七年级数学上册全册单元测试卷测试与练习(word解析版)
七年级数学上册全册单元测试卷测试与练习(word解析版)
一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选(难)
1.如图,以直线AB上一点O为端点作射线OC,使∠BOC=70°,将一个直角三角形的直角顶点放在点O处.(注:∠DOE=90°)
(1)如图①,若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上,则∠COE=________°;(2)如图②,将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置,若OC恰好平分∠BOE,求∠COD的度数;
(3)如图③,将直角三角板DOE绕点O转动,如果OD始终在∠BOC的内部,试猜想∠BOD和∠COE有怎样的数量关系?并说明理由.
【答案】(1)20
(2)解:如图②,∵OC平分∠EOB,∠BOC=70°,
∴∠EOB=2∠BOC=140°,
∵∠DOE=90°,
∴∠BOD=∠BOE-∠DOE=50°,
∵∠BOC=70°,
∴∠COD=∠BOC-∠BOD=20°
(3)解:∠COE-∠BOD=20°,
理由是:如图③,∵∠BOD+∠COD=∠BOC=70°,∠COE+∠COD=∠DOE=90°,
∴(∠COE+∠COD)-(∠BOD+∠COD)
=∠COE+∠COD-∠BOD-∠COD
=∠COE-∠BOD
=90°-70°
=20°,
即∠COE-∠BOD=20°
【解析】【解答】⑴如图①,∠COE=∠DOE-∠BOC=90°-70°=20°;
【分析】(1)根据角度的换算可知∠COE和∠BOC互余,那么根据∠COB=70°可得∠COE=20°;
(2)根据角平分线和∠BOC可得∠BOE=140°,∠COE=∠BOC=90°,所以它的余角∠COD=20°;
(3)一个是直角∠EOD,,一个是70°∠BOC,这两个角里都包含了同一个角∠COD,那么大家都减去这个∠COD的度数,剩下的两角差与原两角差是一致的,所以可得出结论∠COE-∠BOD=20°。
2.如图1,平面内一定点A在直线MN的上方,点O为直线MN上一动点,作射线OA、OP、OA′,当点O在直线MN上运动时,始终保持∠MOP=90°、∠AOP=∠A′OP,将射线OA 绕点O顺时针旋转60°得到射线OB
(1)如图1,当点O运动到使点A在射线OP的左侧,若OB平分∠A′OP,求∠AOP的度数.
(2)当点O运动到使点A在射线OP的左侧,∠AOM=3∠A′OB时,求的值.
(3)当点O运动到某一时刻时,∠A′OB=150°,直接写出∠BOP=________度.
【答案】(1)解:由题意可得:∠AOB=60°,∠AOP=∠A′OP,
∵OB平分∠A′OP,
∴∠A′OP=2∠POB,
∴∠AOP=∠A′OP=2∠POB,
∴∠AOB=∠AOP+∠POB=3∠POB=60°,
∴∠POB=20°,
∴∠AOP=2∠POB=40°
(2)解:①当点O运动到使点A在射线OP的左侧,且射线OB在在∠A′OP的内部时,如图1,
设∠A′OB=x,则∠AOM=3∠A′OB=3x,∠AOA′= ,
∵OP⊥MN,
∴∠AON=180°-3,∠AOP=90°-3x,
∴,
∵∠AOP=∠A′OP,
∴∠AOP=∠A′OP=
∴,解得:,
∴;
②当点O运动到使A在射线OP的左侧,但是射线OB在∠A′ON内部时,如图2,
设∠A′OB=x,则∠AOM=3x,∠AON= ,∠AOA′= ,
∵∠AOP=∠A′OP,
∴∠AOP=∠A′OP= ,
∵OP⊥MN,
∴∠AOP=90-∠AOM=90-3x,
∴,解得:,
∴;
(3)解:①如图3,当∠A′OB=150°时,由图可得:∠A′OA=∠A′OB-∠AOB=150°-60°=90°,又∵∠AOP=∠A′OP,∴∠AOP=45°,
∴∠BOP=60°+45°=105°;②如图4,当∠A′OB=150°时,由图可得∠A′OA=360°-150°-60°=150°,又∵∠AOP=∠A′OP,∴∠AOP=75°,∴∠BOP=60°+75°=135°;综上所述:∠BOP的度数为105°或135°.
