偶数，则命题“若a 是偶数，b 是偶数，则a + b 也是偶数”符号化为（D ． P Q →R ）。
2．表达式?x （P （x ，y ）∨Q （z ））∧?y （Q （x ，y ）→?zQ （z ）
）中?x 的辖域是（P （x ，y ） Q （z ））。 3．设)(}),({},{,4321
?=?=?=?=P S P S S S 则命题为假的是（42S S ∈）。
4．设G 是有n 个结点的无向完全图，则G 的边数（ 1/2 n （n-1））。 5．设G 是连通平面图，有v 个结点，e 条边，r 个面，则r=（ e-v+2）。 6．若集合A ={1，{2}，{1，2}}，则下列表述正确的是( {1}?A )．
7．已知一棵无向树T 中有8个顶点，4度、3度、2度的分支点各一个，T 的树叶数为( 5 )．
8．设无向图G 的邻接矩阵为???
?
???
?
?????
???01011100110000111001
11110
则G 的边数为( 7 )． 9．设集合A ={a }，则A 的幂集为({?，{a }} )． 10．下列公式中 (?A ∧?B ? ?(A ∨B ) )为永真式． 11．若G 是一个汉密尔顿图，则G 一定是( 连通图 )．
12．集合A ={1, 2, 3, 4}上的关系R ={
13．设集合A ={1，2，3，4，5}，偏序关系≤是A 上的整除关系，则偏序集上的元素5是集合A 的（极大元 ）．
14．图G 如图一所示，以下说法正确的是 ( {(a, d ) ,(b, d )}是边割集 ) ．
图一
15．设A （x ）：x 是人，B （x ）：x 是工人，则命题“有人是工人”可符号化为（(?x )(A (x )∧B (x )) ）．
16．若集合A ={1，2}，B ={1，2，{1，2}}，则下列表述正确的是(A ?B ，且A ∈B )．
17．设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如图一所示，则下列结论成立的是 ( （d ）是强连通的 )．
18．设图G 的邻接矩阵为???
?
???
?
?????
???01010100100000111001
00110
则G 的边数为( 5 )． 19．无向简单图G 是棵树，当且仅当(G 连通且边数比结点数少1 )． 20．下列公式 ((P →(?Q →P ))?(?P →(P →Q )) )为重言式．
21．若集合A ＝{ a ，{a }，{1，2}}，则下列表述正确的是({a }?A )． 22．设图G ＝
E v V
v 2)deg(=∑∈ ) ．
23．命题公式（P ∨Q ）→R 的析取范式是 (（?P ∧?Q ）∨R ) 24．下列等价公式成立的为(P →(?Q →P ) ??P →(P →Q ) )．
26．设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R 是A 上的整除关系，B ={2, 4, 6}，则集合B 的最大元、最小元、上界、下界依次为 (无、2、无、2)．
27．若集合A 的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（1024）．
28．如图一所示，以下说法正确的是 (e 是割点)．图一
29．设完全图K n 有n 个结点(n ≥2)，m 条边，当（ n 为奇数）时，K n 中存在欧拉回路．
30．已知图G 的邻接矩阵为 ，则G 有（ 5点，7边 ）．
二、填空题（每小题3分，共15分）
1．设A ，B 为任意命题公式，C 为重言式，若A ∧C ?B ∧C ，那么A ?B 是 重言 式（重言式、矛盾式或可满足式）。 2．命题公式（P →Q ）∨P 的主合取范式为 )()(Q P Q P ∨?∧∨ 。 3．设集合A={?，{a}}，则P （A ）= }}}{,{}},{{},{,{a a ??? 。
4．设图G =〈V ，E 〉， G ′=〈V ′，E ′〉，若 V ′=V,E ′ E ,则G ′是G 的生成子图。 5．在平面G =〈V ，E 〉中，则∑=r
i i
r 1
)deg(= 2|E| ，其中i
r （i=1，2，…，r ）是G 的面。6．命题公式P P ?∧的真值是 假
（或F ，或0） ．
7．若无向树T 有5个结点，则T 的边数为 4 ．
8．设正则m 叉树的树叶数为t ，分支数为i ，则(m -1)i = t-1 ．
9．设集合A ={1，2}上的关系R ＝{<1, 1>,<1, 2>}，则在R 中仅需加一个元素 <2, 1> ，就可使新得到的关系为对称的． 10．(?x )(A (x )→B (x ，z )∨C (y ))中的自由变元有 z ，y ．
11．若集合A={1，3，5，7}，B ={2，4，6，8}，则A ∩B = 空集（或?） ．
12．设集合A ={1，2，3}上的函数分别为：f ={<1,2>,<2,1>,<3,3>,}，g ={<1,3>,<2,2>,<3,2>,}，则复合函数g ?f = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 2>,} ．
13．设G 是一个图，结点集合为V ，边集合为E ，则G 的结点度数之和为 2|E |（或“边数的两倍”） ． 14．无向连通图G 的结点数为v ，边数为e ，则G 当v 与e 满足 e=v -1 关系时是树．
15．设个体域D ＝{1, 2, 3}， P (x )为“x 小于2”，则谓词公式(?x )P (x ) 的真值为 假（或F ，或0） ． 16．命题公式)(P Q P
∨→的真值是
T （或1） ．
17．若图G=
18．给定一个序列集合{000，001，01，10，0}，若去掉其中的元素 0 ，则该序列集合构成前缀码． 19．已知一棵无向树T 中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T 的树叶数为 5 ． 20．(?x )(P (x )→Q (x )∨R (x ，y ))中的自由变元为 R (x ，y )中的y ． 21．设集合A ={0, 1, 2, 3}，B ={2, 3, 4, 5}，R 是A 到B 的二元关系，},,{B A y x B y A x y x R ?∈∈∈><=且且则R 的有
序对集合为 {<2, 2>，<2, 3>，<3, 2>}，<3, 3> ．
22．设G 是连通平面图，v , e , r 分别表示G 的结点数，边数和面数，则v ，e 和r 满足的关系式 v -e +r =2 ． 23．设G ＝
27．如果R 1和R 2是A 上的自反关系，则R 1∪R 2，R 1∩R 2，R 1-R 2中自反关系有 2 个．
28．设图G 是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G 中删去 4 条边后使之变成树． 29．设连通平面图G 的结点数为5，边数为6，则面数为 3 ．
30．设个体域D ＝{a , b }，则谓词公式(?x )A (x )∧（?x ）B （x ）消去量词后的等值式为 (A (a )∧A (b ))∧(B （a ）∨B （b ）) ． 31. 设集合A={0，1 ，2} ，B={l ，2 ，3 ， 剖，R 是A 到B 的二元关系，R= {
32. 设G 是连通平面图，v ， e ， r 分别表示G 的结点数， 边数和面数， 则 v ， e 和r 满足的关系式__v-e+r=2_____ 33.G=
11．设集合A={1，2，3，4}，A 上的二元关系R ，R={〈1，1〉，〈1，4〉，〈2，2〉，〈2，3〉，〈3，2〉，〈3，3〉，〈4，1〉，〈4，4〉}，说明R 是A 上的等价关系。 解 从R 的表达式知，,),(,R x x A x ∈∈?即R 具有自反性；
三、逻辑公式翻译
1．将语句“今天上课．”翻译成命题公式．
设P ：今天上课， 则命题公式为：P ．
