第六章线性空间与线性变换.
第六章线性空间与线性变换
1.验证: (1)2阶矩阵的全体S i ；
⑵主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S
2；
(3)2阶对称矩阵的全体S 「
对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间, 解(1)设A,B 分别为二阶矩阵，则A,B S i 显然 (A B) S i ,k A S i ,从而对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间.
0 0
1
是S 1的一个基.
a b
de A
B
⑵设 c a ,
f d A,B S 2
(a d) c b
ka kb A B
S 2
kA
S 2
c a
a d
kc
ka
1 0
0 1
0 0
1
2
3
0 1
0 0
1 0
是
?个
基.
⑶设A, B
S 3 ，则 T
A
A,B T
B
(A B)T
A T
B T A
B
，从而(A B)
S 3
(kA) kA 从，故kA S 3，所以对于加法和乘数运算构成线性空 间.
2.验证：与向量(0,0,1)
不平行的全体3维数组向量，对于数组向量 的 加法和乘数运算不构成线性空间. 解 设V
与向量(0,0,1)不平行的全体三维向量，设「1
(1,1,0)
r
2
( 1,0,1)，则「1,「2 V .但「1 「2 (0,0,1) V 即 V 不是线性空间.
1 0 0 1
0 0
0 0 2 1 0 3
0 1
是S 3的一个基. 1
并写出各个空间的一个基.
3 .设U 是线性空间V 的一个子空间，试证：若U 与V 的维数相等，则 U V . 证明设1 2 r
为U 的一组基，它可扩充为整个空间 V 的一个基，
由
于dim(U) dim(V)从而i 2 r 也为V 的一个基，贝卩：对于x V 可 以表示为x ki
1 k
2 2 kr r
.显然，x U ，故V U
，而由 已知知U V ，有U V .
4 .设V r 是n 维线性空间V n 的一个子空间，a 1, a r 是V r 的一个基.试 证：V n 中存在元素a r 1, a n ，使印，
a 2, a r 冃仆，a n 成为V n 的一个 基.
证明 设r n ,则在V n 中必存在一向量a
r 1 V r ,它不能被ai ，a 2, a r 线性表示，将
a
r 1
添加进来，则a i ，a 2，a 3， a r 1是线性无关的.若 r 1 n ,则命题得证，否则存在a r 2 L(a 1,a 2, ,a r 1)则 a 1,a 2, ,a
r 2线性无关，依此类推，可找到n 个线性无关
的向量 a 1，a 2， ，a
n ，它们是V
n 的一个基.
5 .在 R 3 中求向量
(3,7,1)
在基 1 (1,3,5)
, 2 (6,3,2),
3
(3,1,0/
下的坐标.
解 1
(1,0,0), 2
(0,1,0), 3
(0O1)
1 6 3
A
3 3 1 (
T T
(1 , 2 ,
T
)(:,
T 2
,
；)A
5 2 0
X 1‘
X 1
2 6
3 x 1
X 2'
A 1 X 2
5 15 8
x 2 坐标变换公式：
X 3‘
X 3
9 28
15 X 3
X 1' 2 6 3
3 33
X 2‘
5
15
8 7 82
故所求为X
3' 9 28 15 1
154
?
所求坐标为33, 82,154
1 (121)丁
2 (2,3,3)T 3
j
(3,7,1)T
1 (3,1,4)T,
2 (5,2,1)T,
3 (1,1, 6)T 试求坐标变换公式.
解设 1 (1,0,0)，
2 (0,1,0),
3
(0,0,1)
(:,T，T)(:, T 2 ,T)A，( T 1 ,;,T)( T 1 ,
1 2 1 3 5 1
A 2 3 7
B 1 2 1
其中，1 3 1 4 1 6
X1 X1
X2 B 1A X2
坐标变换公式
现求B 1A
X3 X3
3 5 11 2 3 1 : 2 1 2 3 12 12 3 7 0 1 2 5 7
4 1 6
1 3 1 0 7 10 7 9
6 .在R3取两个基
T)A
7
18
27
1 2 ?0 1
0 0
1 2 ?0 1
0 0
1 2 1 2 3 7
1 2 3 7
2 5 7 18 0 1
2 5 7 18
99
4 28 40 99 0 0 1 7 10 4
71 181 0 5 7 — 1 0 0 13 19
4 4
63 63 0 9 13 0 1 0 9 13
2 2
99 99 1 7 10 0 0 1 7 10
4 4
181
19
4
63
13
2
99
10
4
13
B 1A 9
7
所以坐标变换公式为
13 19 181
X i 4 X1
9 13 63 X2
2
99 X2
X3 7 10 X3
4
7 .在R4中取两个基
e1 (1,0,0,0)T, 1 (2,1, 1,1)T,
e2 (0,1,0,0)T, 2 (0,3,1,0几
e3 (0,0,1,0)T, 3 (5,3,2,1)T,
e4 (0,0,0,1)T, 4 (6,6,1,3)T. (1) 求由前一个基到后一个基的过渡矩阵；
⑵求向量(X1，X2，X3，X4 T
)在后一个基下的坐标；
⑶求在两个基卜有相同坐标的冋量.