【解析】【分析】(1)由角平分线的性质和∠ AOP=∠A′OP可得∠POB= ∠AOB,∠AOP=
∠AOB,则∠POA的度数可求解;
(2)由题意可分两种情况:
①
当点O运动到使点A在射线OP的左侧,且射线OB在在∠A′OP的内部时,由角的构成易得∠AOP= -∠AOM= -3∠A′OB,∠AOA′=+∠A′OB,由角平分线的性质可得
∠AOP=∠A′OP,于是可得关于∠A′OB的方程,解方程可求得∠A′OB的度数,则
可求解;
②
当点O运动到使A在射线OP的左侧,但是射线OB在∠A′ON内部时,同理可求解;(3)由题意可分两种情况讨论求解:①当∠A′OB沿顺时针成
150°时,结合已知条件易求解;
②
当∠A′OB沿时针方向成 150°时,结合题意易求解。
3.如图,两个形状、大小完全相同的含有30。角的直角三角板如图1放置,PA、PB与直线MN重合,且三角板PAC和三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转.
(1)如图1.则∠DPC为多少度?
(2)如图2,若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转的角度为α,PF平分∠APD,PE平分∠CPD,求∠EPF的度数;
(3)如图3,若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转,转速为3。/秒,同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转,转速为2。/秒,在两个三角板旋转过程中,当PC转到与PM重合时,两个三角板都停止转动.设两个三角板旋转时间为t
秒,请问是定值吗?若是定值,请求出这个定值;若不是定值,请说明理由。
【答案】(1)解:∵∠DPC=180°-∠CPA-∠DPB,∠CPA=60°,∠DPB=30°,
∴∠DPC=180゜-30゜-60゜=90゜
(2)
(3)解:是定值,理由如下:
设运动时间为t秒,则∠NPA=3t,∠MPB=2t,
∴∠BPN=1800-2t,
∠CPD=3600-∠DPB-∠BPN-∠NPA-∠CPA=900-t,
∴
【解析】【分析】(1)利用含有30゜、60゜的三角板得出∠DPC=180°-∠CPA-∠DPB,代入计算即可;
(2)根据角平分线的定义得出∠DPF=∠APD,∠DPE=∠CPD ,根据角的和差得出APD=180°?30°?α=150°?α ,∠CPD=180°?30°?60°?α=90°?α ,从而得出∠DPF及,∠DPE的度数,最后根据EPF=∠DPF?∠DPE算出结果;
(3)首先得出是一个定值,设运动时间为t秒,则∠BPM=2t,∠NPA=3t ,∠BPN=1800-2t ,∠CPD=3600-∠DPB-∠BPN-∠NPA-∠CPA=900-t ,即可得出答案.
4.将一副直角三角尺按如图所示的方式叠放在一起(其中∠A=60°,∠D=30°,∠E=∠B =45°,直角顶点C保持重合).
(1)①若∠DCE=45°,则∠ACB的度数为________.
②若∠ACB=140°,则∠DCE的度数为________.
(2)由(1)猜想∠ACB与∠DCE的数量关系,并说明理由.
(3)将三角尺BCE绕着点C顺时针转动,当∠ACE<180°,且点E在直线AC的上方时,这两块三角尺是否存在一组边互相平行?若存在,请直接写出∠ACE角度所有可能的值(并写
明此时哪两条边平行,但不必说明理由);若不存在,请说明理由.
【答案】(1)135°;40°
(2)∠ACB+∠DCE=180°.理由如下:
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB,
∴∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE=90°+∠ECB=90°+90°=180°.