2．将语句“他去操场锻炼，仅当他有时间．”翻译成命题公式．
设 P ：他去操场锻炼，Q ：他有时间， 则命题公式为：P Q ． 3．将语句“他是学生．”翻译成命题公式．
设P ：他是学生， 则命题公式为： P ．
4．将语句“如果明天不下雨，我们就去郊游．”翻译成命题公式．
设P ：明天下雨，Q ：我们就去郊游， 则命题公式为：? P → Q ． 5．将语句“他不去学校．”翻译成命题公式．
设P ：他去学校， ? P ．
6．将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．
设 P ：他去旅游，Q ：他有时间， P →Q ． 7．将语句“所有的人都学习努力．”翻译成命题公式．
设P (x )：x 是人，Q (x )：x 学习努力， （?x ）(P (x )→Q (x ))． 8．将语句“如果你去了，那么他就不去．”翻译成命题公式．
设P ：你去，Q ：他去， P →?Q ． 9．将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．
设P ：小王去旅游，Q ：小李去旅游， P ∧Q ． 10．将语句“所有人都去工作．”翻译成谓词公式．
设P (x )：x 是人，Q (x )：x 去工作， (?x )(P (x )→Q (x ))．
11．将语句“如果所有人今天都去参加活动，则明天的会议取消．”翻译成命题公式．
设P ：所有人今天都去参加活动，Q ：明天的会议取消， P → Q ．
精选文库
12．将语句“今天没有人来．”翻译成命题公式．
设P：今天有人来，?P．
13．将语句“有人去上课．”翻译成谓词公式．
设P(x)：x是人，Q(x)：x去上课，(?x)(P(x)∧Q(x))．
1 1. 将语句"如果小李学习努力，那么他就会取得好成绩. "翻译成命题公式.
设P：小李学习努力，Q:小李会取得好成绩，P→Q
12. 将语句"小张学习努力,小王取得好成绩. "翻译成命题公式.
设P：小张学习努力，Q:小王取得好成绩，P∧Q
四、判断说明题
1．设集合A={1，2}，B={3，4}，从A到B的关系为f={<1, 3>}，则f是A到B的函数．错误．因为A中元素2没有B中元素与之对应，故f不是A到B的函数．
2．设G是一个有4个结点10条边的连通图，则G为平面图．
错误．不满足“设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图，若v≥3，则e≤3v-6．”
3．设N、R分别为自然数集与实数集，f：N→R，f (x)=x+6，则f是单射．
正确．设x1，x2为自然数且x1≠x2，则有f(x1)= x1+6≠x2+6= f(x2)，故f为单射．
4．下面的推理是否正确，试予以说明．
(1) （?x）F（x）→G（x）前提引入
(2) F（y）→G（y）US（1）．
错误．
（2）应为F（y）→G（x），换名时，约束变元与自由变元不能混淆．
5．如图二所示的图G存在一条欧拉回路．
图二
错误．因为图G为中包含度数为奇数的结点．
6．设G是一个有6个结点14条边的连通图，则G为平面图．
错误．不满足“设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图，若v≥3，则e≤3v-6．”
7．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2是自反的．
正确．R1和R2是自反的，?x∈A，
正确．因为图G为连通的，且其中每个顶点的度数为偶数．
9．┐P∧（P→┐Q）∨P为永真式．
正确．
┐P∧（P→┐Q）∨P是由┐P∧（P→┐Q）与P组成的析取式，
v1
v v3
v5v4
d
b
a
e
f
g
h
n
图二
如果P的值为真，则┐P∧（P→┐Q）∨P为真，
如果P的值为假，则┐P与P→┐Q为真，即┐P∧（P→┐Q）为真，
也即┐P∧（P→┐Q）∨P为真，
所以┐P∧（P→┐Q）∨P是永真式．
另种说明：
┐P∧（P→┐Q）∨P是由┐P∧（P→┐Q）与P组成的析取式，
只要其中一项为真，则整个公式为真．
可以看到，不论P的值为真或为假，┐P∧（P→┐Q）与P总有一个为真，
所以┐P∧（P→┐Q）∨P是永真式．
或用等价演算┐P∧（P→┐Q）∨P?T
10．若偏序集
图一
正确．
对于集合A的任意元素x，均有
11. 如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∩R2是自反的。
正确，R1和R2，是自反的，?x∈A,
12. 如图二所示的图中存在一条欧拉回路.
图二
正确，因为图G为连通的，且其中每个顶点的度数为偶数。
五．计算题（每小题12分，本题共36分）
1．试求出（P∨Q）→（R∨Q）的析取范式．
（P∨Q）→（R∨Q）?┐(P∨Q)∨（R∨Q）
? (┐P∧┐Q)∨（R∨Q）
? (┐P∧┐Q)∨R∨Q（析取范式）
2．设A={{1}, 1, 2}，B={1, {2}}，试计算（1）（A∩B）（2）（A∪B）（3）A -（A∩B）．
（1）（A∩B）={1}
（2）（A∪B）={1, 2, {1}, {2}}
（3）A-（A∩B）={{1}, 1, 2}
3．图G=
（2）写出G的邻接矩阵；
（3）求出G权最小的生成树及其权值．
（1）G的图形表示如图一所示：
οοa d 1
2 4
5
3
（2）邻接矩阵：?
?
???
????
???011110111101111
（3）最小的生成树如图二中的粗线所示：
权为：1+1+3=5
4．画一棵带权为1, 2, 2, 3, 4的最优二叉树,计算它们的权．
最优二叉树如图三所示 图三
权为1?3+2?3+2?2+3?2+4?2=27
5．求（P ∨Q ）→R 的析取范式与合取范式．
（P ∨Q ）→R ? ?（P ∨Q ）∨R
? (?P ∧?Q )∨R （析取范式） ? (?P ∨R )∧(?Q ∨R) （合取范式）
6．设A ={0，1，2，3}，R ={
R ?S =?，
S -1= S ，
r (R )=I A ={<0,0>,<1,1>,<2,2>,<3,3>}．
7．试求出（P ∨Q ）→R 的析取范式，合取范式，主合取范式．
（P ∨Q ）→R ?┐(P ∨Q )∨R ? (┐P ∧┐Q )∨R （析取范式） ? (┐P ∨R )∧ (┐Q ∨R )（合取范式） ? ((┐P ∨R )∨(Q ∧┐Q ))∧ ((┐Q ∨R )∨(P ∧┐P )) ? (┐P ∨R ∨Q )∧(┐P ∨R ∨┐Q )∧ (┐Q ∨R ∨P )
∧(┐Q ∨R ∨┐P ) ? (┐P ∨Q ∨R )∧(┐P ∨┐Q ∨R )∧ (P ∨┐Q ∨R ) 8．设A ={{a , b }, 1, 2}，B ={ a , b , {1}, 1}，试计算
（1）（A -B ） （2）（A ∪B ） （3）（A ∪B ）-（A ∩B ）．
（1）（A -B ）={{a , b }, 2} （2）（A ∪B ）={{a , b }, 1, 2, a , b , {1}} （3）（A ∪B ）-（A ∩B ）={{a , b }, 2, a , b , {1}}
9．图G =
ο ο ο
ο a b
c
d 1
1 2 4
5
3 ο ο ο ο ο
ο ο
ο ο
1 2
2
3 3
4 7 5
12
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（1）画出G的图形；
（2）写出G的邻接矩阵；
（3）求出G权最小的生成树及其权值．
（1）G的图形表示为：
（2）邻接矩阵：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
（3）粗线表示最小的生成树，
权为7：
10．设谓词公式)
(
)
,
(
))
,
,
(
)
,
(
(y
F
z
y
yR
z
x
y
zQ
y
x
P
x?
