一元二次方程

一元二次方程

1)x^2-9x+8=0 答案：x1=8 x2=1 (2)x^2+6x-27=0 答案：x1=3 x2=-9 (3)x^2-2x-80=0 答案：x1=-8 x2=10 (4)x^2+10x-200=0 答案：x1=-20 x2=10 (5)x^2-20x+96=0 答案：x1=12 x2=8 (6)x^2+23x+76=0 答案：x1=-19 x2=-4 (7)x^2-25x+154=0 答案：x1=14 x2=11 (8)x^2-12x-108=0 答案：x1=-6 x2=18 (9)x^2+4x-252=0 答案：x1=14 x2=-18 (10)x^2-11x-102=0 答案：x1=17 x2=-6 (11)x^2+15x-54=0 答案：x1=-18 x2=3 (12)x^2+11x+18=0 答案：x1=-2 x2=-9 (13)x^2-9x+20=0 答案：x1=4 x2=5 (14)x^2+19x+90=0 答案：x1=-10 x2=-9 (15)x^2-25x+156=0 答案：x1=13 x2=12 (16)x^2-22x+57=0 答案：x1=3 x2=19 (17)x^2-5x-176=0 答案：x1=16 x2=-11 (18)x^2-26x+133=0 答案：x1=7 x2=19 (19)x^2+10x-11=0 答案：x1=-11 x2=1 (20)x^2-3x-304=0 答案：x1=-16 x2=19 (21)x^2+13x-140=0 答案：x1=7 x2=-20 (22)x^2+13x-48=0 答案：x1=3 x2=-16 (23)x^2+5x-176=0 答案：x1=-16 x2=11 (24)x^2+28x+171=0 答案：x1=-9 x2=-19 (25)x^2+14x+45=0 答案：x1=-9 x2=-5 (26)x^2-9x-136=0 答案：x1=-8 x2=17 (27)x^2-15x-76=0 答案：x1=19 x2=-4 (28)x^2+23x+126=0 答案：x1=-9 x2=-14 (29)x^2+9x-70=0 答案：x1=-14 x2=5 (30)x^2-1x-56=0 答案：x1=8 x2=-7 (31)x^2+7x-60=0 答案：x1=5 x2=-12 (32)x^2+10x-39=0 答案：x1=-13 x2=3 (33)x^2+19x+34=0 答案：x1=-17 x2=-2 (34)x^2-6x-160=0 答案：x1=16 x2=-10 (35)x^2-6x-55=0 答案：x1=11 x2=-5 (36)x^2-7x-144=0 答案：x1=-9 x2=16 (37)x^2+20x+51=0 答案：x1=-3 x2=-17 (38)x^2-9x+14=0 答案：x1=2 x2=7 (39)x^2-29x+208=0 答案：x1=16 x2=13 (40)x^2+19x-20=0 答案：x1=-20 x2=1 (41)x^2-13x-48=0 答案：x1=16 x2=-3 (42)x^2+10x+24=0 答案：x1=-6 x2=-4

(完整版)一元二次方程归纳总结

一元二次方程归纳总结 1、一元二次方程的一般式：2 0 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。 2、一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法） ①2 (0)x a a =≥ 解为：x = ②2 ()(0)x a b b +=≥ 解为：x a += ③2 ()(0)ax b c c +=≥ 解为：ax b += ④2 2() ()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+ （2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法 （3）公式法：一元二次方程2 0 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：222 4()24b b ac x a a -+= ①当2 40b ac ?=-> 时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,22b x a -=② 当2 40b ac ?=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a =- ③ 当2 40b ac ?=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。 注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。 备注：公式法解方程的步骤： ①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：2 0 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c ②求出2 4b ac ?=-，并判断方程解的情况。 ③代公式：1,2x = 3、一元二次方程的根与系数的关系 法1：一元二次方程2 0 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为： 1222b b x x a a -+-== 所以：12b x x a += +=-， 221222()422(2)4b b b ac c x x a a a a a -+----?=?===

