时变电磁场的波动方程和坡印廷定理
第七章 一维波动方程的解题方法及习题答案
第二篇 数学物理方程 ——物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法 Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程—偏微分方程； 2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件 (自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题； 3、方程齐次化； ４、数理方程的线性导致解的叠加。 一、数理方程的来源和分类（状态描述、变化规律） 1、来源 I ．质点力学：牛顿第二定律F mr =r r && 连续体力学222 2() (,)(,)0(()0; v 1()0(Euler eq.).u r t a u r t t v t v v p f t ρρρ ?????-?=??????? ?? +??=????-?+??=+=????? r r r r r r r r &弹性定律弦弹性体力学杆 振动：波动方程);膜 流体力学：质量守恒律：热力学物态方程： II.麦克斯韦方程 ;;00;().,,,D D E l B s E B B B H l j D s H j D E u B A u A σρτρσ??=???=?=????=????=???=?=+????=+??=-?=????????????????????r r r r r r r r r &&r r r r r r r r r r r &&r r r r 已已d d d d d d d 满足波动方程。Lorenz 力公式力学方程；Maxwell eqs.+电导定律电报方程。 III. 热力学统计物理 220;0.T k T t D t ρρ?? -?=??????-?=??? 热传导方程：扩 散方程：特别: 稳态（0t ρ?=?）:20ρ?= (Laplace equation). IV. 量子力学的薛定谔方程： 22 .2u i u Vu t m ?=-?+?h h 2. 分类
电磁场名词解释
电场：任何电荷在其所处的空间中激发出对置于其中别的电荷有作用力的物质。磁场：任一电流元在其周围空间激发出对另一电流元（或磁铁）具有力作用的物质。 标量场：物理量是标量的场成为标量场。 矢量场：物理量是矢量的场成为矢量场。 静态场：场中各点对应的物理量不随时间变化的场。 有源场：若矢量线为有起点，有终点的曲线，则矢量场称为有源场。 通量源：发出矢量线的点和吸收矢量线的点分别称为正源和负源，统称为通量源。 有旋场：若矢量线是无头无尾的闭曲线并形成旋涡，则矢量场称为有旋场。方向导数：是函数u （M在点M0处沿I方向对距离的变化率。 梯度：在标量场u（M中的一点M处，其方向为函数u（M在M点处变化率最大的方向，其模又恰好等于此最大变化率的矢量G，称为标量场u（M在点M处的梯度，记作grad u（M。 通量：矢量A沿某一有向曲面S的面积分为A通过S的通量。 环量：矢量场A沿有向闭曲线L的线积分称为矢量A沿有向闭曲线L的环量。亥姆霍兹定理：对于边界面为S的有限区域V内任何一个单值、导数连续有界的矢量场，若给定其散度和旋度，则该矢量场就被确定，最多只相差一个常矢量；若同时还给出该矢量场的边值条件，则这个矢量场就被唯一确定。（前半部分又称唯一性定理）.：q dq 电荷体密度：’=期小飞矿，即某点处单位体积中的电量。 传导电流：带电粒子在中性煤质中定向运动形成的电流。 运流电流：带电煤质本身定向运动形成形成的电流。 位移电流：变化的电位移矢量产生的等效电流。 电流密度矢量（体（面）电流密度）：垂直于电流方向的单位面积（长度）上的电流。 静电场：电量不随时间变化的，静止不动的电荷在周围空间产生的电场。 电偶极子：有两个相距很近的等值异号点电荷组成的系统。 磁偶极子：线度很小任意形状的电流环。 感应电荷:若对导体施加静电场，导体中的自由带电粒子将向反电场方向移动并积累在导体表面形成某种电荷分布，称为感应电荷。 导体的静电平衡状态：把静电场中导体内部电场强度为零，所有带电粒子停止定向运动的状态称为导体的静电平衡状态。 电壁：与电力线垂直相交的面称为电壁。 磁壁：与磁力线垂直相交的面称为磁壁。 介质:（或称电介质）一般指不导电的媒质。 介质的极化：当把介质放入静电场中后，电介质分子中的正负电荷会有微小移动，并沿电场方向重新排列，但不能离开分子的范围，其作用中心不再重合，形成一个个小的电偶极子。这种现象称为介质的极化。 媒质的磁化：外加磁场使煤质分子形成与磁场方向相反的感应磁矩或使煤质的固有分子磁矩都顺着磁场方向定向排列的现象。 极性介质：若介质分子内正负电荷分布不均匀，正负电荷的重心不重合的介质。 极化强度：定量地描述介质的极化程度的物理量。 介质的击穿：若外加电场太大，可能使介质分子中的电子脱离分子的束缚而成为 自由电子，介质变成导电材料，这种现象称为介质的击穿。 击穿强度：介质能保持不被击穿的最大外加电场强度。
电磁场原理期末复习提纲