?
∧
?
→
?，试（1）写出量词的辖域；（2）指出该公式的自由变元和约束变元．
（1）?x量词的辖域为))
,
,
(
)
,
(
(z
x
y
zQ
y
x
P?
→，
?z量词的辖域为)
,
,
(z
x
y
Q,
?y量词的辖域为)
,
(z
y
R．
（2）自由变元为))
,
,
(
)
,
(
(z
x
y
zQ
y
x
P?
→与)
(y
F中的y，以及)
,
(z
y
R中的z
约束变元为x与)
,
,
(z
x
y
Q中的z，以及)
,
(z
y
R中的y．
11．设A={{1},{2},1,2}，B={1,2,{1,2}}，试计算
（1）（A-B）；（2）（A∩B）；（3）A×B．
（1）A-B ={{1},{2}}
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（2）A∩B ={1,2}
（3）A×B={<{1},1>，<{1},2>，<{1},{1,2}>，<{2},1>，<{2},2>，
<{2},{1,2}>，<1,1>，<1,2>，<1, {1,2}>，<2,1>，<2,2>,
<2, {1,2}>}
12．设G=
，(v2,v3)，(v2,v4)，(v3,v4)，(v3,v5)，(v4,v5) }，试（1）给出G的图形表示；（2）写出其邻接矩阵；
（3）求出每个结点的度数；（4）画出其补图的图形．
（1）G的图形表示为：
（2）邻接矩阵：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
（3）v1，v2，v3，v4，v5结点的度数依次为1，2，4，3，2
（4）补图如下：
13．设集合A={1，2，3，4}，R={
（1）写出R的有序对表示；
（2）画出R的关系图；
（3）说明R满足自反性，不满足传递性．
（1）R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<3,4>,<4,3>}
（2）关系图为
?
?
?
?1
2 3
4
3）因为<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>均属于R ，即A 的每个元素构成的有序对均在R 中，故R 在A 上是自反的。 因有<2,3>与<3,4>属于R ，但<2,4>不属于R ，所以R 在A 上不是传递的。
14．求P →Q ∨R 的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式．
P →（R ∨Q ）
?┐P ∨(R ∨Q )
? ┐P ∨Q ∨R （析取、合取、主合取范式）
?(┐P ∧┐Q ∧┐R )∨(┐P ∧┐Q ∧R ) ∨(┐P ∧Q ∧R ) ∨(P ∧┐Q ∧┐R ) ∨(P ∧┐Q ∧R ) ∨(P ∧Q ∧┐R ) ∨(P ∧Q ∧R ) （主析取范式）
15．设图G =
(1) 画出G 的图形表示； (2) 写出其邻接矩阵； (3) 求出每个结点的度数； (4) 画出图G 的补图的图形．
（1）关系图
（2）邻接矩阵 ???
?
???
?
?????
???01100101101101101101
00110 （3）deg(v 1)=2
deg(v 2)=3 deg(v 3)=4 deg(v 4)=3
deg(v 5)=2 （4）补图
16．设谓词公式?x(A(x,y)∧? zB(x,y, z)) ∧? yC(y,z) 试 (1)写出量词的辖域; ?x 量词的辖域为(A(x,y)∧? zB(x,y, z)), ? z 量词的辖域为B(x,y,z), ? y 量词的辖域为C(y,z) (2)指出该公式的自由变元和约束变元.
自由变元为(A(x,y) ∧? zB(x,y, z))中的y,以及C(y,z)中的z.
约束变元为(A(x,y) ∧? zB(x,y, z))中的x 与B(x,y,z)中的z,以及C(y,z)中的y 。
六、证明题
1．试证明：若R 与S 是集合A 上的自反关系，则R ∩S 也是集合A 上的自反关系．
证明：设?x ∈A ，因为R 自反，所以x R x ，即< x , x >∈R ；
又因为S 自反，所以x R x ，即< x , x >∈S ． 即< x , x >∈R ∩S 故R ∩S 自反．
2．试证明集合等式A ? (B ?C )=(A ?B ) ? (A ?C ) ． v 1 v 2 v
3
v 4 v 5 ο ο
ο
ο ο v 1 v 2 v 3
v 4 v 5
ο ο
ο ο ο
证明：设S = A ? (B ?C )，T =(A ?B ) ? (A ?C )，若x ∈S ，则x ∈A 或x ∈B ?C ，即 x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ． 也即x ∈A ?B 且 x ∈A ?C ，即 x ∈T ，所以S ?T ．
反之，若x ∈T ，则x ∈A ?B 且 x ∈A ?C ， 即x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ， 也即x ∈A 或x ∈B ?C ，即x ∈S ，所以T ?S ．
因此T =S ．
3．试证明集合等式A ? (B ?C )=(A ?B ) ? (A ?C )．
证明：设S =A ∩(B ∪C )，T =(A ∩B )∪(A ∩C )， 若x ∈S ，则x ∈A 且x ∈B ∪C ，即 x ∈A 且x ∈B 或 x ∈A 且x ∈C ， 也即x ∈A ∩B 或 x ∈A ∩C ，即 x ∈T ，所以S ?T ． 反之，若x ∈T ，则x ∈A ∩B 或 x ∈A ∩C ， 即x ∈A 且x ∈B 或 x ∈A 且x ∈C
也即x ∈A 且x ∈B ∪C ，即x ∈S ，所以T ?S ． 因此T =S ．
