2014年全国初中数学联赛决赛(初三)试题及答案解析

2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

说明：第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.

第一试

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知,x y 为整数，且满足22441

111211

()()()3x y x y x y

++=--，错误!未找到引用源。则x y +的可能的值有（ C ）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为 （ A ）

A ．

47 B ．59 C ．916 D ．12

25

3．在△ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知

3BP =，1PE =，则错误!未找到引用源。＝

（ B ）

A ．

2

B C D 4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片

上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 （ B ）

A ．

12 B ．25 C ．23 D ．34

5．设[]t 表示不超过实数t 的最大整数，令{}[]t t t =-.已知实数x 满足3

31

18x x

+=，则1{}{}x x

+=

（ D ）

A ．

12 B ．3 C ．1

(32 D ．1 6．在△ABC 中，90C ∠=?，60A ∠=?错误!未找到引用源。，1AC =，D 在BC 上，

E 在AB 上，使得△ADE 为等腰直角三角形, 90ADE ∠=? ,则BE 的长为

（ A ）

A ．4-

B ．2

C ．

1

1)2

D 1 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）

1．已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，

111

1a b c b c a c a b

++=+-+-+-，则

abc =__0__．

2．使得不等式

981715

n n k <<+错误!未找到引用源。对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 144 ．

3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB BC =，108BPC ∠=?，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心，则PAC ∠=

48?

．

4．已知正整数,,a b c 满足:1a b c <<<，111a b c ++=，2b ac =，则b = 36 ．

第二试 （A ）

一、（本题满分20分）设实数,a b 满足2

2

(1)(2)40a b b b a +++=，(1)8a b b ++=，求

22

11

a b +的值． 解 由已知条件可得22

2

()40a b a b ++=，()8ab a b ++=.

设a b x +=，ab y =，则有2

2

40x y +=，8x y +=，

……………………5分

联

立

解

得

(,)(2,6)x y =或

(,)(6,2)x y =. ……………………10分

若(,)(2,6)x y =，即2a b +=，6ab =，则,a b 是一元二次方程2260t t -+=的两根，但这个方程的判别式2

(2)24200?=--=-<，没有实数根； ……………………15分

若(,)(6,2)x y =，即6a b +=，2ab =，则,a b 是一元二次方程2620t t -+=的两根，

这个方程的判别式2

(6)8280?=--=>，它有实数根.所以

2222222222211()262282

a b a b ab a b a b a b ++--?+====. ……………………20分 二．（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，且满

足ECD ACB ∠=∠, AC 的延长线与△ABD 的外接圆交于点F . 证明：DFE AFB ∠=∠．

证明 由ABCD 是平行四边形及已知条件知ECD ACB DAF ∠=∠=∠.

………………

……5分

又A 、B 、F 、 D 四点共圆，所以BDC ABD AFD ∠=∠=∠，所以△ECD

∽△DAF ，

……………………15分

所以ED CD AB

DF AF AF

==

. ……………………20分 又EDF BDF BAF ∠=∠=∠，所以△EDF ∽△BAF ，故

DFE AFB ∠=∠. ……………………25分

三．（本题满分25分）设n 是整数，如果存在整数,,x y z 满足3

3

3

3n x y z xyz =++-，则称n 具有性质P .在1，5，2013，2014这四个数中，哪些数具有性质P ，哪些数不具有性质P ？并说明理由.

解 取1x =，0y z ==，可得33311003100=++-???，所以1具有性质P . 取2x y ==，1z =，可得33352213221=++-???，所以5具有性质

P .…………………5分

为了一般地判断哪些数具有性质P ，记3

3

3

(,,)3f x y z x y z xyz =++-，则

33(,,)()3()3f x y z x y z xy x y xyz =++-+- 3()3()()3()x y z x y z x y z xy x y z =++-+++-++

＝3

()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++

2221

()()2x y z x y z xy yz zx =++++--- 2221

()[()()()]2

x y z x y y z z x =++-+-+-. 即(,,)f x y z 2221

()[()()()]2

x y z x y y z z x =++-+-+- ①

…………………

…10分

不妨设x y z ≥≥，

如果1,0,1x y y z x z -=-=-=，即1,x z y z =+=，则有(,,)31f x y z z =+； 如果0,1,1x y y z x z -=-=-=，即1x y z ==+，则有(,,)32f x y z z =+；