期末复习提纲 I 基本概念和理论 1. 基本概念 （1）何谓标量场？何谓矢量场？ （2）“ ”算符的微分特性和矢量特性？ （3）电场强度是怎样定义的？其物理意义如何？ （4）电位的定义式和它的物理意义。电位和电场强度之间的积分和微分关系。 （5）什麽是介质的极化？介质极化的影响怎样用等效极化电荷的分布来表示？ （6）电位移矢量是怎样定义的？它的物理意义？ （7）特别注意泊松方程和拉普拉斯方程的适用范围。 （8）从唯一性定理来理解：按照间接求解方法来计算静电场问题，为什麽要特别强调有效区域问题？ （9）什麽叫静电独立系统？ （10）恒定电场中的几种媒质分界面衔接条件与静电场中有何不同？ （11）毕奥---沙阀定律的应用条件？磁场计算能否运用叠加原理？ （12）正确理解安培环路定律的涵义，运用其积分形式求解磁场问题切实注意积分路径的选择。 （13）为什麽要引入磁矢量位？其定义式如何？ （14）什麽是媒质的磁化？媒质磁化的影响怎样用等效磁化电流的分布来表示？ （15）正确认识电、磁场的分布和电、磁场能量的分布之间的关系。 （16）正确理解Maxwell方程组中各个方程的物理意义，深刻认识电场和磁场之间相互依存、相互制约、不可分割，而成为一个整体的两个方面。 （17）什麽叫推广的电磁感应定律？什麽叫全电流定律？全电流是指哪几种电
流？ （18） 坡印廷定理和坡印廷矢量的物理意义是什麽？深刻理解坡印廷矢量反映的 电磁能流密度概念。 （19） 深刻理解动态位解答所揭示的时变电磁场的波动性，以及场点电场、磁场 的场量滞后于波源变化的推迟性。 （20） 如何看待时空组合变量?? ? ? ?- v R t 所描述的波动？ （21） 电能是如何沿着输电导线传播的？ （22） 何谓电准静态电磁场？按什麽条件来判别是电准静态电磁场？ （23） 何谓磁准静态电磁场？按什麽条件来判别是磁准静态电磁场？ （24） 在时变电磁场中什麽叫良导体？什麽叫似稳条件？ （25） 何谓集肤效应？何谓去磁效应？何谓邻近效应？它们分别与哪些因素相 关？ （26） 什麽是涡流？涡流会产生什麽样的影响？如何减小这种影响？ （27） 什麽叫均匀平面电磁波？它的主要特征是什麽？ （28） 均匀平面电磁波在理想介质中的传播特性？ （29） 均匀平面电磁波在导电媒质中的传播特性？ （30） 什麽是色散现象？什麽是色散媒质？ （31） 对于有电磁波传播的导体，什么叫做低损耗介质？什么叫做良导体？ （32） 什么叫导行电磁波？为什么空心金属导波管内不可能存在TEM 波？ （33） TM 波的最低模式为什么是TM 11？ （34） 什么叫截止频率f c ？什么叫截止波长λc ？什么叫波导色散？ （35） 为什么称TE 10波为矩形波导的主模？ （36） 什么叫波阻抗？什么叫本征阻抗？ （37） 电磁辐射的定义，电磁辐射的机理是什么？ （38） 单元偶极子的近区场概念，近区场的特点。 （39） 单元偶极子的远区场概念，远区场（辐射场）的特点。
坡印廷定理详解sc1
坡印廷定理详解 坡印廷定理，英文表示Poynting theorem，是1884年约翰·坡印亭（John Poynting）提出的关于电磁场能量守恒的定理。他认为电磁场中的电场强度E与磁场强度H叉乘所得的矢量,即E×H=S，代表电磁场能流密度，表示一个与垂直通过单位面积的功率相关的矢量。人们称这个矢量S为坡印廷矢量。坡印廷定理表明，在电磁场中的任意闭合面上，坡印廷矢量的外法向分量的闭面积分，等于闭合面所包围的体积中所储存的电场能和磁场能的时间减少率减去容积中转化为热能的电能耗散率。 坡印廷定理是根据麦克斯韦方程组（包含法拉第电磁感应定律及改进的安培定律等）推导出来的。 首先考虑法拉第电磁感应定律（公式5），对其两边取B的点积得公式6；然后利用改进的安培定律（公式7），对其两边取与E的点积，得公式8。然后将等式（8）减去（6）并将恒等式（9）带入，得到等式（10）。由于坡印廷矢量S定义为公式（11），带入（10）化简就可以得到等式（4）。这就推导出了表征电磁能量守恒关系的坡印廷定理。 公式 坡印廷定理的微分形式参见公式（1），式中S是坡印廷矢量，表示能量的流动；J是电流密度；E 是电场强度。真空中的能量密度u的表达式参见公式（2），式中ε0是真空电导率，μ0是真空磁导率。由于电场不做功，（1）式的右端便给出了电磁场每秒·立方米所做的总功的负值。 坡印廷定理的积分形式参见式（3）,dV是包围着体积V的曲面。 积分形式的坡印廷定理 对于由闭合曲面A所限定的体积V，有：
这就是电源外区域的、积分形式的坡印廷定理。它的含义是：垂直穿过闭合面A进入体积V的功率，等于体积内电磁储能的增长率与由传导电流Jc引起的功率损耗之和。更一般的情况是： 式中Ec为电源中的局外场强，Jc为传导电流，σ为体积V内介质的电导率，ρ为运动电荷的电荷密度，v为该电荷的运动速度，E=J c/σ-E e为总场强。整个方程的含义是：外源提供的功率等于体积v内电磁能量的增加率、传导电流的功率损耗、运动电荷作功耗损的功率、垂直穿过曲面A向外界输送的功率之 总和。 3.2微分形式的坡印廷定理 这是就场中某一点而言的。式中
第五章时变电磁场
第五章 时变电磁场 1 什么是时变电磁场：场源（电荷、电流或时变场量）和场量（电场、磁场）随时间变化的电磁场。由于时变的电场和磁场相互转换，也可以说时变电磁场就是电磁波。 2 时变电磁场的特点：1）电场和磁场互为对方的涡旋（旋度）源。2）电场和磁场共存，不可分割。3）电力线和磁力线相互垂直环绕。 3 本教科书自第五章以后内容全是关于电磁波的，第五章主要是基础，引入波动方程去掉电场与磁场的耦合，引入复矢量，简化时间变量的分析。第六章以平面波为例，首先研究无限大区域内的电磁波的传播特点，引入用于描述电磁波特性的参量。然后介绍半无限大区域内的电磁波的传播特点－电磁波的反射和折射。第七章首先介绍一个坐标方向无限、其余坐标方向有限的区域内的电磁波传播特性—导行电磁波特性，然后介绍了有限区域内的电磁波谐振特性。第八章介绍了电磁波的产生－天线。 4 本章内容线索：1）理论方面：基本场方程，位函数（引入矢量位），边界条件，波动方程。2）基本方法：复矢量 §时变电磁场方程及边界条件 1 1)因为 t ?? 不为零，电场和磁场相互耦合，不能分开研究。其基本方程就是Maxwell 方程。 微分形式：?? ??? ? ?? ??????? ??-=??=??=????-=????+=??t J B D t B E t D J H ρρρρρρ ρρ ρρ0 积分形式??????? ??????????-=?=?=????-=????+=??????????s V s s V c s c s dV t s d J s d B dV s d D s d t B l d E s d t D J l d H ρρρρρρρρρρρρρρρρρ0)( 2）物质（本构）方程： 在线性、各向同性媒质中