最新一元二次方程知识点总结

一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次 方程。 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关 于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2 ax 叫做二 次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系 数；c 叫做常数项。 3.一元二次方程的解法 (1)直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平 方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平 方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 (2)配方法:配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看 做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项 的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 (3)公式法:公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方 法。一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的 系数为b ，常数项的系数为c (4)因式分解法:因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单 易行，是解一元二次方程最常用的方法。 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的 是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形 式 4.一元二次方程根的判别式:一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元 二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?” 来表示，即ac b 42 -=? I 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

专题11 一元二次方程的解集及其根与系数的关系(解析版)

提升训练2.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 一、选择题 1．用配方法解方程2680x x --=时，配方结果正确的是（ ） A ．2(3)17x -= B ．2(3)14-=x C ．2(6)44x -= D ．2(3)1x -= 【答案】A 【解析】 用配方法解方程x 2﹣6x ﹣8＝0时，配方结果为（x ﹣3）2＝17， 故选A ． 2．若1x ，2x 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个根，则12x x 的值是（ ） A ．4 B ．－3 C ．－4 D ．3 【答案】D 【解析】 ∵一元二次方程x 2+4x+3=0的二次项系数a=1，常数项c=3， ∴x 1?x 2=c a =3． 故选D ． 3．一元二次方程2320x x =－－的两根分别为12x x ，，则下列结论正确的是( ) A ．1212x x =-=， B ．1212x x ==-， C ．123x x =＋ D ．122x x = 【答案】C 【解析】 ∵方程2320x x =－－的两根为12x x ，， ∴1212+=-3,2b c x x x x a a ===- ∴C 选项正确. 故选C

4．若1x 、2x 是方程2x 2x 10--=的两个根，则1122x x x x ++的值为( ) A ．1 B ．-1 C ．3 D ．-3 【答案】A 【解析】 因为1x 、2x 是方程2x 2x 10--=的两个根， 所以12122,1x x x x +=?=- 所以1122x x x x ++=2-1=1 故选A 5．若，，则以，为根的一元二次方程是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】 ∵ ， ∴ ， 而 ， ∴ ， ∴， ∴以，为根的一元二次方程为 ． 故选：A ． 6．若代数式2x 2-5x 与代数式x 2 -6的值相等，则x 的值是( ) A ．-2或3 B ．2或3 C ．-1或6 D ．1或-6. 【答案】B 【解析】 因为这两个代数式的值相等， 所以有： 2x 2-5x=x 2-6， x 2-5x+6=0， (x-2)(x-3)=0，

一元二次方程知识点总结与易错题

一元二次方程知识点总结 考点一、一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次 多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 考点二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(242 2≥--±-=ac b a ac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 。 4、因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 5、韦达定理 利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和等于-a b ，二根之积等于 a c ，也可以表示为x 1+x 2=-a b ，x 1 x 2=a c 。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用。 考点三、一元二次方程根的判别式 根的判别式： 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中， ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=? I 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； II 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； III 当△<0时，一元二次方程没有实数根。 考点四、一元二次方程根与系数的关系 如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，a c x x =21。也就是 说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 考点五、一元二次方程的二次函数的关系 二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y 的0的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X 轴的交点。也就是该方程的解了 二次函数知识点 一、二次函数概念：

一元二次方程 习题100道

一元二次方程百题 一、用直接开平方法解下列一元二次方程。 （1）0142 =-x （2）2)3(2=-x （3）()512 =-x （4）()162812 =-x （5）2 225x =； （6）2(1)9x -=； （7）2 (61)250x --=． （8）2 81(2)16x -=． （9）2 5(21)180y -= （10）21 (31)644 x += （11）26(2)1x +=； （12）25(21)180y -= （13）21(31)644 x += （14）26(2)1x +=； （15）2 ()(00)ax c b b a -=≠，≥ 二、用配方法解下列一元二次方程。 （16）0662 =--y y （17） x x 4232=- （18）9642 =-x x

