河北省重点中学2020-2021学年高二数学下学期开学考试试题
河北省博野中学2020-2021学年高二数学下学期开学考试试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合，集合，则
A. B.
C. D.
2.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3.函数的定义域为
A. B. C. D.
4.定义在R上的偶函数满足，且在上单调递减，设，
，，则a，b，c大小关系是
A. B. C. D.
5.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为和，在目标被击中的情况下，
甲、乙同时击中目标的概率为
A. B. C. D.
6.设函数，则使得成立的x的取值范围是
A. B.
C. D.
7.从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，
则不同的参赛方案种数为
A. 48
B. 72
C. 90
D. 96
8.若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
9.命题“，，使得”的否定形式是
A. ，，使得
B. ，，
使得
C. ，，使得
D. ，，
使得
10.已知函数的定义域为，且满足是的导函数，则
不等式的解集为
A. B. C. D.
11.已知函数，若方程有8个相异实根，则
实数b的取值范围
A. B. C. D.
12.一个五位自然，1，2，3，4，，，2，3，4，5，当且仅当，
时称为“凹数”如32014，53134等，则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为
A. 110
B. 137
C. 145
D. 146
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______．
14.若实数x，y满足，且，则的最小值为__________．
15.若的展开式中常数项为60，则实数a的值是______．
16.国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是，，假定三人的行动相互之间没有
影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知，命题，命题．
若，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围；
若是的必要条件，求实数a的取值范围．
18.已知函数的图象关于原点对称，其中a为常数．
求a的值；
当时，恒成立，求实数m的取值范围；
若关于x的方程在上有解，求k的取值范围．
19.设函数．
若在上存在单调递减区间，求m的取值范围；
若是函数的极值点，求函数在上的最小值．
20.为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核
辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．
Ⅰ求该产品不能销售的概率；
Ⅱ如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元即获利元已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X元，求X的分布列，并求出均值．
21.已知函数e为自然对数的底数，是的导函数．
Ⅰ当时，求证；
Ⅱ是否存在正整数a，使得对一切恒成立？若存在，求出a的最大值；
若不存在，说明理由．
22.为了研究某种细菌的繁殖个数y随天数x的变化情况，收集数据如下：
天数x 1 2 3 4 5 6
繁殖个数y 6 12 25 49 95 190
根据散点图，判断与哪一个适合作为y关于x的回归方程类型给出判断即可，不用说明理由
根据中的判断及表中数据，求y关于x的回归方程参考数据：
，，，，，
数学答案及解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查一元二次不等式的求解及指数不等式的求解，同时考查集合的补集，属于基础题．
根据集合A是一元二次不等式的解集，集合B是指数不等式的解集，因此可求出集合A，B，根据补集的求法求得．
【解答】
解：因为，
，
则．
故选A．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查复数的四则运算，复数的代数表示及其几何意义，属于基础题．
可得复数的共轭复数为，即可得解．
【解答】
解：复数，
则复数的共轭复数为，
在复平面内，复数的共轭复数对应点的坐标为，
故在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于在第四象限．
故选D．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了函数的定义域，考查学生的计算能力，属于基础题．
由题意列出不等式组：，解出即可求解．
【解答】
解：由题意得：
解得且，
函数的定义域为．
故选A．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查函数的单调性、奇偶性、周期性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．