(3)(3)存在.当∠ACE=30°时,AD∥BC;当∠ACE=45°时,AC∥BE;当∠ACE=120°时,AD∥CE;当∠ACE=135°时,CD∥BE;当∠ACE=165°时,AD∥BE.
【解析】【解答】(1)①∵∠ECB=90°,∠DCE=45°,
∴∠DCB=90°-45°=45°,
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+45°=135°.
②∵∠ACB=140°,∠ACD=90°,
∴∠DCB=140°-90°=50°,
∴∠DCE=90°-50°=40°.
【分析】(1)①根据角的和差,由∠DCB=∠BCE-∠DCE,即可算出∠DCB的度数,进而根据∠ACB=∠ACD+∠DCB即可算出答案;②根据角的和差,由∠DCB=∠ACB-∠ACD算出∠DCB的度数,再根据∠DCE=∠ECB-∠DCB即可算出答案;
(2)∠ACB+∠DCE=180°.理由如下:根据角的和差得出∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB ,故由∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE =90°+∠ECB 即可算出答案;
(3)存在.当∠ACE=30°时,根据内错角相等二直线平行得出AD∥BC;当∠ACE=45°时,内错角相等二直线平行得出AC∥BE;当∠ACE=120°时,根据同旁内角互补,二直线平行得出AD∥CE;当∠ACE=135°时,根据内错角相等二直线平行得出CD∥BE;当∠ACE =165°时,根据同旁内角互补,二直线平行得出AD∥BE.
5.如图,已知MN∥PQ,B在MN上,C在PQ上,A在B的左侧,D在C的右侧,DE平分∠ADC,BE平分∠ABC,直线DE,BE交于点E,∠CBN=120°.
(1)若∠ADQ=110°,求∠BED的度数;
(2)将线段AD沿DC方向平移,使得点D在点C的左侧,其他条件不变,若∠ADQ=n°,求∠BED的度数(用含n的代数式表示)
【答案】(1)解:如图1中,延长DE交MN于H.
∵∠ADQ=110°,ED平分∠ADP,
∴∠PDH= ∠PDA=35°,
∵PQ∥MN,
∴∠EHB=∠PDH=35°,
∵∠CBN=120°,EB平分∠ABC,
∴∠EBH= ∠ABC=30°,
∴∠BED=∠EHB+∠EBH=65°
(2)解:有3种情形,如图2中,当点E在直线MN与直线PQ之间时.延长DE交MN 于H.
∵PQ∥MN,
∴∠QDH=∠DHA= n,
∴∠BED=∠EHB+∠EBH=180°﹣( n)°+30°=210°﹣( n)°,
当点E在直线MN的下方时,如图3中,设DE交MN于H.
∵∠HBA=∠ABP=30°,∠ADH=∠CDH=( n)°,
又∵∠DHB=∠HBE+∠HEB,
∴∠BED=( n)°﹣30°,
当点E在PQ上方时,如图4中,设PQ交BE于H.同法可得∠BED=30°﹣( n)°.
综上所述,∠BED=210°﹣( n)°或( n)°﹣30°或30°﹣( n)°
【解析】【分析】(1)延长DE交MN于H.利用平行线的性质和角平分线的定义可得∠BED=∠EHB+∠EBH,即可解决问题;
(2)分3种情形讨论:点E在直线MN与直线PQ之间,点E在直线MN的下方,点E 在PQ上方,再根据平行线的性质可解决问题.
6.如图,已知点A、点B是直线上的两点,AB=12厘米,点C在线段AB上.点P、点Q 是直线上的两个动点,点P的速度为1厘米/秒,点Q的速度为2厘米/秒.
(1)当点P、Q分别在线段AC、BC的中点时,线段PQ=________厘米;
(2)若AC=6厘米,点P、点Q分别从点C、点B同时出发沿射线BA方向运动,当运动时间为2秒时,求PQ的长;
(3)若AC=4厘米,点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线AB上运动,则经过多少时间后线段PQ的长为5厘米.