4．试证明集合等式A ? (B ?C )=(A ?B ) ? (A ?C ) ．
证明：设S = A ? (B ?C )，T =(A ?B ) ? (A ?C )，若x ∈S ，则x ∈A 或x ∈B ?C ，即 x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ． 也即x ∈A ?B 且 x ∈A ?C ，即 x ∈T ，所以S ?T ． 反之，若x ∈T ，则x ∈A ?B 且 x ∈A ?C ， 即x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ， 也即x ∈A 或x ∈B ?C ，即x ∈S ，所以T ?S ．
因此T =S ．
5．试证明（?x ）（P （x ）∧R （x ））? （?x ）P （x ）∧（?x ）R （x ）．
证明：
（1）（?x ）（P （x ）∧R （x ）） P
（2）P （a ）∧R （a ） ES(1) （3）P （a ） T(2)I （4）（?x ）P （x ） EG(3) （5）R （a ） T(2)I （6）（?x ）R （x ） EG(5) （7）（?x ）P （x ）∧（?x ）R （x ） T(5)(6)I
6．设m 是一个取定的正整数，证明：在任取m ＋1个整数中，至少有两个整数，它们的差是m 的整数倍 证明 设
1a ，2a ，…，1+m a 为任取的m ＋1个整数，用m 去除它们所得余数只能是0，1，…，m －1，由抽屉原理可知，1a ，2a ，
…，
1
+m a 这m ＋1个整数中至少存在两个数
s
a 和
t
a ，它们被m 除所得余数相同，因此
s
a 和
t
a 的差是m 的整数倍。
7．已知A 、B 、C 是三个集合，证明A-(B ∪C)=(A-B)∩(A-C)
证明 ∵x ∈ A-（B ∪C ）? x ∈ A ∧x ?（B ∪C ）? x ∈ A ∧（x ?B ∧x ?C ）? （x ∈ A ∧x ?B ）∧（x ∈ A ∧x ?C ）? x ∈（A-B ）∧x ∈（A-C ）? x ∈（A-B ）∩（A-C ）∴A-（B ∪C ）=（A-B ）∩（A-C ）
8．（15分）设是半群，对A 中任意元a 和b ，如a ≠b 必有a*b ≠b*a ，证明：
(1)对A 中每个元a ，有a*a ＝a 。 (2)对A 中任意元a 和b ，有a*b*a ＝a 。 (3)对A 中任意元a 、b 和c ，有a*b*c ＝a*c 。 证明 由题意可知，若a*b ＝b*a ，则必有a ＝b 。 (1)由(a*a)*a ＝a*(a*a)，所以a*a ＝a 。
(2)由a*(a*b*a)＝(a*a)*(b*a)＝a*b*(a*a)＝(a*b*a)*a ，所以有a*b*a ＝a 。
(3)由(a*c)*(a*b*c)＝(a*c*a)*(b*c)＝a*(b*c)＝(a*b)*c ＝(a*b)*(c*a*c)＝(a*b*c)*(a*c)，所以有a*b*c ＝a*c 。 13. 设A,B 为任意集合，证明：(A-B)-C = A-(B ∪C).
证明：(A-B)-C = (A ∩~B)∩~C = A ∩(~B ∩~C) = A ∩~(B ∪C)
= A-(B ∪C)
9．求命题公式(?P→Q)→(P∨?Q) 的主析取范式和主合取范式
解：(?P→Q)→(P∨?Q)??(?P→Q)∨(P∨?Q)??(P∨Q)∨(P∨?Q)?(?P∧?Q)∨(P∨?Q) ?(?P∨P∨?Q)∧(?Q∨P∨?Q)?(P ∨?Q)?M1?m0∨m2∨m3
10．例5在边长为1的正方形内任意放置九个点，证明其中必存在三个点，使得由它们组成的三角形（可能是退化的）面积不超过1/8。
证明：把边长为1的正方形分成四个全等的小正方形，则至少有一个小正方形内有三个点，它们组成的三角形（可能是退化的）面积不超过小正方形的一半，即1/8。
11. 试证明集合等式AU( B∩C)=(AUB) ∩(AUC).
证明：设S=AU(B∩C),T=(AUB) ∩(AUC),若x∈S,则x∈A或x∈B∩C，
即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C,也即x∈AUB且x∈AUC,
即x∈T,所以s?T.
反之，若x∈T,则x∈AUB且x∈AUC,
即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C,
也即x∈A或x∈B∩C，即x∈S,所以T?S.
因此T=S.
12. 利用形式演绎法证明：{P→Q, R→S, P∨R}蕴涵Q∨S。
证明：{P→Q, R→S, P∨R}蕴涵Q∨S
(1) P∨R P
(2) ?R→P Q(1)
(3) P→Q P
(4) ?R→Q Q(2)(3)
(5) ?Q→R Q(4)
(6) R→S P
(7) ?Q→S Q(5)(6)
(8) Q∨S Q(7)
14.利用形式演绎法证明：{?A∨B, ?C→?B, C→D}蕴涵A→D。
证明：{?A∨B, ?C→?B, C→D}蕴涵A→D
(1) A D(附加)
(2) ?A∨B P
(3) B Q(1)(2)
(4) ?C→?B P
(5) B→C Q(4)
(6) C Q(3)(5)
(7) C→D P
(8) D Q(6)(7)
(9) A→D D(1)(8)
所以{?A∨B, ?C→?B, C→D}蕴涵A→D.
15. A, B为两个任意集合，求证：A－(A∩B) = (A∪B)－B .
证明：A－(A∩B)
= A∩~(A∩B)
＝A∩(~A∪~B)
＝(A∩~A)∪(A∩~B)
＝?∪(A∩~B)
＝(A∩~B)
＝A－B
精选文库而(A∪B)－B
= (A∪B)∩~B
= (A∩~B)∪(B∩~B)
= (A∩~B)∪
= A－B
所以：A－(A∩B) = (A∪B)－B.