由条件可得函数的周期为2，再根据，，，，且函数在上单调递减，可得a，b，c大小关系．
【解答】
解：偶函数满足，
函数的周期为2．
由于，
，
，
，且函数在上单调递减，
，
故选D．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查条件概率的计算，是基础题，注意认清事件之间的关系，结合条件概率的计算公式正确计算即可．
根据题意，记甲击中目标为事件A，乙击中目标为事件B，目标被击中为事件C，由相互独立事件的概率公式，
计算可得目标被击中的概率，进而计算在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率，可得答案．
【解答】
解：根据题意，记甲击中目标为事件A，乙击中目标为事件B，目标被击中为事件C，
则；
则在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为；
故选A．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键，属于中档题．
根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．
【解答】
解：的定义域为，
，
函数为偶函数，
且在时，，
而为上的单调递增函数，
且为上的单调递增函数，
函数在单调递增，
等价为，
即，
平方后整理得，
解得：，
所求x的取值范围是．
故选B．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查排列和计数原理的实际应用，注意优先考虑特殊元素，属于中档题．
根据题意，分两种情况讨论选出参加竞赛的4人，选出的4人没有甲，选出的4人有甲，分别求出每一种情况下的参赛方案种数，由分类计数原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，从5名学生中选出4名分别参加竞赛，
分两种情况讨论：
选出的4人没有甲，即选出其他4人即可，有种参赛方案；
选出的4人有甲，由于甲不能参加生物竞赛，则甲有3种选法，在剩余4人中任选3人，参加剩
下的三科竞赛，有种参赛方案，则此时共有种参赛方案；
则有种不同的参赛方案．
故选D．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了利用导数研究函数的极值问题，属于中档题．
求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．
【解答】
解：的定义域是，
，
若函数有两个不同的极值点，
则在有2个不同的实数根，
对称轴为直线，在y轴右侧，
故
解得，
故选D．
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查命题的否定，解本题的关键是掌握住特称命题的否定是全称命题，书写答案是注意量词的变化．特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，依据规则写出结论即可
【解答】
解：“，，使得”的否定形式是“，，使得“
故选：D．
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查不等式的求解，考查利用导数判断函数的单调性，属于中档题．
根据条件构造函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行转化求解即可．
【解答】
解：设，则，
，
，即在上为增函数，
，
不等式等价于，
即，
即，
在上为增函数，
，解得，即，
故不等式的解集为．
故选D．
11.【答案】D
【解析】解：令，则方程
方程．
如图是函数，的图象，
根据图象可得：
方程有8个相异实根方程有两个不等实数解，
且，可得
．
故选：D．
作出函数的图象，利用换元法转化为一元二次方程根的分布情况，利用数形结合是解决本题的关键．
本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为一元二次方程根的情况，利用数形结合以及分类讨论是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．
12.【答案】D
【解析】【分析】
本题是一个分类计数问题，数字中的值最小是0，最大是3，因此需要把的值进行讨论，两边选出数字就可以，没有排列，写出所有的结果相加．
本题考查分类计数问题，考查利用列举得到所有的满足条件的结果数，本题要注意在确定中间一个数字后，两边的数字只要选出数字，顺序就自然形成，不用排列．
【解答】
解：由题意知本题是一个分类计数问题，
数字中的值最小是0，最大是3，因此需要把的值进行讨论，
当时，前面两位数字可以从其余5个数中选，有种结果，后面两位需要从其余5个数中选，有种结果，共有种结果，
当时，前面两位数字可以从其余4个数中选，有6种结果，后面两位需要从其余4个数中选，有6种结果，共有36种结果，
当时，前面两位数字可以从其余3个数中选，有3种结果，后面两位需要从其余4个数中选，有3种结果，共有9种结果，
当时，前面两位数字可以从其余2个数中选，有1种结果，后面两位需要从其余2个数中选，有1种结果，共有1种结果，
根据分类计数原理知共有．
故选：D．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了导数的几何意义，属于中档题．
设切线与两曲线的切点的横坐标分别为，，根据导数的几何意义得到k与切点横坐标的关系，由切点在切线上，又在曲线上，列方程组，解之即可得到答案．
【解答】
解：设直线与曲线和的切点横坐标分别为，，
对函数求导，得；对函数求导，得．
由导数的几何意义可得，，
再由切点既在切线上也在各自的曲线上，可得
代入得，，
得，代入得，
将，代入，得．
故答案为．
14.【答案】4
【解析】【分析】
本题考查了对数与对数运算和利用基本不等式求最值，属于中档题．
先根据对数的运算性质求出，再根据基本不等式求出最小值即可．
【解答】
解：，
，，
，
当且仅当，时取等号，
的最小值为4，
故答案为4．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二项式系数的性质，熟记二项展开式的通项是关键，是基础题．
写出的展开式的通项，分别由x的指数为和0求得r值，进一步求得的展开式中常数项，由常数项为60，求实数a的值．
【解答】
解：的展开式的通项．
由，可得舍，由，得．
的展开式中常数项为，解得．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】本题考查相互独立事件同时发生的概率以及互斥事件概率的求解，属于中档题．设“国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游”分别为事件A，B，C，
则A，B，C相互独立且，，，少有1人去北京旅游的概率为：，通过相互独立事件同时发生的概率公式计算，即可得到答案．
【解答】
解：设“国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游”分别为事件A，B，C，
则A，B，C相互独立且，，，
至少有1人去北京旅游的概率为：
．17.【答案】解：当时，命题；命题．
“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，一真一假．
当p真q假时，且或，无解
当p假q真时，或且
或．
综上，x的范围是或；
命题，命题．
是的必要条件，是q的必要条件，又，
．
【解析】本题主要考查命题真假的判断，以及充分条件和必要条件的定义和不等式的解法及其性质，解题过程中用到了分类讨论的思想，是一道基础题．
，代入命题q，求出x的取值范围，由“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，可知p与q一真一假，分类讨论进行求解；
，，，分别求出p和q，根据是的必要条件，可得p是q的必要条件，从而求出a的范围．
18.【答案】解：函数的图象关于原点对称，
，即，
，恒成立，
即，即恒成立，所以，解得，
又时，无意义，故；
时，恒成立，
即，
在恒成立，
由于是减函数，故当，函数取到最大值，
，即实数m的取值范围是；
由得：，
即，
即，即在上有解，
在上单调递减，
，
则的值域是，
．
即k的取值范围为．
【解析】函数的图象关于原点对称，可得，整理得
恒成立，即可得出答案
时，恒成立，求出时，的最大值，即可解出m的取值范围
由于在上是增函数，在上是减函数，可得出，两函数图象在所给区间上有交点，由此可通过比较两函数在区间端点处的函数值的大小得出，解之即可得出答案
本题考查函数恒成立问题的解法及对数函数性质的综合运用，属于有一定难度的题，本题考查了转化化归的思想，属于灵活运用知识的好题
19.【答案】解：，
由题意得在上有解，
即在上有解，
所以，
因为函数在上的最小值为，
所以，即m的取值范围是；
是函数的极值点，
，解得，
，，
令，解得或，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
在上的最小值是．
【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值，属于基础题．求出函数的导数，问题转化为在上有解，求出最小值，即可得到m的取值范围；
求出函数的导数，结合，求出m的值，从而求出函数的单调区间，即可求出函数的最小值．
20.【答案】解Ⅰ记“该产品不能销售”为事件A，则．
所以，该产品不能销售的概率为．
Ⅱ由已知，可知X的取值为，，，40，160．
，
，
，
，
．
所以X的分布列为
X40 160
P
分
所以，均值为
【解析】Ⅰ记“该产品不能销售”为事件A，然后利用对立事件的概率公式解之即可；
Ⅱ由已知可知X的取值为，，，40，160，然后根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式分别求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式解之即可．
本题主要考查了n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，以及离散型随机变量的概率分别和数学期望，同时考查了计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：Ⅰ证明：当时，，则，
令，则，
令，得，故在时取得最小值，
，在上为增函数，
；
Ⅱ，
由，得对一切恒成立，
当时，可得，所以若存在，则正整数a的值只能取1，2．
下面证明当时，不等式恒成立，
设，则，
由Ⅰ，，
当时，；当时，，