F

B

如果1,1,2x y y z x z -=-=-=，即2,1x z y z =+=+，则有(,,)9(1)f x y z z =+； 由此可知，形如31k +或32k +或9k （k 为整数）的数都具有性质P . 因此，1，5和2014都具有性质P . ……………………20分

若

2013

具

有

性

质

P ，则存在整数,,x y z 使得

32013()3()()x y z x y z xy yz zx =++-++++.注意到3|2013，从而可得33|()x y z ++，故3|()x y z ++，于是有39|()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++，即9|2013，但2013＝9×223＋6，矛盾，所以2013不具有性质P . ……………………

25分

第二试 （B ）

一．（本题满分20分）同（A ）卷第一题.

二．（本题满分25分）如图，已知O 为△ABC 的外心，AB AC =，D 为△OBC 的外接圆上一点，过点A 作直线OD 的垂线，垂足为H .若7BD =，3DC =，求AH .

解 延长BD 交⊙O 于点N ，延长OD 交⊙O 于点

E

，由题意得NDE ODB OCB OBC CDE ∠=∠=∠=∠=∠，所以

DE

为BDC ∠的平分线. ………………

……5分 又点D 在⊙O 的半径OE 上，点C 、N 在⊙O 上，

所以点C 、N 关于直线OE 对称，DN DC =. ……………………10分

延长AH 交⊙O 于点M ，因为O 为圆心，AM OD ⊥，所以点A 、M 关于直线OD 对称，AH MH =.因此MN AC AB ==.

…………

…………15分

又FNM FAB ∠=∠，FBA FMN ∠=∠，所以△ABF ≌△NMF ，所以MF BF =，FN AF =. ……………………20分

因此，AM AF FM FN BF BN BD DN BD DC =+=+==+=+ 7310=+=，即210AH =，所以5AH =. ……………………25分

三．（本题满分25分）

设n 是整数，如果存在整数,,x y z 满足3

3

3

3n x y z xyz =++-，则称n 具有性质P .

N

（1）试判断1，2，3是否具有性质P ；

（2）在1，2，3，…，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质P 的数有多少个？

解 取1x =，0y z ==，可得33311003100=++-???，所以1具有性质P ； 取1x y ==，0z =，可得33321103110=++-???，所以2具有性质

P ；…………………5分

若3具有性质P ，则存在整数,,x y z 使得3

3()3()()x y z x y z xy yz zx =++-++++，从

而

可

得

3

3|()x y z ++，故3|()x y z ++，于是有

39|()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++，即9|3，这是不可能的，所以3不具有性质

P . ……………………10分

（2）记3

3

3

(,,)3f x y z x y z xyz =++-，则

33(,,)()3()3f x y z x y z xy x y xyz =++-+- 3()3()()3()x y z x y z x y z xy x y z =++-+++-++

＝3

()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++

2221

()()2x y z x y z xy yz zx =++++--- 2221

()[()()()]2

x y z x y y z z x =++-+-+-. 即(,,)f x y z 2221

()[()()()]2

x y z x y y z z x =++-+-+- ①

…………………

…15分

不妨设x y z ≥≥，

如果1,0,1x y y z x z -=-=-=，即1,x z y z =+=，则有(,,)31f x y z z =+； 如果0,1,1x y y z x z -=-=-=，即1x y z ==+，则有(,,)32f x y z z =+； 如果1,1,2x y y z x z -=-=-=，即2,1x z y z =+=+，则有(,,)9(1)f x y z z =+； 由此可知，形如31k +或32k +或9k （k 为整数）的数都具有性质P .……………………20分

又若3

3|(,,)()3()()f x y z x y z x y z xy yz zx =++-++++，则3

3|()x y z ++，从而

3|()x y z ++，进而可知39|(,,)()3()()f x y z x y z x y z xy yz zx =++-++++.

综合可知：当且仅当93n k =+或96n k =+（k 为整数）时，整数n 不具有性质P . 又2014＝9×223＋7，所以，在1，2，3，…，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质P

的数共有224×2＝448个. ……………………25分