(完整版)离散数学试卷及答案
离散数学试题（A卷答案） 一、（10分）求(P↓Q)→(P∧?(Q∨?R))的主析取范式 解：(P↓Q)→(P∧?(Q∨?R))??(?( P∨Q))∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q)∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q∨P)∧(P∨Q∨?Q)∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q)∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q∨(R∧?R))∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨R) ? M∧1M ? m∨3m∨4m∨5m∨6m∨7m 2 二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。 乙说：王教授不是上海人，是苏州人。 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。 王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人？ 解设设P：王教授是苏州人；Q：王教授是上海人；R：王教授是杭州人。则根据题意应有： 甲：?P∧Q 乙：?Q∧P 丙：?Q∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以，丙至少说对了一半。因此，可得甲或乙必有一人全错了。又因为，若甲全错了，则有?Q ∧P，因此，乙全对。同理，乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为：
((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此，王教授是上海人。 三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则由定理4.19知，tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系，则由闭包的定义知r (R )?'R 。由定理4.15和由定理4.16得sr (R )?s ('R )＝'R ，进而有tsr (R )?t ('R )＝'R 。 综上可知，tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 四、（15分）集合A ＝{a ，b ，c ，d ，e }上的二元关系R 为R ＝{，，，，，，，，
离散数学在计算机学科中的应用
信息技术与课程整合本栏目责任编辑：贾薇薇离散数学在计算机学科中的应用 陈敏，李泽军 （湖南工学院计算机科学系，湖南衡阳421002） 摘要：离散数学作为有利的数学工具，对计算机的发展与计算机科学的研究起着重大的作用。阐述了离散数学在计算机科学的几个不同领域中的应用，分析了离散数学与计算机专业其他学科间的关系，指出了离散数学在从事计算机及相关科学工作中的重要性。关键词：离散数学；数据结构；编译原理；人工智能 中图分类号：O158,TP305文献标识码：A 文章编号：1009-3044(2009)01-0251-02 The Application of Discrete Mathematics in Computer Science CHEN Min,LI Ze-jun (Department of Computer Science and Technlology,Hunan Insititute of Technology,Hengyang 421002,China) Abstract:Being a helpful mathematical tool,discrete mathematics plays a significant role in the development and research of computer sci -ence.This paper introduces the application of discrete mathematics in different fields of computer science,analyzes the relationship between discrete mathematics and other subjects in computer specialty and points out the importance of discrete mathematics in computer science and related fields. Key words:discrete mathematics;data structure;decoding principles;artificial intelligence 1引言 离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中基础理论的核心课程。它是以研究离散性的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般地是有限个或可数个元素。由于计算机科学的迅速发展，与其有关的领域中，提出了许多有关离散量的理论问题，需要用某些数学的工具做出描述和深化[1]。离散数学把计算机科学中所涉及到的研究离散量的数学综合在一起，进行较系统的、全面的论述，为研究计算机科学的相关问题提供了有力的工具。 离散数学课程所涉及的概念、方法和理论，大量地应用在数据结构、数据库系统、编译原理、人工智能、计算机体系结构、算法分析与设计、软件工程、多媒体技术、数字电路、计算机网络等专业课程以及信息管理、信号处理、模式识别、数据加密等相关课程中[2-4]。它所提供的训练十分有益于学生概括抽象能力、逻辑思维能力、归纳构造能力的提高，十分有益于学生严谨、完整、规范的科学态度的培养。这些能力与态度是一切软、硬件计算机科学工作者所不可缺少的，为学习计算机科学的后续课程、从事科研或工程技术工作以及进一步提高科学技术水平奠定理论基础。离散数学提供的营养滋补了计算机科学的众多领域，学好了离散数学就等于掌握了一把开启计算机科学之门不可缺少的钥匙。 2离散数学在数据结构中的应用 计算机要解决一个具体问题，必须运用数据结构知识。对于问题中所处理的数据，必须首先从具体问题中抽象出一个适当的数学模型，然后设计一个解此数学模型的算法，最后编出程序，进行测试、调整直至得到问题的最终解答。而寻求数学模型就是数据结构研究的内容。寻求数学模型的实质是分析问题，从中提取操作的对象，并找出这些操作对象之间含有的关系，然后用数学的语言加以描述。数据结构中将操作对象间的关系分为四类：集合、线性结构、树形结构、图状结构或网状结构。数据结构研究的主要内容是数据的逻辑结构，物理存储结构以及基本运算操作。其中逻辑结构和基本运算操作来源于离散数学中的离散结构和算法思考。离散数学中的集合论、关系、图论、树四个章节就反映了数据结构中四大结构的知识。如集合由元素组成，元素可理解为世上的客观事物。关系是集合的元素之间都存在某种关系。例如雇员与其工资之间的关系。图论是有许多现代应用的古老题目。伟大的瑞士数学家列昂哈德·欧拉在18世纪引进了图论的基本思想，他利用图解决了有名的哥尼斯堡七桥问题。还可以用边上带权值的图来解决诸如寻找交通网络里两城市之间最短通路的问题[5]。而树反映对象之间的关系，如组织机构图、家族图、二进制编码都是以树作为模型来讨论。 3离散数学在数据库中的应用 数据库技术被广泛应用于社会各个领域，关系数据库已经成为数据库的主流，离散数学中的笛卡儿积是一个纯数学理论，是研究关系数据库的一种重要方法，显示出不可替代的作用。不仅为其提供理论和方法上的支持，更重要的是推动了数据库技术的研究和发展。关系数据模型建立在严格的集合代数的基础上，其数据的逻辑结构是一个由行和列组成的二维表来描述关系数据模型。在研究实体集中的域和域之间的可能关系、表结构的确定与设计、关系操作的数据查询和维护功能的实现、关系分解的无损连接性分析、连接依赖等问题都用到二元关系理论[6]。 4离散数学在编译原理中的应用 编译程序是计算机的一个十分复杂的系统程序。一个典型的编译程序一般都含有八个部分：词法分析程序、语法分析程序、语义分析程序、中间代码生成程序、代码优化程序、目标代码生成程序、错误检查和处理程序、各种信息表格的管理程序[7]。离散数学里的计算模型章节里就讲了三种类型的计算模型：文法、有限状态机和图灵机。具体知识有语言和文法、带输出的有限状态机、不带输出的有限状态机、语言的识别、图灵机等。短语结构文法根据产生式类型来分类：0型文法、1型文法、2型文法、3型文法。以上这些收稿日期：2008-12-10 基金项目：“湖南省教育厅教学改革研究项目（湘教通2008第263号） ISSN 1009-3044 Computer Knowledge and Technology 电脑知识与技术 Vol.5,No.1,January 2009,pp.251-252E-mail:kfyj@https://www.360docs.net/doc/ef12259792.html, https://www.360docs.net/doc/ef12259792.html, Tel:+86-551-56909635690964251