波动方程的物理背景
波动方程或称波方程（英语：wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波和水波。波动方程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。 历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。 波动方程是双曲形偏微分方程的最典型代表，其最简形式可表示为：关于位置x 和时间t 的标量函数u（代表各点偏离平衡位置的距离）满足： 这里c通常是一个固定常数，代表波的传播速率。在常压、20°C的空气中c为343米/秒（参见音速）。在弦振动问题中，c 依不同弦的密度大小和轴向张力不同可能相差非常大。而在半环螺旋弹簧（一种玩具，英文商标为 Slinky）上，波速可以慢到1米/秒。 在针对实际问题的波动方程中，一般都将波速表示成可随波的频率变化的量，这种处理对应真实物理世界中的色散现象。此时，c 应该用波的相速度代替： 实际问题中对标准波动方程的另一修正是考虑波速随振幅的变化，修正后的方程变成下面的非线性波动方程： 另需注意的是物体中的波可能是叠加在其他运动（譬如介质的平动，以气流中传播的声波为例）上的。这种情况下，标量u 的表达式将包含一个马赫因子（对沿流动方向传播的波为正，对反射波为负）。 三维波动方程描述了波在均匀各向同性弹性体中的传播。绝大多数固体都是弹性体，所以波动方程对地球内部的地震波和用于检测固体材料中缺陷的超声波的传播能给出满意的描述。在只考虑线性行为时，三维波动方程的形式比前面更为复杂，它必须同时考虑固体中的纵波和横波: 式中： 和被称为弹性体的拉梅常数（也叫“拉梅模量”，英文Lamé constants 或 Lamémoduli），是描述各向同性固体弹性性质的参数； 表示密度； 是源函数（即外界施加的激振力）； 表示位移； 注意在上述方程中，激振力和位移都是矢量，所以该方程也被称为矢量形式的波动方程。其他形式的波动方程还能在量子力学和广义相对论理论中用到。 标量形式的一维波动方程 [编辑]波动方程的推导 一维波动方程可用如下的方式推导：一列质量为m的小质点，相邻质点间用长度h的弹簧连接。弹簧的弹性系数（又称“倔强系数”）为k：
电磁场复习要点
第一章 1、矢量的点乘和叉乘公式、性质，特别是在直角坐标系下的计算公式 2、三种常用正交坐标系的相互转换，各方向单位矢量之间的方向关系。 3、场论的基础知识： （1）标量场的梯度的概念、性质、公式、与方向导数的关系 （2）矢量场的散度的概念、公式、与通量的关系、散度定理、通量源和矢量线的特点 （3）矢量场的旋度的概念、公式、与环量的关系、斯托克斯定理、漩涡源和矢量线的特点 （4）两个恒等式 （5）亥姆霍兹定理 第二章 1、三大实验定律：公式、含义、物理意义 2、两个基本假设：有旋电场和位移电流 3、麦克斯韦方程组微分形式、积分形式及其物理意义 4、两种不同介质分界面上的边界条件（普通的、理想介质与理想介质、理想导体与理想介质） 5、媒质的电磁特性：极化、磁化和传导。 6、三种介质的本构关系 对以上公式要求理解，能够灵活运用公式进行解题。 重点例题：P80页例2.7.1，例2.7.3 第三章 1、电位函数：引入依据，与电场强度之间的关系（积分形式和微分形式），电位参考点的选取原则。 2、电容的定义及其求解 3、静电场的能量和能量密度（各种公式） 重点查看课本P96页双导体电容的计算步骤。例3.1.4，例3.1.5 4、矢量磁位：引入依据，与磁感应强度之间的关系（积分形式和微分形式），矢量磁位的方向。 5、电感的定义，自感又分内自感和外自感。圆截面长直导线单位长度的内自感是多少 6、恒定磁场的能量和能量密度（各种公式） P125页例3.3.7 7、恒定电场的源量和场量，基本性质。电阻的求解。 8、什么是边值问题，他的分类，唯一性定理及其意义 9、边值问题的常用解法 10、镜像法的原理、求解关键。接地的无限大导体平面的镜像，具有一定夹角的接地导体平面的镜像。接地和不接地导体球面的镜像。主要能够求出镜像电荷的个数、位置、大小。 11、分离变量法的原理。针对给出问题能够列出位函数满足的方程和边界条件。 12、有限差分法的主要思想，和主要公式。 第四章 1、波动方程的意义 2、位函数和场量的关系 3、坡印廷矢量的定义，物理意义。能够求出瞬时坡印廷矢量和平均坡印廷矢量（各种公式） 4、坡印廷定理的意义 5、什么是时谐场，对于时谐场场量瞬时形式和复数形式之间的转换 第五章 1、均匀平面波的定义，一般表达式，如何判断波的传播方向 2、均匀平面波的主要参数的求解：周期、频率、波数、波长、波速、波阻抗，电场强度和磁场强度之间的相互求解。
坡印亭矢量与拉普拉斯算子