（19）210x x +-= （20）23610x x +-= （21）2 1(1)2(1)02x x ---+ = （22）22540x x --= （23）210x x --= （24）2 3920x x -+=． （25）2 310y y ++=． （26）．210x x +-= （27）．23610x x +-= （28）．21 (1)2(1)02 x x ---+= （29）.23610x x --= （30） 22540x x --= （31）210x x --= （32）2 3920x x -+=． （33）0542 =--x x

（34）01322 =-+x x （35）07232 =-+x x （36）01842 =+--x x （37）022 2=-+n mx x （38）()0022 2 >=--m m mx x 三、用公式解法解下列方程。 （39）0822 =--x x （40）2 2 314y y -= （41）y y 32132=+ (42)x 2 +4x +2=0 ; (43)3x 2 -6x +1=0; (44)4x 2 -16x +17=0 ; (45)3x 2 +4x +7=0. (1)2x 2 -x -1=0; (46)4x 2 -3x +2=0 ;

一元二次方程(含答案)

第十六期：一元二次方程 一元二次方程是在一元一次方程及分式方程的基础上学习的，一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的应用是中考的重点。题型多样，一般分值在6－9分左右。 知识点1：一元二次方程及其解法 例1：方程0232 =+-x x 的解是（ ） A ．11=x ，22=x B ．11-=x ，22-=x C ．11=x ，22-=x D ．11-=x ，22=x 思路点拨：考查一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有：一是因式分解法；二是配方法；三是求根公式法．此题可以用此三种方法求解，此题以因式分解法较简单，此式可以分解为（x －1）(x －2)=0,所以x －1=0或x －２=0，解得x １=１，x ２=２．故此题选Ａ． 例2：若2 20x x --= ） A B C D 思路点拨：本题考查整体思想，即由题意知x 2－x=2, 所以原式=3 3 23 123222= +-+，选A. 练习： 1.关于x 的一元二次方程2x 2－3x －a 2 +1=0的一个根为2，则a 的值是（ ） A ．1 B C ． D ．2.如果1-是一元二次方程2 30x bx +-=的一个根，求它的另一根． 3.用配方法解一元二次方程：x 2－2x －2=0． 答案：1.D. 2.解： 1-是230x bx +-=的一个根， 2(1)(1)30b ∴-+--=．解方程得2b =-．

∴原方程为2230x x --= 分解因式，得(1)(3)0x x +-= 11x ∴=-，23x =. 3.移项，得x 2－2x=2． 配方x 2－2x+12=2+12， （x －1）2=3. 由此可得x －1=±3， x 1=1+3，x 2=1－3. 最新考题 1.（2009威海）若关于x 的一元二次方程2 (3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______． 2.（2009年山西省）请你写出一个有一根为1的一元二次方程： ． 3.（2009山西省太原市）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ） A ．()216x += B ．()216x -= C ．()2 29x += D ．()2 29x -= 答案：1.1； 2.答案不唯一，如2 1x = 3. B 知识点2：一元二次方程的根与系数的关系 例1：如果21,x x 是方程0122 =--x x 的两个根，那么21x x +的值为： （A ）－1 （B ）2 （C ）21- （D ）21+ 思路点拨：本题考查一元二次方程02 =++c bx ax 的根与系数关系即韦达定理，两根之和是a b - ， 两根之积是a c ，易求出两根之和是2。答案：B 例2：设一元二次方程2 730x x -+=的两个实数根分别为1x 和2x ， 则12x x += ，x 1、·x 2 ．

解一元二次方程(公式法)

应用拓展 某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）22m x ++（m-2）x-1=0提出了下列问题． （1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程． （2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出． 你能解决这个问题吗？ 分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m 2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0． （2）要使它为一元一次方程，必须满足: ①211(1)(2)0m m m ?+=?++-≠?或②21020m m ?+=?-≠?或③1020 m m +=??-≠? 解：（1）存在．根据题意，得：m 2+1=2 m 2=1 m=±1 当m=1时，m+1=1+1=2≠0 当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去） ∴当m=1时，方程为2x 2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1 b 2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9 134 ±= x 1=，x 2=-12 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x 1=1，x 2=- 12． （2）存在．根据题意，得：①m 2+1=1，m 2=0，m=0 因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0 所以m=0满足题意． ②当m 2+1=0，m 不存在． ③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0 所以m=-1也满足题意． 当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0， 解得：x=-1 当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0 解得x=-13 因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-?1时，其一元一次方程的根为x=- 13． 布置作业 1．教材P 45 复习巩固4． 2．选用作业设计:

