九年级数学旋转与中心对称综合提升(教师版)

【例题精讲一】旋转与线段计算

（粮道街12月）例题一：1、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，将△ABC绕C点逆时针旋转

＋

60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是___________。31

（七一12月）2、已知P是正方形ABCD内一点，∠APB＝135°，PB＝6，PC＝5

4，则正方形ABCD的边长为_________。

（例1—2）（课堂练习1—1）

【课堂练习】

1、如图，△ABC是等边三角形，D是BC上一点，AB＝8，BD＝3，将△ABD饶点A逆时针旋转60°到△ACE 的位置，连接DE，则DE的长为_________。 7

＋

2、P是边长为2的正方形ABCD内的一点，则PA＋PB＋PD的最小值为。62

【例题精讲二】旋转与作图

（武昌12月）1、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（3，4）、B（1，1）、C（4，2）。（1）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A1B1C1，其中A、C分别和A1、C1对应；

（2）平移△ABC，使得A点落在x轴上，B点落在y轴上，画出平移后的△A2B2C2，其中A、B、C分别和A2、B2、C2对应；

（3）填空：在（2）的条件下，设△ABC、△A2B2C2的外接圆的圆心分别为M、M2，则MM2＝___17___。

（外校周练15）2、如图，△ABC是等边三角形，△ABD中∠ADB＝120°，将△ABD绕点O旋转120°得到△BCE。（1）在图中画出点O和△BCE，并指出点O所在的位置；（2）若AD＝2，DB＝3，求AE的长。

解：(1) O为等边△ABC的内心 (2) 5（对角互补四边形）

【课堂练习】

（江岸北12月）1、如图已知A（3，－3）、B（－2，－1），C（－1，－2）是直角坐标平面上三点。

（1）请画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；

（2）请写出点B关于y轴对称的点B2的坐标，若将点B2向上平移h个单位，使其落在△A1B1C1的内部，指出h 9

的取值范围。 2＜h＜

2

2、如图，正方形ABCD和直角△ABE，∠AEB＝90°，将△ABE绕点O旋转180°得到△CDF。

（1）在图中画出点O和△CDF，并简要说明作图过程；（2）若AE＝12，AB＝13，求EF的长。

（备用图）

【例题精讲三】旋转的综合

（二中元调模拟）已知正方形ABCD ，过D 点的直线l 从DA 开始，绕D 点顺时针旋转，旋转角为α，E 、A 关于直线l 对称，连CE 交直线l 于F ，连DE 、AF 。

（1）如图1，当α＝40°时，△AEF 的形状是___________________（直接写出结果） （2）如图1，连BF ，求证：BF ⊥l ；

（3） 当α＝60°时，如图2，连BF 。若DF ＝13-，求正方形的边长。

解：(1) ∵A 、E 关于直线l 对称 ∴DA ＝DE ＝DC

∵α＝40° ∴∠ADE ＝80°，∠CDE ＝90°＋80°＝170°

∵DC ＝DE ∴∠DEC ＝∠DCE ＝5° 由人字型，得∠AFE ＝40°＋40°＋5°＋5°＝90° ∴△AEF 为等腰直角三角形

(2) 设∠DAF ＝∠DEF ＝∠FCE ＝α，∠EDF ＝∠ADF ＝β 在△CDE 中，2α＋2β＋90°＝180°，α＋β＝45° ∴∠AFG ＝α＋β＝45° 过点B 作BH ⊥BF 交FA 的延长线于H

∵∠BAH ＝∠BCF ＝90°－α ∴△BAH ≌△BCF （ASA ） ∴BF ＝BH

∴△BFH 为等腰直角三角形 ∴∠BFH ＝45° ∴∠BFG ＝45°

＋45°＝90° 即BF ⊥l

解：∵∠ADG ＝∠EDG ＝60° ∴∠AED ＝30°

∵∠CDE ＝360°－90°－120°＝150° ∴∠DEC ＝∠DCE ＝15° ∴∠GEF ＝45°

∴△AGF 、△EGF 为等腰直角三角形 设AD ＝2a ，则DG ＝a ，AG ＝a 3

∵GA ＝GF ∴133-+=a a ，a ＝1 ∴正方形的边长为2

【课堂练习】

如图，在平面直角坐标系中，点A和点B的坐标分别为A(4，0)、B(0，2)，将△ABO绕点P(2，2)顺时针旋转得到△OCD，点A、B和O的对应点分别为点O、C和D。

（1）画出△OCD，并写出点C和点D的坐标；

（2）连接AC，在直线AC的右侧取点M，使∠AMC＝45°

①若点M在x轴上，则点M的坐标为___________；②若△ACM为直角三角形，求点M的坐标；

解：（1）C（2，4），D（0，4）；（其中画图1分，坐标各1分）…………3分（2）①（6，0）；

②当∠CAM为直角时，分别过点C，M作x轴的垂线，垂足分别为E，F．

可证△CEA≌△AFM，则，MF＝AE，AF＝CE．从而，M（8，2）；

当∠ACM为直角时，同理可得M（6，6）；

综上所述，点M的坐标为（8，2）或（6，6）．………………………………6分（3）若点N满足∠ANC＞45°，请确定点N的位置。（不要求说明理由）

x y

P

C

D

B

A O

（3）点N在以点（5，3）或点（1，1）为圆心，以10 为半径的圆内．

（其中两个圆心的坐标各1分，半径1分，圆内1分）……………………………10分

1、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，BC＝3，且BD＝2CD，将线段DB绕点D逆时针方向旋转至DB′，当点B′刚好旋转到△ABC的边上时旋转角的度数为。 80°或120°

（第1题）（第2题）

（梅苑测5）2、如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝4cm。将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C′的位置，且A、C、B′三点在同一条直线上，则点A经过的最短路线的长为。

3、如图，等边三角形ABC中，AB＝3，D是BC上一点，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE。若△

BCE的面积为33

4

，则

CD

BE

＝________。

（第3题）（第4题）（武钢实验周考二）4、如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，∠BAC＝45°，将BC绕点顺时针旋转90°至BD，则AD＝。53

（武钢实验周考二）5、如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，请按要求解决下列问题：

（1）画出将△ABC向右平移3个单位后得到A1B1C1，再画出将△A1B1C1绕点B1按逆时针方向旋转90°后所得到的△A2B1C2；

（2）若在网格中以点C为原点建立平面直角坐标系，若B（0，4），则点A2的坐标是（4，5）；

（3）在（2）中平面直角坐标系内，找一点P，使PA＝PB＝PC，则点P的坐标是（﹣1，2）。

6、如图，在△ABC中，以AC为边在外作正△ACD，连接BD。

（1）以点A为中心，把△ADB顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（保留作图痕迹）；

（2）若∠ABC＝30°，BC＝4，BD＝6，求AB的长。

（武钢实验周考二）7、如图1，在等腰Rt△ABC和△DCE中，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝90°。

（1）求证：△ACD≌△BCE；

（2）如图2，将△DCE绕点C顺时针旋转n°（0＜n＜45），使点A、D、E在同一直线上，AF平分∠BAE交CE 延长线与F，探究AB、DE、EF之间的数量关系。

（外校周练15）8、如图，四边形ABCD为正方形，△BEF为等腰直角三角形（∠BFE＝90°，点B、E、F按逆时针排列），点P为DE的中点，连PC、PF。

（1）如图1，点E在CB上，则线段PC、PF的数量关系为__________，位置关系为_________；

（2）如图2，将△BEF绕点B顺时针旋转α（0＜α＜45°），则线段PC、PF有何数量关系和位置关系？请写出你的结论，并证明。

（图1）（图2）