【答案】(1)6
(2)解:如图2,当t=2时,BQ=2×2=4,
则CQ=6-4=2.
因为CP=2×1=2,所以PQ=CP+CQ=2+2=4(厘米)
(3)解:设运动时间为t秒.
①如图3,当点P、Q沿射线BA方向运动,若点Q在点P的后面,
得:t+8-2t=5,
解得t=3,
②如图4,当点P、Q沿射线BA方向运动,若点Q在点P前面,
得:2t-8-t=5,解得t=13.
③如图5,当点P、Q在直线上相向运动,点P、Q在相遇前,
得:t+2t=3,解得t=1.
④如图6,当点P、Q在直线上相向运动,点P、Q在相遇后,
得:t+2t=13,解得t= .
综合可得t=1,3,13, .所以经过1,3,13,秒后PQ的长为5厘米.
【解析】【解答】(1)如图1,因为AB=12厘米,点C在线段AB上,
所以,当点P、Q分别在线段AC、BC的中点时,线段PQ= AB=6.故答案为:6;
【分析】(1)由线段中点的定义可得CP= AC,CQ= CB,所以PQ= AC+ CB= AB,把AB的值代入计算即可求解;
(2)由路程=速度时间可求出BQ和CQ、CP的值,则PQ=CP+CQ可求解;
(3)由题意可分4种情况求解:
① 当点P、Q沿射线BA方向运动,若点Q在点P的后面,由图可列关于时间的方程求解;
②
当点P、Q沿射线BA方向运动,若点Q在点P前面,由图可列关于时间的方程求解;
③
当点P、Q在直线上相向运动,点P、Q在相遇前,由图可列关于时间的方程求解;
④ 当点P、Q在直线上相向运动,点P、Q在相遇后,由图可列关于时间的方程求解。
7.如图,已知AB∥CD,CE、BE的交点为E,现作如下操作:第一次操作,分别作∠ABE 和∠DCE的平分线,交点为E1,第二次操作,分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线,交点为E2,第三次操作,分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线,交点为E3,…,第n次操作,分别作∠ABE n﹣1和∠DCE n﹣1的平分线,交点为E n.
(1)如图①,已知∠ABE=50°,∠DCE=25°,则∠BEC = ________°;
(2)如图②,若∠BEC=140°,求∠BE1C的度数;
(3)猜想:若∠BEC=α度,则∠BE n C = ________ °.
【答案】(1)75
(2)解:如图2,
∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1,
∴由(1)可得,
∠BE1C=∠ABE1+∠DCE1= ∠ABE+ ∠DCE= ∠BEC;
∵∠BEC=140°,
∴∠BE1C=70°;
(3)
【解析】【解答】解:(1)如图①,过E作EF∥AB,
∵AB∥CD,
∴AB∥EF∥CD,
∴∠B=∠1,∠C=∠2,
∵∠BEC=∠1+∠2,
∴∠BEC=∠ABE+∠DCE=75°;
故答案为:75;
( 3 )如图2,
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2,
∴由(1)可得,
∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2= ∠ABE1+ ∠DCE1= ∠CE1B= ∠BEC;
∵∠ABE2和∠DCE2的平分线,交点为E3,
∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3= ∠ABE2+ ∠DCE2= ∠CE2B= ∠BEC;
…
以此类推,∠E n= ∠BEC,
∴当∠BEC=α度时,∠BE n C等于 °.
故答案为: .