1元二次方程各种题型总结

一元二次方程各种题型总结 （一）一元二次方程的概念 1．一元二次方程的项与各项系数 把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再写出二次项，一次项，常数项： （1）x x 3252 =- （2）015622 =--x x （3）5)2(7)1(3-+=+y y y （4）2 2)3(4)15(-=-a a （5）m m m m m m 57)2())((2-=-+-+ 2．应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值 (1)m 为何值时，关于x 的方程m x m x m m 4)3()2(2 =+--是一元二次方程？ （2）若分式01 8 72=---x x x ，则=x . 3．由方程的根的定义求字母或代数式值 （1）关于x 的一元二次方程01)1(2 2=-++-a x x a 有一个根为0，则=a ． （2）已知关于x 的一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 有一个根为1，一个根为1-，则=++c b a ， =+-c b a ． （3）已知c 为实数，并且关于x 的一元二次方程032=+-c x x 的一个根的相反数是方程0 32 =-+c x x 的一个根，求方程032 =-+c x x 的根及c 的值． （二）一元二次方程的解法 1．用直接开平方法解下列方程： （1）012552 =-x （2）2 169(3)289t -= （3）03612 =+y （4）0)31(2=-m （5） 2 2(31)85 n +=

2．用配方法解方程： （1）0522 =-+x x （2）0152 =++y y （3）3422 -=-y y 3．用公式法解下列方程： （1）2632 -=x x （2）p p 3232=+ （3）y y 1172 = （4）2592 -=n n （5）2(2)(21)3m m m +=--- 4．用因式分解法解下列方程： （1）094 12 =-x （2）04542=-+y y （3）2 81030m m +-= （42 0= （5）2 6t -=- （6）2 (5)2(5)1y y -=-- （7）2 2 2 (3)2(3)80t t t +-+-= 5．解法的灵活运用（用适当方法解下列方程）： （1）128)72(22=-x （2）222)2(212m m m m -=+- （3）6(2)(2)(3)y y y y -=-+ （4）3 ) 13(2)23(332-+-=+y y y y y （5）2 2 81(25)144(3)m m -=-

一元二次方程求根公式

一元二次方程求解 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式

法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方 程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)； (2)； (3). 分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，

一元二次方程根与系数的关系(11.3)

一元二次方程根与系数的关系 一、验根 1．判断下列各方程后面括号内的两个数是不是前面方程的根。 （1）x2+5x+4=0 (1,4)；（2）2x2-3x+1=0 (1 2 ,1)； （3）x2+5x=6 (2,3)；（4）x2-(3+2)x+6=0 (3,2)。 二、不解方程，直接找出方程的两根之和与积 1．3x2-2x-1=0的两根之积为，两根之和为。 2．3x2-x=0的两根之积为。 3．2x2-1=0的两根之积为。 4．2x2+(3-4)x-23=0的两根之和为。 5．3x2-2(x+1)=2的两根之和为，两根之积为。 6．若ax2+bx+c=0(a≠0)的两根互为相反数，则b= 。 7．若ax2+bx+c=0(a≠0)的两根互为负倒数，则b= 。 8．若ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为零，则c= 。 9．若ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根都为零，则b= ，c= 。 10．已知关于x的一元二次方程x2-px+6=0的两根恰是一矩形的长和宽，则这个矩形的面积= 。 三、求有关根的式子的值 1．已知方程x2+4x-6=0的两个根是α和β，求下列代数式的值。 (1)（α+2）（β+2）；(2)α2β+β2α； (3)1 α+1 β ； (4)α2+β2； (5)（α-β）2；（6）β α+α β ； (7)α3+β3； (8)|α-β|； (9)α-β。 2．已知x2+11x+16=0的两根为x1,x2；求x2 x1+x1 x2 的值。 3．已知实数a，b满足a2-a-11=0，b2-b-11=0，且a≠b，求a2+b2的值。 4．已知a4+2a2-5=0,1 b +2 b -5=0，且a2≠1 b ，求ba 4+a2 b 的值。

一元二次方程知识点总结

一元二次方程知识点 教学重点：根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用 教学难点：根的判别式定理及逆定理的运用。 教学关键：对根的判别式定理及其逆定理使用条件的透彻理解。 主要知识点： 一、一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(242 2≥--±-=ac b a ac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 5、韦达定理

一元二次方程知识点归纳与复习

一元二次方程专题 知识点1：一元二次方程的概念及一般形式 1、方程（1）3x-1=0;(2) 2310x -=;(3) 2130x x + =;(4) 221(1)(2)x x x -=--; (5) 2(52)(37)15x x x +-=;(6) 232x y x +=.其中一元二次方程的个数为 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）2(5)3x x x --=- （2）(21)(5)6x x x -+= 知识点2：用直接开平方法解一元二次方程 3、用直接看平方法解一元二次方程： （1）2169x = （2）2450x -= （3）24(21)360x --= （4）（21)40x +-= 知识点3：用配方法解一元二次方程

4、用配方法解方程2250x x --=时，原方程变形为 （ ） A 、2(1)6x += B 、2(1)6x -= C 、2(2)9x += D 、2(2)9x -= 5、用配方法解一元二次方程： （1）22410x x -+= （2）2213x x += 知识点4：用公式法解一元二次方程 6、用公式法解一元二次方程： （1）2410x x +-= （2）2441018x x x ++=- 知识点5：根的判别式（24b ac -）的应用 7、若关于x 的一元二次方程2210mx x --=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ） A 、m>-1 B 、m>-1且m ≠0 C 、m<1 D 、m<1且m ≠0 8、已知a 、b 、c 分别是三角形ABC 的三边，其中a=1,c=4,且关于x 的方程240x x b -+=有两个相等的实数根，试判断三角形ABC 的形状。 4、 已知关于x 的一元二次方程2223840x mx m m --+-=. （1）求证：原方程恒有两个实数根; （2）若方程的两个实数根一个小于5，另一个大于2，求m 的取值范围. 知识点6：用分解因式法解一元二次方程 9、用分解因式法解一元二次方程 （1）230x x += （2）2(3)4(3)0x x x -+-=

21一元二次方程教案(表格形式,打包11套)-10

21.2.4一元二次方程的根与系数关系 一、教材分析知道一元二次方程的根与系数的关系，学习运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题. 二、学情分析 已经知道因式分解中的十字交叉法，这对认识一元二次方程的根与系数的关系，学生有点基础，再多加练习，是能够学会的。 三、教学目标 1.知道一元二次方程的根与系数关系. 2.学会运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题. 四、教学重点难点重点 一元二次方程的根与系数关系难点 对根与系数关系的理解和推导

五、教学过程设计 一、复习引入 导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在16世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？ 二、探究新知 1.课本思考 分析：将（x- x1）（x-x2）=0化为一般形式x2-( x1 +x2)x+ x1 x2=0与x2+px+ q=0对比,易知p=-( x1 +x2)， q= x1 x2. 即二次项系数是1的一元二次方程如果有实数根，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等于两根之积. 2.跟踪练习 求下列方程的两根x1、x2. 的和与积. x2+3x+2=0； x2+2x-3=0; x2-6x+5=0; x2-6x-15=0 3. 方程2x2-3x+1=0的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？ 分析：这个方程的二次项系数等于2，与上面情形有所不同，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否成立，若不成立，新的结论是什么？4.一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的a不一定是1，它的两根的和、积与系数之间有第3题中的关系吗？ 分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，得到方程的两个根x1、x2和系数a，b，c的关系，即韦达定理，也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比. 求根公式是在一般形式下推导得到，根与系数的关系由求根公式得到，因此，任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系. 5.跟踪练习 求下列方程的两根x1、x2. 的和与积. ○13x2+7x+2=0；3x2+7x-2=0; 3x2-7x+2=0；3x2-7x-2=0； ○25x-1=4x2；5x2-1=4x2+x 6.拓展练习 ○1已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根是-1，3，则b= ,c= . ○2已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个根是1，则另一个根是 ,k的值是 . ○3若关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个根互为相反数，则p= ; 若两个根互为倒数，则q= . 分析：方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另一根和这个字母系数；方程中含有两个字母系数时利用方程的两根的值可求得这两个字母系数.二次

一元二次方程知识点归纳

一元二次方程知识点 知识点一：一元二次方程及其解法关键点拨及对应举例 1.一元二次方程的相关概念 (1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方 程． (2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次 项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常 数项． 例：方程20 a ax+=是关于x 的一元二次方程，则方程的根为－ 1. 2 .一元二 次方程的解法 （1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方 求解. ( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解 法求解. ( 3 )公式法:一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式为 x= 24 2 b b ac a -±-（b2-4ac≥0）. (4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶 数时，也可以考虑用配方法． 解一元二次方程时，注意 观察，先特殊后一般，即先 考虑能否用直接开平方法和 因式分解法，不能用这两种方 法解时，再用公式法. 例：把方程x2+6x+3=0变 形为(x+h)2=k的形式后， h=-3,k=6. 知识点二：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 3 .根的判别式 (1)当Δ＝24 b ac -0时，原方程有两个不相等的实数根． (2)当Δ＝24 b ac -0时，原方程有两个相等的实数根． (3)当Δ＝24 b ac -0时，原方程没有实数根． 例：方程2210 x x +-=的判 别式等于8，故该方程有两个不相 等的实数根；方程2230 x x ++= 的判别式等于－8，故该方程没有实 数根. * 4.根与系数的关系 （1）基本关系：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两 个根分别为x1、x2,则x1+x2= ；x1x2= 。注意运用根与系数 关系的前提条件是△≥0. （2）解题策略：已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式 的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与 系数的关系求解. 与一元二次方程两根相关代数 式的常见变形： x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2, (x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1, 12 1212 11x x x x x x + += 等. 失分点警示 在运用根与系数关系解题时， 注意前提条件时△=b2-4ac≥0.a≠0 知识点三：一元二次方程的应用 4（1）解题步骤：①审题；②设未知数；③列一元二次方程； ④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答． 运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实

第11讲.一元二次方程根系关系及应用题(答案版)

1 初二春季·第11讲·尖子班·教师版 方程11级 解特殊复杂方程 方程12级 特殊根问题 方程6级 方程13级 根系关系及应用题 春季班 第十一讲 春季班 第九讲 考古发现 满分晋级阶梯 漫画释义 11 根系关系及应用题

知识互联网 题型切片 编写思路 本讲主要分为两个版块，模块一主要讲解了一元二次方程的补充知识点，韦达定理，在这一板块重点进行了由定理直接进行的代数式的变形，对于这个补充版块，有的班级理解能力强些，老师们可能会有一些富余时间，故给老师们预备了对韦达定理的进一步探索。 模块二练习了各个类型的应用题，希望同学们能从不同的方面深入理解一元二次方程，并再次练习了解方程应用题的一般步骤：审、设、列、解、答，希望老师注意强调应用题的答千万不要忘记。 初二春季·第11讲·尖子班·教师版 2