01 electricity与静电荷或动电荷相联系的能量的一种表现形式。 01.002 电荷 electric charge 又称“电[荷]量”。物体或构成物体的质点所带电的量，是物体或系统中元电荷的代数和。 01.003 静电学 electrostatics 研究在没有电流情况下与静电场有关现象的学科。 01.004 电子 electron 静止质量为9.10910 31kg、电荷为的稳定基本粒子。该术语在一般情况下是指带负电荷的负电子。它的反粒子是带正电荷的正电子。 01.005 离子 ion 带有电荷的原子或分子、或组合在一起的原子或分子团。带正电荷的离子称为正离子，带负电荷的离子称为负离子。 01.006 空穴 hole 在电子挣脱价键的束缚成为自由电子后，其价键中所留下的空位，一个空穴带一个单位正电子电量。 01.007 自由电荷 free charge 能自由移动的电荷。 01.008 束缚电荷 bound charge 介质中处于约束状态，只能在一个原子或分子的范围内作微小相对位移的电 01.009空间电荷 space charge 由电子或离子在一个空间区域内形成的电荷。 01.010 载流子 charge carrier 运动在半导体内的电荷载体，一般指其中的自由电子或空穴。 01.011 电中性 electrically neutral 粒子、物体或物理系统的总电荷为零。 01.012 线电荷密度 linear charge density 标量，在准无穷小长度除以线元长度s。符号“τ 01.013面电荷密度 surface charge density 标量，在准无穷小面积元A 上的给定点，等于面积元上总电荷Q 除以面积 A。符号“σ 01.014体电荷密度 volume charge density 标量，在准无穷小体积V 内的给定点，等于体积元内总电荷Q 除以体积V。符号“ρ 01.015电场 electric field 自然界中的基本场之一，是电磁场的一个组成部分，以电场强度密度D来表征，具体表现为对每单位试验电荷的电动力。 01.016 电场强度 electric field intensity, electric field strength 矢量，等于其作用于静止带电粒子上的力F 与粒子电荷Q 之比。符号“E” 01.017静电场 electrostatic field 不随时间变化或随时间变化可以忽略不计的电场。 01.018 静电感应 electrostatic induction 在电场影响下引起物体上电荷分离的现象。 01.019 均匀电场 uniform electric field 在一空间区域内各点电场强度均相同的电场。 01.020 交变电场 alternating electric field 电场强度为交变量的电场。 01.021 电通密度 electric flux density 又称“电位移”。矢量，在给定点上等于电场强度的乘积与电极化强度P 之和。在真空中，电通密度为电场强度E 与电常数 electricflux 标量，等于通过给定有向面S 的电通密度D 的通量。符号“Ψ force在其所有点上都与对应的矢量方向相切的线。 01.024 电位 electric potential 又称“电势”。标量，将单位正电荷从参考点移到另一点反抗电场力所做的功。参考点位于无穷远处，或出于实用目的，取地球表面作为参考点。 01.025 电位差 [electric] potential difference 又称“电势差”。两点之间的电位之差。 01.026 等位线 equipotential line 其上所有的点都具有相同电位的线。 01.027 等位面 equipotential surface 其上所有的点都具有相同电位的面。 01.028 等位体 equipotential volume 其中所有的点都具有相同电位的空间区域。 01.029 地电位 earth potential 与大地电位相等的电位水平。 01.030 电压 voltage 标量，等于电场强度E 沿一规定路径从一点到另一点的线积分：在无旋场条件下，电压与路径无关，等于两点之间的电位差。符号“U”。
对波动方程的一些理解
1如果你从头到尾仔细查看声音的波动方程的推导过程，你会发现，这是一个介质中的密度变化从而导致压强变化（声压）的过程，如果静止介质中的声速是 Cs ，那么很容易就可以推导出来，对于一个以速度 v 运动的介质，声速是（Cs+v ），也就是说，声速Cs 是相对于介质而言的。 而对于电磁波的速度，麦克斯韦方程组里面只有一个 常数C 来描述，这个C 与光源的运动状态是完全没有关系的。那么这个 C 究竟是相对于哪一个参考系的速度呢？麦克斯韦当时自己认为他的方程组是基于 “绝对静止系”成立的（因为显然麦氏方程不满足伽利略相对性），这个C 因而也就是“绝对速度”。然而麦莫实验并没有找到以太存在的证据，这使得当时经典物理的天空多了一块阴云。 既然不能找到一个绝对静止系， 那么就有两个比较明显的结论，要么是麦氏方程从根本上就错了，要么是这个 C 本来就是一个常数，对哪一个惯性系都一样。爱因斯坦选择了后者：久经考验的麦氏方程依然成立， 它也不是仅仅是建立在一个不存在的绝对静止系之上的，而是对一切惯性系都成立，只要考虑相对论效应一切矛盾就消失了。2有时间看看，《什么是数学》 3.看书发现有很多波动方程：对波动方程总是有着模糊的概念： 看了以下内容发现各种波之间有相似的联系. 机械振动方程： 一维弹簧振子的振动方程由牛顿第二定律推导得： 方程的通解是： ψ = C 1 co s ωt + C 2sin ωt 正弦形式为ψ= A sin (ωt + ? ) 简谐振动它是各种波的起因和微观模型。 振动和波动的关系：振动是质点模型，波动是介质模型；振动是因，波动是果。 机械波动方程 机械波的传播公式： ψ= A sin[ω (t -x / u )+ ? ] 描述波的物理量：波速u 、波长λ、频率f 、周期 T 、圆频率ω、圆波数k=ω/u ，ψ= Asin[(ωt -kx) +?] 与下面的等价 ψ = C 1 co s(ω t - k x ) + C 2 s i n (ω t - k x )分别对x 和t 求二阶偏导数，可得 2 22sin[()]2 22A t kx x u u 1.1 222 sin[()]2A t kx t 1.2 整理得到机械波的波动方程为： 这是一维机械波的波动方程。 推广到空间因此可以得到三维机械波的波动方程：
电磁场与电磁波简答题归纳
电磁场与电磁波易考简答题归纳（四川理工大学） 1、什么是均匀平面电磁波？ 答：平面波是指波阵面为平面的电磁波。均匀平面波是指波的电场→ E 和磁场→ H 只沿波的传播方向变化，而在波阵面内→ E 和→ H 的方向、振幅和相位不变的平面波。 2、电磁波有哪三种极化情况？简述其区别。 答：（1）直线极化，同相位或相差 180；2）圆极化，同频率，同振幅，相位相差 90或 270；（3）椭圆极化，振幅相位任意。 3、试写出正弦电磁场的亥姆霍兹方程（即亥姆霍兹波动方程的复数形式），并说明意义。 答：0 02222=+?=+?→ → → → H k H E k E ，式中μεω22=k 称为正弦电磁波的波数。 意义：均匀平面电磁波在无界理想介质中传播时，电场和磁场的振幅不变，它们在时间上同相，在空间上互相垂直，并且电场、磁场、波的传播方向三者满足右手螺旋关系。电场和磁场的分量由媒质决定。 4、写出时变电磁场中麦克斯韦方程组的非限定微分形式，并简述其意义。 答：????? ???? ??=??=????-=????+=??→→ → →→ → →ρεμμ εE H t H E t E J H )4(0)3()2()1( 物理意义：A 、第一方程：时变电磁场中的安培环路定律。物理意义：磁场是由电流和时变的电场激励的。 B 、第二方程：法拉第电磁感应定律。物理意义：说明了时变的磁场激励电场的这一事实。 C 、第三方程：时变电场的磁通连续性方程。物理意义：说明了磁场是一个旋涡场。 D 、第四方程：高斯定律。物理意义：时变电磁场中的发散电场分量是由电荷激励的。 5、写出麦克斯韦方程组的微分形式或积分形式，并简述其意义。 答：（1）微分形式 （2） 积分形式 物理意义：同第4题。 6、写出达朗贝尔方程，即非齐次波动方程，简述其意义。 答：→ → → -=??-?J t A A μμε 2 2 2，ε ρμε - =?Φ?-Φ?→ → 2 2 2t 物理意义：→ J 激励→ A ，源ρ激励Φ，时变源激励的时变电磁场在空间中以波动方式传播，是时变源的电场辐射过程。 7、写出齐次波动方程，简述其意义。 答： 2 2 2=??-?→ → t H H με ，022 2=??-?→ → t E E με 物理意义：时变电磁场在无源空间中是以波动方式运动，故称时变电磁场为电磁波，且电磁波的传播速度为： με υ1 = p 8、简述坡印廷定理，写出其数学表达式及其物理意义。 答：（1）数学表达式：①积分形式：???++??=?-→ →τ ττστεμd E d E H t S d S S 222)2 121(，其中，→ → → ?=H E S ，称为坡印廷矢量。 ????? ??????=??=????-=????+=??→→ →→→ → →ρD B t B E t D J H )4(0)3()2()1( ??? ?? ??????=?=????-=????+=???????→→→ →→→ →→→ →→→→q S d D l d B S d t B l d E S d t D J l d H S S S l s l )4(0)3()2()()1(
精品试写出坡印廷定理的数学表示式
精品试写出坡印廷定理的数学表示式 1. 试写出坡印廷定理的数学表示式，并简要的说明其意义。(4 分) 解: ,11,,22EHSEJ,,HEVV, ，,, ，，,()ddd,,,,, SVVt,22,, 用场的观点描述在电磁场中的能量守恒关系。说明从外部进入体积内的能量等于电磁储能的增加和热损耗能量。 五、(16 分) 圆极化波从空气斜射到某种玻璃的边界平面上，如图所示，该入射， 2||1mW/mS,，，av 波的坡印廷矢量均值的大小为，若反射波中只有线极化波存在。已知: 平行极化波斜入射时，反射系数为 ,,,,,,222cossin,,, ，,ii,,,,,,11,,,,R,P(),,,,,,222cossin,, ，,ii,,,, 垂直极化波斜入射时，反射系数为,,11,,,, ,,,22,,cos,,,sin,ii,,,,,1,NR(),,,22,,cos, ，,sin,ii,,,,, 。1 ,i 试求:1. 入射角; ,||Sav2 反射波的坡印廷矢量均值的大小; 3 折射波的极化类型。 ，,SSavav ,i 空气,,,00 x 3,,, 玻璃00 TSav z 90: 解: 圆极化波可以分解为两个等幅的、时间相位及空间相位都相差的线极化波; 若分解后的线极化波中有一个垂直极化波，则另一个必然是平行极化波。只
,,iB 有平行极化波才可能发生全折射。调整入射角，使其等于布儒斯特角时，只有平行极化波产生全折射，反射波中就仅存在垂直极化波了。 ,,,,iBi1. 时，反射波中仅有线极化波，应为: ,2,,,,:arcta narcta n360,,iB,1 ,,||Sav2. 利用垂直极化波的反射系数R,求 N 由于圆极化波的功率密度为两个等幅线极化波的功率密度之和，又知圆极化 r, 2||1mW/mS,,, av波的功率密度平均值为， 2，，11，，2SE21mW/m，,,，，，，，av,,N0，，E,20N，，1，，即，其中为垂直极化入射波的幅度值。 2,, 111, 2EmW/？m,,,,, ,,N0,, ,22,, 1 ,2,3,,,,:60,1iB 由于,,则,,,22cossin,,,,,,,11,,R,,,N ,, 2,,,22cossin , ,,,,,,1,, r2,, 111,, 22SRE|| mW/m,,,,,, avN,,N0,, ,28,, 1所以3. 由于折射波中,既有平行极化波,又有垂直极化波,但二者的幅度已不相等,因此,折射波应为椭圆极化波。 1. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式, 并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。 ,,,,,,,,A,A,,E,,,,E , ,,, 答矢量位; 动态矢量位或。库仑规范 BAA,, , ,,,,0,t,t ,,AA 与洛仑兹规范的作用都是限制的散度,从而使的取值具有唯一性; 库仑规范用在静态场,洛仑兹规范用在时变场。 1.简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义，,,,,Ads 是矢量A穿过闭合曲面S 的通量或发散量。若①＞ 0，流出S面的通,,s
第四章 波动方程的积分解
第四章 波动方程的积分解 4.1非其次标量亥姆霍兹方程的积分解 电磁波问题的求解，都可以归结为求解其次或非其次标量或矢量波动方程。对这类二阶偏微分方程，一般可以采用微分法和积分法。 在电磁波问题中，有源区的时谐电磁场满足非其次亥姆霍兹方程： ()()() 22r k r f r φφ?+=- (4-1) 考虑在体积V 中，Φ和Ψ标量场和二阶导数连续，在包围体积V 的封闭截面S 上标量场Φ和Ψ的一阶导数存在，由标量格林函数： ()2 2 -d ()d V S V S φψψφφψψφ??=?-?????? (4-2) 建立了标量场Φ和Ψ在闭合界面内的体积分和闭合界面上的面积分关系。格林函数满足齐次亥姆霍兹方程。 ()() 220g r k g r ?+= 'r r ≠ （4-3） 整理以上三个算式得 ()()d [()()]d V s s g r f r V g r g r S φφ+=?-?????? （4-4） '[]d -[dS-()dS]n s s s g g g S g r a e R φφφ φ??-?==???????? （4-5） 积分结果为 () ' ''''''' '''1()d d 44jk r r jk r r jk r r V S e e e r f r V r r S n n r r r r r r φφφππ------?? ?? ?=-- ???--- ? ?? ?????（）（） (4-6) 电磁波遇到障碍物时，会发生绕射现象。标量基尔霍夫公式可以用来近 似计算电磁波通过电屏上孔径的绕射场，但需要假定条件： （1） 封闭面上除口径面外，标量场及其法向导数为零。
坡印亭矢量
1．坡印廷矢量的瞬时值（瞬时功率流密度）为：),(),(),(t r H t r E t r S ?= ),(t r S 在一个周期T 内的平均值为：?=T av t t r S T S 0d ),(1 (由瞬时值求时间平均值的公式) av S 称为平均功率流密度（有功功率流密度），T 是),(t r S 随时间变化的周期。 2．]~~[21]~Im[),(*t j t j t j e E e E j e E t r E ωωω--== （复矢量a x j y =+ ，x 和y 是实矢量，其实部为*R e ()/2x a a a ==+ ，其虚部为*I m ()/2y a a a j ==- ） ]~~[21]~Im[),(*t j t j t j e H e H j e H t r H ωωω--== ∴ 坡印廷矢量瞬时值为 **2**2***211(,)(,)(,)[][]221[]411Re[]Re[]22 j t j t j t j t j t j t j t S r t E r t H r t Ee E e He H e j j E He E H e E H E H E H E He ωωωωωωω---=?=-?-=-?+?-?-?=?-? 注意：上式表明，),(t r S 随时间变化的频率是场的频率的2倍。 ),(t r S 在一个周期2/(2)T πω=内的平均值为*011(,)d Re[]Re[]2T av S S r t t E H S T ==?=? *1[]2 S E H =? ——复坡印廷矢量或复功率流密度（complex Poynting vector or complex power density ，中文教材中通常表示为S ） S 与时间t 无关，其实部为平均功率流密度（有功功率流密度），虚部为无功功率流密度。 3．类似地，可得到电场储能密度、磁场储能密度和热损耗功率密度的瞬时值的表示式： ]~~Re[41]~~Re[41),(),(21),(2*t j e e D E D E t r E t r D t r w ω ?-?=?= ]~~Re[41]~~Re[41),(),(21),(2*t j m e H B H B t r H t r B t r w ω ?-?=?= ]~~Re[2 1]~~Re[21),(),(),(2*t j vf vf vf e E J E J t r E t r J t r p ω ?-?=?= 以上三式中，等号右边第一项是各对应量的时间平均值，它们都仅是空间坐标的函数。即 ]~~Re[41*D E w e ?=， ]Re[41*H B w m ?=， ]Re[2 1*E J p vf ?= 4．
基本波动方程的求解方法
关于弦振动的求解方法 李航 一、无界弦振动 1、一维齐次波动方程 达朗贝尔方程解无界的定解问题 ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x u ξξ?φ?)(21)]()([21),( <达朗贝尔公式> 在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。考虑无界的定解问题一般方程为 ??? ??? ?=??=>+∞<<∞-??=??==)(|),(|0, ,002 2222x t u x u t x x u a t u t t φ? 由达郎贝尔公式，解在点),(t x 的值由初始条件在区间],[at x at x +-内的值决定，称区间],[at x at x +-为点),(t x 的依赖区域，在t x -平面上，它可看作是过点),(t x ，斜率分别a 1± 为的两条直线在x 轴上截得的区间。 2、一维非齐次波动方程的柯西问题 达朗贝尔方程解非齐次定解问题 ` ??? ??? ?=??=>+∞<<∞-+??=??==)2()(|),(|)1(0,),(0022 222 ， x t u x u t x t x f x u a t u t x φ? 令),(),(),(t x V t x U t x u +=，可将此定解分解成下面两个定解问题：
(I) ???????=??=>+∞<<∞-??=??== ， )(|),(|0,0022 222x t u x u t x x u a t u t x φ? (II) ??? ????=??=>+∞<<∞-+??=??== ， 0|,0|0,),(0022 222t x t u u t x t x f x u a t u 其中问题(I)的解可由达朗贝尔公式给出： ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x U ξξ???)(21)]()([21),(。 对于问题(II)，有下面重要的定理。 定理（齐次化原理）设),,(τωt x 是柯西问题 ??? ??? ?=??=>??=??== ， ),(|,0|22 222τωωτωωττx f t t x a t t x 的解)0(≥τ，则?=t d t x t x V 0),,(),(ττω是问题(II)的解。 二、有界的弦振动方程 ( 1、分离变量法 齐次条件的分离变量法 （1） （2） （3） 设)()(),(t T x X t x u =，代入方程（1）得： ) () ()()('''t aT t T x X x X = ?????????====><
波动方程
1.1 波动方程的形式 一维波动方程（描述弦的振动或波动现象的）()t x f x u a t u ,2 2 222=??-?? 二维波动方程（例如薄膜振动）()t y x f y u x u a t u ,,2222 222+??? ? ????+??=?? 三维波动方程（例如电磁波、声波的传播）()t z y x f z u y u x u a t u ,,,222222 222+???? ????+??+??=?? 1.2 波动方程的定解条件（以一维波动方程为例） （1）边界条件 ①第一类边界条件（又称Dirichlet 边界条件）：弦振动问题中，弦的两端被固定在0=x 及l x =两点，因此有()0,0=t u ，()0,=t l u 。 ②第二类边界条件（又称Neumann 边界条件）：弦的一端（例如0=x ）处于自由状态，即可以在垂直于x 轴的直线上自由滑动，未受到垂直方向的外力，此时成立 0=??=o x x u 。也可以考虑更普遍的边 界条件 ()t x u x μ=??=0 ，其中()t μ是t 的已知函数。 ③第三类边界条件：弦的一端固定在弹性支承上，不放考虑在l x =的一端，此时边界条件归结为 0u =??? ??+??=l x u x σ。也可以考虑更普遍的情况()t u x l x v u =??? ??+??=σ，其中()t v 是t 的已知函数。 1.3 利用叠加原理求解初值问题 初值问题 ()()()()??? ????+∞<<∞=??==+∞<<∞>=??-??)x -(,,:0t x 0,-t ,,22 222x t u x u t x f x u a t u ψ? （1） 利用叠加原理求解上述初值问题，叠加原理表明由()t x f ,所代表的外力因素和由()()x x ψ?,所代表的初始振动状态对整个振动过程所产生的综合影响，可以分解为单独只考虑外力因素或只考虑初始振动状态对振动过程所产生的影响的叠加。即如果函数()t x u ,1和()t x u ,2分别是下述初值问题 （I ）()()()()??? ????=??===??-??2.1.....................,:0t 1.1. (022) 222x t u x u x u a t u ψ?
5.4 坡印廷定理和坡印廷矢量
5.4 电磁功率流和坡印亭矢量 5.4.1 电磁场的能量密度 在静电场中，能量密度为 D E ?='2 1e ω；在恒定磁场中，能量密度为 B H ?='2 1m ω。电场、磁场能量存在于整个静电场或恒定磁场的场域空间。 在时变场中，电场和磁场相互依存，相互制约，不可分割，同时存在。于是，在任一瞬间，场中某点处的电磁场能量密度应当为 B H D E ?+ ?='+'='2 121m e ωωω （5.4.1） 这是依逻辑推理而得到的结果，它是麦克斯韦关于电磁场理论的又一假说。至今尚未为实验所验证，但建立在此假设基础上的许多理论都为客观实际和实验所印证。 电磁能量密度假设和电磁场基本方程组，构成完整的电磁场理论的基础。 5.4.2 坡印亭定理和坡印亭矢量 1. 在有限空间V 中，媒质参数为ε、μ、γ： 取电磁场基本方程的第1、第2方程的微分形式 t c ??+=??D J H （1） t ??-=??B E （2） 以H 点乘（2）式，减去E 点乘（1）式 ()()t t c ??? -?-??? -=???-???D E J E B H H E E H 依据矢量恒等式 ()()()H E E H H E ???-???=??? 又 ()t H t t t m ?'?=?? ? ????=?? ? =???ωμμ221H H B H
()t E t t t e ?'?=??? ????=?? ?=???ωεε221E E D E 有 ()c c e m t t t J E J E H E ?-?'?- =?-?'?-?'?- =???ωωω 2. 包围V 区域内对上式两端作体积分： ()V V t V V c V V d d d ?? ??- ?'?- =???J E H E ω ()V t W V c S d d ???-??- =??J E S H E 如果V 中包含有外电源，有局外场强E e 存在 ()e o c E E E J +==γγ e c E J E -= γ 代入上式有： ()V V J t W V e c V c S d d d 2 ????+-??- =??E J S H E γ 若V 空间中还包含真空，存在有运流电流v J ρ=v ，应再加上一项V V v d ??E J ，得 ()V V V J t W V e c V v V c S d d d d 2 ? ? ? ??+ ?- - ??- =??E J E J S H E γ （5.4.2） 3. 分析上式中各项的意义 V V e c d ??E J ：外部电源向区域V 中提供的电功率； t W ??：区域V 中电磁场能量的增加率； V J V c d 2 ?γ ：区域V 中传导电流在导体中引起的热损耗功率； V V v d ??E J ：区域V 中电荷运动所作机械功率； 于是，等式右端反映出外部电源对V 区域提供的电功率，除去V 中电磁能量的增加、热损耗和电荷运动所消耗的功率外，剩余部分就应等于等式的左端项，即通过包围V 区域的闭合面S 向外区域输送的功率()S H E d ???S ，即外区域输送的电磁功率。
电磁场考试试题及答案
电磁波考题整理 一、填空题 1.某一矢量场，其旋度处处为零，则这个矢量场可以表示成某一标量函数的（梯度）形式。 2.电流连续性方程的积分形式为（??? s dS j=- dt dq） 3. 两个同性电荷之间的作用力是（相互排斥的）。 4. 单位面积上的电荷多少称为（面电荷密度）。 5.静电场中，导体表面的电场强度的边界条件是：（D1n-D2n=ρs） 6.矢量磁位A和磁感应强度B之间的关系式：（=▽x A） 7. .E（Z，t）=e x E m sin（wt-kz-）+ e y E m cos（wt-kz+），判断上述均匀平面电磁波的极化方式为： （圆极化）（应该是90％确定） 8. 相速是指均匀平面电磁波在理想介质中的传播速度。 9.根据电磁波在波导中的传播特点，波导具有（HP）滤波器的特点。（HP，LP，BP三选一） 10.根据电与磁的对偶关系，我们可以由电偶极子在远区场的辐射场得到（磁偶极子）在远区产生的辐射场 11.电位移矢量D=ε0E+P在真空中P的值为（0） 12.平板电容器的介质电容率ε越大，电容量越大。 13.恒定电容不会随时间（变化而变化） 14.恒定电场中沿电源电场强度方向的闭合曲线积分在数值上等于电源的（电动势） 15. 电源外媒质中电场强度的旋度为0。 16.在给定参考点的情况下，库伦规范保证了矢量磁位的（散度为零） 17.在各向同性媚质中，磁场的辅助方程为(D=εE, B=μH, J=σE) 18.平面电磁波在空间任一点的电场强度和磁场强度都是距离和时间的函数。 19. 时变电磁场的频率越高，集肤效应越明显。 20. 反映电磁场中能量守恒与转换规律的定理是坡印廷定理。 二、名词解释 1. 矢量：既存在大小又有方向特性的量 2.反射系数：分界面上反射波电场强度与入射波电场强度之比 3. TEM波：电场强度矢量和磁场强度矢量均与传播方向垂直的均匀平面电磁波 4.无散场：散度为零的电磁场,即·=0。 5.电位参考点：一般选取一个固定点，规定其电位为零，称这一固定点为参考点。当取点为参考 点时，P点处的电位为=；当电荷分布在有限的区域时，选取无穷远处为参考点较为方便，此时=。 6.线电流：由分布在一条细线上的电荷定向移动而产生的电流。 7.磁偶极子：磁偶极子是类比电偶极子而建立的物理模型。具有等值异号的两个点磁荷构成的系统称为磁偶极子场。磁偶极子受到力矩的作用会发生转动，只有当力矩为零时，磁偶极子才会处于平衡状态。利用这个道理，可以进行磁场的测量。但由于没有发现单独存在的磁单极子，故我们将一个载有电流的圆形回路作为磁偶极子的模型。