【分析】(1)先过E作EF∥AB,根据AB∥CD,得出AB∥EF∥CD,再根据平行线的性质,得出∠B=∠1,∠C=∠2,进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE=75°;(2)先根据∠ABE和
∠DCE的平分线交点为E1,运用(1)中的结论,得出∠BE1C=∠ABE1+∠DCE1= ∠ABE+ ∠DCE= ∠BEC;(3)根据∠ABE1和∠DCE1的平分线,交点为E2,得出∠BE2C= ∠BEC;根据∠ABE2和∠DCE2的平分线,交点为E3,得出∠BE3C= ∠BEC;…据此得到规律∠E n= ∠BEC,最后求得∠BE n C的度数.
8.如图1,AM∥CN,点B为平面内一点,AB⊥BC于B,过B作BD⊥AM.
(1)求证:∠ABD=∠C;
(2)如图2,在(1)问的条件下,分别作∠ABD、∠DBC的平分线交DM于E、F,若∠BFC
=1.5∠ABF,∠FCB=2.5∠BCN,
①求证:∠ABF=∠AFB;
②求∠CBE的度数.
【答案】(1)证明:如图 1,过 B 作 BG∥CN,
∴∠C=∠CBG
∵AB⊥BC,
∴∠CBG=90°﹣∠ABG,
∴∠C=90°﹣∠ABG,
∵BG∥CN,AM∥CN,
∴AM∥BG,
∴∠DBG=90°=∠D,
∴∠ABD=90°﹣∠ABG,
∴∠ABD=∠C;
(2)①证明:如图2,设∠DBE=∠EBA=x,则∠BCN=2x,∠FCB=5x,设∠ABF=y,则∠BFC=1.5y,
∵BF 平分∠DBC,
∴∠FBC=∠DBF=2x+y,
∵∠AFB+∠BCN=∠FBC,
∴∠AFB+2x=2x+y,
∴∠AFB=y=∠ABF;
②解:∵∠CBE=90°,AF∥CN,
∴∠ABG+∠CBG=90°,∠BCN+∠AFB+∠BFC+∠BCF=180°,
∴
∴
∴∠CBE=3x+2y=3×30°+2×15°=120°.
【解析】【分析】(1)过B作BG∥CN,根据平行线的性质以及同角的余角相等即可求解;
(2)①设∠DBE=∠EBA=x,∠ABF=y,由角平分线的性质和∠AFB+∠BCN=∠FBC 可求解;
②由平行线的性质可得∠FCN+∠CFA=180°,而∠ABG+∠CBG=∠CBE=90°,根据这两个等式可得关于x、y的方程组,解方程组可求得x、y的值,则∠CBE的度数可求解。
9.如图(1),在△ABC和△EDC中,D为△ABC边AC上一点,CA平分∠BCE,BC=CD,AC=CE.
(1)求证:△ABC≌△EDC;
(2)如图(2),若∠ACB=60°,连接BE交AC于F,G为边CE上一点,满足CG=CF,连接DG交BE于H.
①求∠DHF的度数;
②若EB平分∠DEC,试说明:BE平分∠ABC.
【答案】(1)证明:∵CA平分∠BCE,
∴∠ACB=∠ACE.
在△ABC和△EDC中.
∵BC=CD,∠ACB=∠ACE,AC=CE.
∴△ABC≌△EDC(SAS).
(2)解:①在△BCF和△DCG中
∵BC=DC, ∠BCD=∠DCE,CF=CG,
∴△BCF≌△DCG(SAS),
∴∠CBF=∠CDG.
∵∠CBF+∠BCF=∠CDG+∠DHF
∴∠BCF=∠DHF=60°.
②∵EB平分∠DEC,
∴∠DEH=∠BEC.
∵∠DHF=60°,
∴∠HDE=60°-∠DEH.
∵∠BCE=60°+60°=120°,
∴∠CBE=180°-120°-∠BEC=60°-∠BEC.
∴∠HDE=∠CBE. ∠A=∠DEG.
∵△ABC≌△EDC, △BCF≌△DCG(已证)
∴∠BFC=∠DGC,
∵∠ABF=∠BFC-∠A, ∠HDE=∠DGC-∠DEG,
∴∠ABF=∠HDE,
∴∠ABF=∠CBE,
∴BE平分∠ABC.