3 初二春季·第11讲·尖子班·教师版 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 若21,x x 是关于x 的一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的两个根，则方程的两个根 21,x x 和系数c b a ,,有如下关系：a c x x a b x x =?-=+2121,. 【引例】 先阅读，再填空解题： ⑴方程x 2－x －12＝0 的根是：x 1＝3-，x 2＝4，则x 1＋x 2＝1，x 1·x 2＝12-； ⑵方程2x 2－7x ＋3＝0的根是：x 1＝12，x 2＝3，则x 1＋x 2＝72，x 1·x 2＝3 2 ； ⑶方程x 2 －3x ＋1＝0的根是：x 1＝ ， x 2＝ ． 则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ； ⑷根据以上⑴⑵⑶你能否猜出： 如果关于x 的一元二次方程mx 2＋nx ＋p ＝0（m ≠0且m 、n 、p 为常数）的两根为x 1、x 2，那么x 1＋x 2、x 1·x 2与系数m 、n 、p 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由． ⑸在⑶的条件下，求下列各式的值：①221221x x x x +；②221211 x x + （十一学校期末） 【解析】 ；3，1；⑷1212n p x x x x m m +=-=，； ⑸①()22 12211212==31=3x x x x x x x x ++?②()() 2 221212122 222212*********====71x x x x x x x x x x x x +-+-+ 【例1】 不解方程，求下列方程两根的积与和． ⑴25100x x --= ⑵22710x x ++= ⑶23125x x -=+ ⑷()137x x x -=+ 思路导航 例题精讲 典题精练 题型一：根与系数关系

一元二次方程的解法归纳总结

一元二次方程综合一元二次方程的解法归纳总结 一元二次方程的解法是每一个中学生都必须掌握的,共有5种解法,其中直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法是教材上重点讲解的四种方法,并没有提到换元法,我们在这次归纳总结中给于详细的讲解.另外,还将介绍某些特殊的一元二次方程的解法. 在上面提到的四种解一元二次方程的方法中,直接开平方法是最直接的方法,因式分解法是最简单的方法,配方法是最基本的方法,而公式法是最万能的方法. 我们要根据一元二次方程的特点选择合适的解法,如一元二次方程缺少一次项,选择用直接开平方法求解;一元二次方程缺少常数项,选择用因式分解法（缺常选因）求解. 一、直接开平方法 解形如（≥0）和（≥0）的一元二次方程,用直接开平方法. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤: （1）把一元二次方程化为（≥0）或（≥0）的形式; （2）直接开平方,把方程转化为两个一元一次方程; （3）分别解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解. 注意: （1）直接开平方法是最直接的解一元二次方程的方法,并不适合所有的一元二次方程的求解; （2）对于一元二次方程,当时,方程无解; （3）对于一元二次方程: 当时,一元二次方程有两个不相等的实数根; 当时,一元二次方程有两个相等的实数根; 当时,一元二次方程没有实数根. 例1. 解下列方程: （1）; （2）. 分析:观察到两个方程的特点,都可以化为（≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解.当一元二次方程缺少一次项时,考虑使用直接开平方法求解.

解:（1） ∴; （2） ∴. 例2. 解下列方程: （1）; （2）. 分析:观察到两个方程的特点,都可以化为（≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解. 解:（1） ∴或 ∴; （2） ∴ ∴或 ∴. 习题1. 下列方程中,不能用直接开平方法求解的是【】（A）（B） （C）（D） 习题2. 若,则_________.

一元二次方程知识点总结

一元二次方程 1.一元二次方程的定义及一般形式： （1）等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。（2）一元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0（a 0）。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。 注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次 数是2;③是整式方程。 2.一元二次方程的解法 （1 ）直接开平方法： 形如（x a）2 b（b 0）的方程可以用直接开平方法解，两边直接 开平方得x a b或者x a 、、b，x a , b。 注意：若b<0,方程无解 （2）因式分解法： 一般步骤如下： ①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0 ； ②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。 （3）配方法:

用配方法解一元二次方程ax2 bx c 0（a 0）的一般步骤 ①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； ②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； ③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程 化为(x m)2 n(n 0)的形式； ④用直接开平方法解变形后的方程。 注意：当n 0时，方程无解 (4)公式法： 一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)根的判别式：b24ac 0方程有两个不相等的实根:x b甘4/( b2 4ac 0) 2a f(x)的图像与x轴有两个交点 0方程有两个相等的实根f(x)的图像与x轴有一个交点 0方程无实根f(x)的图像与x轴没有交点 3.韦达定理(根与系数关系) 我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c = 0之后，设它的两个根是x i和X2，则&和X2与方程的系数a, b, c之间有如下关系：X i+X2 = b； X i?X2 = 2 a a 4.一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类 似