1 T
2 1 11 1 1
2
0 3 10 2 2
A
3 5 3 2 1 3 3 解(1)由题意知
4 6 6 1 3 4 4从而由前一个基到后一个基的过渡矩阵为
2 1 1
T
1 2 0 5 ( 6
0 3 1 0 1 3 3 ( 6 A
5 3 2 1 1 1 2 1
6 6 1 3 1 0 1 ; 3
⑵设向量在后一个基下的坐
标示
为
(y1, y2 , y3 , y4)则有
X1 1 X4 4 y1 1 y4 4
1 0 0 0 X1
2 1 1 1 y1
0 1 0 0 X2 0 3 1 0 y2
0 0 1 0 X3 5 3 2 1 y3 即0 0 0 1 X4 6 6 1 3 y4
1
y1 2 1 1 1 X
1
y2 0 3 1 0 X
2
y3 5 3 2 1 X
3
故y4 6 6 1 3 X
4
12 9 27 33 X1
1 1 1
2 9 2
3 X2
27 9 0 0 18 X3
7 3 9 26 X4
⑶由（2）知
12 9 27 33 X1X1
1 1 1
2 9 2
3 X2X2
27 9 0 0 18 X3 X3
7 3 9 26 X4X4
X1 1
X2 1
k
X3 1
解方程组得X4 1
（k为常数）
X X T A
8.说明x°y平面上变换y y的几何意义，其中
1 0 0 0
A A
(1) 0 1 ；⑵0 1 ；
0 1 0 1
A A
⑶ 1 0 ；⑷ 1 0
X 1 0 X X
T
0 1
解(1) y y y
即与原向量关于y轴对称
x 0 0 x 0
T
（2） y 0 1 y y
即将原向量投影到y轴上.
x 0 1 x y T
⑶ y 1 0y x
即与原向量关于直线y X对
称.
x 0 1 x y T
⑷ y 1 0 y x 即将原向量顺时针旋转2 .
n(n 9. n阶对称矩阵的全体V对于矩阵的线性运算构成一个2性
空间.给出n阶矩阵P，以A表示V中的任一元素，变换
T(A) P T AP
称为合同变换?试证合同变换T是V中的线性变换.
证明设A，B V，则A A, B T B
T(A B) P T(A B)P p T(A B)T P
[(A B)P]T P (AP BP)T P
(P T A P T B)P P T AP P T BP =T(A) T(B)
T(kA) P T(kA)P k P T AP kT (A) 从而，合同变换T是V中的线性变换.◎
维线
10.函数集合
a1x R}
1 2 x x e x
2 xe , 3
x e
求微分运算D在这个基下的矩阵. 解设
1 D( 1) x
2 x
2xe x e 2
2 1
2 D( 2) x x
e xe 3 2
1 D( 3) x
e 3
易知: 1,
?2, 3线性无关，故为一个基.
a0 )e 1 a2 , a i , a0
对于函数的线性运算构成3维线性空间，在V3中取一个基
x 1 x 2
V 3 {A |X 1X ,X 3 R}
X X 3
对于矩阵的线性运算构成3维线性空间.在V 3中取一个基 1 0 0 1 A 1
A 2
A 3
0 0
1 0
在V 3中定义合同变换 T(A)
求T 在基A 1,A 2, A 3下的矩阵.
1 0 1
0 1 1
1 1
T(A 1)
解
1 1 0 0 0 1 1 1 A 1 A 2
1 0 0 1 1 1 0 1
T(A 2)
1 1 1 1 0 1 1
2 A 2 2 A 3
1 0 0 0
1 1
0 0
T(A 3)彳
A 3
1 1 0 1
0 1
0 1
T(A 1) 1 0 0 T
A 1
T(A 2)
1 1 0
A 2
故
T(A 3)
1 2 1
A 3
2
2
3
P T
2
由
3
3
3
1 2 0
T
P
0 1 1
知
0 0 1
1 0 0
1 0 0
P
2 1 0
2 1 0
故
0 1 1 ，即D 在基「
下的矩阵为 0 1 1
1
1
2 2
1
11. 2阶对称矩阵的全体