【解析】【分析】(1)由角平分线定义得出∠ACB=∠ACE,由ASA证明△ABC≌△EDC即可.
(2)①由ASA证明△BCF≌△DCG,得出∠CBF=∠CDG;在△BCF,△DHF中,由三角形内角和定理得出∠BCF=∠DHF=60°.
②由全等三角形的性质得出∠A=∠DEG,∠ABF=∠BFC-∠A, ∠HDE=∠DGC-∠DEG,从而得出∠ABF=∠HDE,∠ABF=∠CBE,即BE平分∠ABC.
10.如图①,△ABC的角平分线BD,CE相交于点P.
(1)如果∠A=80°,求∠BPC= ________.
(2)如图②,过点P作直线MN∥BC,分别交AB和AC于点M和N,试求∠MPB+∠NPC的度数(用含∠A的代数式表示)________.
(3)将直线MN绕点P旋转。
(i)当直线MN与AB,AC的交点仍分别在线段AB和AC上时,如图③,试探索∠MPB,∠NPC,∠A三者之间的数量关系,并说明你的理由。
(ii)当直线MN与AB的交点仍在线段AB上,而与AC的交点在AC的延长线上时,如图④,试问(i)中∠MPB,∠NPC,∠A三者之间的数量关系是否仍然成立?若成立,请说明你的理由;若不成立,请给出∠MPB,∠NPC,∠A三者之间的数量关系,并说明你的理由。
【答案】(1)130°
(2)90°﹣∠A
(3)解:(i)∠MPB+∠NPC= ? ∠A.
理由如下:
∵∠BPC= +∠A,
∴∠MPB+∠NPC= ?∠BPC=180°?( + ∠A)= ?12 ∠A.
(ii)不成立,有∠MPB?∠NPC= ? ∠A.
理由如下:
由题图④可知∠MPB+∠BPC?∠NPC= ,
由(1)知:∠BPC= + ∠A,∴∠MPB?∠NPC= ?∠BPC= ?( + ∠A)=
? ∠A.
【解析】【解答】(1)
故答案为:
( 2 )由 = 得∠MPB+∠NPC= ?∠BPC= 1?( + ∠A)= ? ∠A;故答案为:∠MPB+∠NPC= ? ∠A
【分析】(1)根据角平分线的定义得出∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB),再根据三角形的内角和定理及∠A的度数,求出∠ABC+∠ACB的值,然后再利用三角形的内角和就可求出∠BPC的度数。
(2)根据角平分线的定义得出∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB),再根据三角形的内角和定理得出∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB),∠ABC+∠ACB=180°-∠A ,代入计算即可得出结论。
(3)(i)根据∠MPB+∠NPC= 180 ° ?∠BPC和∠BPC= 90 ° + ∠ A,代入即可得出结论;(ii)根据∠BPC= 90 ° + ∠ A及∠MPB?∠NPC= 180 ° ?∠BPC,代入求出即可得出结论
11.如图1, .如图2,点分别是上的点,且, .
(1)求证: F;
(2)若的角平分线与的角平分线交于点,请补全图形并直接写出与之间的关系为________.
【答案】(1)证明:如图,延长EH,交CD的延长线与M,
(2)∠BFE=2∠P.
【解析】【解答】解:(2)结论:∠BFE=2∠P,理由如下:
如图,设∠B=∠HEF=y.∠BFE=x
=
,
故答案为:∠BFE=2∠P.
【分析】(1)延长EH,交CD的延长线与M,根据平行线的性质及等量代换即可证明;
(2)设∠B=∠HEF=y,∠BFE=x,根据平行的性质结合三角形的内角和定理得出∠BFE=2∠P.
12.课题学习近平行线的“等角转化”功能.
阅读理解:
如图1,已知点A是BC外一点,连接AB,AC.
求∠BAC+∠B+∠C的度数.