离散数学试卷及答案一
一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分)在每小题列出的四个选项中只有 一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。 1.一个连通的无向图G，如果它的所有结点的度数都是偶数，那么它具有一条( ) A.汉密尔顿回路 B.欧拉回路 C.汉密尔顿通路 D.初级回路 2.设G是连通简单平面图，G中有11个顶点5个面，则G中的边是( ) A.10 B.12 C.16 D.14 3.在布尔代数L中，表达式(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等价式是( ) A.b∧(a∨c) B.(a∧b)∨(a’∧b) C.(a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c) D.(b∨c)∧(a∨c) 4.设i是虚数，·是复数乘法运算，则G=<{1,-1,i,-i},·>是群，下列是G的子群是( ) A.<{1},·> B.〈{-1},·〉 C.〈{i},·〉 D.〈{-i},·〉 5.设Z为整数集，A为集合，A的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算，∩为集合的交 运算，下列系统中是代数系统的有( ) A.〈Z，+，/〉 B.〈Z，/〉 C.〈Z，-，/〉 D.〈P(A)，∩〉 6.下列各代数系统中不含有零元素的是( ) A.〈Q，*〉Q是全体有理数集，*是数的乘法运算 B.〈Mn(R),*〉,Mn(R)是全体n阶实矩阵集合，*是矩阵乘法运算 C.〈Z，ο〉，Z是整数集，ο定义为xοxy=xy,?x,y∈Z D.〈Z，+〉，Z是整数集，+是数的加法运算 7.设A={1,2,3}，A上二元关系R的关系图如下： R具有的性质是 A.自反性 B.对称性 C.传递性 D.反自反性 8.设A={a,b,c}，A上二元关系R={〈a,a〉，〈b,b〉,〈a,c〉}，则关系R的对称闭包S(R)是( ) A.R∪I A B.R C.R∪{〈c,a〉} D.R∩I A 9.设X={a,b,c},Ix是X上恒等关系，要使Ix∪{〈a,b〉，〈b,c〉，〈c,a〉，〈b,a〉}∪R为X上的 等价关系，R应取( ) A.｛〈c,a〉，〈a,c〉｝ B.{〈c,b〉，〈b,a〉} C.{〈c,a〉，〈b,a〉} D.{〈a,c〉，〈c,b〉} 10.下列式子正确的是( ) A. ?∈? B.??? C.{?}?? D.{?}∈? 11.设解释R如下：论域D为实数集，a=0,f(x,y)=x-y,A(x,y):x 离散数学期末试题 一、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1．若集合A ={1，{1}，{2}，{1，2}}，则下列表述正确的是( )． A ．{2}∈A B ．{1，2}?A C ．1?A D ．2 ? A 正确答案：A 2．集合A ={x |x 为小于10的自然数}，集合A 上的关系R ={ 一、 填空 10% （每小题 2分） 1、}0|{>∧∈=+ x Z x x Z ，*表示求两数的最小公倍数的运算（Z 表示整数集合），对于*运算 的幺元是 ，零元是 。 2、代数系统 A 、1； B 、2； C 、3； D 、4 。 三、判断10% （每小题 2分） 1、（ ）设S={1,2}，则S 在普通加法和乘法运算下都不封闭。 2、（ ）在布尔格 一、填空 20% （每小题2分） 1、 P ：你努力，Q ：你失败。“除非你努力，否则你将失败”的翻译为 ；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为 。 2、论域D={1，2}，指定谓词P 则公式),(x y yP x ??真值为 。 2、 设S={a 1 ，a 2 ，…，a 8}，B i 是S 的子集，则由B 31所表达的子集是 。 3、 设A={2，3，4，5，6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=，则R= （列举法）。 R 的关系矩阵M R = 。 5、设A={1，2，3}，则A 上既不是对称的又不是反对称的关系R= ； A 上既是对称的又是反对称的关系R= 。 6、设代数系统，其中A={a ，b ，c}, 则幺元是 ；是否有幂等 性 ；是否有对称性 。 7、4阶群必是 群或 群。 8、下面偏序格是分配格的是 。 9、n 个结点的无向完全图K n 的边数为 ，欧拉图的充要条件是 。 10、公式R Q P Q P P ?∧∨?∧∧?∨)(())(( 的根树表示为 。 二、选择 20% （每小题2分） 1、在下述公式中是重言式为（ ） A ．)()(Q P Q P ∨→∧； B ．))()(()(P Q Q P Q P →∧→??； C ．Q Q P ∧→?)(； D ．)(Q P P ∨→ 。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为（ ），成真赋值的个数为（ ）。 A ．0； B ．1； C ．2； D ．3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ，则 S 2 有（ ）个元素。 A ．3； B ．6； C ．7； D ．8 。 4、 设} 3 ,2 ,1 {=S ，定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有（ ）个分块。 A ．4； B ．5； C ．6； D ．9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ，S 上关系R 的关系图为 试卷二试题与答案 一、填空 1、设P：你努力，Q：你失败。 2、“除非你努力，否则你将失败”的符号化为； 3、“虽然你努力了，但还是失败了”的符号化为。 2、论域D={1，2}，指定谓词P 则公式 x? ?真值为。 3设A={2，3，4，5，6}上的二元关系 } | , {是质数 x y x y x R∨ < > < =，则 R= （列举法）。 R的关系矩阵M R= 。 4、设A={1，2，3}，则 A上既不是对称的又不是反对称的关系R= ； A上既是对称的又是反对称的关系R= 。 5、设代数系统 C． Q Q P∧ → ?) (；D．) (Q P P∨ →。 2、命题公式 ) ( ) (P Q Q P∨ ? → → ?中极小项的个数为（），成真赋值的个数为（）。 A．0；B．1；C．2；D．3 。 3、设 }} 2,1{ }, 1{, {Φ = S，则S2有（）个元素。 A．3；B．6；C．7；D．8 。 4、设 } 3,2 ,1{ = S，定义S S?上的等价关系 } , , , , | , , , {c b d a S S d c S S b a d c b a R+ = + ? >∈ < ? >∈ < > < > << =则由R产生的S S?上一个划分共有（）个分块。 A．4；B．5；C．6；D．9 。 5、设 } 3,2 ,1{ = S，S上关系R的关系图为 则R具有（）性质。 A．自反性、对称性、传递性；B．反自反性、反对称性； C．反自反性、反对称性、传递性；D．自反性。 6、设 ,+为普通加法和乘法，则（）> + < , ,S是域。 A． } , ,3 | {Q b a b a x x S∈ + = =B．} , , 2 | {Z b a n x x S∈ = = C． } ,1 2 | {Z n n x x S∈ + = =D．}0 | {≥ ∧ ∈ =x Z x x S= N 。 7、下面偏序集（）能构成格。 8、在如下的有向图中，从V1到V4长度为3 的道路有（）条。 A．1；B．2；C．3；D．4 。 9、在如下各图中（）欧拉图。 试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P:您努力,Q:您失败。 2、 “除非您努力,否则您将失败”符号化为 ; “虽然您努力了,但还就是失败了”符号化为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P P (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2) T T F F 则公式x ??真值为 。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不就是对称的又不就是反对称的关系 R= ;A 上既就是对称的又就是反对称的关系R= 。 5、设代数系统 二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。 试卷十试题与答案 一、 填空 10% （每小题 2分） 1、 若P ，Q 为二命题，Q P ?真值为1，当且仅当 。 2、 对公式),()),(),((y x xR z x zQ y x yP ?∨?∧?中自由变元进行代入的 公 式 为 。 3、 )) (()(x xG x xF ??∧?的 前 束 范 式为 。 4、 设x 是谓词合式公式A 的一个客体变元，A 的论域为D ，A （x ）关于y 的自由的， 则 被称为全称量词消去规则，记为US 。 5、 与非门的逻辑网络为 。 二、 选择 30% （每小题 3分） 1、 下列各符号串，不是合式公式的有（ ）。 A 、R Q P ?∧∧)(； B 、)()((S R Q P ∧→→； C 、R Q P ∧∨∨； D 、S R Q P ∨∧∨?))((。 2、 下列语句是命题的有（ ）。 A 、2是素数； B 、x+5 > 6； C 、地球外的星球上也有人； D 、这朵花多好看呀！。 3、 下列公式是重言式的有（ ）。 A 、)(Q P ??； B 、Q Q P →∧)(； C 、P P Q ∧→?)(； D 、P Q P ?→)( 4、 下列问题成立的有（ ）。 A 、 若C B C A ∨?∨，则B A ?； B 、若C B C A ∧?∧，则B A ?； C 、若B A ???，则B A ?； D 、若B A ?，则B A ???。 5、 命题逻辑演绎的CP 规则为（ ）。 A 、 在推演过程中可随便使用前提； B 、在推演过程中可随便使用前面演绎出的某些公式的逻辑结果； C 、如果要演绎出的公式为C B →形式，那么将B 作为前提，设法演绎出C ； D 、设)(A Φ是含公式A 的命题公式，A B ?，则可用B 替换)(A Φ中的A 。 6、 命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为（ ）。 设D ：全总个体域，F （x ）：x 是花，M(x) ：x 是人，H(x,y)：x 喜欢y A 、))),()(()((y x H y F y x M x →?→?； B 、))),()(()((y x H y F y x M x →?∧?； C 、))),()(()((y x H y F y x M x →?→?； D 、))),()(()((y x H y F y x M x →?∧?。 7、 公式),()),(),((y x xP z y Q y x P y x ?∧∨??换名（ ）。 A 、),()),(),((y x xP z u Q u x P u x ?∧∨??； B 、),()),(),((u x xP z u Q u x P y x ?∧∨??； C 、),()),(),((u x xP z y Q y x P y x ?∧∨??； D 、),()),(),((y u uP z y Q y u P y u ?∧∨??。 8、 给定公式)()(x xP x xP ?→?，当D={a,b}时，解释（ ）使该公式真值 为0。 A 、P(a)=0、P(b)=0； B 、P(a)=0、P(b)=1； C 、P(a)=1、P(b)=0； D 、P(a)=1、P(b)=1 9、 下面蕴涵关系成立的是（ ）。 A 、))()(()()(x Q x P x x xQ x xP ∨???∧?； B 、))()(()()(x Q x P x x xQ x xP →???→?； C 、))()(()()(x Q x P x x xQ x xP →???→?； D 、),(),(y x xA y y x yA x ?????。 10、下列推理步骤错在（ ）。 ①),(y x yF y ?? P ②),(y z yF ? US ① ③),(c z F ES ② ④),(c x xF ? UG ③ ⑤),(y x xF y ?? EG ④ A 、①→②； B 、②→③； C 、③→④； D 、④→⑤。 三、 逻辑判断 28% 1、（8分）下列命题相容吗？A C B B A ),( ,∨?→ 2、（10分）用范式方法判断公式 R Q P R P Q P ∧→→∧→,)()( 是否等价。 离散数学试题与答案试卷一 一、填空 20% （每小题2分） 1．设 }7|{)},5()(|{<∈=<∈=+ x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶数） 则 =?B A 。 2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。 3．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则 )()))(((S R P R Q P ?∨→?∧→∨?的真值= 。 4．公式P R S R P ?∨∧∨∧)()(的主合取范式为 。 5．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ?→? 在I 下真值为 。 6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为 则 R 2 = 。 8．图的补图为 。 二、选择 20% （每小题 2分） 1、下列是真命题的有（ ） A ． }}{{}{a a ?； B ．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ； C ． }},{{ΦΦ∈Φ； D ． }}{{}{Φ∈Φ。 2、下列集合中相等的有（ ） A B C ?；B．{Φ，3，4}；C．{4，Φ，3，3}；D．{3，4}。 A．{4，3}Φ 3、设A={1，2，3}，则A上的二元关系有（）个。 A．23 ；B．32 ；C．332?；D．223?。 4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（） Rο是自反的； A．若R，S 是自反的，则S Rο是反自反的； B．若R，S 是反自反的，则S Rο是对称的； C．若R，S 是对称的，则S Rο是传递的。 D．若R，S 是传递的，则S 5、设A={1，2，3，4}，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下 t s t s p A R= ∧ =则P（A）/ R=（） < > ∈ s (| || |} {t ) , ( | , A．A ；B．P(A) ；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；D．{{Φ}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}} 7、下列函数是双射的为（） A．f : I→E , f (x) = 2x ；B．f : N→N?N, f (n) = 《离散数学》试卷（A 卷） 一、 选择题（共5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设A={1,2,3},B={2,3,4,5},C={2,3},则C B A ⊕?)(为(C )。 A 、{1,2} B 、{2,3} C 、{1,4,5} D 、{1,2,3} 2、下列语句中哪个是真命题 ( A ) A 、如果1+2=3，则4+5=9； B 、1+2=3当且仅当4+5≠9。 C 、如果1+2=3，则4+5≠9； D 、1+2=3仅当4+5≠9。 3、个体域为整数集合时，下列公式（ C ）不是命题。 A 、)*(y y x y x =?? B 、)4*(=??y x y x C 、)*(x y x x =? D 、)2*(=??y x y x 4、全域关系A E 不具有下列哪个性质（ B ）。 A 、自反性 B 、反自反性 C 、对称性 D 、传递性 5、函数612)(,:+-=→x x f R R f 是（ D ）。 A 、单射函数 B 、满射函数 C 、既不单射也不满射 D 、双射函数 二、填充题（共 5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设|A|=4，|P(B)|=32，|P(A ?B)|=128，则|A ?B|=??2???. 2、公式)(Q P Q ?∨∧的主合取范式为 。 3、对于公式))()((x Q x P x ∨?，其中)(x P ：x=1， )(x Q ：x=2，当论域为{0,1,2}时，其真值为???1???。 4、设A ＝{1,2,3,4}，则A 上共有???15????个等价关系。 5、设A ＝{a ，b ，c }，B={1,2},则|B A |= 8 。 三、判断题（对的填T ，错的填F ，共 10 小题，每题 1 分，共计10 分） 1、“这个语句是真的”是真命题。 （ F ） 2、“张刚和小强是同桌。”是复合命题。 （ F ） 3、))(()(r q q p p ∧?∧→?∨是矛盾式。 （ T ） 4、)(T S R T R S R ??????。 （ F ） 5、恒等关系具有自反性，对称性，反对称性，传递性。 （ T ） 6、若f 、g 分别是单射,则g f ?是单射。 （ T ） 7、若g f ?是满射，则g 是满射。 （ F ） 8、若A B ?，则)()(A P B P ?。 （ T ） 9、若R 具有自反性，则1-R 也具有自反性。 （ T ） 10、B A ∈并且B A ?不可以同时成立。 （F ） 四、计算题（共 3 小题，每题 10 分，共30 分） 1、调查260个大学生，获得如下数据：64人选修数学课程，94人选修计算机课程，58人选修商贸课程，28人同时选修数学课程和商贸课程，26人同时选修数学课程和计算机课程，22人同时选修计算机课程和商贸课程，14人同时选修三门课程。问 （１）三门课程都不选的学生有多少？ （２）只选修计算机课程的学生有多少？ 一．判断题（共10小题，每题1分，共10分） 在各题末尾的括号内画 表示正确，画 表示错误： 1．设p、q为任意命题公式，则(p∧q)∨p ? p ( ) 2．?x(F(y)→G(x)) ? F(y)→?xG(x)。( ) 3．初级回路一定是简单回路。( ) 4．自然映射是双射。( ) 5．对于给定的集合及其上的二元运算，可逆元素的逆元是唯一的。( ) 6．群的运算是可交换的。( ) 7．自然数集关于数的加法和乘法 列为。 19．n阶无向简单连通图G的生成树有条边。 20．7阶圈的点色数是。 三、运算题（共5小题，每小题8分，共40分） 21．求?xF(x)→?yG(x,y)的前束范式。 22．已知无向图G有11条边，2度和3度顶点各两个，其余为4度顶点，求G 的顶点数。 23．设A={a,b,c,d,e,f}，R=I A?{ 第1学期 《离散数学》试卷 A （试卷共6页，答题时间120分钟） 一、选择题（每小题 2分，共 20 分。请将答案填在下面的表格内） 1、从集合分类的角度看,命题公式可分为( ) A.永真式、矛盾式 B. 永真式、可满足式、矛盾式 C. 可满足式、矛盾式 D. 永真式、可满足式 2、设B 不含有x ，))((B x A x →?等值于 ( ) A. B x xA →?)( B.))((B x A x ∨? C.B x xA →?)( D.))((B x A x ∧? 3、设S,T,M 是集合，下列结论正确的是（ ） A ．如果S ∪T=S ∪M ，则T=M B ．如果S-T=Φ，则S=T C ．S S S =⊕ D ．)(~T S T S I =- 4、设R 是集合A 上的偏序关系，则R 不一定是( ) A.自反的 B. 对称的 C. 反对称的 D. 传递的 5 设R 为实数集，定义R 上4个二元运算，不满足结合律的是（ ）。 A. f 1(x,y)= x+y B. f 2(x,y)=x-y C. f 3(x,y)=xy D. f 4(x,y)=max{x,y} 6、设 填空10% （每小题 2 分） 1、若P，Q，为二命题，P Q 真值为0 当且仅当。 2、命题“对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数” 令F（x）：x 为实数，L（x, y） : x y 则命题的逻辑谓词公式为。 3、谓词合式公式xP（x） xQ（x）的前束范式为。 4、将量词辖域中出现的和指导变元交换为另一变元符号，公式其余的部分不变，这种方法称为 换名规则。 5、设x 是谓词合式公式A的一个客体变元，A的论域为D，A（x）关于y 是自由的，则被称为存 在量词消去规则，记为ES。 选择25% （每小题分） 1、下列语句是命题的有（）。 A、明年中秋节的晚上是晴天； C、xy 0 当且仅当x 和y 都大于0； D 、我正在说谎。 2、下列各命题中真值为真的命题有（）。 A、2+2=4当且仅当3是奇数； B、2+2=4当且仅当 3 不是奇数； C、2+2≠4 当且仅当3是奇数； D、2+2≠4当且仅当 3 不是奇数； 3、下列符号串是合式公式的有（） A、P Q ； B、P P Q； C、( P Q) (P Q)； D、(P Q) 。 4、下列等价式成立的有（ ）。 A、P QQ P ； B、P(P R) R； C、P (P Q) Q； D 、P (Q R) (P Q) R。 5、若A1,A2 A n和B为 wff ，且A1 A2 A n B 则 （ ）。 A、称A1 A2 A n 为 B 的前 件； B 、称 B 为A1,A2 A n 的有效结论 C 、 x(M (x) Mortal (x)) ； D 、 x(M(x) Mortal (x)) 8、公式 A x(P(x) Q(x))的解释 I 为：个体域 D={2} ，P(x) ：x>3, Q(x) ：x=4则 A 的 真 值为（ ） 。 A 、 1； B 、 0； C 、 可满足式； D 、无法判定。 9、 下列等价关系正确的是（ ）。 A 、 x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x)； B 、 x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x)； C 、 x(P(x) Q) xP(x) Q ； D 、 x(P(x) Q) xP(x) Q 。 10 、 下列推理步骤错在（ ）。 ① x(F(x) G(x)) P ② F(y) G(y) US ① ③ xF(x) P ④ F(y) ES ③ ⑤G(y) T ②④I ⑥ xG(x) EG ⑤ A 、②； B 、④； C 、⑤； D 、⑥ 逻辑判断 30% 1、 用等值演算法和真值表法判断公式 A ((P Q) (Q P)) (P Q) 的类型。 C 、当且仅当 A 1 A 2 A n D 、当且仅当 A 1 A 2 A n B F 。 6、 A ，B 为二合式公式，且 B ，则（ ）。 7、 A 、 A C 、 A B 为重言式； B 、 B ； E 、 A B 为重言式。 人总是要死的”谓词公式表示为（ ）。 论域为全总个体域） M （x ） ： x 是人； Mortal(x) x 是要死的。 A 、 M (x) Mortal (x) ； B M (x) Mortal (x) 一、判断正误20% （每小题2分） 1、设A.B. C是任意三个集合。 （1）若A∈B且B?C，则A?C。（） （2）若A?B且B∈C，则A?C。（） （3）若A?B且B∈C，则A?C。（） （4）A) ( ) ( ) (C A B A C B ⊕ = ⊕。（） （5）(A–B)?C=(A?C)-(B?C)。（） 2、可能有某种关系，既不是自反的，也不是反自反的。（） ３、若两图结点数相同，边数相等，度数相同的结点数目相等，则两图是同构的。（） ４、一个图是平面图，当且仅当它包含与Ｋ 3， 3 或Ｋ 5 在２度结点内同构的子图。（） ５、代数系统中一个元素的左逆元并一定等于该元素的右逆元。（） ６、群是每个元素都有逆元的半群。（） 二、8% 将谓词公式)) , ( ) ( ) ( ) (( )) , ( ) ( )( (z y Q z y P y y x Q x P x? ∧ ? → → ?化为前束析取范式与前束合取范式。 三、8% 设集合Ａ＝{a,b,c,d}上的关系Ｒ＝{ 五、10% 证明：若图Ｇ是不连通的，则Ｇ的补图G 是连通的。 六、10% 证明：循环群的任何子群必定也是循环群。 七、12% 用ＣＰ规则证明： １．F A F E D D C B A →?→∨∧→∨,。 ２．?∨??∨?(()()())()()((x P x x Q x P x )()x Q x 。 八、10% 用推理规则证明下式： 前提: ))()()(()),()()(())()()(((y W y M y y W y M y x S x F x ?∧?→?→∧? 结论：?→?)()((x F x S ))(x 九、13% 若集合Ｘ＝｛（１，２），（３，４），（５，６），……｝ }|,,,{12212211y x y x y x y x R +=+>><><<= 1、证明R 是X 上的等价关系。 2、求出X 关于R 的商集。 一、 填空 20%（每小题2分）2014年离散数学期末试题1009
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是域。 4、（ ）一条回路和任何一棵生成树至少有一条公共边。 5、（ ）没T 是一棵m 叉树，它有t 片树叶，i 个分枝点，则(m-1)i = t-1。 四、证明 38% 1、（8分）对代数系统离散数学试卷及答案(2)
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