(1)阅读并补充下面推理过程
解:过点A作ED∥BC,所以∠B=∠EAB,∠C=________.
又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°,
所以∠B+∠BAC+∠C=180°
解题反思:
从上面的推理过程中,我们发现平行线具有“等角转化”的功能,将∠BAC,∠B,∠C“凑”在一起,得出角之间的关系,使问题得以解决.
方法运用:
(2)如图2,已知AB∥ED,求∠B+∠BCD+∠D的度数.(提示:过点C作CF∥AB)
深化拓展:
(3)如图3,已知AB∥CD,点C在点D的右侧,∠ADC=70°.点B在点A的左侧,∠ABC=60°,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,BE,DE所在的直线交于点E,点E在AB与CD两条平行线之间,求∠BED的度数.
【答案】(1)∠DAC
(2)解:如图2,过C作CF∥AB,
∵AB∥DE,
∴CF∥DE,
∴∠D=∠FCD,
∵CF∥AB,
∴∠B=∠BCF,
∵∠BCF+∠BCD+∠DCF=360°,
∴∠B+∠BCD+∠D=360°,
(3)解:如图3,过点E作EF∥AB,
∵AB∥CD,
∴AB∥CD∥EF,
∴∠ABE=∠BEF,∠CDE=∠DEF,
∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∠ABC=60°,∠ADC=70°,
∴∠ABE=∠ABC=30°,∠CDE=∠ADC=35°,
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°.
【解析】【解答】解:(1)∵ED∥BC,
∴∠C=∠DAC,
故答案为∠DAC;
【分析】(1)根据平行线的性质即可得到结论;(2)过C作CF∥AB根据平行线的性质得到∠D=∠FCD,∠B=∠BCF,然后根据已知条件即可得到结论;(3)过点E作EF∥AB,然后根据两直线平行内错角相等,即可求∠BED的度数.
13.将一副直角三角板按如图1摆放在直线AD上直角三角板OBC和直角三角板MON,,,,,保持三角板OBC不
动,将三角板MON绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转t秒
(1)如图2, ________度用含t的式子表示;
(2)在旋转的过程中,是否存在t的值,使?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
(3)直线AD的位置不变,若在三角板MON开始顺时针旋转的同时,另一个三角板OBC 也绕点O以每秒的速度顺时针旋转.
当 ________秒时,;
请直接写出在旋转过程中,与的数量关系________ 关系式中不能含 .【答案】(1)
(2)解:当MO在∠BOC内部时,即t 时,根据题意得:
90﹣8t=4(45﹣8t)
解得:t ;
当MO在∠BOC外部时,即t 时,根据题意得:
90﹣8t=4(8t﹣45)
解得:t .
综上所述:t 或t
(3)5或10;3∠NOD+4∠BOM=270°.
【解析】【解答】(1)∠NOD一开始为90°,然后每秒减少8°,因此∠NOD=90﹣8t.
故答案为90﹣8t.
( 3 )①当MO在∠BOC内部时,即t 时,根据题意得:
8t﹣2t=30
解得:t=5;
当MO在∠BOC外部时,即t 时,根据题意得:
8t﹣2t=60
解得:t=10.
故答案为5或10.
②∵∠NOD=90﹣8t,∠BOM=6t,∴3∠NOD+4∠BOM=3(90﹣8t)+4×6t=270°.
即3∠NOD+4∠BOM=270°.
【分析】(1)把旋转前∠NOD的大小减去旋转的度数就是旋转后的∠NOD的大小.(2)相对MO与CO的位置有两种情况,所以要分类讨论,然后根据∠NOD=4∠COM建立关于t 的方程即可.(3)①其实是一个追赶问题,分MO没有追上CO与MO超过CO两种情况,然后分别列方程即可.②分别用t的代数式表示∠NOD和∠BOM,然后消去t即可得出它们的关系.
14.如图,直线AB、CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠COE.